Calculo vetorial

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Calculo vetorial 
 
 
Origem, definição, aplicações e exercícios. 
 
 
 
 
Sumario 
 
 
Historia.......................................3 
Definição.....................................3 
Aplicações...................................4 
Exercício.....................................6 
Conclusão....................................7 
Bibliografia..................................8 
 
 
 
 
 
 
Introdução 
Cálculo vetorial configura uma área da matemática que trata da 
diferenciação e integração de campos vectoriais, geralmente no espaço 
euclidiano, O termo "Cálculo vectorial" frequentemente é usado 
erroneamente como sinônimo de cálculo multivariável, área que o 
abrange, assim como diferenciação parcial e integral múltipla. O Cálculo 
vectorial possui um importante papel na geometria diferencial e no estudo 
de equações diferenciais parciais. Ele é extensivamente utilizado em 
Física e Engenharia, mais explicitamente na descrição de campos 
eletromagnéticos, campos gravitacionais e mecânicos dos fluidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Historia 
O Cálculo vectorial foi desenvolvido a partir da análise quaterniônica por Josiah 
W. Gibbs e Oliver Heaviside em torno do final do século 19. Grande parte de 
sua notação e terminologia foi estabelecida por Gibbs e Edwin B. Wilson, em 
seu livro Vector Analysis, publicado em 1901 
Definições 
Chamamos de cálculo vetorial a área da matemática que está diretamente 
relacionada à análise real multivariável de vetores em duas ou mais 
dimensões. Trata-se de um conjunto de fórmulas e técnicas que podem ser 
usadas para a resolução de problemas, o que é muito útil quando aplicado à 
engenharia e à física. 
 Vetor 
Um vetor é definido como sendo uma classe de equipolência de segmentos de 
reta orientados de em que n representa um espaço vetorial de n dimensões. 
Assim sendo, em um espaço vetorial de 3 dimensões), cada vetor será dotado 
de três coordenadas, comumente denominadas x, y e z. 
Importância dos vetores 
Os vetores desempenham um papel importante na física: velocidade e 
aceleração de um objeto e as forças que agem sobre ele são descritas por 
vetores. Os componentes de um vetor dependem do sistema de coordenadas 
usado para descrevê-lo. Outros objetos usados para descrever quantidades 
físicas são os pseudovetores e tensores. 
Os vetores têm aplicação em várias áreas do conhecimento, tanto técnico 
quanto científico, como física, engenharia e economia, por exemplo, sendo os 
 
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Campo vectorial 
Um campo vectorial ou campo de vectores é uma construção em cálculo 3 
 vectorial que associa um vector a todo ponto de uma variedade diferenciável 
(como um subconjunto do espaço euclidiano, por exemplo). Isso é, um campo 
de vectores é uma função vectorial que associa um vector a cada ponto 
P(x,y,z) do espaço xyz generalizadamente dada por 
F (x,y,z) = f(x,y,z)i +g(x,y,z) j +h(x,y,z)k 
Campos vectoriais são geralmente utilizados na física para indicar, por 
exemplo, a velocidade e a direção de um fluido ou um corpo se movendo pelo 
espaço, ou o comprimento e direção de alguma força, tal como a força 
magnética ou gravitacional, bem como o campo elétrico E(x,y,z,t) e o campo 
magnético B(x,y,z,t) relacionando as componentes ponto a ponto. 
 
Aplicações 
Aproximação linear 
A Aproximação linear consiste em um recurso utilizado que substitui uma 
função de maior complexidade por outra função, linear, que apresenta uma 
imagem semelhante na vizinhança do ponto analisado. 
Otimização 
Para uma função continuamente diferenciável de múltiplas variáveis reais, um 
ponto P configura um ponto crítico se todas as derivadas parciais da função em 
P são iguais a zero ou, em outras palavras, se o seu gradiente é nulo. Os 
valores críticos são os valores da função nos pontos críticos. 
Se a função é suave, ou pelo menos continuamente diferenciável duas vezes, o 
ponto crítico pode ser tanto um máximo local, um mínimo local ou um ponto de 
sela. 
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Gradiente de um Campo 
O conceito de gradiente na Física está intrinsecamente associado ao conceito 
de campos conservativos e de função potencial, na matemática também se 
define campo vetorial conservativo. No que se refere à Física, temos campos 
conservativos relacionados a campos que conservam a energia do sistema, ou 
seja, não há perdas de energia, a exemplo de dissipação por atrito ou efeito 
joule. Dessa forma, dada uma função potencial Ѱ(x,y,z), basta calcular o 
gradiente do mesmo para encontrar o campo conservativo associado à Ѱ 
Modelo de Condução Térmica[1] 
“O fluxo de calor q” (taxa de calor por unidade de área) depende da área onde 
ele cruza, portanto possui uma natureza vetorial. 
 
A taxa de calor por unidade de área que cruza uma superfície cuja normal é n, 
é função do gradiente de temperatura, 𝑑𝑇
𝑑𝑛
 e da constante de proporcionalidade, 
k. 
Modelo de Transferência de massa 
A equação diferencial governante é obtida fazendo um balanço diferencial 
sobre um elemento cartesiano. 
{taxa molar de a que entra no volume de controle} - {taxa molar de a que sai do 
volume de controle} + {taxa molar de a gerada no volume de controle} = { taxa 
molar de a que acumula no volume de controle}. 
 
�𝑁𝑎,𝑥|𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧� − �𝑁𝑎,𝑥|𝑥+𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧� + �𝑁𝑎,𝑦|𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧� − �𝑁𝑎,𝑦|𝑦+𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧�
+ �𝑁𝑎,𝑧|𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦� − �𝑁𝑎,𝑧|𝑧+𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦� + 𝑅𝑎′′′𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =
𝜕𝐶𝑎
𝜕𝑡
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 
 
 
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Exercício passo a passo 
Use a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular a circulação do 
campo F ao redor da curva C no sentido indicado. 
F : y i + x z j + x 2 k 
C : A fronteira do triângulo cortado a partir do plano x + y + z = 1 pelo primeiro 
octante, no sentido anti-horário quando vista de cima. 
Passo 1 
Antes de aplicar o Teorema de Stokes vamos ver o que é circulação. 
Circulação é definida como: 
∮ ∂ S F →. d r 
Que sorte! Porque o Teorema de Stokes nos diz que: 
∮ ∂ S F → . d r = ∬ S ( ∇ × F ) → . n → d S 
Passo 2 
Vamos começar calculando o rotacional de F: 
∇ × F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3 
∇ × F → = ( - x , - 2 x , z - 1 ) 
Passo 3 
Para este plano podemos usar a parametrização explícita: 
z = f x , y = 1 - x - y 
N → x, y = - ∂ f ∂ x, y, - ∂ f ∂ y x , y , 1 
N → x, y = 1, 1 , 1 
Passo 4 
Resolvendo a integral de superfície: 
∮ ∂ S F →. d r = ∬ σ ( ∇ × F → ) . n → d S = ∬ σ ( ∇ × F → ) . N → d x d y 
∬ σ ( - x , - 2 x , z - 1 ) . 1 , 1 , 1 d y d x 
∫ 0 1 ∫ 0 1 - x - x - 2 x + z - 1 d y d x 
Como, z = 1 - x - y 
∫ 0 1 ∫ 0 1 - x - 4 x - y d y d x 
∫ 0 1 - 4 x 1 - x + 1 2 1 - x 2 d x 
- ∫ 0 1 1 2 + 3 x - 7 2 x 2 d x = - 5 6 
Resposta 
Assim, temos que a circulação. 
∮ ∂ S F → . d r = - 5 6 6 
 
 
Conclusão 
Nesse artigo concluímos as definições de calculo vetorial, aplicações, o calculo 
vetorial e muito mais utilizado na parte de engenharia e física, para o 
engenheiro, o conhecimento das grandezas vetoriais é primordial. 
Em matérias como Estática e Resistência dos Materiais, a análise vetorial é 
fundamental para que o aluno possa aprender a base da Engenharia Civil! 
Em disciplinas como Estruturas eles são trabalhados de uma maneira mais 
aprofundada e com um tratamento espacial, em 3D. 
Saiba que com a prática, as operações vetoriais tornam-se cada vez mais 
clara, levando-o a conhecer o funcionamento detalh 
ado de várias estruturas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Bibliografia 
 
..\Downloads\docsity-calculo-vetorial-parte-1.pdf 
https://www.docsity.com/pt/calculo-vetorial-parte-1/4793237/ 
https://www.respondeai.com.br/aprender/topico/15/259/teoria/241 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Vetor_(matem%C3%A1tica) - cite_note-cruz-3 
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_vetorial - 
Aplica%C3%A7%C3%B5es_do_c%C3%A1lculo_vectorialhttps://www.respondeai.com.br/materias/completas/3/assunto/73 
https://pt.slideshare.net/DukeWdealmei/calculo-vetorial-27109983 
https://www.trabalhosgratuitos.com/Exatas/Engenharia/Aplica%C3%A7%C3%A
3o-de-vetores-%C3%A0-engenharia-civil-471198.html 
https://www.monografias.com/pt/docs/Aplica%C3%A7%C3%A3o-de-vetores-
na-engenharia-civil-F36SRM87D9CP 
 
 
 
 
 
 
 
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https://www.docsity.com/pt/calculo-vetorial-parte-1/4793237/
https://www.respondeai.com.br/aprender/topico/15/259/teoria/241
https://pt.wikipedia.org/wiki/Vetor_(matem%C3%A1tica)#cite_note-cruz-3
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_vetorial#Aplica%C3%A7%C3%B5es_do_c%C3%A1lculo_vectorial
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_vetorial#Aplica%C3%A7%C3%B5es_do_c%C3%A1lculo_vectorial
https://www.respondeai.com.br/materias/completas/3/assunto/73
https://pt.slideshare.net/DukeWdealmei/calculo-vetorial-27109983
https://www.trabalhosgratuitos.com/Exatas/Engenharia/Aplica%C3%A7%C3%A3o-de-vetores-%C3%A0-engenharia-civil-471198.html
https://www.trabalhosgratuitos.com/Exatas/Engenharia/Aplica%C3%A7%C3%A3o-de-vetores-%C3%A0-engenharia-civil-471198.html
https://www.monografias.com/pt/docs/Aplica%C3%A7%C3%A3o-de-vetores-na-engenharia-civil-F36SRM87D9CP
https://www.monografias.com/pt/docs/Aplica%C3%A7%C3%A3o-de-vetores-na-engenharia-civil-F36SRM87D9CP
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	Modelo de Condução Térmica[1]
	“O fluxo de calor q” (taxa de calor por unidade de área) depende da área onde ele cruza, portanto possui uma natureza vetorial.
	A taxa de calor por unidade de área que cruza uma superfície cuja normal é n, é função do gradiente de temperatura, ,𝑑𝑇-𝑑𝑛. e da constante de proporcionalidade, k.
	Passo 2
	Passo 3
	Passo 4
	Resposta