Análise Combinatória 1

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ANÁLISE COMBINATÓRIA I
1. PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
Se um evento E1 possui α resultados distintos e um 
segundo evento 2E , independente de E1, possui β resultados 
distintos, então o número de resultados para o par de eventos 
(E1 , E2 )é dado pelo produto α.β.
Exemplo:
Uma pessoa tem no guarda – roupas: 3 camisetas, 2 ber-
mudas e dois pares de tênis. De quantas maneiras diferentes 
essa pessoa pode se vestir?
A pessoa pode usar qualquer uma das três camisetas E 
dois tipos de bermudas diferentes E dois dos pares de tênis. 
Como pode usar uma coisa E a outra devemos usar o princípio 
multiplicativo, daí
3.2.2 = 12
1.1. FATORIAL
Dado um número natural n > 2, representa-se e define-se 
o fatorial de n por = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅! 1 2 3 ( 1)n n n .
Casos particulares: 1! = 1 e 0! = 1.
2. PERMUTAÇÕES SIMPLES
Uma permutação simples de n objetos distintos é uma 
das sequências ordenadas de n elementos em que os objetos 
podem ser colocados.
Notação: nP (número de permutações simples de n ele-
mentos distintos).
Propriedade: =nP n!
Exemplo:
De quantas maneiras distintas 5 pessoas podem formar 
uma fila?
Se pensarmos que cada pessoa é um objeto então 
também teremos 5 espaços para distribuir esses objetos. 
Daí usando o princípio multiplicativo teremos que a 1ª posição 
pode ser ocupada por qualquer um dos 5 objetos. Ocupada a 
1ª posição a 2ª posição poderá ser ocupada com qualquer um 
dos 4 objetos restantes... E assim por diante até que sobra um 
objeto para o ultimo espaço.
5.4.3.2.1
Como essa operação de se multiplicar sequencialmente 
de um valor n até se chegar ao valor 1 (uma possibilidade), 
essa operação foi definida como n!. Então a permutação de 
n objetos é definida como n!. daí
5.4.3.2.1 = =5P 5! = 120
3. PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
Quando precisamos permutar n objetos em n espaços 
porém, existem objetos repetidos, a permutação se dará de 
maneira diferente. 
Exemplo:
Quantos anagramas possui a palavra BANANA?
(Anagrama é a permutação das letras formando-se outra 
palavra, com sentido ou não).
Como BANANA possui 6 letras (objetos) basta distribuir-
mos essas letras dentro dos 6 espaços disponíveis. Daí tería-
mos uma permutação de 6 objetos.
= = =5P 6! 6.5.4.3.2.1 720
Porém vejamos uma das possíveis permutações.
1 1 2 2 3N B A N A A
Perceba que numerando as letras que se repetem pode-
mos ver mais facilmente que se trocarmos de posições as 
letras N1 com N2 ou as letras A1 com A2 ou com A3, não muda-
ríamos a palavra, continuaria sendo NBABAA. Então da forma 
que está teremos contado palavras mais de uma vez, daí pre-
cisamos descontar. As 2 letras N podem permutar entre si de 
2! maneiras, enquanto as 3 letras A podem permutar entre 
si de 3! maneiras. Então para fazer o acerto iremos dividir as 
720 maneiras pela quantidade de vezes que as letras repetidas 
podem permutar entre si.
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EXEMPLOS RESOLVIDOS:
1) (CFT) A quantidade de números de quatro algarismos 
distintos que podem ser formados com os algarismos 
3, 4, 5, 7 e 9 é
a) 120
b) 140
c) 160
d) 210
Solução:
Não teremos problemas quanto ao algarismo “0”, pois 
temos a disposição somente 5 algarismos: 3, 4, 5, 7 e 9.
Então temos 4 espaços para distribuir 5 elementos onde 
a ordem importa, teremos um arranjo de 5 objetos para 
4 lugares: A5,4.
( )
= = =
−5, 4
5! 5!
120
5 4 ! 1! 
A
Ou podemos apenas usar o princípio multiplicativo.
5.4.3.2 = 120
Letra A
2) (CFT) Deseja-se colorir os seis triângulos da figura 
com cores diferentes.
Dispondo-se de sete cores, o número de maneiras 
diferentes de conseguir o que se deseja é
a) 3200
b) 4700
c) 5040
d) 6090
Solução
Como não há restrição de cores além somente de serem 
distintas. Então temos 7 cores disponíveis para 6 espaços, 
porém onde a posição importa, temos um A7,6
( )
= = = = = =
−7,6
7! 7!
7.6.5.4.3.2.1 7.6.120 42.120 5040
7 6 ! 1!
A
( )
= = = = = =
−7,6
7! 7!
7.6.5.4.3.2.1 7.6.120 42.120 5040
7 6 ! 1!
A
Também poderíamos pensar em distribuir 7 objetos em 
6 espaços, onde pelo princípio multiplicativo
7.6.5.4.3.2 = 5040
Letra C
= = =
6! 720 720
60
2!.3! 2.1.3.2.1 12
Daí criamos uma fórmula para permutação quando há 
objetos repetidos.“Querendo permutar n objetos em n espa-
ços sendo destes n objetos, a iguais entre si, b iguais entre si, 
até c iguais entre si teremos.
=a, b, ..., cn
n!
P
a!.b!. ... c!
(Tendo objetos que não se repetem, só aparecem uma 
única vez, não há a necessidade de se dividir por 1!).
4. ARRANJOS SIMPLES
Um arranjo simples de n objetos distintos tomados p a p 
(sendo p ≤ n), é uma das sequências ordenadas de p elemen-
tos em que podem ser colocados p objetos, selecionados 
entre os n objetos dados.
Notações: pnA ou ,n pA (número de arranjos simples de n 
elementos distintos tomados p a p).
Propriedade: pn
n!
A
(n p)!
=
−
Nota: 
Todo arranjo simples pode ser resolvido utilizando o princí-
pio multiplicativo. É de costume se dizer que estamos fazendo 
uma permutação de n objetos só que somente para p espaços 
(n > p). 
Exemplo:
De quantas maneiras podemos formar um podium 
(1º, 2º e 3º lugares) de uma competição de judô que possui 
10 atletas.
O arranjo simples resolve esse problema. Arranjar 10 obje-
tos em 3 espaços. Para o arranjo costumamos dizer que a 
ordem dos objetos é importante. Isso fica bem claro, como é 
um podium, por exemplo, a ordem faz diferença. ABC é bem 
diferente de BAC, na 1ª o A é o campeão e o B o vice, na 2ª 
acontece o inverso.
3
10
10! 10.9.8.7!
720
(10 3)! 7!
A = = =
−
Utilizando o princípio multiplicativo teremos o seguinte: 
a 1ª posição pode ser ocupada por qualquer um dos 10 atletas, 
escolhido o campeão teremos 9 opções para o vice campeão, 
por fim, escolhido o vice nos sobram 8 possibilidades para a 
3ª posição. Como acabaram os espaços acabou também a 
multiplicação de possibilidades.
10.9.8 = 720
O princípio multiplicativo se torna uma maneira mais sim-
ples de se resolver questões de arranjo sem a necessidade de 
se recorrer a fórmulas e haver confusão com a combinação. 
Arranjo é o tipo de distribuição em que a ordem dos objetos 
importa.
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Solução
Como importa a ordem e temos 5 objetos para permu-
tar em somente 3 espaços temos A5,3. Ou utilizando o 
princípio multiplicativo
5.4.3 = 60 = 
( )
= = =
−5, 3
5! 5.4.3.2!
5.4.3
5 3 ! 2! 
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Letra C
EXERCÍCIOS DE 
TREINAMENTO
01. (EEAR) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, sem repeti-los, 
podemos escrever x números de 4 algarismos, maiores que 
2400. O valor de x é
a) 68 
b) 72
c) 78
d) 84
02. (EEAR) Se existem k maneiras possíveis de pintar uma 
parede com 3 listras verticais, de mesma largura e de cores 
distintas, dispondo de 12 cores diferentes, então o valor de k 
está compreendido entre
a) 1315 e 1330
b) 1330 e 1345
c) 1345 e 1360
d) 1360 e 1375
03. (CFOE) Com os dígitos 1, 2, 3, 6 e 0, podemos formar x 
números de 4 algarismos distintos. Então, x é igual a:
a) 160
b) 96
c) 180
d) 108
04. (ESPCEX) Um tabuleiro possui 16 casas distribuídas em 4 
linhas e 4 colunas. De quantas maneiras diferentes é possível 
colocar 4 peças iguais nesse tabuleiro de modo que, em cada 
linha e cada coluna, seja colocada apenas uma peça.
a) 4096
b) 576
c) 256
d) 64
e) 16
05. (ESPCEX) Se todos os anagramas da palavra ESPCEX forem 
colocados em ordem alfabética, a palavra ESPCEX ocupará, 
nessa ordenação, a posição 
a) 144
b) 145
c) 206
d) 214
e) 215
3) (EEAR) As atuais placas de automóveis possuem três 
letras do alfa¬beto latino (incluindo K, W, Y) e quatro 
algarismos. O número de placas que não repetem nem 
letras e nem algarismos é
a) 
26!10!
23!6!
b) ⋅3 426 10
c) 26! 10!
d) 
26!10!
4! 3!
Solução
Teremos 10 algarismos disponíveis {0, 1, 2, ..., 9} e 
26 letras disponíveis {A, B, C, ..., X, Y, Z}, daí apenas com 
a restrição de serem distintos usando o princípio multipli-
cativo teremos
26 25 24 10 9 8 7
Letras Números= =
26.25.24.23.22. ... 2.1 10.9.8.7.6. ... .2.1
26.25.24.10.9.8.7 .
23.22. ... 2.1 6. ... .2.1
= =
26.25.24.23.22. ... 2.1 10.9.8.7.6. ... .2.1
26.25.24.10.9.8.7 .
23.22. ... 2.1 6. ... .2.1
= =
26.25.24.23! 10.9.8.7.6! 26!.10!
.
23! 6! 23!.6!
Letra A
4) (EEAR) O número de anagramas da palavra ESCOLA 
que começam por S e terminam por L, é
a) 720
b) 120
c) 24
d) 12
Solução
Ao se fixar a letra S no início e a letra L no fim teremos 
dos 6 objetos, 2 fixados. Daí nos sobram 4 objetos que 
podem ser distribuídos em 4 espaços.
S __ __ __ __ L
Assim, como nos sobram as letras E, C, O e A, que são 
todas distintas, basta permutar as 4 letras nos 4 espaços 
disponíveis
= = =4P 4! 4.3.2.1 24
Letra C
5) (EEAR) Com os algarismos 1, 2, 4, 5 e 7, a quantidade 
de números de três algarismos distintos que se pode 
formar é
a) 100
b) 80
c) 60
d) 30
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06. (EPCAR) De quantos modos 3 casais podem sentar-se ao 
redor de uma mesa circular de tal forma que marido e mulher 
não fiquem juntos?
a) 12 
b) 120
c) 72
d) 32
07. (EFOMM) O código Morse, desenvolvido por Samuel 
Morse, em 1835, é um sistema de representação que utiliza 
letras, números e sinais de pontuação através de um sinal cod-
ificado intermitentemente por pulsos elétricos, perturbações 
sonoras, sinais visuais ou sinais de rádio. Sabendo-se que um 
código semelhante ao código Morse trabalha com duas letras 
pré-estabelecidas, ponto e traço, e codifica com palavras de 1 
a 4 letras, o número de palavras criadas é:
a) 10 
b) 15 
c) 20 
d) 25 
e) 30
08. (EN) Um aspirante da Escola Naval tem, em uma prateleira 
de sua estante, 2 livros de Cálculo, 3 livros de História e 4 liv-
ros de Eletricidade. De quantas maneiras ele pode dispor estes 
livros na prateleira de forma que os livros de cada disciplina 
estejam sempre juntos?
a) 1728
b) 1280
c) 960
d) 864
e) 288
 
09. (EN) No sistema decimal, a quantidade de números ím-
pares positivos menores que 1000, com todos os algarismos 
distintos é
a) 360
b) 365
c) 405
d) 454
e) 500
10. (EN) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, 
preta e branca. A quantidade de maneiras que podemos pintar 
esse tapete de modo que as faixas consecutivas não sejam da 
mesma cor é:
a) 256 
b) 384 
c) 520 
d) 6561
e) 8574
11. (UFRRJ – 2000) Em uma tribo indígena o pajé conversava 
com seu tótem por meio de um alfabeto musical. Tal alfabeto 
era formado por batidas feitas em cinco tambores de difer-
entes sons e tamanhos. Se cada letra era formada por três 
batidas, sendo cada uma em um tambor diferente, pode-se 
afirmar que esse alfabeto possuía
a) 10 letras.
b) 20 letras.
c) 26 letras.
d) 49 letras.
e) 60 letras.
12. (UENF – 2002) Observe o resultado de uma enquete do 
site britânico CentralNic.
a) Determine, dentre os usuários de computador que par-
ticiparam da enquete, o número daqueles que possuem 
senha na categoria familiar.
b) Admita que, para criar uma senha da categoria criptográ-
fica, o usuário deva utilizar duas vogais seguidas de qua-
tro algarismos distintos.
Calcule o número de senhas criptográficas diferentes que po-
dem ser formadas.
13. (UERJ – 2003) Numa cidade, os números telefônicos não 
podem começar por zero e têm oito algarismos, dos quais os 
quatro primeiros constituem o prefixo. Considere que os qua-
tro últimos dígitos de todas as farmácias são 0000 e que o pre-
fixo da farmácia Vivavida é formado pelos dígitos 2, 4, 5 e 6, 
não repetidos e não necessariamente nesta ordem. O número 
máximo de tentativas a serem feitas para identificar o número 
telefônico completo dessa farmácia equivale a:
a) 6 
b) 24
c) 64
d) 168
14. (UFRJ – 2001 – específica) A mala do Dr. Z tem um cadea-
do cujo segredo é uma combinação com cinco algarismos, 
cada um dos quais podendo variar de 0 a 9. Ele esqueceu 
a combinação que escolhera como segredo, mas sabe que 
atende às condições:
a) se o primeiro algarismo é ímpar, então o último algarismo 
também é ímpar;
b) se o primeiro algarismo é par, então o último algarismo é 
igual ao primeiro;
c) a soma do segundo e terceiro algarismos é 5.
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Quantas combinações diferentes atendem às condições esta-
belecidas pelo Dr. Z?
15. (UFF – 2001) Uma fábrica produz três modelos de car-
ros. Para cada modelo o cliente deve escolher entre sete cores 
diferentes, cinco tipos de estofamento e vidros brancos ou 
verdes. Além disso, o cliente pode adquirir, opcionalmente, o 
limpador do vidro traseiro. A quantidade de maneiras distintas 
que essa fábrica pode montar carros para atender a todas as 
possíveis escolhas de seus clientes é:
a) 60 
b) 70 
c) 140 
d) 210 
e) 420
16. (UFF – 2002) Diogo precisa que sua mulher, Cristina, re-
tire dinheiro no caixa eletrônico e manda entregar-lhe o cartão 
magnético, acreditando que ela saiba qual é a senha. Cristina, 
entretanto, recorda que a senha, composta de seis algarismos 
distintos, começa por 75 – os dois algarismos finais indicativos 
do ano em que se casou com Diogo; lembra, ainda, que o úl-
timo algarismo da senha é ímpar. Determine o tempo máximo 
necessário para Cristina descobrir a senha da conta de Diogo, 
caso ela gaste 10 segundos no teste de cada uma das possíveis 
senhas.
17. (UFF – 2001) Um garçom anotou os pedidos de três freg-
ueses. Cada freguês pediu um prato principal, um acompan-
hamento e uma bebida. Posteriormente, o garçom não sabia 
identificar o autor de cada pedido. Lembrava-se, porém, de 
que não havia qualquer coincidência entre os pedidos: os pra-
tos principais eram diferentes entre si, o mesmo ocorrendo 
com os acompanhamentos e as bebidas. O número de manei-
ras diferentes que o garçom poderia distribuir os pedidos entre 
os três fregueses é:
a) ( ) 33!
b) ( )33 !
c) 3!
d) 3!3
e) ( ) 3!3!
18. (UFF – 2004) Três ingleses, quatro americanos e cinco 
franceses serão dispostos em fila (dispostos em linha reta) de 
modo que as pessoas de mesma nacionalidade estejam sem-
pre juntas.
De quantas maneiras distintas a fila poderá ser formada de 
modo que o primeiro da fila seja um francês?
19. (AFA) A palavra que não muda o seu sentido, quer se 
leia da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda, 
é chamada palíndromo (Ex., ovo, asa, acaiaca, serres, etc.). 
Considerando-se as 23 letras do nosso alfabeto, quantos ana-
gramas de 6 letras com características de um palíndromo, 
pode-se formar?
a) 236
b) 233
c) 323
d) 623
20. (ITA) Quantos números de seis algarismos distintos po-
demos formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais 
o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes, mas o 3 e o 4 
sempre ocupam posições adjacentes?
a) 144.
b) 180.
c) 240.
d) 288.
e) 360.
EXERCÍCIOS DE COMBATE
Acesse ao código para assistir ao vídeo.01
Quantos números de 4 algarismos distintos múltiplos de 5 po-
demos formar?
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(ESA) Em um guarda-roupa há quatro camisas, cinco calças e 
três sapatos, então identifique a alternativa que apresenta a 
quantidade de formas diferentes que se pode utilizá-las.
a) ∞ 
b) 453 
c) 1 
d) 12 
e) 60
Acesse ao código para assistir ao vídeo.03
(ESA) Uma corrida é disputada por 8 atletas. O número de 
resultados possíveis para os 4 primeiros lugares é
a) 336 
b) 512 
c) 1530 
d) 1680 
e) 4096
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(ESA) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 sem repeti-los, pode-
mos escrever “x” números de algarismos, maiores que 3 200. 
O valor de “x” é:
a) 210 
b) 228 
c) 240 
d) 300 
e) 320
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(ESA) Assinale a alternativa cuja palavra possui 60 anagramas.
a) A M E I X A 
b) B R A N C O 
c) B A N A N A 
d) P A R Q U E 
e) PATETA
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(ESA) O número de anagramas diferentes que podemos for-
mar com a palavra RANCHO, de modo que se iniciem com 
vogal, é:
a) 120 
b) 240 
c) 720 
d) 1440 
e) 24
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(ESA) Quantos anagramas da palavra CONSOANTES podem 
ser formados com as vogais juntas e em ordem alfabética?
a) 
10!
2!2!2!
b) 
10!
2!2!
c) 
10!
7!3!
d) 
7!
2!2!2!
e) 
7!
2!2!
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Com as letras da palavra SARGENTO foram escritos todos os 
anagramas iniciados por vogais e com as consoantes todas 
juntas. Quantos são esses anagramas?
a) 120960 
b) 40320 
c) 2160 
d) 720 
e) 120
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(ESA) Colocando-se em ordem alfabética os anagramas da pa-
lavra FUZIL, que posição ocupará o anagrama ZILUF.
a) 103 
b) 104 
c) 105 
d) 106 
e) 107
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(ESA) O número de anagramas diferentes com as letras da pa-
lavra MILITAR que não possuem consoantes consecutivas que 
se pode obter é: 
a) 60 
b) 72 
c) 120 
d) 186 
e) 224
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ANOTAÇÕES
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GABARITO
EXERCÍCIOS DE TREINAMENTO
01. D
02. A
03. B 
04. B
05. B 
06. A 
07. E 
08. A
09. B 
10. B
11. E 
12. a) 570; b) 126.000. 
13. B
14. 180 
15. C
16. 1h45min
17. A 
18. 34.560
19. B 
20. A 
EXERCÍCIOS DE COMBATE
01. Discursiva
02. E
03. D
04. B
05. C
06. B
07. E
08. C
09. D
10. B