CII_Lista_01

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Cálculo II - Lista de Exerćıcios no¯ 1 - 1o¯ semestre de 2020
1. Expresse o limite como uma integral definida no intervalo dado.
(a) lim
n↔∞
n∑
i=1
xi ln(1+ xi)∆x, [2, 6].
(b) lim
n↔∞
n∑
i=1
√
2xi + xi2∆x, [1, 8].
2. Calcule a integral
∫ 5
−1
(1+3x)dx usando a definição. (Use intervalos de mesmo comprimento
e os pontos da partição sendo os extremos esquerdos dos subintervalos.)
3. Demonstre que 13 + 23 + . . .+ n3 =
n4
4
+
n3
2
+
n2
4
.
4. Calcule a integral
∫ 1
0
x3 dx usando a definição. (Use intervalos de mesmo comprimento e os
pontos da partição sendo os extremos esquerdos dos subintervalos.)
5. Use as propriedades da integral para verificar as desigualdades sem calcular as integrais.
(a) 2 ≤
∫ 1
−1
√
1+ x2 dx ≤
√
2 (b)
√
2π
24
≤
∫π/4
π/6
cos xdx ≤
√
3π
24
6. Escreva como uma integral única na forma
∫b
a
f(x)dx:
∫ 2
−2
f(x)dx+
∫ 5
2
f(x)dx−
∫ 1
−2
f(x)dx
7. Sendo f(x) =
{
3 se x < 3
x se x ≥ 3 , encontre
∫ 5
0
f(x)dx de duas maneiras.
(a) Interpretando-a em termos de área.
(b) Usando as propriedades da integral e o Teorema Fundamental do Cálculo.
8. Calcule a integral interpretando-a em termos de área.
(a)
∫ 3
1
(1+ 2x)dx (b)
∫ 3
−1
(2− x)dx (c)
∫ 2
−2
(1− | x |)dx (d)
∫ 3
0
| 3x− 5 | dx
9. Se f for cont́ınua em [a, b], prove que∣∣∣∣∫b
a
f(x)dx
∣∣∣∣ ≤ ∫b
a
|f(x)|dx.
10. Se
∫ 8
1
f(x)dx = 2, 7 e
∫ 8
6
f(x)dx = 3, 5, encontre
∫ 6
1
f(x)dx.
11. Se
∫ 2
0
g(x)dx = −1,
∫ 5
4
g(x)dx = −2 e
∫ 5
0
g(x)dx = 7, encontre
∫ 4
2
g(x)dx.
12. Seja g a função dada por
∫ x
π
(2 + cos θ)dθ. Encontre g ′(x) de duas maneiras: (a) usando a
parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo, e (b) calculando a integral usando a parte 2
e, então, derivando.
Instituto de Matemática Prof. Celso Cardoso Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
13. Use a parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
(a) g(x) =
∫ x
1
(t2 − 1)20 dt (b) g(u) =
∫u
π
1
1+ t4
dt (c) g(t) =
∫ 4
t
(2+
√
u)6 du
(d) g(x) =
∫ 1
x
2
sen 4t dt (e) g(x) =
∫ x
−1
√
t3 + 1 dt (f) g(x) =
∫ 5x+1
0
1
u2 − 5
du
(g) g(x) =
∫ 0
√
x
sen (t2)dt (h) g(x) =
∫ 0
tg x
dt
1+ t2
(i) g(x) = x
∫ x2
2
sen (t3)dt
(j) g(x) =
∫ x3
√
x
√
t sen t dt (k) g(x) =
∫ 3x
2x
u2 − 1
u2 + 1
du (l) g(x) =
∫ sen x
0
dt√
1− t2
, |x| < π
2
14. Use a parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral, ou explique por
que ela não existe.
(a)
∫ 3
−1
(2x+ 7)dx (b)
∫ 4
0
√
xdx (c)
∫ 1
0
e2xdx (d)
∫ 2
0
x
3
5 dx
(e)
∫ 3
−2
ln 5 dt (f)
∫ 0
5
dx
x+ 1
(g)
∫ 0
−2
dt
t− 2
(h)
∫ 2
1
x
1+ 3x2
dx
(i)
∫ 2
−2
3
t4
dt (j)
∫ 0
−1
s3√
s4 + 9
ds (k)
∫ 2
1
(
x+
1
x
)2
dx (l)
∫ 1
2
0
dx
1− x2
(m)
∫ π
2
0
cos 3xdx (n)
∫ 3
3
√
x5 + 2 dx (o)
∫ e
1
ln xdx (p)
∫π
0
| cos x|dx
(q)
∫−e
−e2
3
x
dx (r)
∫ 3π
2π
cos2 u senu du (s)
∫ π
4
0
tg 2xdx (t)
∫ 1
0
5r
(1+ r2)2
dr
(u)
∫ 6
2
dx
2x
√
ln x
(v)
∫ 2
−1
|x− x2|dx (w)
∫ 2
0
xex dx (x)
∫ 3
4
−3
4
6√
9− 4x2
dx
15. Calcule
∫ 2
−2
f(x)dx, sendo f(x) =
{ √
x+ 2, se −2 ≤ x < 0
4− x2, se 0 ≤ x ≤ 2
16. Calcule a área da região R dada por
(a) R = {(x, y) | x2 ≤ y ≤
√
x} (b) R = {(x, y) | −2 ≤ x ≤ 2 e x− 1 ≤ y ≤ x2}
(c) R = {(x, y) | y = 1/x e x+ y = 3} (d) R = {(x, y) | 1 ≤ x ≤ 5 e 0 ≤ y ≤ ln x}
17. Esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule a sua área.
(a) y = 4x2 e y = x2 + 3 (b) x = 3y, x+ y = 0 e 7x+ 3y = 24
(c) y2 = x e x− 2y = 3 (d) y = 1/x, x = 0, y = 1 e y = 2
(e) y = x4 − x2 e y = 1− x2 (f) y = cos x, y = sec2 x, x = −π/4 e x = π/4
18. Encontre a área da região limitada pelas curvas dadas por dois métodos: (i) integrando com
relação a x e (i) integrando com relação a y.
(a) 4x+ y2 = 0 e y = 2x+ 4
(b) x+ 1 = 2(y− 2)2 e x+ 6y = 7
Instituto de Matemática Prof. Celso Cardoso Universidade Federal de Mato Grosso do Sul