Tipos de matrizes

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Matemática e suas 
Tecnologias - Matemática
Ensino Médio, 2º Ano
Tipos de matrizes
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Tipos de Matrizes
TIPOS DE MATRIZES
ALGUMAS MATRIZES APRESENTAM CERTAS CARACTERÍSTICAS QUE FAZEM COM QUE RECEBAM NOMES ESPECIAIS.
VAMOS INVESTIGAR ESSAS MATRIZES?
VOCÊ É CAPAZ DE DESCOBRIR ESSAS CARACTERÍSTICAS SOZINHO E PRODUZIR NOMES ESPECIAIS PARA AS MATRIZES?
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OBSERVE AS MATRIZES ABAIXO:
1 1 
4 3
 5 10 
-3 7
 25 0 
-32 14
 0 12 -6
15 1 5
 5 4 -8 
 1 2 11
 4 -4 7
 -5 8 0
A=
B=
C=
D=
E=
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O QUE PODEMOS OBSERVAR QUANTO AO NÚMERO DE LINHAS E COLUNAS?
As matrizes A, B e C têm 2 linhas e 2 colunas, ou seja, o número de linhas é igual ao de colunas. 
RESPOSTA:
As matrizes D e E têm 3 linhas e 3 colunas, além do que também possuem o número de linhas igual ao de colunas.
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QUAL A ORDEM DAS MATRIZES APRESENTADAS?
As matrizes A, B e C são de ordem 2 X 2, e
Podemos simplificar dizendo que as matrizes A, B e C são de ordem 2, e as matrizes D e E são de ordem 3.
as matrizes D e E são de ordem 3 X 3.
RESPOSTA:
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 1 1 
 4 3
 5 10 
 -3 7
 25 0 
 -32 14
 0 12 -6
 15 1 5
 5 4 -8 
 1 2 11
 4 -4 7
 -5 8 0
A=
B=
C=
D=
E=
AS MATRIZES ESTUDAS LEMBRAM ALGUMA FIGURA PLANA?
QUADRADOS
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GENERALIZANDO, TEMOS:
Uma matriz A de ordem m x n é denominada MATRIZ QUADRADA quando O NÚMERO DE LINHAS É IGUAL AO DE COLUNAS, isto é, m = n. Nesse caso, dizemos que a matriz A é do tipo n x n, ou seja, de ordem n, e é indicada por An. 
As matrizes apresentadas são denominadas MATRIZES QUADRADAS.
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Assim como os quadrados, as matrizes quadradas também possuem diagonais.
Considere a matriz genérica A de ordem 3:
 a11 a12 a13
 a21 a22 a23
 a31 a32 a33
DIAGONAL PRINCIPAL
DIAGONAL SECUNDÁRIA
Quais são as diagonais dessa matriz?
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Quanto aos índices dos elementos da diagonal principal, o que podemos observar de interessante? 
Podemos observar que são iguais.
Quanto aos índices dos elementos da diagonal secundária, o que podemos observar de interessante? 
Ah! Essa é mais difícil!?!? Vejamos: 
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Vamos analisar o elemento a13 da diagonal secundária:
A ordem da matriz é 3 e o elemento a13 está localizado na linha 1 e coluna 3. 
Será que isso acontece com todos os elementos da diagonal secundária? Vejamos:
1 + 3 = 3+ 1
4 = 4
Somando o número 1 (linha 1) com 3 (coluna 3), dá 4, que é justamente a ordem da matriz (3) mais 1: 
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O elemento a22 está localizado na linha 2 e coluna 2: 
2 + 2 = 3+ 1
O elemento a31 está localizado na linha 3 e coluna 1: 
3 + 1 = 3+ 1
4 = 4
4 = 4
CONCLUSÃO:
Em uma matriz quadrada A de ordem n , os elementos aij , em que i + j = n + 1, formam a DIAGONAL SECUNDÁRIA.
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Observe as matrizes quadradas abaixo: 
8 -4 3
0 1 5
0 0 6
6 0 0
5 1 0
3 2 7
 4 5
 0 3 
 2 0
 1 4 
O que está acontecendo de especial? 
Abaixo da diagonal principal os elementos são todos NULOS. 
Acima da diagonal principal os elementos também são todos NULOS. 
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1 3 6 10
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Os elementos nulos acima ou abaixo da diagonal principal estão na forma de um triângulo, e a soma de suas quantidades representam números triangulares.
8 0 0
5 1 0
3 2 7
 4 5
 0 3 
8 -4 3 2
0 1 5 4
0 0 6 3
0 0 0 2
8 0 0 0 0
3 1 0 0 0
4 1 6 0 0
7 5 9 2 0
4 7 3 2 4
NÚMEROS TRIANGULARES 
Pesquisa na internet: O que são números triangula-res.
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CONCLUSÃO: 
Uma matriz quadrada de ordem n é denominada MATRIZ TRIANGULAR, quando todos os elementos ACIMA OU ABAIXO da diagonal principal são NULOS. 
A matriz triangular pode ser denominada MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR ou MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR.
Nesse tipo de matriz, aij = 0 para i<j ou 
aij = 0 para i>j.
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 4 5
 0 3 
8 -4 3 2
0 1 5 4
0 0 6 3
0 0 0 2
SÃO MATRIZES TRIANGULARES SUPERIORES.
NA SUA OPINIÃO, POR QUE ELAS RECEBEM ESSA DENOMINAÇÃO?
RESPOSTA CORRETA:
PORQUE OS ELEMENTOS NULOS ESTÃO ABAIXO DA DIAGONAL PRINCIPAL.
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8 0 0
5 1 0
3 2 7
8 0 0 0 0
3 1 0 0 0
4 1 6 0 0
7 5 9 2 0
4 7 3 2 4
SÃO MATRIZES TRIANGULARES INFERIORES.
E AGORA, POR QUE ELAS RECEBEM ESSA DENOMINAÇÃO?
RESPOSTA CORRETA:
PORQUE OS ELEMENTOS NULOS ESTÃO ACIMA DA DIAGONAL PRINCIPAL.
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OBSERVE AS MATRIZES QUADRADAS.
4 0 0
0 1 0
0 0 3
6 0 0 0
0 1 0 0
0 0 5 0
0 0 0 2
O QUE ELAS POSSUEM DE ESPECIAL?
RESPOSTA: Os elementos ACIMA E ABAIXO da diagonal principal são todos nulos, e...
...estão dispostos na forma de triângulo, como na Matriz Triangular. 
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Percebe-se que as matrizes dadas deixam em evidência os elementos da DIAGONAL principal. 
CONCLUSÃO:
Toda matriz quadrada de ordem n, em que os elementos ACIMA E ABAIXO da diagonal principal são nulos, é denominada... 
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MATRIZ DIAGONAL!!!!
Podemos observar ainda que a MATRIZ DIAGONAL é um caso particular da MATRIZ TRIANGULAR, por apresentar algumas características semelhantes :
É uma matriz quadrada e os elementos nulos acima e abaixo da diagonal principal têm a forma de triângulo.
Nesse tipo de matriz, aij = 0 para i ǂ j.
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O que as matrizes quadradas abaixo têm de curioso?
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 1 0
 0 1 
Os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1, e os demais, iguais a 0.
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A matriz quadrada de ordem n, em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são nulos, é denominada MATRIZ IDENTIDADE.
Nesse tipo de matriz, aij = 0 para i ǂ j e aij = 1 para i = j
Indicamos uma matriz identidade de ordem n por In.
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EXEMPLOS:
 1 0
 0 1 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
MATRIZ IDENTIDADE de ordem 2: I2
I2 =
I3 =
MATRIZ IDENTIDADE de ordem 3: I3
A matriz identidade é uma caso particular de matriz diagonal.
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Utilizando o diagrama de Venn, podemos relacionar as matrizes quadradas (Q), triangulares (T), diagonais (D) e identidades (I), assim:
Note que toda matriz identidade, diagonal e triangular é uma matriz quadrada.
Q
T
D
I
Todos os elementos ACIMA E ABAIXO da diagonal principal são nulos e os que a compõem são iguais a 1.
Todos os elementos ACIMA E ABAIXO da diagonal principal são nulos.
Todos os elementos ACIMA OU ABAIXO da diagonal principal são nulos.
O NÚMERO DE LINHAS É IGUAL AO NÚMERO DE COLUNAS.
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Das matrizes apresentadas, quais você denominaria MATRIZ NULA? Por quê?
Observe as matrizes atentamente.
 0 0
 0 0 
 1 2 
A=
B=
C=
D=
0 0 0
0 0 0
1 2
4 5
7 8
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RESPOSTA PROVÁVEL :
As matrizes A e C são nulas, pois todos os seus elementos são iguais a zero, ou seja , NULOS:PARABÉNS!!!!!! 
É ISSO MESMO!!!
 0 0
 0 0 
A=
C=
0 0 0
0 0 0
Observe que a matriz A é quadrada, e a matriz C não é.
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Concluindo:
Denominamos MATRIZ NULA aquela que possui todos os elementos iguais a zero. E tem mais...
...nesse tipo de matriz, aij = 0 para qualquer i e j, com 1 ≤ i ≤ m e i ≤ j ≤ n.
Indicamos uma matriz nula de ordem m x n por 0mxm ou, se a matriz nula for quadrada, por 0n.
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 0 0
 0 0 
02 =
02x3 =
0 0 0
0 0 0
EXEMPLOS:
MATRIZ NULA de ordem 2 x 3.
MATRIZ NULA de ordem 2.
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Seguindo a sua intuição, separe as matrizes abaixo em dois grupos: MATRIZ LINHA E MATRIZ COLUNA. Em seguida, justifique sua resposta.
2 4 0 -3
-3 2 7 0 6
4 0 -1
 2
 5
-1
 2
 15
 1
-4
 3
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RESPOSTA ESPERADA:
MATRIZ LINHA
MATRIZ COLUNA
2 4 0 -3
-3 2 7 0 6
4 0 -1
 2
 5
-1
 2
 15
 1
-4
 3
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JUSTIFICATIVA:
Toda matriz que possui apenas uma linha ou que possui uma coluna recebe, respectivamente, o nome de MATRIZ LINHA e MATRIZ COLUNA.
PARABÉNS!!!!! MUITO BEM!!!!
Sendo assim, de modo geral, temos:
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Uma matriz do tipo 1 x n é chamada MATRIZ LINHA.
Uma matriz do tipo m x 1 é chamada MATRIZ COLUNA.
2 4 0 -3
Matriz linha de ordem 1 x 4
 1
-4
 3
Matriz coluna de ordem 3 x 1
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ATIVIDADES
1. Dada a matriz
Extraído do livro, Novo Olhar MATEMÁTICA, Joamir Souza,1 ed., vol. 2, Página133, São Paulo,FTD, 2010.
2 0 1 10
3 6 0 -2
1 -4 -1 3
-5 1 0 -6
A=
, calcule a diferença entre a soma dos elementos da diagonal principal e a dos elementos da diagonal secundária.
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Extraído do livro, Novo Olhar MATEMÁTICA, Joamir Souza,1 ed., vol. 2, Página133, São Paulo,FTD, 2010.
3. O traço de uma matriz quadrada é igual à soma dos elementos da diagonal principal. Calcule o traço da matriz:
a) A=
 5 12 
 8 -9
b) B=
-1 0 2 
4 5 -2
8 9 3
2. Classifique cada matriz em quadrada, triangular, diagonal, identidade, nula, linha ou coluna
a) A=
0 1 0 1
b) B=
0 0 0 
0 0 0
c) C=
 
d) D=
 3 -1
 0 3 
f) F=
 0
 1 
 0 
 0 
e) E=
 
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Extraído do livro, Novo Olhar MATEMÁTICA, Joamir Souza,1 ed., vol. 2, Página133, São Paulo,FTD, 2010.
4.Julgue cada afirmação verdadeira (V) ou falsa (F).
Toda matriz quadrada nula é triangular.
A matriz identidade é um exemplo de matriz diagonal.
Toda matriz quadrada é triangular superior.
Quando pelo menos um elemento da matriz é igual a 0, então a matriz é denominada nula.
O traço da matriz identidade é numericamente igual a sua ordem.
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GABARITO
1) 0
2)
a)linha	 d)quadrada e triangular
b)nula 	 e)quadrada, triangular, diagonal e identidade
c)quadrada	 f)coluna
3) A= -4; B = 7
4)a)V b)V c)F d)F e)V
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Extraído do livro, MATEMÁTICA: ciência, linguagem e tecnologia,2, Jackson Ribeiro, Página121, São Paulo,Scipione, 2010.
 
ATIVIDADES
B=
 
 
A=
 
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Extraído do livro, MATEMÁTICA: ciência, linguagem e tecnologia,2, Jackson Ribeiro, Página121, São Paulo,Scipione, 2010.
20. (Unifor – CE) Qual a alternativa verdadeira?
a) 
 1 0 0 
 1 1 0
 1 1 1
é uma matriz diagonal
b) 
 1 1 
 0 1
é uma matriz triangular
c) 
 0 1 
 1 0
é uma matriz identidade 
d) 
 1 0 
 1 1
é uma matriz simétrica
e) 
 0 0 
 1 1
é a matriz simétrica de 
 1 0 
 1 0
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GABARITO
18) x = -2 e x = 0
19) x = 1
20) b
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BIBLIOGRAFIA
-Behrens, Marilda Aparecida. O paradigma emergente e a prática pedagógica, 4ª edição, Petrópolis-RJ, Vozes, 2010.
-Parâmetros curriculares nacionais: Matemática, Ensino Médio – Brasília : MEC.
-Ribeiro, Jackson. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia, 2,Ensino Médio,São Paulo, Scipione, 2010.
Souza, Joamir Roberto de. Novo Olhar Matemática, vol. 2,1 ed.,São Paulo, FTD, 2010
-www.somatematica.com.br
-http://tvescola.mec.gov.br/
-www.brasilescola.com/matematica/tipo-matrizes.htm
-www. matematicoteca.blogspot.com.br/2011/08/tipos-de-matrizes.html