Relatorio_Fis_II_Pendulos

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FSC1025 - FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II
RELATÓRIO DE EXPERIMENTO EM LABORATÓRIO
TEMA: PÊNDULOS SIMPLES E FÍSICO 
Nome do Professor
Paulo Roberto Magnago, Universidade Federal de Santa Maria
Nome do Aluno
 Ricardo Pavão Madureira, Universidade Federal de Santa Maria
Resumo. Encontramos ao nosso redor, com pouco
esforço, inúmeros sistemas e fenômenos regidos
matematicamente pela modelagem dos pêndulos,
realizando movimentos circulares oscilatórios em
torno de um ponto fixo: ação das pernas e braços nos
animais; comportamento estrutural de aeronaves,
navios, prédios e pontes; propagação de ondas
sonoras e radiações eletromagnéticas; movimento dos
elétrons em um campo elétrico alternado;
terremotos. Conhecer e prever como se comportam
essas manifestações é parte do esforço que garantiu e
ainda garantirá os grandes avanços tecnológicos de
nossa civilização, o que, como causa ou consequência,
sempre afetará e interessará à Engenharia e seus
profissionais e isso, via de regra, começa no ambiente
acadêmico, nos laboratórios de Física, com os
clássicos experimentos com pêndulos simples e físico,
de que trata este relatório de atividades.
Palavras-chave: Pêndulo. MHS. Gravidade. 
1 INTRODUÇÃO
Este relatório descreve um procedimento
experimental com pêndulos simples e físico.
No tipo mais clássico, seu modelo teórico
pode ser representado por um fio inextensível
de massa desprezível, cuja extermidade
sustenta um corpo massivo e puntiforme. Tal
sistema oscila em movimento harmônico
simples, definido, simplesmente, como sendo
o movimento executado por uma partícula
sujeita a uma força restauradora. 
Os objetivos do experimento em questão
compreendem: aplicar as três Leis de Newton
ao pêndulo simples; verificar a independência
do período do pêndulo simples com sua
amplitude e a massa, nas pequenas oscilações;
verificar a dependência do período do pêndulo
simples com o seu comprimento; calcular a
aceleração da gravidade local com o auxílio
de ambos os pêndulos; determinar o raio de
giração do pêndulo físico.
2 SOBRE OS OMBROS DE GIGANTES
A medição do tempo entre os séculos XIV e
XVIII acontecia mediante a observação do
progresso da vazão de massas de água entre
recipientes ou da queima de uma vela graduada
com marcas e, mais tarde, com o uso de
relógios mecânicos baseados no movimento de
engrenagens acopladas a pesos.
Nesse contexto, Galileu Galilei (1564-
1642) jamais teve qualquer dispositivo que
lhe permitisse medir com razoável grau de
precisão a aceleração da gravidade de um
corpo em queda livre, o que não o impediu de
afirmar que ela era a mesma para todos os
corpos e que ela tinha o valor de 4 m/s2.
Contemporâneo de Galileu, o padre Marin
Mersenne (1588-1648) discordou do valor
apresentado por Galileu e calculou que a
aceleração da gravidade era de 8 m/s2
(KOYRE, 1988, apud Silveira, 1995). 
Em 1659, Christiaan Huygens (1629-1695)
refez o último experimento de Mersenne e
encontrou valores entre 9 e 10 m/s2 (KOYRE,
1988, apud Silveira, 1995). Assinalou que,
sem um cronômetro confiável, não poderia
medir com precisão o tempo de queda dos
corpos. Ainda assim, utilizando um pêndulo
de 15,7 cm de comprimento, com 4.464
oscilações de pequena amplitude, ao longo de
uma hora, calculou a aceleração gravitacional
como sendo de aproximadamente 9,5 m/s2.
Isaac Newton (1642-1727), em 1666, ao
comparar a aceleração centrípeta de um
corpo em rotação na superfície terrestre com
a aceleração gravitacional, calculou o seu
valor utilizando um pêndulo cônico,
medindo 2,05 m, com trajetória circular
horizontal e inclinação de 45º (Westfall,
1995, p. 49), e encontrou 10,2 m/s2.
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3 MODELOS MATEMÁTICOS
3.1 Pêndulo simples
Na ausência da força de resistência do ar,
são exercidas sobre a partícula que representa
a massa do pêndulo simples duas forças: a
força gravitacional da Terra - força peso (P) e
a força de tensão da corda (T).
Figura 1 - Representações gráficas do
pêndulo na posição de equilíbrio, com as
indicações das interações fundamentais e
forças atuantes.
 (a) (b) (c)
Fonte: Autor.
Na Fig. 1(a), temos o pêndulo em repouso,
na sua posição mais baixa, em equilíbrio.
Nesse ponto, é nula a aceleração em qualquer
direção. Com a aplicação da 2ª Lei de Newton
na direção vertical, a resultante das forças
sobre a partícula também é nula:
T - P = 0
Considerando somente as interações e
forças da Fig. 1(a), caso o fio não seja
cortado, o sistema não terá o seu estado de
repouso alterado e o pêndulo permanecerá em
repouso, com amparo na 1ª Lei de Newton.
Nas Fig. 1(b) e 1(c), onde todos os corpos
do sistema pêndulo estão isolados e aparecem
indicadas as interações existentes, o ponto de
suspensão, por intermédio do fio do pêndulo,
sustenta-lhe a massa, tracionando-a com T, ao
mesmo tempo em que a massa solicita a força
(-T) ao ponto de suspensão. 
De maneira equivalente, temos a massa da
Terra atraindo a massa do pêndulo com a
força P, ao mesmo tempo em que a massa do
pêndulo exerce atração (-P) em relação à
Terra, atendendo a 3ª Lei de Newton, ou seja,
as forças atuam sempre em pares e para toda
força de ação, existe uma força de reação. 
A posição do pêndulo pode ser descrita por
θ, o ângulo entre o fio e a vertical. 
Figura 2 - Representações gráficas do
pêndulo em movimento, com as indicações
das interações fundamentais e forças atuantes.
 (a) (b)
Fonte: Autor.
Na Fig. 2(a), o pêndulo está em
movimento, deslocado de um ângulo θ, após
ultrapassar o ponto mais baixo da trajetória,
no sentido da direira para esquerda e se
aproximando do ponto de amplitude máxima.
Na Fig. 2(b), o pêndulo está deslocado de um
ângulo θ, após ultrapassar o ponto mais baixo
da trajetória, no sentido da esquerda para a
direira e se aproximando do ponto de
amplitude máxima. Ou seja, as posições
indicadas na Fig. 2 são simétricas entre si,
onde o movimento oscilatório do pêndulo
acontece somente no plano, descrevendo um
arco de circunferência de raio L.
 A força peso pode ser decomposta em
componentes tangencial à trajetória, de
módulo m.g.senθ, e radial, de módulo
m.g.cosθ. 
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A força de tensão T é dirigida radialmente.
A 2ª Lei de Newton, mais uma vez, nos
permite escrever as equações do movimento:
m.ar = - m.L.(dθ/dt)
2 = m.g.cosθ - T (1)
m.at = - m.L.(d
2θ/dt2) = - m.g.senθ (2)
onde:
ar = componente radial da aceleração da
partícula
at = componente tangencial da aceleração da
partícula
(dθ/dt) = velocidade angular (w)
(d2θ/dt2) = aceleração angular (α)
ar = L.(dθ/dt)
2 = L.w2 = v2/L
onde:
v = velocidade tangencial da partícula
v = L.w
at = L.(d
2θ/dt2) = L.α
A equação para a componente tangencial
descreve o movimento do pêndulo simples:
(d2θ/dt2) = - (g/L).senθ = - w2.senθ
Para ângulos medidos em radianos,
valores pequenos de θ permitem senθ ~ θ. E a
equação de movimento fica:
(d2θ/dt2) = - w2.θ (3)
Ou seja, a aceleração angular é
proporcional ao deslocamento angular, o que
caracteriza um movimento oscilatório do tipo
harmônico simples, com solução:
θ (t)= θ0 .cos (w.t + ẟ)
A partir da equação de movimento na
direção radial, é possível calcular o módulo da
força de tensão T como função da posição θ. 
A componente radial da aceleração da
partícula é dirigida radialmente para o centro
da trajetória (para o ponto de fixação do fio) e
possui módulo:
ar =v
2/ L
O valor da velocidade v como função da
posição angular θ pode ser obtido a partir da
solução da eq. (2). Do resultado de v (θ) e
usando-se a eq. (1) obtém-se o módulo da
força de tensão T. 
O ponto mais baixo da trajetória do
pêndulo somente é uma posição de equilíbrio
caso o corpo esteja em repouso.
Verifica-se que a massa m não aparece
na eq. (3), levando-nos a concluir que um
pêndulo não depende de sua massa.
Combinando w2 = g/L e T = 2.π /w :
TS = 2.π.√ L/g (4)
(para pequenas oscilações) 
Concluimos, então, que no movimento do
pêndulo simples, sob pequenas oscilações, as
variáveis significativas são o comprimento do
pêndulo (L) e o valor da aceleração da
gravidade (g), mas não a sua massa.
De acordo com a eq. (4), quanto maior o
comprimento do pêndulo, maior será o
período. O período e a frequência são
independentes da amplitude de oscilação.
3.2 Pêndulo físico
Figura 3 - Elementos do pêndulo físico.
Fonte: Autor.
O pêndulo físico, ao contrário do pêndulo
simples, é um objeto extenso. Oscila em torno
de um ponto P, no eixo de suspensão. Seus
outros pontos notáveis são: centro de
gravidade (G) e centro de oscilação (O). 
O centro de oscilação determina o
comprimento L do pêndulo simples
equivalente, ou seja, de mesmo período do
pêndulo físico considerado.
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θ
 
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Caso coincidam os pontos P e G, o corpo
não oscilará, mas somente girará em torno de P.
Como o objeto extenso de M está girando
em torno de P, a sua equação de movimento é:
τ = I.α I.(d2θ/dt2) = τ 
(d2θ/dt2) = τ/I = - (M.g.h.senθ)/I 
Para ângulos medidos em radianos,
valores pequenos de θ permitem senθ ~ θ. E a
equação de movimento fica:
(d2θ/dt2) = τ/I = - (M.g.h.θ)/I 
Combinando w = √(M.g.h)/I e T = 2.π/w :
TF = 2.π.√ I/(M.g.h) (5)
3.3 Determinação do pêndulo simples
equivalente ao pêndulo físico
Para encontrar o comprimento LS do
pêndulo simples equivalente ao pêndulo físico
LF , igualamos as expressões (4) e (5):
TS = TF 2.π.√ L/g = 2.π.√ I/(M.g.h) 
LS = I/(M.g.h) (6)
Assim, considerando h a distância entre os
pontos P e G, o pêndulo simples de
comprimento L tem o mesmo período do
pêndulo físico que esteja sendo estudado. O
ponto O, localizado a uma distância L do
ponto de suspensão P, sobre a linha que une P
e o centro de gravidade G, é denominado
centro de oscilação do pêndulo físico.
3.4 Raio de giração
Se o momento de inércia de um objeto de
massa M em relação ao centro de gravidade G
é ICG e o tal objeto é usado como pêndulo
físico suspenso por um ponto situado a uma
distância h do centro de gravidade, o Teorema
dos Eixos Paralelos assegura que o momento
de inércia do objeto em relação ao eixo que
passa pelo ponto de suspensão é:
I = ICG  Mh2 
Definindo o raio de giração K como:
K = √ ICG /M
Expressamos o momento de inércia como:
I = MK 2  Mh2 = M.(K 2 h 2) (7)
Combinando as expressões (5) e (7),
obtemos:
TF = 2.π.√ (K 2 h 2)/(g.h) (8)
3.5 Estudo da variação do período com a
distância do ponto de suspensão do
pêndulo ao centro de gravidade
Tendo em vista que h é a distância do
ponto de suspensão do pêndulo ao centro de
gravidade, podemos examinar a variação do
período TF com a distância h, por intermédio
do gráfico TF × h , representado na Fig. 4.
Figura 4 - Período do pêndulo físico
como função da distância do ponto de
suspensão ao centro de gravidade. 
Fonte: UFJF.
No gráfico da Fig. 4, verificam-se dois
ramos simétricos em relação ao centro de
gravidade (CG). Com exceção dos pontos de
período mínimo, há sempre quatro pontos
com o mesmo período de oscilação: dois de
um lado do CG e os outros dois
simetricamente localizados do outro lado. Os
pontos de suspensão P, P', O e O' têm o
mesmo período.
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Os pontos de suspensão K1 e K2,
correspondentes ao ponto com período
mínimo, aparecem simetricamente dispostos
em relação ao CG. Derivando-se o período TF
em relação a h na expressão (8) e igualando
o resultado a zero, a condição de mínimo da
função é obtida nos pontos h = ± K.
O ponto P é o conjugado de O. P' é o
conjugado de O'. As distâncias PO e P'O'
têm o mesmo valor, ambas também iguais a
L, que representa o comprimento do pêndulo
simples equivalente.
Quando o pêndulo físico oscila em torno
do eixo horizontal que passa pelo ponto P,
este ponto recebe o nome de ponto de
suspensão. O ponto O, conjugado de P,
recebe o nome de centro de oscilação. 
Se colocarmos o pêndulo para oscilar em
torno do ponto O, ele vai fazê-lo com o mesmo
período que oscilava quando estava suspenso
pelo ponto P. Nesse caso, O passa a ser o ponto
de suspensão e P, o centro de oscilação.
O centro de oscilação é chamado também
de centro de percussão, porque se o pêndulo
receber uma pancada neste ponto, ele vai girar
em torno do ponto de suspensão P, e o ponto
de suspensão não sentirá nenhuma pancada.
Os cabos de martelos e marretas são
dimensionados de modo que o centro de
percussão O fique localizado na parte
metálica e o ponto de suspensão conjugado P
na empunhadura. Desse modo, não há
vibração no cabo quando o instrumento bate
em um prego ou uma pedra.
4 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
4.1 Considerações iniciais
A atividade reuniu dois experimentos,
pêndulos simples e pêndulo físico, que foram
conduzidos no Laboratório (sala 1303,
CCNE). Iniciada às 10h00, as práticas foram
concluídas às 12h15, no dia 23/08/2018.
Os experimentos em questão, segundo os
recursos materiais disponíveis no Laboratório,
envolveram algumas tarefas simultâneas, que
os faziam impossíveis de serem conduzidos
por um único operador. Diante disso, as
atividades aconteceram sob o regime de
grupos de trabalho, com cinco alunos, cada,
que conduziram a prática e geraram uma
massa de dados única, distribuída
posteriormente localmente aos integrantes, no
âmbito de cada grupo. 
Por outro lado, coube a cada aluno o
processamento dos dados coletados coletivamente
e a produção do seu próprio relatório. 
Os materiais e recursos computacionais
empregados na atividade foram: pêndulo
simples; pêndulo físico; cronômetros digitais
(precisão milimesimal), App smartphone, tipo
cronômetro (precisão centesimal), trena com
5 m (graduada em mm); transferidor;
software SciDAVis.
A preparação prévia para a atividade, a
cargo do autor, deu-se com o estudo do tema
nos livros Fundamentos de Física, Vol. 2, de
Halliday - Resnick, e Física para Cientistas e
Engenheiros, Vol. 1, de Tipler, inclusive com
a preocupação de reunir conhecimentos que
contribuíssem para a melhor realização da
experimentação no Laboratório, observando
o conteúdo das fichas com orientações da
atividade distribuídas pelo Prof. Magnago.
4.2 Pêndulo simples
No Laboratório, encontramos os pêndulos
simples já montados, distribuídos por grupos
de trabalho, nas mesas, juntamente com os
cronômetros. 
Após a inspeção do pêndulo e demais
materiais, levantamento das tarefas e análise das
linhas de ação possíveis para conduzir o
experimento, decidimos por nos organizarmos em
duplas executivas para cada tarefa, a saber: ajuste
do comprimento L do pêndulo e serviços gerais;
cronometragem; anotação e crítica das medições. 
Foi fixado um anteparo de papel branco
A4, com 40 cm de altura (2 folhas coladas),
imediatamente atrás do plano deoscilação do
pêndulo, onde foram riscadas as linhas de
suporte de um ângulo medindo 6º (seis graus),
com vértice no eixo (ponto) de suspensão do
pêndulo. Com isso, foi possível referenciar,
facilmente, a posição do fio do pêndulo em
movimento, a qualquer instante, com claras
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vantagens no acionamento dos cronômetros
para as medições do período de oscilação.
Fruto da preparação teórica prévia, já havia
uma expectativa a respeito dos valores que
surgiriam ao longo do experimento, pois foram
calculados. Nessa condição, além de haver
descartado números desconformes, atuamos
junto aos operadores dos cronômetros para
corrigir-lhes as condutas inadequadas, logo no
início dos trabalhos. Apesar da boa qualidade
dos resultados apurados, pagamos o preço no
aumento do tempo da execução do experimento.
O apoio mútuo e a dupla cronometragem
foram, também, aspectos que contribuíram
para a qualidade das medições.
Sequência das ações (passos) nas medições: 
(1) ajustadores: ajustar o comprimento L (cm)
do pêndulo, conforme a ficha de orientação,
utilizando a trena, medindo do ponto de
suspensão até a marca lateral da massa do
pêndulo, indicativa da posição do CM;
(2) cronometradores: posicionar, com o
auxílio de um tubo de caneta, a massa do
pêndulo na posição indicada pela linha base
da referência do ângulo de 6º (seis graus) e,
ao comando de voz de um dos operadores dos
cronômetros, abandonar a massa e acionar
simultaneamente os cronômetros;
(3) cronometradores: aguardar dez oscilações
completas e, ao comando do mesmo operador
do passo (2), interromper os cronômetros;
(4) registrador: receber as duas medições dos
cronometradores, dividi-las por dez, calcular
a média aritmética entre ambas, comparar a
medição com o valor previamente calculado
(teórico) e, no caso do resultado apresentar
erro superior a 1%, descartar;
(5) registrador: em ligação com os
cronometradores, informá-los se houve ou
não a aceitação da medição e buscar a
possível causa do erro, se houver;
(6) registrador: se o quantidade de medições
aceitas para L alcançou dez, informar o novo
o valor de L aos ajustadores e repetir os
passos (1) a (6) até completar todas as
medições previstas na ficha de orientação;
(7) registrador: fazer cópia das medições e
distribuir aos demais integrantes do grupo de
trabalho; 
(8) todos: encerrar o experimento; processar
dados em casa; elaborar relatório com o
auxílio do SciDAVis.
4.3 Pêndulo físico
A exemplo do que foi anteriormente descrito
para o experimento com o pêndulo simples,
valem integralmente do mesmo modo para a
prática do pêndulo físico as seguintes
observações e procedimentos: pêndulo já
montado no Laboratório; organização e
distribuição das tarefas; instalação de
anteparo branco com marcas para balizar
acionamentos dos cronômetros; cálculo
prévio teórico dos parâmetros, com vista a
expurgar resultados desconformes ainda na
fase da coleta de dados.
Quanto à sequência das ações para as
medições, descritas anteriormente para o
pêndulo simples, valem parcialmente para o
pêndulo físico, com as ressalvas que seguem:
(1) e (6) - ajustar h (cm), distância entre o
eixo de suspensão e o centro de gravidade, ao
invés do comprimento L (cm) do pêndulo;
(2) a (5), (7) e (8) - idem.
Figura 5 - Pêndulos simples e físico.
Fonte: Autor.
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5 DADOS, ANÁLISE E RESULTADOS
5.1 Pêndulo simples
Tabela 1 - Dados experimentais do período do pêndulo simples em função do comprimento
do seu fio, medido para oscilações de 6º na amplitude
L (cm)
Período (s)
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T = T ± σx
20 0,890 0,904 0,898 0,895 0,909 0,906 0,896 0,892 0,891 0,902 0,898 ± 0,007
40 1,274 1,264 1,271 1,272 1,268 1,274 1,269 1,259 1,263 1,268 1,268 ± 0,005
60 1,549 1,563 1,547 1,549 1,553 1,552 1,547 1,563 1,547 1,560 1,553 ± 0,007
80 1,785 1,798 1,797 1,794 1,797 1,797 1,794 1,796 1,792 1,790 1,794 ± 0,004
100 2,006 1,998 1,998 2,005 2,009 2,013 2,014 2,007 2,012 2,009 2,007 ± 0,006
Fonte: Autor.
Na Tabela 1, o desvio padrão (σ) e o erro padrão da média (σx), correspondente a cada um
dos valores de L, com N = 5, foram calculados com: 
 σ
Gráfico 1 - Período (T) do pêndulo simples em função do comprimento do seu fio (L), tipo
linear
Fonte: Autor.
O autor, em algumas passagens deste texto, emprega TS ao referir-se ao pêndulo simples, bem como TF para o
pêndulo físico.
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σσ
x
 
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Tabela 2 - Dados experimentais do período do pêndulo simples em função do comprimento
do seu fio, medidos para oscilações de 6º na amplitude
L (cm) T (s) T2 (s2)
20 0,898 0,807
40 1,268 1,608
60 1,553 2,412
80 1,794 3,218
100 2,007 4,028
Fonte: Autor.
Gráfico 2 - Variável dependente T2 do pêndulo simples em função da variável independente L,
tipo linear
Fonte: Autor.
O ajuste linear do Gráfico 2 com o SciDAVis reportou os seguintes parâmetros:
Regressão linear - Pêndulo Simples, T2 x L, função tipo A*x+B, SciDAVis
B (interceptação em y) = -0,00114203199999987 +/- 0,00331152448179714
A (inclinação) = 0,040265599 +/- 4,9923109955442e-05
Chi^2 = 2,99078028914778e-05 e R^2 = 0,99999538837285
Com o valor da significância (Chi^2) próximo de zero e o da linearidade (R^2) tendendo
a 1 (um), a função foi considerada adequada à linearização e o resultado está aceitável. 
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Assim, os coeficientes angular (A) e linear (B) obtidos da linearização da função são:
A = 0,0403 e B = - 0,0011
A partir da expressão (4), da página 3, escrevemos T2 = f (L):
 
Substituindo A = 0,0403 na expressão anterior, obtemos a aceleração da gravidade do
experimento do pêndulo simples (gPS):
 gPS = 9,796 m/s2
Em 1930, em Estocolmo, Suécia, a International Union of Geodesy and Geophysics (IUGG)
adotou a fórmula internacional da gravidade para o cálculo da aceleração da gravidade local, em
função da latitude e altitude relativa ao nível do mar. Apesar de, atualmente, haver sido substituída
por técnicas e equipamentos de maior precisão, pode e será empregada em nosso experimento:
g (θ,h) (m) = 9,780327.(1 + 0,0053024.sen
2θ - 0,0000058.sen22θ) - 0,000003086.h (9)
Coordenadas geográficas e altura em relação ao nível do mar da cidade de Santa Maria (RS):
latitude = - 29º 41' 03" S (~ 29,68º) ; longitude = 53º 48' 25" O e altitude = 151 m.
Substituindo a latitude e a altitude na expressão (9), obtemos o valor de referência da
aceleração da gravidade para o experimento:
gR = 9,792 m/s
2
Comparando gPS = 9,796 m/s2 com gR = 9,792 m/s
2, encontra-se erro relativo de 0,041%
no valor de gPS, considerado aceitável.
Gráfico 3 - Período (T) do pêndulo simples em função do comprimento do seu fio (L), tipo di-log
 
Fonte: Autor.
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O Gráfico 1 e o Gráfico 3 referem-se às mesmas variáveis: período (T) do pêndulo simples,
que depende do comprimento do seu fio (L). Todavia, enquanto o primeiro foi construído em escalas
lineares, o outro o foi em escalas logarítmicas. 
O ajuste linear do Gráfico 3 com o SciDAVis reportou os seguintes parâmetros:
Regressão linear - Pendulo simples, T x L, função tipo A*x+B, SciDAVis
B (interceptação em y) = 0,6808 +/- 0,0589837265692834
A (inclinação) = 0,01372 +/- 0,000889213135305591
Chi^2 = 0,00948839999999998e R^2 = 0,98755525010427
Com o valor da significância (Chi^2) próximo de zero e o da linearidade (R^2) tendendo
a 1 (um), a função foi considerada adequada à linearização e o resultado está aceitável. 
Para a determinação da função T = f(L), partiremos da expressão (4), na página 3: 
Operando a expressão com logarítmo, em ambos os membros:
Obtemos, Ts = f(L):
Da comparação com y = A.x + B, obtemos:
 A = 1/2 B = log (2.π/√g)
No caso de ser substituido o corpo preso ao fio do pêndulo por outro de massa muito
maior, mantendo inalterado o comprimento do fio, é certo que não haverá qualquer alteração
no período do pêndulo, haja visto que, para pequenas oscilações, depende somente do
comprimento do fio e do valor da aceleração da gravidade local, mas não da massa do corpo,
como aparece na eq. (4): 
 TS = 2.π.√ L/g 
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log T= y log L=x
 
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5.2 Pêndulo físico
Tabela 3 - Dados experimentais do período (T) do pêndulo físico em função da sua distância
do ponto de suspensão ao centro de gravidade (h), medido para oscilações de 6º na amplitude
h (cm) T (s) h2 (cm2) T2h (s2 x cm)
5 2,373 25,000 28,156
10 1,783 100,000 31,791
15 1,544 225,000 35,759
20 1,464 400,000 42,866
25 1,439 625,000 51,768
30 1,448 900,000 62,901
35 1,487 1225,000 77,391
40 1,526 1600,000 93,147
44 1,547 1936,000 105,301
Fonte: Autor.
Gráfico 4 - Período (T) do pêndulo físico em função da sua distância do ponto de suspensão
ao centro de gravidade (h), tipo linear
Fonte: Autor.
Da Seção "3.4 Raio de Giração", página 4, temos que o raio de giração (K) é o valor da
abscissa do ponto de mínimo do "Gráfico 4 - T x h". Inspecionando o gráfico, encontramos:
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 KG = 25 cm
Temos que: 
Combinando as expressões anteriores:
Substituindo L = 90 cm, encontramos: KC = 25,98 cm
Comparando-se o valor do raio de giração calculado (KC) com aquele extraído graficamente
(KG), verifica-se que o erro relativo é de 3,92%. Por mais expressivo que o valor do erro relativo
possa parecer, deve ser considerado que KC = 25 cm, no universo de 9 valores avaliados no
pêndulo físico, é aquele que está mais próximo do ponto de mínimo no "Gráfico 4 - T x h".
Assim, o resultado é satisfatório.
Gráfico 5 - Variável dependente (T2h) do pêndulo físico em função da variável
independente (h2), tipo linear
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Fonte: Autor.
O ajuste linear do Gráfico 5 com o SciDAVis reportou os seguintes parâmetros:
Regressão linear - Pendulo fisico, T2h x h2, função tipo A*x+B, SciDAVis
B (interceptação em y) = 26,9036119373961 +/- 0,365337780689238
A (inclinação) = 0,04078275903403 +/- 0,000360745538978818
Chi^2 = 3,39789293186884 e R^2 = 0,999452594733046
Com o pequeno valor da significância (Chi^2) e o da linearidade (R^2) tendendo a 1 (um),
a função foi considerada adequada à linearização e o resultado está aceitável. 
Para a determinação gráfica do valor da aceleração gravidade com o pêndulo físico,
necessitamos da função: TF
2h = f (h2). Assim:
O que nos leva a: 
Da comparação TF
2h = f (h2) com y = A.x + B, obtemos:
 A = (4.π2/g) (coeficiente angular)
Do ajuste linear do Gráfico 5, página 12, temos que A=0,0408. Fazendo A = 4.π2/g,
obtemos o valor da aceleração da gravidade do experimento do pêndulo físico (gPF):
gPF = 9,676 m/s
2
Comparando gPF = 9,676 m/s2 com gR = 9,792 m/s
2 encontra-se erro relativo de 1,18% no
valor de gPF, considerado aceitável.
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6 CONCLUSÃO
Da análise do Gráfico 1, foi possível
concluir que o período do pêndulo simples
varia com o comprimento do seu fio, ou seja, T
= f(L). Todavia, essa função, pelo formato da
curva, não representava uma função de 1º grau.
Com o exame do Gráfico 2 concluiu-se que
T2 = f(L) era uma função linear. Do seu
coeficiente angular, foi calculado o valor da
aceleração da gravidade local (gPS). Encontrou-
se para o experimento gPS = 9,796 m/s2 , que
comparado com o valor de referência gR =
9,792 m/s2, apresentou um erro relativo de,
somente, 0,041% .
O Gráfico 3, por sua vez, resultou de T =
f(L) diretamente, sem que a variável
dependente devesse ser um potência de 2 para
a função se comportar como uma de 1º grau,
como aconteceu no Gráfico 2. O artifício
empregado foi outro, o de apoiarmos as
variáveis em escalas logarítmicas,
linearizando-as, posteriormente.
O Gráfico 4 proporcionou o estudo da
relação do período (T) do pêndulo físico com
a distância entre o seu ponto de suspensão e o
centro de gravidade (h). Do gráfico, obteve-se
o raio de giração (K) correspondente ao ponto
de mínimo da função T = f(h).
Do Gráfico 5, T2h = f(h2), extraiu-se o valor
da aceleração da gravidade local, gPF = 9,676
m/s2. Comparado com o valor de referência
(gR), encontrou-se um erro relativo de 1,18%,
considerado aceitável.
Para a construção dos gráficos, análise e
ajustes lineares deste relatório, empregou-se,
sem qualquer restrição e com excelentes
resultados, o software SciDAVis.
A título de oportunidade de inovação e
melhoria, a utilização de sensores eletrônicos,
tipo foto-emissor e foto-receptor, traria
grandes benefícios a esse tipo de
experimento, pois diminuiria a contribuição
do erro humano na contagem do tempo,
essência do experimento, sem qualquer
prejuízo à aprendizagem da disciplina. 
Este aluno considera que todos os
objetivos do experimento foram alcançados.
7 REFERÊNCIAS
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert;
WALKER, Jearl. Fundamentos de física.
vol. 2. 8. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2009. 
SILVEIRA, Fernando Lang. Determinando
a aceleração gravitacional. Instituto de
Física, Universidade Federal do Rio
Grande do Sul. Disponível em:
<https://www.researchgate.net/publication/2
37747971_Determinando_a_aceleracao_gravit
acional_1>. Acesso em: 27 set. 2018.
TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene. Física
para Cientistas e Engenheiros. vol. 1. 5. ed.
Rio de Janeiro: LTC, 2006. 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE
FORA. Departamento de Física. Laboratório
de Física II. Pêndulos. Disponível em:
<http://www.ufjf.br/fisica/disciplinas/roteiros
-dos-laboratorios/laboratorio-de-fisica-ii/>.
Acesso em: 26 set. 2018.
WESTFALL, Richard S. A Vida de Isaac
Newton. Rio de Janeiro. Ed. Nova Fronteira,
1995.
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	Paulo Roberto Magnago, Universidade Federal de Santa Maria