Divisores de Zero em Anéis

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Considere as seguintes afirmações:
 (I) 2 e 3 são divisores próprios de zero do anel Z6.
(II) O anel Z7 possui divisores próprios de zero.
(III) Seja x um elemento de Zm. Podemos dizer que x é um divisor de zero,
 se o mdc(x,m) = 1.
(IV) O anel das matrizes (Mn(A), +, . ) tem divisores de zero para todo n ≥ 2.
Podemos afirmar que:
A definição de divisores de uma anel diz que: Seja A um anel com as operações usuais
de adição e multiplicação, e sejam x e y dois elementos de A, com x ≠ 0 e y ≠ 0. Se
xy = 0A, podemos dizer que x e y são divisores próprios de zero. A partir da definição
marque a alternativa correta.
FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA
CEL0687_A8_201802299173_V5 
Lupa Calc.
 
 
Vídeo PPT MP3
 
Aluno: FLAVIO BATISTA LOBATO BARROS Matr.: 201802299173
Disc.: FUNDAMENTOS DE ÁLGEB 2020.1 EAD (G) / EX
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua
avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se
familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
 
1.
Somente a afirmativa I é verdadeira.
Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.
Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.
Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
Somente a afirmativa II é verdadeira.
 
2.
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A definição de divisores de uma anel diz que: Seja A um anel com as operações usuais de adição e multiplicação, e sejam x
e y dois elementos de A, com x ≠ 0 e
 y ≠ 0. Se xy = 0A, podemos dizer que x e y são divisores próprios de zero. A partir da definição marque a alternativa
correta.
O anel Z6 admite quantos divisores de zero?
Qual dos anéis abaixo pode ser definido anel de integridade:
O anel das matrizes (Mn(A), +, . ) não tem divisores de zero para todo n ≥ 2. 
2, 3 e 4 são divisores próprios de zero no anel Z6 
3, 5, e 12 são os únicos divisores de Z15.
o anel Z7 possui divisores próprios de zero. 
2 e 4 não são divisores de zero em Z8.
Gabarito
Coment.
 
3.
O anel das matrizes (Mn(A), +, . ) não tem divisores de zero para todo n ≥ 2. 
2 e 4 não são divisores de zero em Z8.
2, 3 e 4 são divisores próprios de zero no anel Z6 
3, 5, e 12 são os únicos divisores de Z15.
o anel Z7 possui divisores próprios de zero. 
 
4.
5
3
2
1
4
 
5.
Q
Z3
M2 (iR) (conjunto das matrizes de ordem 2)
Z14
Z x Z
 
6.
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Considere as seguintes afirmações:
 
(I) 35 é divisor de zero no anel Z54.
(II) 36 é divisor de zero no anel Z54.
(III) Seja B um subanel do anel A. Se o anel A não possui divisores de zero, então B é
um anel também sem divisores de zero.
(IV) No anel dos inteiros o número 2 é primo, pois seus divisores são: 1, -1, 2 e -2
 Podemos afirmar que:
De acordo com a teoria de Subanel verificamos que o conjunto dos números ímpares não é um
subanel de Z. Carlos, aluno do curso de matemática, desenvolveu uma justificativa para essa
proposição. Marque a alternativa que apresenta corretamente a justificativa desenvolvida pelo
Carlos.
Somente a afirmativa II é verdadeira.
Somente a afirmativa I é verdadeira.
Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.
Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.
 
7.
Somente a afirmativa I é verdadeira.
Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
Somente a afirmativa III é verdadeira.
Somente as afirmativas II, III e IV são verdadeiras.
Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
 
8.
Dado o conjunto S = {2n + 1/ } veja que:
 e , temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1
Usando a proposição de subanel, temos:
x - y = 2n + 1 - (2m + 1) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) + 1 que é um número par.
n ∈ Z
∀x, y ∈ S ∀m, n ∈ S
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Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos números ímpares não
é um subanel de Z.
Dado o conjunto S = {2n / } veja que:
 e , temos x = 2n e y = 2m
Usando a proposição de subanel, temos:
x - y = 2n - (2m ) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um número par.
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos números ímpares não
é um subanel de Z.
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos números ímpares não
é um subanel de Z.
Dado o conjunto S = {2n + 1/ } veja que:
 e , temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1
Usando a proposição de subanel, temos:
x - y = 2n - 1 + (2m - 2) = 2n - 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um número par.
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos números ímpares não
é um subanel de Z.
Dado o conjunto S = {2n + 1/ } veja que:
 e , temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1
Usando a proposição de subanel, temos:
x - y = 2n + 1 - (2m + 1) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um número par.
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos números ímpares
não é um subanel de Z. 
 
Legenda: Questão não respondida Questão não gravada Questão gravada
Exercício inciado em 11/04/2020 00:21:32. 
n ∈ Z
∀x, y ∈ S ∀m, n ∈ S
n ∈ Z
∀x, y ∈ S ∀m, n ∈ S
n ∈ Z
∀x, y ∈ S ∀m, n ∈ S
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