tangente ao gráfico de f em (3, f(3)) coincide com o gráfico de f !! Observação. A nossa definição de reta tangente não exige que a reta tangente “...

tangente ao gráfico de f em (3, f(3)) coincide com o gráfico de f !! Observação. A nossa definição de reta tangente não exige que a reta tangente “toque” a curva num único ponto. ■ EXEMPLO 3. r é uma reta que passa por (1, −1) e é tangente ao gráfico de f (x) = x3 − x. Determine r. Solução Supondo que r seja tangente ao gráfico de f em (p, f(p)), a equação de r será y − f(p) = f′(p) (x − p) e, portanto, y − p3 + p = (3p2 − 1) (x − p). O problema, agora, consiste em achar p. Como r passa por (1, −1) (observe: x = 1 ⇒ y = −1) −1 − p3 + p = (3p2 − 1) (1 − p) ou 2p3 − 3p2 = 0 e, assim, p = 0 ou Portanto, a equação de r será ou seja, Pelo ponto (1, −1) passam duas retas que são tangentes ao gráfico de f.

a)
b)
c)