MecSolidosCap _2

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MECÂNICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS
2 - *
ESTÁTICA – CAP. 2
NOTAS DE AULAS
DO 
FERDINAND P. BEER
E. RUSSEL JOHNSTON, JR
LIVRO MÊCANICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS 
Prof. Paulo Henrique M. Montenegro
Universidade Federal da Paraíba - CT/DEM
Introdução
2 - *
	O objetivo deste capítulo é investigar o efeito de forças que atuam sobre partículas:
-	substituir múltiplas forças atuando em uma partícula por uma única força equivalente ou resultante,
-	analisar as relações entre forças que atuam em uma partícula que está em estado de equilíbrio.
	O foco em partículas não implica uma restrição a pequenos corpos. Significa que o estudo é restrito a análises nas quais o tamanho e o formato dos corpos não afetam significativamente a resolução dos problemas. Nesses casos, todas as forças que atuam sobre um dado corpo podem ser consideradas como tendo um mesmo ponto de aplicação.
Resultante de Duas Forças
2 - *
	Força: ação de um corpo sobre outro; caracterizada por seu ponto de aplicação, sua intensidade, sua direção, e seu sentido.
	A resultante de duas forças é equivalente à diagonal de um paralelogramo que contém as forças em lados adjacentes.
	Força é uma grandeza vetorial.
	Evidências experimentais mostram que o efeito conjunto de duas forças pode ser representado por uma única força resultante.
Vetores
2 - *
	Classificações de vetores:
	Vetores fixos têm pontos de aplicação bem definidos e não podem ser deslocados sem que se alterem as condições do Problema.
	Vetores livres podem se mover livremente no espaço sem que se alterem as condições do Problema.
	Vetores deslizantes podem ser deslocados ao longo de suas linhas de ação sem que se alterem as condições do Problema.
	Escalares: grandezas físicas que têm intensidade mas não têm direção. Exemplos: massa, volume e temperatura.
	Vetores: expressões matemáticas que têm intensidade, direção e sentido e que se somam conforme a lei do paralelogramo. Exemplos: deslocamentos, velocidades, acelerações.
	Vetores iguais têm a mesma intensidade e o mesmo sentido.
	O vetor negativo de um vetor dado é aquele que tem sua mesma intensidade e sentido oposto.
Adição de Vetores
2 - *
	Regra do trapézio para soma de vetores
B
B
C
C
	Regra do triângulo para soma de vetores
	Lei dos cossenos,
	Lei dos senos,
	A adição de vetores é comutativa,
	Subtração de vetores
Adição de Vetores
2 - *
	Soma de três ou mais vetores por meio da aplicação sucessiva da regra do triângulo.
	Regra do polígono para a soma de três ou mais vetores.
	A adição de vetores é associativa,
	Multiplicação de um vetor por um escalar.
Resultante de Várias Forças Concorrentes
2 - *
	Forças concorrentes: conjunto de forças que passam por um mesmo ponto. 
Um conjunto de forças concorrentes aplicadas em uma partícula pode ser substituído por uma única força resultante que é o vetor equivalente à soma das forças aplicadas.
	Componentes do vetor força: dois ou mais vetores que, juntos, têm o mesmo efeito que um único vetor.
Problema Resolvido 2.1
2 - *
As duas forças atuam sobre um parafuso A. Determine sua resultante.
SOLUÇÃO:
	Solução gráfica - construímos um paralelogramo com lados nas mesmas direções de P e Q desenhados em escala. Avaliamos graficamente a resultante que é equivalente à diagonal em direção e proporcional em módulo.
	Solução trigonométrica – usamos a regra do triângulo para soma de vetores em conjunto com a lei dos cossenos ou a lei dos senos para encontrar a resultante de P e Q. 
Problema Resolvido 2.1
2 - *
	Solução gráfica - Um paralelogramo com lados iguais a P e Q é desenhado em escala. A intensidade e o ângulo que define a direção da resultante (diagonal do paralelogramo) são medidos,
	Solução gráfica – Um triângulo é desenhado com P e Q no padrão ponta-a-cauda e em escala. A intensidade e o ângulo que define a direção da resultante (terceiro lado do triângulo) são medidos,
Problema Resolvido 2.1
2 - *
	Solução trigonométrica – Aplicamos a regra do triângulo. Pela lei dos cossenos,
Pela lei dos senos,
Problema Resolvido 2.2
2 - *
	A força de tração em cada um dos cabos para a = 45o, 
	O valor de a para o qual a tração no cabo 2 é mínima.
Uma barcaça é puxada por dois rebocadores. Se a resultante das forças exercidas pelos rebocadores é 22.250 N dirigida ao longo do eixo da barcaça, determine:
SOLUÇÃO:
	Obtemos uma solução gráfica aplicando a Regra do Paralelogramo para soma vetorial. O paralelogramo tem lados nas direções dos dois cabos e diagonal na direção do eixo da barcaça com comprimento proporcional a 22.250 N.
	O ângulo para a tração mínima no cabo 2 é determinado aplicando-se a Regra do Triân-gulo e observando o efeito de variações em a.
	Obtemos uma solução trigonométrica aplicando a Regra do Triângulo para soma vetorial. Com a intensidade e a direção da resultante conhecida e as direções dos outros dois lados, paralelas aos cabos dados, aplicamos a Lei dos Senos para encontrar as trações nos cabos.
Problema Resolvido 2.2
2 - *
	Solução gráfica – Aplicamos a regra do paralelogramo conhecendo a direção e a intensidade da resultante e as direções dos lados
	Solução trigonométrica - Regra do triângulo e Lei dos Senos
Problema Resolvido 2.2
2 - *
	O ângulo para tração mínima no cabo 2 é determinado aplicando a regra do triângulo e observando o efeito de variações em a.
	A tração mínima no cabo 2 ocorre quando T1 e T2 são perpendiculares
Componentes Retangulares de uma Força: Vetores Unitários
2 - *
	Os componentes de um vetor podem ser expressos como produtos dos vetores unitários pelas intensidades dos componentes do vetor.
Fx e Fy são chamados de componentes escalares de .
	Pode-se decompor uma força em dois componentes perpendiculares de forma que o paralelogramo resultante é um retângulo. são chamados de componentes retangulares e
	Definimos então os vetores unitários perpendiculares 	que são paralelos aos eixos x e y.
Adição de Forças pela Soma dos Componentes
2 - *
	Deseja-se obter a resultante de 3 ou mais forças concorrentes,
	Para isso, decompomos cada força em componentes retangulares
	Os componentes escalares da resultante são iguais à soma dos componentes escalares correspondentes das forças dadas.
	Para encontrar a intensidade e a direção da resultante,
Problema Resolvido 2.3
2 - *
Quatro forças atuam no parafuso A, como mostrado na figura. Determine a resultante das quatro forças no parafuso.
SOLUÇÃO:
	Decompomos cada força em componentes retangulares.
	Calculamos a intensidade e a direção da resultante.
	Determinamos os componentes da resultante somando os componentes correspondentes de cada uma das forças.
Problema Resolvido 2.3
2 - *
SOLUÇÃO:
	Decompomos cada força em componentes retangulares.
	Calculamos a intensidade e a direção da resultante.
	Determinamos os componentes da resultante somando os componentes correspondentes de cada uma das forças.
*
Equilíbrio de uma Partícula
2 - *
	Quando a resultande de todas as forças que atuam sobre uma partícula é zero, a partícula está em equilíbrio.
	Primeira Lei de Newton : Se a força resultante em uma partícula é nula, a partícula permanecerá em repouso ou se moverá em velocidade constante em linha reta.
	Para uma partícula em equilí-brio sob a ação de duas forças, ambas as forças devem ter:
	mesma intensidade
	mesma linha de ação
	sentidos opostos
	Para uma partícula sob a ação de três ou mais forças:
	a solução gráfica gera um polígono fechado
	solução algébrica:
Diagramas de Corpo Livre
2 - *
Diagrama espacial : Um esboço mostrando as condições físicas do problema.
Diagrama de Corpo Livre: Um esboço mostrando apenas as forças que atuam sobre a partícula escolhida para análise.
Problema Resolvido 2.4
2 - *
Numa operação de descarregamento de um navio, um automóvel de 15.750 N é sustentado por um cabo. Uma corda é amarrada ao cabo em A e puxada para centrar o automóvel para a posição desejada. Qual é a tração na corda?
SOLUÇÃO:
	Construimos um diagrama de corpolivre para a partícula na junção da corda e do cabo.
	Aplicamos as condições de equilíbrio criando um polígono fechado a partir das forças aplicadas na partícula.
	Aplicamos relações trigonométricas para determinar a intensidade das forças desconhecidas.
Problema Resolvido 2.4
2 - *
SOLUÇÃO:
	Construimos um diagrama de corpo livre para a partícula A.
	Aplicamos as condições de equilíbrio.
	Calculamos as intensidades das forças desconhecidas.
Problema Resolvido 2.6
2 - *
Deseja-se determinar a força de arrasto no casco de um novo barco a vela a uma dada velocidade. Um modelo é colocado em um canal de teste e são usados três cabos para alinhar sua proa com a linha de centro do canal. A uma dada velocidade, a tração é de 180 N no cabo AB e de 270 N no cabo AE. 
Determine a força de arrasto exercida no casco e a tração no cabo AC.
SOLUÇÃO:
	Escolhendo o casco como um corpo livre, desenhamos o diagrama de corpo livre. 
	Expressamos as condições de equilíbrio para o casco escrevendo que a resultante de todas as forças é zero.
	Decompomos a equação vetorial de equilíbrio em duas equações para as componentes. Resolvemos para as trações desconhecidas nos dois cabos.
Problema Resolvido 2.6
2 - *
SOLUÇÃO:
	Escolhendo o casco como um corpo livre, desenhamos o diagrama de corpo livre. 
	Expressamos as condições de equilíbrio para o casco escrevendo que a resultante de todas as forças é zero.
Problema Resolvido 2.6
2 - *
	Decompomos a equação vetorial de equilíbrio em duas equações para as componentes. Resolvemos para as trações desconhecidas nos dois cabos.
Problema Resolvido 2.6
2 - *
Esta equação só é satisfeita se cada componente da resultante é igual a zero.
Componentes Retangulares no Espaço
2 - *
	O vetor está contido no plano OBAC.
	Decompomos em uma componente horizontal e outra vertical
	Decompomos em componentes retangulares
Componentes Retangulares no Espaço
2 - *
	Com os ângulos entre e os eixos x, y e z temos,
		é um vetor unitário ao longo da linha de ação de e são os cossenos que orientam a linha de ação de . 
Componentes Retangulares no Espaço
2 - *
A direção de uma força é definida pelas coordenadas de dois pontos,
em sua linha de ação.
Problema Resolvido 2.7
2 - *
A tração no cabo de sustentação da torre é 2500 N. Determine:
a) os componentes Fx, Fy e Fz da força que atua no parafuso em A,
b) os ângulos qx, qy e qz que definem a direção da força.
SOLUÇÃO:
	Considerando a posição relativa dos pontos A e B, determinamos o vetor unitário orientado de A para B.
	Utilizamos o vetor unitário para determinar os componentes da força atuando em A.
	Observando que os componentes do vetor unitário são os cossenos que orientam a direção do vetor, calculamos os ângulos correspondentes.
Problema Resolvido 2.7
2 - *
SOLUÇÃO:
	Determinamos o vetor unitário orientado de A para B.
	Determinamos os componentes da força.
Problema Resolvido 2.7
2 - *
	Observando que os componentes do vetor unitário são os cossenos que orientam a direção da força, calculamos os ângulos correspondentes.
P
Q
Q
P
r
r
r
r
+
=
+
P
senC
R
senB
Q
senA
=
=
Q
P
R
B
PQ
Q
P
R
r
r
r
+
=
-
+
=
cos
2
2
2
2
(
)
(
)
S
Q
P
S
Q
P
S
Q
P
r
r
r
r
r
r
r
r
r
+
+
=
+
+
=
+
+
°
=
=
35
N
 
98
a
R
(
)
(
)
(
)
(
)
°
-
+
=
-
+
=
155
cos
N
60
N
40
2
N
60
N
40
cos
2
2
2
2
2
2
B
PQ
Q
P
R
A
20
α
15,04
A
97,73N
60N
155
sen 
R
Q
B
sen 
A
sen 
R
B
sen 
Q
A
sen 
+
°
=
°
=
°
=
=
=
N
73
,
97
=
R
°
=
04
,
35
a
°
=
°
=
°
105
250
.
22
30
45
2
1
sen
N
sen
T
sen
T
N
 
517
.
11
N
288
.
16
2
1
=
=
T
T
N
500
.
11
N
200
.
16
2
1
=
=
T
T
°
=
30
sen 
 
N)
 
(22.250
T
2
N
11500
T
2
=
(
)
°
=
30
 
cos
 
N
 
22.250
T
1
N
16200
T
1
=
°
-
°
=
30
90
a
°
=
60
a
j
 
e
 
i
r
r
y
x
F
F
F
r
r
r
+
=
y
x
F
 
e
 
F
r
r
j
F
i
F
F
y
x
r
r
r
+
=
F
r
x
y
y
x
R
R
R
R
R
 
arctg
2
2
=
+
=
q
å
=
+
+
=
x
x
x
x
x
F
S
Q
P
R
å
=
+
+
=
y
y
y
y
y
F
S
Q
P
R
(
)
(
)
j
S
Q
P
i
S
Q
P
j
S
i
S
j
Q
i
Q
j
P
i
P
j
R
i
R
y
y
y
x
x
x
y
x
y
x
y
x
y
x
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
S
Q
P
R
r
r
r
r
+
+
=
1
.
199
+
=
x
R
3
.
14
+
=
y
R
2
2
3
,
14
1
,
199
+
=
R
N
 
199,6
R
=
N
1
,
199
N
3
,
14
 
tg
=
a
°
=
1
,
4
a
25.9
96.6
100
110.0
0
110
75.2
27.4
80
75.0
129.9
150
(N)
 
y,
 
Comp.
(N)
 x 
Comp.
(N)
 
Intens.
Força
4
3
2
1
-
+
-
+
-
+
+
F
F
F
F
r
r
r
r
0
0
0
=
=
=
=
å
å
å
y
x
F
F
F
R
r
r
°
=
°
=
°
58
sen 
N
 
15.750
2
sen 
120
sen 
AC
AB
T
T
N
16.084
=
AB
T
N
648
=
AC
T
0
=
+
+
+
=
D
AE
AC
AB
F
T
T
T
R
r
r
r
r
r
°
=
=
=
26
,
60
75
,
1
m
 
1,2
m
 
2,1
 
tg
a
a
°
=
=
=
56
,
20
375
,
0
m
 
1,2
m
 
0,45
 
tg
b
b
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
j
N
 
270
 
T
0,9363
N
 
89,29
i
F
T
0,3512
N
 
156,29
0
R
i
F
F
j
N
 
270
T
j
T
0,9363
i
T
0,3512
j
20,56
 
cos
 
T
i
20,56
sen 
 
T
T
j
N
 
89,29
i
N
 
156,29
j
60,26
 
cos
 
N
 
180
i
60,26
sen 
 
N
 
180
T
AC
D
AC
D
D
AE
AC
AC
AC
AC
AC
AB
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
-
+
+
+
+
-
=
=
=
-
=
+
=
°
+
°
=
+
-
=
°
+
°
-
=
(
)
(
)
0
270
T
0,9363
N
 
89,29
:
0
0
F
T
0,3512
N
 
156,29
:
0
AC
D
AC
=
-
+
=
=
+
+
-
=
å
å
y
x
F
F
N
 
5
,
88
N
 
193
+
=
+
=
D
AC
F
T
(
)
(
)
j
N
 
270
T
0,9363
N
 
89,29
i
F
T
0,3512
N
 
156,29
0
R
AC
D
AC
r
r
r
-
+
+
+
+
-
=
=
f
q
f
f
q
f
sen 
 
sen 
sen 
cos
sen
cos
y
h
y
y
h
x
F
F
F
F
F
F
=
=
=
=
h
F
y
y
F
F
q
cos
=
F
r
y
h
F
F
q
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=
F
r
l
r
z
y
x
e
q
q
q
cos
 
cos
,
cos
F
r
F
r
(
)
k
j
i
F
k
j
i
F
k
F
j
F
i
F
F
F
F
F
F
F
F
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
z
y
y
x
x
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
q
q
q
l
l
q
q
q
q
q
q
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
+
+
=
=
+
+
=
+
+
=
=
=
=
(
)
d
Fd
F
d
Fd
F
d
Fd
F
k
d
j
d
i
d
d
F
F
z
z
d
y
y
d
x
x
d
k
d
j
d
i
d
N
M
d
z
z
y
y
x
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
=
=
=
+
+
=
=
-
=
-
=
-
=
+
+
=
=
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
1
 
e
 
 
liga
 
que
 vetor 
1
2
1
2
1
2
l
l
(
)
(
)
2
2
2
1
1
1
,
,
 
e
 
,
,
z
y
x
N
z
y
x
M
k
j
i
k
j
i
r
r
r
r
r
r
r
 
318
,
0
848
,
0
424
,
0
3
,
94
30
3
,
94
80
3
,
94
40
+
+
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
l
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
k
j
i
k
j
i
F
F
r
r
r
r
r
r
r
r
N
 
795
N
 
2120
N
1060
318
,
0
848
,
0
424
,
0
N
 
2500
+
+
-
=
+
+
-
=
=
l
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
m
 
3
,
94
m
30
m
80
m
40
m
30
m
80
m
40
2
2
2
=
+
+
-
=
+
+
-
=
AB
k
j
i
AB
r
r
r
k
j
i
k
j
i
z
y
x
r
r
r
r
r
r
r
318
,
0
848
,
0
424
,
0
cos
cos
cos
+
+
-
=
+
+
=
q
q
q
l
o
o
o
5
,
71
0
,
32
1
,
115
=
=
=
z
y
x
q
q
q