01 Centroide - Definição

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Centroide
FACULDADE TÉCNICO-EDUCACIONAL SOUZA MARQUES
FACULDADE DE ENGENHARIA SOUZA MARQUES
MECÂNICA APLICADA
Centroide
Prof. Dr. Geovane Araújo
1
Centroide
Centroide
• Considere um corpo tridimensional de
qualquer tamanho e forma com massa m.
• Se suspendermos o corpo, como mostrado
na Figura ao lado, de qualquer ponto, tal
Centro de Gravidade
na Figura ao lado, de qualquer ponto, tal
como A, ele estará em equilíbrio sob a
ação da força trativa na corda e da
resultante W das forças gravitacionais
atuando em todas as partículas do corpo.
• Esta resultante é claramente colinear com
a corda.
2
Fonte: J. L. Meriam, L. G. Kraige, 2008. Adaptado por: Prof. Dr. Geovane Araújo.
Centroide
• Considere que marcamos sua
posição fazendo um furo
hipotético, de tamanho
desprezível, ao longo da sua
linha de ação.
Centro de Gravidade
linha de ação.
• Repetimos agora o
experimento, suspendendo o
corpo a partir de outros pontos,
tais como B e C,e em cada caso
marcamos a linha de ação da
força resultante.
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Fonte: J. L. Meriam, L. G. Kraige, 2008. Adaptado por: Prof. Dr. Geovane Araújo.
Centroide
• Considere que marcamos sua
posição fazendo um furo
hipotético, de tamanho
desprezível, ao longo da sua
linha de ação.
Centro de Gravidade
linha de ação.
• Repetimos agora o
experimento, suspendendo o
corpo a partir de outros pontos,
tais como B e C,e em cada caso
marcamos a linha de ação da
força resultante.
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Fonte: J. L. Meriam, L. G. Kraige, 2008. Adaptado por: Prof. Dr. Geovane Araújo.
Centroide
• Para todos os propósitos práticos essas linhas de 
ação serão concorrentes em um único ponto G, que 
é chamado de centro de gravidade do corpo.
Centro de Gravidade
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Fonte: J. L. Meriam, L. G. Kraige, 2008. Adaptado por: Prof. Dr. Geovane Araújo.
Centroide
• Para se determinar matematicamente a localização do
centro de gravidade de qualquer corpo, aplicamos o
princípio dos momentos ao sistema paralelo de forças
gravitacionais.
Determinando o Centro de Gravidade
z
6
x
y
x~
y~
O momento da força gravitacional
resultante W em relação a qualquer eixo
é igual à soma dos momentos, em relação
ao mesmo eixo, das forças gravitacionais
dW atuando em todas as partículas do
corpo, tratadas como elementos
infinitesimais.
Fonte: J. L. Meriam, L. G. Kraige, 2008. Adaptado por: Prof. Dr. Geovane Araújo.
Centroide
A resultante das forças gravitacionais atuando em todos os
elementos é o peso do corpo e é dado
pela soma:
∫= dWW
z
Determinando o Centro de Gravidade
∫
7
x
y
x~
y~
Se aplicarmos o princípio dos
momentos em relação ao eixo y, por
exemplo, o momento, em torno deste
eixo, do peso elementar é:
dWxdM y .~=
Centroide
e a soma desses momentos para todos os elementos 
do corpo é igual a:
∫∫ = dWxdQy .~
∫= dWxQy .~
z
Determinando o Centro de Gravidade
Esta soma de momentos deve ser igual a:
8
∫= dWxQy .
WXQy .=
Assim temos:
x
y
∫= dWxWX .~.
X
Y
Z
Fonte: J. L. Meriam, L. G. Kraige, 2008. Adaptado por: Prof. Dr. Geovane Araújo.
Centroide
z
Com expressões semelhantes para as outras duas componentes, 
podemos expressar as coordenadas do centro de gravidade G 
como:
Determinando o Centro de Gravidade
9
x
y
X
Y
Z∫
∫
=
=
dWyWZ
dWyWY
.~.
.~.
Fonte: J. L. Meriam, L. G. Kraige, 2008. Adaptado por: Prof. Dr. Geovane Araújo.
Centroide
• Quando a massa específica ρ de um corpo é uniforme por todo o
corpo, ela será um fator constante tanto nos numeradores quanto
nos denominadores , portanto,será cancelada.
• As expressões remanescentes definem uma propriedade
puramente geométrica do corpo, pois qualquer referência às
propriedades de massa do corpo terá desaparecido.
Observações:
propriedades de massa do corpo terá desaparecido.
• O termo centroide é usado quando os cálculos lidam apenas com a
forma geométrica.
• Quando estivermos falando de um corpo físico real, usamos a
expressão centro de massa.
• Se a massa específica for uniforme por todo o corpo, as posições do
centroide e do centro de massa são idênticas, enquanto, se a massa
específica variar, estes dois pontos, em geral, não irão coincidir.
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Fonte: J. L. Meriam, L. G. Kraige, 2008. Adaptado por: Prof. Dr. Geovane Araújo.
Centroide
Centroide de Superfícies
No caso de uma placa plana homogênea de 
espessura uniforme, a intensidade dW do peso 
de um elemento da placa pode ser expressa 
como:
dAtdW ..ρ=Sendo:
ρ = peso específico (peso por unidade de volume) do material
t
11
ρ = peso específico (peso por unidade de volume) do material
t = espessura da placa
dA = área do elemento infinitesimal
Analogamente, podemos exprimir a intensidade W do peso de 
toda a placa como:
AtW ..ρ=
sendo A é a área total da placa.
Centroide
Nas unidades do SI, ρ deve ser expresso em N/m , t em metros e 
as áreas dA e A em metros quadrados; desse modo, os pesos dW e 
W ficarão expressos em newtons.
Centroide de Superfícies
∫= dWxWX .~.
dAtdW ..ρ= AtW ..ρ=Substituindo e na equação:
12
∫= dWxWX .~.
∫= dAtxAtX ...~... ρρ
∫= dAxAX .~.
Obtemos:
x
y
t
y~
x~
De forma análoga:
∫= dAyAY .~.
Fonte: Beer, F. P. Johnston, E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros. Adaptado por: Prof. Dr. Geovane Araújo.
Centroide
• A integral é conhecida como o momento de 
primeira ordem da superfície A em relação ao eixo y, 
sendo representada por Qy. 
• Analogamente, a integral define o momento de 
∫ dWx.~
∫ dAy.~
Momento Primeira Ordem de Superfícies
• Analogamente, a integral define o momento de 
primeira ordem da superfície em relação ao eixo x sendo
representada por Qx. Escrevemos.
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∫ dAy.~
∫= dWxQy .~
∫= dWyQx .~
Fonte: Beer, F. P. Johnston, E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros. Adaptado por: Prof. Dr. Geovane Araújo.
Centroide
Momento Primeira Ordem de Superfícies
Os momentos de primeira ordem da superfície também são úteis
em mecânica dos materiais na determinação de tensões de
cisalhamento em vigas sob ação de carregamentos transversais.
Observamos nas equações de primeira ordem que, se o centroide
14
Observamos nas equações de primeira ordem que, se o centroide
de uma superfície estiver localizado sobre um eixo de
coordenadas, o momento de primeira ordem da superfície em
relação a esse eixo será nulo.
Se o momento de primeira ordem de uma superfície em relação a
um eixo de coordenadas for nulo, o centroide da superfície estará
localizado sobre esse eixo.
Fonte: Beer, F. P. Johnston, E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros. Adaptado por: Prof. Dr. Geovane Araújo.
Centroide
Questão 01. Determine por integração direta o centroide da
superfície mostrada na figura plana abaixo limitada pela curva
f(x)=kx2. Expresse sua resposta em termos de a e h.
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Centroide
Questão 02. Determine por integração direta o centroide da
superfície mostrada na figura plana abaixo limitada pela curva
f(x)=kxn. Expresse sua resposta em termos de a e h.
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Centroide
Questão 03. Determine por integração direta o centroide da
superfície mostrada na figura. Expresse sua resposta em termos
de a e h.
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Fonte: Beer, F. P. Johnston, E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros. Adaptado por: Prof. Dr. Geovane Araújo.
Centroide
Questão 04. Determine por integração direta o centroide da
superfície mostrada na figura. Expresse sua resposta em termos
de a e h.
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Fonte: Beer, F. P. Johnston, E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros. Adaptado por: Prof. Dr. Geovane Araújo.
Centroide
Questão 05. Determine por integração direta o centroide da
superfície mostrada na figura. Expresse sua resposta em termos
de a e h.
h
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Fonte: Beer, F. P. Johnston, E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros. Adaptado por: Prof. Dr. Geovane Araújo.
a
Centroide
Questão 05. Determine por integração direta o centroide da
superfície mostrada na figura. Expresse sua resposta em termos
de a e h.
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Fonte: Beer, F. P. Johnston, E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros. Adaptado por: Prof. Dr. Geovane Araújo.
Centroide
Questão 06. Determine por integração direta o centroideda
superfície mostrada na figura abaixo, onde f1(x) = 2x e f2(x)=x2.Considere a unidade em cm.
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Centroide
FACULDADE TÉCNICO-EDUCACIONAL SOUZA MARQUES
FACULDADE DE ENGENHARIA SOUZA MARQUES
MECÂNICA APLICADA
Centroide
Prof. Dr. Geovane Araújo
Centroide
Centroide
• Quando um corpo ou uma figura
pode ser conveniente mente
dividido em diversas partes cujos
centros de massa são facilmente
determinados, usamos o princípio
dos momentos e tratamos cada
parte como um elemento finito do
Centroide de Corpos Composto
dos momentos e tratamos cada
parte como um elemento finito do
todo.
• Tal corpo está ilustrado
esquematicamente na Figura.
Suas partes têm massas m1, m2 e m3 e as respectivas coordenadas 
dos seus centros de massa são:
321
~~,~ xexx
Centroide
Suas partes têm massas m1, m2 e m3
e as respectivas coordenadas dos
seus centros de massa são: 321
~~,~ xexx
na direção x. O principio dos
momentos fornece a relação
Centroide de Corpos Composto
momentos fornece a relação
( ) ( )332211321 ~~.~. xmxmxmXmmm ++=++
( )
( )321
332211
~~.~.
mmm
xmxmxmX
++
++
=
Centroide
Onde:
Centroide de Corpos Composto
∑
∑
=
==
1
1
~.
i i
i ii
m
xm
X
Onde:
• é a coordenada x do centro de massa do 
corpo como um todo. 
X
Centroide
• Relações similares são válidas para as outras 
duas direções coordenadas.
Centroide de Corpos Composto
∑ == 1
~.
i ii
ym
Y
∑
∑
=
==
1
1
.
i i
i ii
m
ym
Y
∑
∑
=
==
1
1
~.
i i
i ii
m
zm
Z
Centroide
• Generalizando, então, para um corpo com qualquer número
de partes e expressando os somatórios de forma condensada
para obter as coordenadas do centro de massa.
• Relações análogas são válidas para linhas, áreas e volumes
Centroide de Corpos Composto
• Relações análogas são válidas para linhas, áreas e volumes
compostos, onde m é substituído por L, A e V
respectivamente.
.
~.
1
i
i ii
A
xA
X ∑ ==
.
~.
1
i
i ii
A
yA
Y ∑ ==
Centroide
• Observe que se um vazio ou uma cavidade forem
considerados como uma das partes componentes de um
corpo ou uma figura composta, a massa correspondente à
cavidade ou ao vazio é tratada como uma quantidade
negativa.
Centroide de Corpos Composto
negativa.
Centroide
Questão 01. Localize o centroide da figura abaixo
Centroide
Questão 01. Localize o centroide da figura abaixo
Centroide
Questão 01. Localize o centroide da figura abaixo
Centroide
Questão 01. Localize o centroide da figura abaixo
Centroide
Questão 01. Localize o centroide da figura abaixo
Centroide
Questão 01. Localize o centroide da figura abaixo
Centroide
Questão 01. Localize o centroide da figura abaixo
Centroide
Questão 01. Localize o centroide da figura abaixo
Centroide
Questão 02. Localize o centroide da figura abaixo
Centroide
Questão 01. Localize o centroide da figura abaixo
Centroide
Questão 01. Localize o centroide da figura abaixo
Centroide
Questão 01. Localize o centroide da figura abaixo
Centroide
Questão 03. Localize o centroide da figura plana abaixo
Centroide
Questão 04. Localize o centroide da figura plana abaixo
Centroide
Questão 03. Localize o centroide da figura plana abaixo
Centroide
Questão 03. Localize o centroide da figura plana abaixo
Centroide
Questão 05. Localize o centroide da figura plana abaixo
Centroide
Questão 05. Localize o centroide da figura plana abaixo
Centroide
Questão 06. Determine por integração direta o
centroide da superfície mostrada na figura. Expresse
a sua resposta em termos de a e h
y
h-y
(h-y)/2
dx
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