métodos quantitativos

Prévia do material em texto

Métodos Quantitativos Métodos Quantitativos Métodos Quantitativos Métodos Quantitativos 
Aplicados à EngenhariaAplicados à EngenhariaAplicados à EngenhariaAplicados à Engenharia e e e e 
ArquiteturaArquiteturaArquiteturaArquitetura 
Apostila da Disciplina 
 
Ementa: Engenharia Econômica e Financeira; 
Planejamento e Controle da Produção; Introdução à 
Pesquisa Operacional; Análise de Decisão sob Incerteza 
e Risco. 
 
Mestre Marcos Alípio Strutzel 
2017 
 
Todos os direitos reservados ao IBF Pós-Graduação 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS À ENGENHARIA 
 
Marcos Alipio Strutzel 
http://lattes.cnpq.br/1901060316002393 
 
Resumo 
A Engenharia, além de abranger os conceitos de base científica, as técnicas 
desenvolvidas com forte embasamento prático e os conhecimentos 
acumulados ao longo do tempo, possui uma característica muito importante, 
que é a de proporcionar previsões e resultados quantificáveis para as 
empresas que se utilizam do trabalho dos engenheiros. 
Neste artigo veremos conceitos e aspectos fundamentais que se constituem 
em métodos para quantificar recursos, processos ou saídas de processos em 
empresas em que a Engenharia é utilizada, e teremos também uma visão 
prática, de maneira a embasar seu uso e aplicação pelos atuais e futuros 
profissionais, nas diversas situações e desafios que irão encontrar. 
 
Palavras-chave 
Engenharia econômica; Planejamento da produção; Pesquisa operacional; 
Decisão; Risco. 
 
 
Introdução 
 
Os responsáveis pelas empresas de sucesso têm desenvolvido e aperfeiçoado 
o conceito e a prática de não mais considerar qualquer aplicação de recursos 
como um gasto, mas como um investimento. 
Isto abrange não somente os recursos financeiros, mas também os recursos 
humanos, físicos, de espaço, tempo e tecnologias, lembrando que, para uma 
organização privada ou pública, todas estas formas de recursos podem ser 
traduzidas também em recursos financeiros e, como tal, podem (e devem) 
proporcionar um retorno que compense cada investimento. 
Em muitas situações, a formação e a experiência profissional não são 
suficientes para servir de fonte de informação para uma tomada de decisão 
quanto aos investimentos necessários para que a empresa continue a ter 
sucesso. Assim, os gestores mais sensatos recorrem aos métodos 
quantitativos para trabalhar com dados e obter informações que sirvam de 
suporte apropriado à tomada de decisão sobre esses investimentos. 
Estudaremos agora técnicas importantes para analisar dados e gerar 
informações confiáveis que sirvam como base para se tomar decisões, com 
grande probabilidade de acerto e sucesso. 
 
1. Engenharia Econômica e Financeira 
 
1.1. Origem e Base conceitual 
 
Esta área específica do conhecimento tem originalmente o objetivo de trazer 
suporte à tomada de decisões na aquisição e na disposição de bens de capital. 
Ela surgiu na indústria, como um meio de tratar problemas de natureza técnica, 
como aqueles ligados a investimentos em máquinas e outros meios de 
produção, porém, pelo fato dos métodos aqui empregados serem gerais, a sua 
aplicação se estendeu a outros campos além da Engenharia. 
Assim, verifica-se que grande parte das questões relativas àaplicação de 
capital está baseada em argumentos e justificativas técnicas, próprias da 
Engenharia, e que na prática as decisões são tomadas tanto por engenheiros 
quanto por administradores, sendo que estes se baseiam em informações e 
recomendações de engenheiros. 
 
1.2. Formas de Aplicação 
 
A utilidade da Engenharia Econômica e Financeira fica evidente nas situações 
em que se tem um problema de investimento a resolver, ou uma tarefa a ser 
executada. Em qualquer estudo que se faça, convém identificar inicialmente o 
problema ou tarefa. Isto pode parecer algo trivial ou até inútil, no entanto, trata-
se de um ponto crucial, já que esta definição é o que deverá orientar todo o 
restante do processo, e irá indicar o sucesso ou fracasso das atividades 
realizadas. Vale a pena aqui lembrar uma das proposições feitas por Hammond 
(2004): “É melhor ter uma solução razoável para o problema certo do que uma 
solução brilhante para o problema errado”. 
Uma vez identificado o problema, passa-se à fase de solução. Com o uso de 
lógica, raciocínio e experiência, pode-se identificar algumas ou diversas 
soluções possíveis, cada uma das quais se constitui em uma alternativa. 
Estas alternativas passam por uma avaliação para se determinar as suas 
vantagens e desvantagens, os custos envolvidos e o retorno previsto, bem 
como o grau de eficácia de cada uma delas em atingir o objetivo estabelecido 
inicialmente. 
Nesta fase, o maior valor do trabalho a ser feito consiste em: 
a) fazer uma relação das alternativas; 
b) verificar a viabilidade técnica das mesmas; 
c) definir em que grau as alternativas são eficazes na solução do problema ou 
execução da tarefa; 
d) estudar as vantagens e desvantagens de cada alternativa e traduzi-las em 
termos financeiros (dinheiro), visualizando principalmente o futuro, já que 
raramente algum fato do passado pode ser modificado ou retificado; 
e) estabelecer uma forma de comparar essas alternativas e de critérios de 
decisão, tal como o custo relativo a cada uma delas, ou o lucro a ser obtido 
caso sejam implementadas, antes da escolha de uma delas. 
É importante lembrar que o trabalho consiste basicamente em expressar as 
diferenças entre as alternativas em termos de dinheiro. As eventuais diferenças 
existentes em termos estritamente técnicos, operacionais ou de outra natureza 
também devem ser considerados, porém não dentro desta análise. 
 
1.3. Estudo e Avaliação das Alternativas 
 
Antes de qualquer outra consideração, convém salientar que a decisão a favor 
de uma alternativa deve ser o resultado de uma análise racional e cuidadosa, 
isto é, independente de “vícios” ou “armadilhas” que possam induzir à escolha 
de alternativas mais fracas, como, por exemplo, fazer uso exclusivo da intuição 
pessoal, ceder a decisões preconcebidas, a preconceitos, ou outros. 
Um exemplo é o manuseio e movimentação de produtos em um ambiente de 
produção, no qual, aparentemente, o meio utilizado mais “moderno” seria uma 
esteira transportadora. No entanto, caso a quantidade, a distância e o peso dos 
produtos sejam pequenos, o transporte manual, mesmo sendo o mais simples, 
pode ser mais vantajoso que outra solução tecnologicamente mais atraente. 
Em um país em desenvolvimento como o Brasil, é comum a pesquisa de 
soluções tomadas em outros países e em grandes corporações para problemas 
similares aos que encontramos em nossas organizações. Isto é altamente 
didático e recomendável, mas nem sempre as alternativas escolhidas em 
outros contextos são as mais indicadas em nosso contexto. Só um estudo de 
engenharia econômica irá justificar a solução mais apropriada para cada 
organização e para cada problema. 
Na avaliação das vantagens e desvantagens, como vimos, é sempre 
necessário traduzir os valores técnicos e operacionais em uma unidade de 
medida comum a todos eles, que é o valor monetário. Isto exige do engenheiro 
ou administrador o conhecimento técnico do problema ou tarefa, o cuidado de 
coletar e analisar dados confiáveis, a análise correta desses dados e o trabalho 
de traduzir os diversos fatores em dinheiro. É comum encontrarmos a 
necessidade de analisar fatores como: 
-Preço do equipamento 
- Consumo de energia / combustível 
- Mão de obra associada 
- Custos de manutenção corretiva e preventiva 
- Percentual de refugos gerados 
- Dados de mercado e receitas geradas pelas vendas, e outros. 
Logicamente, uma comparação não precisa ser completa, ou seja, não 
necessariamente deve abranger todos os fatores, mas apenas aqueles fatores 
que sejamdiferentes, ou que tenham um grau de influência diferente sobre 
cada alternativa. Assim, os fatores que sejam igualmente aplicáveis às 
alternativas consideradas podem ser desprezados no estudo. São exemplos 
destes fatores comuns: iluminação da fábrica, mão de obra indireta, custos de 
supervisão e gestão, softwares instalados de uso comum, etc. 
É importante considerarmos um exemplo prático do estudo das vantagens e 
desvantagens futuras, para consolidar este estudo. Pode-se considerar, por 
exemplo, a decisão já tomada pelo gestor de uma empresa de comprar um 
equipamento usado, porém em perfeito estado, no valor de R$ 350.000,00, ao 
invés de um equipamento novo cujo preço estava na faixa de R$ 520.000,00. 
Ótimo! Mas, após fechar a compra e efetuar o pagamento inicial, umsinal de 
10% do valor, ou sejaR$ 35.000,00, a descoberta de um outro equipamento 
idêntico à venda pelo preço de R$ 270.000,00, levouo gestor ao dilema entre: 
a) perder o pagamento inicial já feito e efetuar a compra do segundo 
equipamento, ou 
b) manter a decisão inicial de compra e completar o pagamento, “salvando” 
o valor do sinal já pago. 
Raciocinando de maneira lógica, convém desistir da compra já iniciada e 
adquirir o segundo equipamento encontrado, economizando-se R$ 45.000,00. 
O fato passado de já ter pago o valor do sinal já não pode ser modificado. 
 
1.4. Quantificação 
 
As vantagens e desvantagens ligadas às alternativas em foco devem, como 
afirmado, ser comparadas. No entanto, como os tempos de investimento, de 
retorno, de empréstimo, de realização de lucro, e outros, são diferentes, é 
necessário tornar esses valores confrontáveis. Isto é obtido ao se recalcular os 
valores envolvidos com base em um mesmo momento, em geral no futuro, a 
fim de eliminar os efeitos dos juros envolvidos, da inflação, e outros,e 
colocando-se esses valores em uma representação do fluxo de caixa, que é o 
movimento de entrada e saída de dinheiro do caixa da empresa. 
Em um estudo econômico, as alternativas são representadas por fluxos de 
caixa, isto é, por um modelo de investimento que é visto ao longo do tempo e 
demonstra os valores monetários de entrada e de saída do caixa da empresa 
juntamente com as datas em que elas ocorrem. E por se tratar de um estudo, 
as datas estão no futuro e elas se estendem por um tempo compatível com a 
proposta de investimento que se está considerando. 
Podemos ver isto através de um exemplo prático: Uma empresa necessita 
adquirir um equipamento industrial e tem duas opções, A e B, como segue: 
Opção A: Preço igual a R$ 1.000.000,00, com gastos anuais de manutenção, 
mão de obra, energia e outros iguais a R$ 100.000,00, e com vida prevista de 
oito anos, sem valor residual ao final dessa vida (não será vendável). 
Opção B: Preço igual a R$ 800.000,00, comgastos anuais iguais a R$ 
100.000,00, com vida prevista de seis anos, e com valor residual R$ 
100.000,00. Em ambos os casos, a taxa de atratividade é 10% ao ano 
Os fluxos de caixa são representados graficamente através de uma linha do 
tempo acompanhada de setas orientadas para baixo, no caso das saídas 
financeiras do caixa da empresa, ou setas para cima, no caso das entradas. 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
 
 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 
 
 
 
Fonte: elaborado pelo próprio autor 
Qual será a operação mais vantajosa? Pelo método mais adotado, que é 
chamado Método do Valor Atual, as duas alternativas são comparadas através 
do cálculo dos valores a serem dispendidos no futuro e valorizando os juros, 
impostos e, quando aplicável, correções de câmbio. 
Opção A 
Opção B 
R$1.000.000,00 
R$100.000,0
R$100.000,00 
R$800.000,00 
R$100.000,0
Outro método bastante adotado é aquele do Método do Custo Anual, em que a 
comparação entre as alternativas de investimento é feita reduzindo-se o fluxo 
de caixa a uma série uniforme equivalente e adotando-se a taxa mínima de 
atratividade. Esta taxa é considerada como a menor taxa aceitável para o 
investimento e pode ser compreendida da seguinte forma: se, ao invés de 
aplicar R$ 800.000,00 na produção de um item, a empresa aplicar essa 
quantia, por exemplo, em letras de câmbio que garantam uma rentabilidade de 
1,42% ao mês, a proposta de investimento só será atrativa, em termos 
técnicos, se proporcionar à empresa um rendimento maior que essa taxa,que é 
considerada a taxa mínima de atratividade. 
Há ainda um outro método empregado neste tipo de análise, mais simples, 
denominado Método da Taxa de Retorno, segundo o qual é feita a avaliação da 
taxa de retorno de um investimento, isto é, a taxa que anula o valor atual do 
investimento e é entendida agora como a taxa mínima de atratividade. Se a 
empresa, ao realizar um investimento, obtiver uma taxa de retorno superior a 
essa taxa mínima, então esse investimento será atrativo. 
 
 
2. Planejamento e Controle da Produção 
 
2.1. Conceitos 
 
O planejamento e controle da produção é a área de atividades que tem o 
objetivo de fazer a conciliação e balanceamento entre a demanda criada ou 
prevista pela área comercial e o abastecimento necessário e suficiente para o 
atendimento dessa demanda. 
A demanda é formada pelo que o mercado necessita, ou pelo que a área de 
Vendas, Marketing, ou a própria Diretoria da empresa estabelece como meta 
de vendas, estando ligada, portanto, à entrega esperada e ao faturamento 
previsto. Já o planejamento e controle da produção reúne as providências e 
processos que garantam a eficácia no atendimento da demanda, com a melhor 
eficiência possível, ou seja, trata da forma como a empresa se organiza. 
Segundo Slack, Chambers e Johnston (2009), a distinção entre planejamento e 
controle não é clara, nem na teoria e nem na prática, mas indica que há alguns 
detalhes que diferenciam esses conceitos. O planejamento consiste na 
formalização do que se pretende fazer ou atingir, embora se reconheça que 
isso pode não ser conseguido devido a diversos fatores que normalmente 
influenciam o resultado final. Por sua vez, o controle focaliza a atenção nesses 
fatores e nas variações que eles causam de fato, e ativa processos de 
adaptação do planejamento inicialmente feito. 
Exemplos de fatores são de origem interna, tais como a quebra de máquinas e 
faltas do pessoal, ou de origem externa, tais como falhas de fornecedores, falta 
de energia e outros. O controle operacionaliza o ajuste das condições para que 
o plano elaborado seja cumprido. 
 
2.2. Planejamento e Controle na Prática 
 
O planejamento é sujeito ao tipo mercado que a empresa atende, ao tipo de 
produto que ela fornece e à sistemática de trabalho da própria empresa e, 
portanto, pode abranger até três formas de planejamento: de curto prazo, 
médio prazo e de longo prazo. 
A curto prazo, o planejamento cuida das demandas imediatas e corrige os 
desvios que surgem nas rotinas da produção. A médio prazo, o planejamento 
define os recursos de pessoal, materiais e financeiros, para que não faltem no 
momento da operacionalização. A longo prazo o planejamento define previsões 
e objetivos gerais e atende às diretrizes da empresa. 
Curto prazo: 
 
Médio prazo: 
 
Longo prazo: 
 
Fabricar o lote de 
produto na máquina B 
em vez de utilizar a 
máquina A, a qual 
apresentou problemas. 
 
Priorizar a fabricação do 
produto Y e aumentar 
seu estoque em vez do 
produto X, cujas vendas 
estão em declínio há 2 
meses. 
 
Reduzir os estoques de 
modo geral de 45 dias 
de venda para 30 dias 
devido à crise e à queda 
nas vendas do 
segmento de mercado. 
 
Nessa visão do planejamento quanto aos prazos, convém estar sempre atento 
às mudanças que podem surgir quanto a um dos focos, e às adequações que 
serão necessáriascaso elas aconteçam, pois, a alteração de um item de longo 
prazo pode afetar os de médio e curto prazo e vice-versa. 
 
2.3. Ordenação 
 
A atividade de planejamento e controle abrange sub-atividades que, embora 
estejam bastante interligadas, podem ser vistas separadamente, ao menos 
para fins de estudo. 
Uma vez que o planejamento já determinou o volume (quantidades) e o tempo 
(datas) para atender uma ou mais demandas, o planejamento e controle deve 
estabelecer: 
a) A ordem a ser obedecida na produção dos itens, que é o 
sequenciamento.Este aspecto do planejamento segue, em geral, o critério 
da data prometida para a entrega. No entanto, dependendo da empresa ou 
da situação momentânea pela qual ela está passando, este critério pode 
ser considerado juntamente com outros critérios, tais como: 
- PEPS-primeiro que entra/primeiro que sai, que visa atender 
primeiramente as ordens de serviço que foram emitidas antes; 
- UEPS-último a entrar/primeiro a sair, que visa adequar atividades em que 
há apenas uma porta para movimentação de materiais, que é uma 
situação rara nas indústrias, porém comum na atividade de transporte; 
- TLP-tarefas longas primeiro, que orienta a fila de entrada de itens a serem 
produzidos conforme a sua duração, em ordem decrescente; esta opção 
permite economia de tempo inicial por reduzir os tempos de preparo 
para cada operação, embora não leve em consideração a flexibilidade 
de entrega, rapidez no atendimento ou custo total; 
- TCP-tarefas curtas primeiro, que orienta a fila de entrada de itens a serem 
produzidos conforme a sua duração, em ordem crescente; esta opção 
permite rapidez de entrega a parte dos clientes, embora possa retardar o 
atendimento a outros, e também não considera a flexibilidade de entrega 
ou o custo total para a empresa; 
b) As datas, turnos e horários precisos em que cada item deve entrar em 
produção, que é a programação. Este aspecto do planejamento define o 
início e o fim das atividades de produção e pode ser detalhado para cada 
máquina ou linha de produção ou para cada setor, de acordo com a prática 
de cada empresa. Aqui são consideradas as limitações de cada fase do 
processo e as alternativas de programação. Por vezes, a programação 
atinge um nível de complexidade bem alto, que se pode avaliar quando há, 
por exemplo, quatro atividades a executar, em qualquer ordem. Neste 
caso, o total das possibilidades de programação é dado pelo fatorial de 4, 
isto é: No = 4 x 3 x 2 = 24 possibilidades, para apenas quatro itens; 
c) As quantidades específicas a serem produzidas, que é o carregamento. 
Este aspecto está ligado não à capacidade de projeto da máquina, mas sim 
à sua capacidade efetiva, que é a capacidade de projeto reduzida pelas 
limitações existentes, que, em geral, são de ordem técnica ou 
administrativa. Assim, se uma máquina está predisposta a trabalhar sete 
dias por semana, vinte e quatro horas por dia, sua capacidade de projeto 
pode ser medida em termos de horas disponíveis, que, neste caso são 
168h. Porém, essa capacidade será limitada pelos tempos de troca de 
turno do pessoal, troca de programas de produção e preparo da máquina, 
inspeção e manutenção preventiva, os quais são tempos já previstos sem 
produção. Aqui convém mencionar que os tempos não previstos não 
devem ser computados. É o caso dos tempos sem produção devidos a falta 
de material, faltas e atrasos de pessoal, falta de energia, falha de 
programação, manutenção corretiva devida a quebras, inadequação de 
materiais, e outros. Estes tempos são considerados desperdícios e 
reduzem a capacidade real obtida da máquina, originandoos conceitos de 
utilização e de eficiência dela obtida. Pode-se identificar melhor esses 
conceitos através das seguintes expressões: 
Vol. de produção real 
Utilização = -------------------------------------- 
Capacidade de projeto 
 
 
Vol. de produção real 
Eficiência = ----------------------------------- 
Capacidade efetiva 
 
Para termos um exemplo numérico, pode-se considerar que um centro de 
usinagem esteja disponível todos os dias da semana (capacidade de 
projeto = 168h) e tenha limitações técnicas de operação igual a 8,4h 
semanais. Se o tipo de produto fabricado impõe perdas que, traduzidas em 
horas de trabalho, somam 5,376h semanais, em média, conclui-se: 
Vol. de produção real 168 – 8,4 – 5,376 
Utilização = ------------------------------ = ---------------------- = 0,918 (ou 91,8%) 
Capacidade de projeto 168 
 
 
Vol. de produção real168 – 8,4 – 5,376 
Eficiência = -----------------------------=----------------------- =0,966 (96,6%) 
Capacidade efetiva 168 – 8,4 
 
d) O monitoramento dos resultados e averiguação do grau de atendimento ao 
planejamento feito, que é o controle. Este aspecto está ligado à operação 
de fato e execução dos processos planejados seguidos da averiguação do 
grau de aderência das saídas desses processos aos volumes e tempos 
planejados. Nos casos em que ocorrem desvios, o planejamento é refeito e 
depois colocado em prática, exercendo-se novamente o controle. A cada 
desvio, um novo replanejamento é feito, iterativamente, consistindo de 
ajustes necessários ao desenvolvimento dos processos. Sempre que o 
cliente é, ou pode vir a ser afetado, a área comercial deve ser notificada, a 
fim de que possa atualizá-lo e, se necessário, revisar as condições 
contratuais da venda efetuada, em termos de quantidades, prazos de 
entrega e, eventualmente, preços e condições de pagamento. 
Para finalizar, convém destacar que o planejamento e controle pode assumir 
duas configurações distintas, na linguagem usual: o modo empurrado e o 
modo puxado. 
O modo empurrado se configura quando, numa série de fases encadeadas, os 
materiais são passados para a fase seguinte logo após terminar a fase 
presente. Nesta configuração, é muito fácil e comum encontrar materiais 
parados entre as fases, formando estoques ou pulmões intermediários, os 
quais têm um custo geralmente não previsto e nocivo à saúde financeira da 
empresa como um todo. 
Já o modo puxado se configura quando os materiais são requisitados pela fase 
seguinte, gerando demandas internas instantâneas. Nesta configuração, o 
sistema produtivo apresenta pouca tendência a formar acúmulo de materiais 
entre as fases, o que torna o processo mais “enxuto” e com maior economia de 
recursos financeiros. Este modo de operação requer maior confiabilidade, tanto 
por parte dos fornecedores externos quanto por parte de cada fase de 
produção perante a fase seguinte. Como apoio a este modo de operação, 
muitas empresas adotam técnicas de produção baseadas no Kanban, no JIT – 
Just in Timeou no Lean Manufacturing (Fabricação Enxuta). 
Embora seja desejável, nem sempre a empresa consegue trabalhar no modo 
puxado, devido a contingências externas. Mas, qualquer que seja o modo 
adotado, o planejamento e controle é muito importante para que ela consiga 
atingir um certo equilíbrio entre a demanda e a capacidade efetiva. Esse 
equilíbrio serve para evitar acúmulos (especialmente em tempos de demanda 
reduzida) ou escassez e filas (em tempos de demanda aumentada). 
Os acúmulos, como já mencionado, geram custos financeiros e a escassez e 
filas geram espera por parte dos clientes, e ambas as situações são bastante 
indesejáveis, o que ressalta a importância de um planejamento e controle 
apropriado em qualquer empresa. 
 
 
3. Introdução à Pesquisa Operacional 
 
3.1 Conceitos 
 
Segundo descreve Silva et al. (2010), a Pesquisa Operacional (PO) teve sua 
origem na área militar, durante a Segunda Guerra Mundial, quando a Grã-
Bretanha precisava resolver problemas de abastecimento e logística 
operacional. Após esse tempo, essa técnica foi adotada por outras áreas, em 
especial a indústria, sendo considerada hoje comouma ciência aplicada que 
utiliza técnicas para tratar problemas associados à condução de operações ou 
atividades numa organização, procurando a melhor solução através de um 
enfoque sistêmico. 
Ao contrário dos exemplos geralmente descritos em artigos e livros, os 
problemas reais de uma empresa surgem de um modo vago e impreciso e isto 
requer do Engenheiro a capacidade de perceber, assimilar e sistematizar as 
novas situações, ou seja, de identificar o problema e formalizar um modelo de 
atuação apropriado. Esse modelo se constitui em uma representação 
simplificada da situação, todavia deve ser suficiente para identificar as 
variáveis, as relações entre elas, os dados disponíveis e as possíveis 
alternativas de solução. 
Ainda conforme Silva et al. (2010)é impossível construir um manual de 
instruções para a elaboração de modelos, mas é possível compreender que 
eles possuem as características de ajudar efetivamente na análise do problema 
e permitir a aplicação de alternativas de ação sem interromper o andamento do 
sistema ou processo em estudo, o que é uma grande vantagem na grande 
maioria das empresas, que não conseguem parar a operação para realizar 
estudos. 
A Pesquisa Operacional (PO) engloba um conjunto de técnicas direcionadas a 
problemas complexos voltados para a tomada de decisões em empresas e o 
seu ponto chave reside na construção de modelos matemáticos a partir dos 
quais, escolhe-se uma técnica adequada para resolução. 
São exemplos de problemas onde a PO se mostra bastante eficaz: 
• Determinação de custo mínimo para produção de itens que partem de 
uma base comum de componentes; 
• Maximização de lucros entre vários investimentos possíveis; 
• Maximização de utilização de equipamentos na produção de itens; 
• Redução de desperdícios de produtos; 
• Problemas de corte otimizado de um material (rolo de tecido, grande 
bloco de espuma, etc.) em pequenos componentes; 
• Empacotamento de mercadorias; 
• Transporte entre fábricas e centros de distribuição em rotas mais rápidas 
e menos custosas de veículos, e outros. 
Importante:A PO pode ser aplicada a problemas onde é necessário 
especificar,de forma quantitativa, a condução e a coordenação das operações 
ou atividades dentro de uma organização cuja natureza pode ser financeira, 
industrial,militar, governamental, comercial, de serviços, etc. 
 
3.2 Métodos e Atividades 
 
O tipo e a complexidade do modelo matemático de PO são os responsáveis por 
determinar o método de solução.O desenvolvimento metodológico mais 
importante do período pós-guerra foi o Método Simplex, por George Dantzig, 
em 1947, que foi desenvolvido para a resolução de problemas de Programação 
Linear, isto é, de problemas de planejamento nos quais são utilizados modelos 
de otimização lineares, que veremos mais adiante. 
Uma técnica adotada é a programação linear que é aplicada a modelos cujas 
funções objetivo e restrições são lineares. Outras técnicas são: programação 
inteira, programação dinâmica, otimização em redes, programação não 
linear,programação multi-objectivo e teoria de jogos. Uma peculiaridade das 
técnicas de PO é que a maioria delas obtêm soluções através de algoritmos. 
Um fluxograma das atividades envolvidas na aplicação da PO é o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fluxo esquematizado de aplicação da Pesquisa Operacional em uma empresa 
Fonte: o autor 
 
3.3 Conceitos Básicos 
 
Os modelos de PO são elaborados para “otimizar”um critério objetivo 
específico sujeito a um conjunto de restrições. 
A qualidade da solução resultante depende de quanto o modelo representa o 
sistema real, ou seja, do grau de aderência à realidade que a empresa vive. 
Uma solução é viável se satisfazer todas as restrições do modelo. 
Uma solução é ótima se, além de ser viável,resultar no melhor valor (máximo 
ou mínimo, conforme o caso) para o modelo especificado. 
Segundo Ravidran, Phillips, e Solberge (2007),alguns passos são necessários 
para que a utilização da Pesquisa Operacional apresente resultados mais 
consistentes com o que se pretende. De um modo simples, pode-se resumir 
esses passos da seguinte forma: 
Passo Fundamental: Ouvir aquele que lida com o problema real. Isto tem o 
objetivo de compreender o problema e saber exatamente o que precisa ser 
resolvido 
Problema 
constatado na 
empresa 
 
Validação do modelo 
nas condições da 
empresa 
 
Elaboração de 
modelo 
Matemático 
 
Solução do modelo 
matemático 
escolhido 
 
Desenvolvimento 
de hipóteses 
simplificadoras 
Escolha do 
método de 
solução 
Soluções aceitáveis 
e Solução ótima 
para o... 
 
Passo 1: Descobrir o que deve ser determinado, quais são as variáveis do 
problema e influenciam os resultados do processo ou operação. 
Passo 2: Descobrir o que está disponível, quais são os dados do problema. Isto 
visa conhecer as informações necessárias para a tomada de decisão em 
relação ao problema enfrentado e saber se são suficientes para tal. 
Passo 3: Reproduzir os caminhos que levam a uma solução, que consiste em 
elaborar as equações que representam as condições, restrições e também os 
objetivos específicos a serem atingidos. 
 
3.4 Fases para Implementação da PO 
3.4.1. Definição do Problema 
Nesta fase o indivíduo ou grupo responsável define o escopo do problema sob 
investigação. A meta é identificar os três elementos primordiais do problema: 
determinação do objetivo do estudo, descrição das alternativas de decisão e 
especificação das limitações do sistema. 
3.4.2. Construção do Modelo 
A construção de um modelo começa pela adoção de uma notação apropriada 
para as principais quantidades presentes na definição do problema. É comum 
denotar por x1, x2, ..., xn as “n” quantidades variáveis do problema a serem 
manipuladas pelo modelo. Estas são chamadas de variáveis de decisão. 
O passo seguinte é redefinir matematicamente o problema por meio de 
fórmulas, relações matemáticas ou proposições. Ao final, uma fórmula 
denominada de função objetivo é construída e utilizada para descrever como 
o objetivo do problema é influenciado pelos valores das variáveis de decisão. 
Em geral são empregadas relações matemáticas envolvendo os símbolos "=", 
“<", “>" e proposições gerais para descrever as eventuais restrições existentes 
para a escolha de valores para as variáveis de decisão. 
Os modelos matemáticos normalmente adotados para problemas de 
planejamento são prescritivos.A prescrição quase sempre é otimizar a função 
objetivo que está sujeita às restrições, sendo que otimizar pode significar quase 
sempre minimizar ou maximizar, isto é, determinar os valores das variáveis 
de decisão que conduzem ao menor ou maior valor para a função objetivo. 
Um modelo sintético, prescritivo, para o problema de decisão seria: 
- Otimizar... (função objetivo) 
- Sujeito a... (Restrições) 
3.4.3. Solução do Modelo 
Em geral, utilizam-se vetores do tipo x = (x1, x2, ..., xn) de variáveis de decisão 
para representar as possíveis soluções para o problema de otimização. 
Uma solução é viável se satisfaz todas as restrições do problema. Uma solução 
é ótima se produz o menor (ou maior) valor para a função objetivo descrita. 
Um método é exato quando é capaz de gerar uma solução ótima x* = (x*1, 
x*2,..., x*n) para o problema identificado. 
3.4.4. Validação do Modelo 
Nesta etapa do processo, procura-se verificar se o modelo adotado e a solução 
obtida por meio dele são compatível com a realidade do problema. Se todas as 
características relevantes do problema tiverem sido levadas em conta na 
modelagem, a solução obtida será implementável.Caso contrário, um novo 
ciclo de modelagem e obtenção de solução deverá ser desenvolvido. 
Um método comum para verificar a validade de um modelo é comparar seus 
resultadoscom dados históricos existentes na empresa e constatar a eficácia 
desse modelo em demonstrar a melhoria desejada. 
Um outro método é usar, quando possível, uma simulação como ferramenta 
independente para verificar os resultados do modelo matemático, antes da sua 
implementação prática. 
3.4.5. Implementação da Solução 
Nesta fase, o indivíduo ou grupo responsável deve se empenhar em 
transformar a solução obtida a partir do modelo em um conjunto de instruções 
que seja compreensível na linguagem operacional usada pelos administradores 
e usuários do sistema, a fim de que o experimento que se seguirá possa ser 
conduzido em condições práticas e “reais” e de acordo com os demais 
procedimentos adotados pela empresa. 
3.4.6. Exemplo de Solução 
Nota-se não somente na maior parte da literatura sobre PO como na prática 
das empresas que a melhor forma de entender e aplicar os conceitos 
envolvidos e o cálculo a ela associado tem sido através de exemplos práticos. 
Neste sentido, pode-se considerar uma fábrica de geladeiras que precisa 
decidir quais geladeiras irá produzir em sua nova fábrica e precisa se adequar 
para obter o maior lucro possível. Os dados disponíveis são (adaptado de 
ARENALES et. al. 2007): 
• A empresa possui dois modelos de geladeira possíveis: básico e luxo. 
• O Departamento de Vendas efetuou um estudo recente e determinou que, 
na atual situação do mercado, podem ser vendidas, no máximo, 6000 
unidades do modelo básico e1500 unidades do modelo luxo, por mês. 
• O Departamento de Produção informou que dispõe de uma força de 
trabalho igual a 25000 homens-hora de trabalho por mês; 
• O Departamento de PCP informou que, para produzir cada unidade, o 
modelo básico requer 8 homens-hora, enquanto o modelo luxo requer 10 
homens-hora de trabalho. 
• A capacidade total da linha de montagem é de 4500 geladeiras por mês, 
uma vez que os dois modelos irão dividir a mesma linha; 
• O Departamento de Custos informou que o lucro unitário do modelo 
básico será R$50,00, enquanto o do modelo luxo será R$100,00 durante 
o mês. 
Neste caso, o objetivo do estudo é determinar quanto produzir de cada 
geladeira, de modo a satisfazer todas as restrições e maximizar o lucro da 
empresa e as variáveis que se deve considerar para tomar essa decisão são: 
x1 = quantidade de geladeiras do modelo luxo a ser produzida por mês. 
x2 = quantidade de geladeiras do modelo básico a ser produzida por mês. 
Com estes dados, pode-se montar o modelo matemático para o problema: 
0 ≤ x1 ≤1500 (quantidade máxima de unidades de luxo a serem vendidas) 
0 ≤ x2 ≤ 6000 (quantidade máxima de unidades básicas a serem vendidas) 
10x1 + 8x2 ≤ 25000 (condição para o uso da força de trabalho 
x1 + x2 ≤ 4500 (condição para a quantidade máxima de unidades a produzir) 
max f (x1, x2) = 100x1 + 50x2 (condição para se obter o lucro máximo) 
A compreensão do modelo fica bastante facilitada se o mesmo for mostrado 
graficamente, como segue: 
a) Modelos de produtos possíveis: 
x2 
6000 
 x2 = quantidade de unidades de luxo/mês 
 
 x1 = quantidade de unidades básicas/mês 
0 ≤ x1 ≤1500 
0 ≤ x2 ≤ 6000 
 
 1500 A área delimita a condição “modelo de produto” 
 x1 
 
b) Capacidade produtiva da fábrica: 
x2 
6000 
 
4500 
 
 x1 +x2 ≤ 4500 
 
 A nova área delimita a nova condição “capacidade 
produtiva” 
 
 1500 4500 
 x1 
 
c) Disponibilidade de mão de obra da fábrica: 
x2 
6000 
 
4500 
 
 10x1 + 8x2 ≤ 25000 
3125 
 A nova área delimita a condição “disponibilidade de mão de 
obra” 
 
 1500 4500 x1 
 2500 
 
d) maximização do lucro: 
x2 
6000 
 
4500 max f (x1, x2) = 100x1 + 50x2 
 
 
3125 
 A linha pode ser deslocada para indicar o máximo lucro 
 
 
1500 2500 4500 x1 
 
 
NOTA: 
25000 / 8 = 3125 unidades básicas 
 
25000 / 10 = 2500 unidade de luxo 
 
 
x2 
6000 
 
4500 max f (x1, x2) = 100x1 + 50x2 
 
 
3125 
 A linha ainda pode ser deslocada para indicar o máximo 
lucro 
 
 
1500 2500 4500 x1 
 
 
x2 
6000 
 
4500 max f (x1, x2) = 100x1 + 50x2 
 
 
3125 
 A linha indica o máximo lucro 
 x1 
 
 1500 2500 4500 
 
Neste exemplo, o vértice da figura indica, intuitivamente, o ponto ótimo de 
operação da linha de fabricação, que irá atender às condições desejadas para 
a empresa. 
Nota-se que esta é uma resolução visual e manual de um problema simples. 
No entanto, em situações reais os modelos apresentam um número maior de 
variáveis e de restrições, e isto inviabiliza uma resolução manual. Recomenda-
se então a utilização de softwares específicos para Programação Linear, para 
tratar e resolver estes métodos matemáticos, os quais são importantes para a 
Pesquisa Operacional e facilitam a solução de problemas complexos. 
Pode-se citar como exemplos o Solver, do Excel®, que atua com planilhas 
eletrônicas, o LINDO® – Linear Discrete Optimizer (www.lindo.com) e o 
CPLEX® (www.ILOG.com), para problemas de Programação Linear e algumas 
de suas variações. Para a tarefa de simulação são bastante utilizados o 
ARENA® (www.paragon.com.br/) e o PROMODEL® 
(www.belge.com.br/produtos_promodel.html). 
 
 
4. Análise de Decisão Sob Incerteza e Risco 
 
4.1. Introdução 
Incerteza e risco são conceitos distintos, no entanto a sua existência em uma 
determinada situação influenciam um estudo quantitativo de forma semelhante. 
Inicialmente, convém diferenciar alguns termos básicos empregados em 
Métodos Quantitativos, com o objetivo de consolidar conceitos que, na vida 
prática das empresas, são por vezes confundidos: 
- Dano: é o que se considera um evento adverso, indesejável e que, 
portanto, deve ser evitado pelos profissionais da Engenharia e pelos 
dirigentes da empresa; na língua inglesa, corresponde a “harm”; 
- Perigo: consiste na causa potencial do dano, supondo que o dano para a 
empresa ainda não tenha ocorrido; caso esse dano já tenha se 
concretizado, a causa identificada era a origem do problema; na língua 
inglesa, corresponde a “hazard”; 
- Risco: é a situação em que a empresa se encontra ou irá se encontrar ao 
realizar uma atividade ou um investimento; é geralmente considerado uma 
combinação entre a severidade do dano que se está considerando e a 
probabilidade de que esse dano ocorra; 
- Incerteza: é a avaliação da aderência entre o risco calculado e o risco que 
efetivamente existe em determinada atividade ou investimento; é maior 
quando os dados e informações disponíveis são poucos ou menos 
confiáveis; traduz o grau de previsibilidade sobre o que irá ocorrer; 
- Segurança: é a ausência de riscos inaceitáveis. 
Saber tomar decisões é, em grande parte, conhecer a cultura da empresa, 
conhecer as potencialidades e as limitações da empresa frente aos desafios do 
mercado, em especial os competidores, e fazer a gestão dos riscos sob os 
quais a empresa vive. Este conhecimento, se bem desenvolvido, se constitui na 
estratégia que os dirigentes adotam para a gestão da empresa como um todo. 
Internamente à empresa, ela fornece um referencial comum aos colaboradores, 
indicando rumos e orientando os esforços. Do ponto de vista externo, cumpre a 
função de orientar as ações em busca de oportunidades e garantias para a 
continuidade do negócio. Segundo Ansoff e Mcdonnell (1993) a melhor 
probabilidade de sucesso de uma empresa está ligada à sua capacidade de 
reação e adequação diante das mudanças no ambiente do negócio. 
4.2. Tomada de decisão sob incerteza 
Em diversas oportunidades, as empresas devem tomar decisões relativas ao 
seu negócio, mas sabe-seque essas decisões são tomadas por pessoas. Para 
apoiá-las, foi desenvolvida nas últimas décadas a Teoria da Decisão, que 
recebeu a contribuição de vários estudiosos. 
O que há em comum em todas as variantes dessa teoria é as decisões são 
tomadas com base em um ou mais critérios e que está sujeita a um 
determinado contexto, que é a forma ou perspectiva sob a qual o problema ou 
atividade é vista. 
Mas convém, antes, olhar um pouco para a tomada de decisão sob certeza. 
Nas situações nas quais se dispõe de um número conhecido de alternativas, 
são adotadas ferramentas para tomada de decisão de acordo com o tipo de 
dados disponíveis para efetuar a análise das mesmas. Estes dados podem ser 
determinísticos, probabilísticos ou incertos. 
Nas decisões sob certeza, é bastante comum adotar um processo analítico 
hierárquico de análise, ou AHP (analytic hierarchy process), segundo o qual os 
julgamentos subjetivos são expressos de maneira lógica e quantificados e são 
depois utilizados como critérios para se tomar a decisão. Aqui, ideias e até 
sentimentos que estão afetando o processo de decisão são quantificados 
através de uma escala numérica para se poder priorizar as alternativas. 
Já as decisões sob incerteza são aquelas tomadas em situações nas quais as 
consequências de se adotar cada alternativa são conhecidas, mas não se 
dispõe de estimativas a respeito de suas probabilidades. Neste caso, o 
responsável pela decisão irá adotar um critério pessoal e, a seguir, a decisão 
que melhor satisfaça esse critério. 
Segundo Moreira (2010), os critérios usualmente adotados pelos responsáveis 
são o maximax, maximin, Laplace, realismo e mínimo arrependimento, e 
discute cada um deles através de um exemplo simples: uma empresa deve 
decidir a respeito da estrutura de distribuição de seus produtos em uma região 
e possui três opções, para as quais existem as estimativas de lucro em caso de 
grande demanda dos produtos e de baixa demanda, mas não há uma 
estimativa sobre as probabilidades relativas à ocorrência da alta ou da baixa 
demanda. As estimativas de lucro são mostradas na seguinte tabela: 
Alternativas 
Consequência em termos de lucro estimado 
(x R$ 1.000,00) 
Com alta 
demanda 
Com baixa 
demanda 
Resultados 
médios 
Usar revendedores locais 140 40 90 
Construir armazém próprio 200 -30 85 
Usar grande distribuidor local 160 10 85 
Tabela – Matriz de decisão para distribuição regional de produtos 
No critério maximax (máximo entre os máximos), leva-se em consideração a 
visão otimista de que a demanda será alta e a decisão será “Construir 
armazém próprio” 
No critério maximin (máximo entre os mínimos), são primeiramente escolhidos 
os piores resultados de cada alternativa (demanda baixa) e, depois, escolhe-se 
o melhor deles, no caso “Usar distribuidores locais”. 
Segundo o critério de Laplace (ou da razão insuficiente), considera-se que as 
probabilidades de ocorrerem alta ou baixa demanda sejam iguais, por não se 
ter razão suficiente para crer no contrário. Assim, leva-se em consideração o 
valor médio esperado para cada alternativa, isto é, o valor médio entre os 
resultados da tabela e a escolha recai sobre “Usar revendedores locais”. 
Já no critério do realismo (ou de Hurwicz, ou ainda da média ponderada), 
busca-se adotar um compromisso entre as visões otimista e pessimista. O 
responsável pela decisão adota um valor α para sua visão otimista (por 
exemplo: α = 0,7) numa escala de zero (0) até um (1), e daí resta o valor 1-α 
(neste exemplo igual a 0,3) para a visão pessimista. A seguir executa-se o 
cálculo simples da média entre os dois resultados para alta e baixa demanda 
ponderados pelos respectivos fatores: 
140 x 0,7 + 40 x 0,3 = 110 
200 x 0,7 + (-30) x 0,30 = 131 
160 x 0,7 + 10 x 0,30 = 115 
Neste caso o responsável escolherá a alternativa “Construir armazém próprio”. 
Finalmente, o critério do mínimo arrependimento leva em consideração aquilo 
que se perde ao não se escolher a melhor alternativa. Para se obter os valores, 
verifica-se primeiramente que, para a consequência em “alta demanda”, o 
melhor resultado (lucro = 200) pertence à alternativa “Construir armazém 
próprio” e qualquer lucro menor do que esse poderá se constituir em motivo de 
arrependimento. Por outro lado, para a consequência em baixa demanda, o 
melhor resultado (lucro = 40) corresponde à alternativa “Usar revendedores 
locais) e qualquer lucro menor do que esse poderá se constituir em motivo de 
arrependimento. 
Assim, monta-se a matriz de arrependimentos, tendo como referência os dois 
melhores resultados acima, com o cálculo dos piores arrependimentos que 
podem ocorrer para cada alternativa em situações de alta/baixa demanda: 
Alternativas 
Consequência em termos de lucro estimado (x R$ 
1.000,00) 
Com alta 
demanda 
Com baixa 
demanda 
Pior 
arrependimento 
Usar revendedores locais 200 – 140 =60 40 – 40 = 0 60 
Construir armazém próprio 200 – 200 = 0 40 – (-30) = 70 70 
Usar grande distribuidor local 200 – 160 = 40 40 – 10 = 30 40 
Tabela – Matriz de arrependimentos 
A seguir efetua-se a escolha recai sobre o menor arrependimento possível (40), 
que neste caso corresponde à alternativa “Usar grande distribuidor local”. 
4.3 Tomada de decisão sob risco 
Este tipo de decisão é tomada nos casos em que, de alguma forma, sabe-se as 
probabilidades de ocorrência das possíveis consequências e a solução do 
problema ou atividade depende do VEA-Valor esperado da alternativa. Este 
valor é igual à soma dos produtos dos resultados da alternativa pelas 
probabilidades de ocorrência de cada consequência. De outra forma: o VEA é a 
média ponderada dos resultados da alternativa tomando as probabilidades das 
suas consequências como pesos da ponderação. 
Assim, para a escolha da melhor alternativa, calcula-se o VEA de cada 
alternativa e se escolhe o melhor dos resultados. Ainda segundo Moreira 
(2010), um exemplo simples é o seguinte: Uma empresa deve decidir fabricar 
ou comprar de terceiros alguns componentes para seus produtos. 
Nesta situação, se a demanda for alta, a decisão de fabricar será melhor, mas, 
se a demanda for baixa, a empresa ficará com instalações e espaços ociosos e 
isso irá ter um custo. As consequências são claras: lucro ou prejuízo. Uma 
matriz simples ilustra a situação: 
 Consequências 
 
Alternativas 
Demanda e probabilidade 
Baixa 
P = 0,4 
Média 
p = 0,35 
Alta 
p = 0,25 
Comprar os componentes 10 40 100 
Fabricar os componentes 
- 30 20 130 
Tabela de decisão: compra/fabricação de componentes – (Lucro x R$1.000,00) 
- Para a alternativa “Comprar os componentes”: 
10 x 0,4 + 40 x 0,35 + 100 x 0,25 = 43 
- Para a alternativa “Fabricar os componentes”: 
(-30) x 0,4 + 20 x 0,35 + 150 x 0,25 = 32,5 
Como a alternativa “Comprar os componentes” proporciona um melhor 
resultado (lucro maior), essa é a alternativa indicada. 
 
Considerações finais 
 
A função da Engenharia Econômica é fornecer informações, a partir dos dados 
reais existentes, que possibilitem a escolha entre alternativas de investimentos 
para iniciar ou melhorar um processo produtivo, lançar um novo produto no 
mercado, melhorar ou ampliar a infra-estrutura da empresa, e outros. Ela 
considera fatores econômicos e adota como critério a obtenção da maior 
rentabilidade possível, embora o objetivo final do investidor possa não ser 
exclusivamente este. 
Devemos considerar o fato de que certas vantagens e desvantagens são, por 
vezes, difíceis ou mesmo impossíveis de se avaliar e quantificar. E é isto que 
acontece quando se deve considerar aspectos como prestígio, imagem da 
empresa junto ao público, imagem da marca, satisfação dos clientes, ou grau 
de satisfação por parte dos funcionários, os quais são importantes, 
evidentemente, mas não podemser expressos em termos de dinheiro. 
Numa situação como esta, o que fazer? Convém, sim, desconsiderar 
momentaneamente estes aspectos e levar em conta apenas os fatores 
quantificáveis vistos neste capítulo, para depois analisar os resultados obtidos 
e confrontar a melhor solução econômica encontrada com as demais soluções, 
e verificar qual delas atende a todos os itens que compõem o objetivo com 
maior vantagem geral para a empresa. 
O estudo da PO, tendo em vista a sua sistemática, leva o técnico a adquirir um 
raciocínio organizado. É muito importante que seja conhecida a qualidade dos 
dados utilizados. 
O porte do modelo deve ser adequado as suas finalidades. Em muitos casos 
são utilizados modelos extremamente complexos, o que é possível com o 
grande desenvolvimento dos computadores e de softwares, que, devido ao seu 
custo, não justificam a sua adoção. 
Recursos escassos devem ser utilizados de maneira racional. Por outro lado, 
as exigências do desenvolvimento industrial brasileiro, e a globalização da 
economia, forçam a utilização de ferramentas mais poderosas na solução de 
problemas tanto específicos como gerais das empresas. 
 
Referências Bibliográficas 
 
ARENALES, M.; et. al. Pesquisa operacional. Rio de Janeiro: 
Campus/Elsevier, 2007. 
HAMMOND, J.S. Decisões Inteligentes. Tradução de Marcelo Filardi Ferreira. 
Rio de Janeiro: Elsevier, 2004. 
MOREIRA, D. A. Pesquisa Operacional. São Paulo: Cencage Learning, 2010. 
RAVINDRAN, A; PHILLIPS, D. T.; SOLBERG, J. J. Operations Research: 
Principles and Practice. New York: John Wiley& Sons, 2007 
SILVA, E.M. et. al. ; Pesquisa Operacional. São Paulo, Atlas, 2010. 
SLACK, N.; CHAMBERS, S.; JOHNSTON, R; Administração da Produção. 
São Paulo, Atlas, 2009.