Operações com Polinômios

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Polinômios 
Um monômio é composto por coeficiente (número) e parte literal (letras). Um polinômio é uma 
expressão algébrica formada por monômios. 
 
Grau de um polinômio: é o maior expoente da parte literal. 
 
Raiz de um polinômio: é (são) o (s) valor (es) de x que fazem o polinômio resultar em zero. 
 
Propriedade distributiva: Cada termo de um polinômio é multiplicado por cada termo de outro 
polinômio.Em incógnitas semelhantes, somam-se os expoentes. As incógnitas distintas são 
repetidas. E os números são multiplicados normalmente. 
Ex: (x – 4) . (x² + 3y) = x³ + 3xy – 4x² - 12y 
 
* Operações: 
a) Adição: Basta somar termos semelhantes. Eles serão semelhantes pelas INCÓGNITAS! 
 
b) Subtração: Basta subtrair termos semelhantes. 
 
c) Multiplicação: Aplicar propriedade Distributiva. 
 
d) Divisão: Dividem-se as incógnitas de maior expoente até que não se possa mais dividir, 
devido o grau. 
 
Relações de Girard: 
Soma das raízes = !	#
$
 
Produto da raízes = !	(&'()*	+,-'.',-',&')
$
 
 
Exercícios: 
 
11. Considere o polinômio: p(x) = 4𝑥	1 + 3x³ - 2x² + x + k Sabendo que P(1) = 2, então o valor 
de P(3) é: 
 
a) 386. 
b) 405. 
c) 324. 
d) 81. 
e) 368. 
 
Resolução: 
 
Como a questão nos diz que P(1) = 2, teremos: 
 
p(x) = 4𝑥	1 + 3x³ - 2x² + x + k 
P(1) = 4.	1	1 + 3.1³ – 2.1² + 1 + k = 2 
4.1 + 3.1 – 2.1 + 1 + k = 2 
4 + 3 – 2 + 1 + k = 2 
6 + k = 2 
k = 2 – 6 
k = – 4 
 
Agora que já sabemos o resultado de K é só resolver P(3) substituindo seu valor na expressão 
 
 
 
 
p(x) = 4𝑥	1 + 3x³ - 2x² + x + k 
P(3) = 4.	3	1 + 3.3³ – 2.3² + 3 – 4 
P(3) = 4.81 + 3.27 – 2.9 + 3 – 4 
P(3) = 324 + 81 – 18 + 3 – 4 
P(3) = 386 
 
(Alternativa A) 
 
12. Para encontrar as idades de três irmãos – Ana (a), Beatriz (b) e Caio (c) –, basta resolver o 
polinômio p( x) = ( a + b - 18 ) x 3 + ( 2a - b - 15 ) x 2 + ( c - 5 ) x , de maneira que ele seja 
identicamente nulo. Com base nesses dados, assinale a alternativa correta. 
 
a) Ana é a irmã mais velha. 
b) Beatriz é a irmã mais nova. 
c) Caio é o irmão mais velho. 
d) Ana é a irmã mais nova. 
e) Beatriz é a irmã mais velha. 
 
Resolução: 
 
Como a questão nos diz que os polinômios são nulos, basta igualar os coeficientes do 
polinômio a 0. Sendo assim teremos: 
 
Primeiro pegaremos o primeiro coeficiente do polinômio a 0 
 
a + b – 18 = 0 
a + b = 18 
a = 18 – b 
 
Agora faremos o mesmo com o segundo coeficiente do polinômio 2a - b – 15 = 0 
2a – b = 15 
2a = 15 + b, substituindo o valor de a encontrado anteriormente, 
2 (18 – b) = 15 + b 
36 – 2b = 15 + b 
-2b – b = 15 - 36 
-3b = - 21 
 
b = !45
!6
 
 
Beatriz = 7 anos 
 
Agora repetiremos a primeira sentença para descobrir a idade de Ana 
a = 18 – b 
a = 18 – 7 
Ana = 11 anos 
 
Pegando o ultimo coeficiente do nosso polinômio e igualando a 0 teremos 
 
c – 5 = 0 
Carlos = 5 anos 
 
 
 
 
(Alternativa A) 
 
 
13. O polinômio que permite calcular a área da parte sombreada da figura abaixo é 
 
 
a) 9x² + 21x 
b) 12x² + 31x + 20 
c) 3x² + 10x + 20 
d) 9x² + 31x 
 
Resolução: 
 
Temos que o retângulo sombreado no lado direito tem medidas de 3x + 4 (x + 4 + 2x) de altura 
e x de largura, logo sua área será: 
Área do retângulo = base x altura 
Área do retângulo = (3x + 4) . x = 3x² + 4x 
 
O retângulo sombreado na coluna do meio possui medidas de x de altura e 5 de largura, logo 
sua área será: 
Área do retângulo = base x altura 
Área do retângulo = x . 5 = 5x 
 
Já o retângulo sombreado na coluna da esquerda, possui medidas de 2x + 4 de altura e 3x de 
largura, logo sua área será: 
Área do retângulo = base x altura 
Área do retângulo = (2x + 4) . 3x = 6x² + 12x 
 
Agora que possuímos o valor da área sombreada nas 3 colunas, é só somá-las para 
encontrarmos a área total 
 
3x² + 4x + 5x + 6x² + 12x = 9x² + 21x 
 
(Alternativa A) 
 
14. Os valores de a e b para que os polinômios P(x) = – x4 + ax3 + x2 – bx + 8 e Q(x) = 7x2 – 
2bx – 2a sejam divisíveis por (x – 2) são, respectivamente, 
 
a) 2 e 4. 
b) 2 e 6. 
c) 4 e 2. 
d) 4 e 6. 
e) 6 e 2. 
 
 
 
 
Resolução: 
 
Como a questão nos pede para que o polinômio seja divisível por (x – 2), logo P(2) = 0, pois 2 é 
a raiz do polinômio sendo assim teremos 
 
P(2) = – x4 + ax3 + x2 – bx + 8 
– 24 + a . 23 + 22 – b . 2 + 8 = 0 
- 16 + 8a + 4 – 2b + 8 = 0 
- 4 + 8a – 2b = 0 
8a – 2b = 4 (÷ 2) 
4a – b = 2 
 
Agora faremos o mesmo com Q(2) = 0 
 
Q(x) = 7x2 – 2bx – 2a 
7 . 2² - 2b . 2 – 2a= 0 
7 . 4 – 4b – 2a = 0 
28 - 4b – 2a = 0 
4b + 2a = 28 (÷ 2) 
2b + a = 14 
 
Somando as equações teremos 
 
4a – b = 2 
a + 2b = 14 
 
5a + b = 16 
b = 16 – 5a 
 
Substituindo b na primeira equação 
 
4a – b = 2 
4a – (16 – 5a) = 2 
4a – 16 + 5a = 2 
9a = 2 + 16 
9a = 18 
 
a = 58
9
 
 
a = 2 
 
Substituindo a na segunda equação 
 
2b + a = 14 
2b + 2 = 14 
2b = 14 – 2 
2b = 12 
 
b = 54
4
 
 
 
 
 
b = 6 
 
(Alternativa B) 
 
15. Dividindo-se o polinômio p(x) por x - 1, obtêm-se como quociente x² + 3x + 3 e resto 4 . 
O polinômio p(x) é: 
 
a) x³ + 2.x² + 1 
b) x³ + 2.x² - 3 
c) x² + 4.x + 6 
d) x² + 2.x 
 
Resolução: 
 
Como sabemos, ao dividir P(x) por (x – 1) encontraremos x² + 3x + 3 e 4 de resto, sendo assim 
teremos 
 
:(;)
(;!5)
 = (x² + 3x + 3) + 4 
 
Sendo assim, basta passar (x – 1) para o outro lado da equação multiplicando por x² + 3x + 3 e 
somar com o resto 4, pois Dividendo = Divisor . Quociente + Resto. 
 
P(x) = (x – 1) . (x² + 3x + 3) + 4 
P(x) = x³ + 3x² + 3x – x² - 3x – 3 + 4 
P(x) = x³ + 2x² +1 
 
(Alternativa A) 
 
16. A expressão -x + (x +3)2 + x (2x - 6) + 1 corresponde ao trinômio 
a) 3x2 – 7 x + 10. 
b) 3x2 – 7 x + 7. 
c) 3x2 – x + 10. 
d) 3x2 – x + 9. 
 
Resolução: 
 
Desenvolvendo a expressão -x + (x +3)2 + x (2x - 6) + 1, teremos 
 
-x + (x +3)2 + x (2x - 6) + 1 
-x + x² + 6x + 9 + 2x² - 6x + 1 
3x² - x + 10 
 
(Alternativa C) 
 
17. Dado o polinômio abaixo, assinalar a alternativa que apresenta o resultado da operação 5a 
+ b, sabendo-se que p(x) é divisível por (x - 5): 
p(x) = ax2 + bx - 15 
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
 
 
 
d) 5 
 
Resolução: 
 
Como a questão nos pede para que o polinômio seja divisível por (x – 5), logo P(5) = 0, pois 5 é 
a raiz do polinômio sendo assim teremos 
 
p(x) = ax2 + bx - 15 
a52 + b5 – 15 = 0 
25a + 5b = 15 (÷ 5) 
 
5a + b = 3 
 
(Alternativa B) 
 
18. O resultado da multiplicação entre os polinômios (4x + 3y) e (5x - 8) é: 
 
a) -40x² + 20x +15xy - 20y 
b) 20x² - 32x + 15xy - 24y 
c) 15xy - 24y + 40x - 20x² 
d) 20x - 40x + 15x - 24y 
 
Resolução: 
 
Multiplicando os polinômios pela forma distributiva (4x + 3y) e (5x - 8), teremos 
(4x + 3y) . (5x - 8) 
(4x . 5x) + [4x . (- 8)] + (3y . 5x) + [3y . (- 8)] 
20x² - 32x + 15xy – 24y 
 
(Alternativa B) 
 
19. Seja q(x) = 2x - 4 o quociente da divisão do polinômio P(x) = 6x2 + (n - 1) x - 8 por d(x) = 3x 
+ 2. Sendo a divisão exata, então o valor de n é 
 
a) - 7. 
b) -8. 
c) -9. 
d) 9. 
 
Resolução: 
 
Temos que, P(x) = Q(x) . D(x) + R(x), logo 
6x2 + (n - 1) x – 8 = (2x – 4) . (3x + 2) + 0 
6x2 + nx – x – 8 = 6x² + 4x – 12x – 8 + 0 
6x² + nx – x – 8 = 6x² - 8x – 8 
nx = 6x² - 8x – 8 – 6x² + x + 8 
nx = - 7x 
 
n = !=;
;
 
 
n = - 7 
 
 
 
 
 
(Alternativa A) 
 
20. O valor numérico do polinômio P(x) = 3x4 – x3 + 4x2 – x + 5 para x = -2 é: 
 
a) 51; 
b) 59 ; 
c) 65; 
d) 79; 
e) 81. 
 
Resolução: 
 
Como a questão nos diz, x = - 2, sendo assim é só substituir por -2 todos os “x” do polinômio 
 
3x4 – x3 + 4x2 – x + 5 
3(- 2)4 – (- 2)3 + 4(- 2)2 – (- 2) + 5 
3 . 16 – (-8) + 4(+ 4) + 2 + 5 
48 + 8 + 16 + 7 
56 + 23 
79 
 
(Alternativa D)