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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 1a Questão Marque a alternativa correta Existem três tipos de grandeza: as escalares, as vetoriais e as algébricas. Sobre as grandezas escalares pode-se afirmar que são aquelas que ficam completamente definidas por apenas a direção. Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento e mesma direção, não podem ser classificados como paralelos ou colineares. Força, velocidade e aceleração são grandezas algébricas. As grandezas vetoriais para serem perfeitamente definidas necessita-se conhecer o valor do módulo, sua direção e seu sentido. Respondido em 05/05/2020 17:25:32 Explicação: Definições no conteúdo online 2a Questão Calcule o ângulo entre os vetores u=(3,2) e v=(6,4) 60° 30° 0° 90° 45° Respondido em 05/05/2020 17:25:27 Explicação: u.v=(3,2).(6,4)=3.6+2.4=18+8=26 !!u!!=V3²+2²=V9+4=V13 !!v!!=V6²+4²=V36+16=V52=2V13 Então: cos A= u.v / !!u!!.!!v!! = 26 /V13.2V13 = 1 => A=0° 3a Questão Um pesquisador perdeu parte dos dados de sua pesquisa. Ele precisa descobrir qual é o valor de z pertencente ao ponto P (0,0,z). O pesquisador sabe que P com o vetor T (-1,2,-2) tem como distância o valor 3. Portanto P será: O vetor P pode ser P(1,0,0) ou P(0,0,0) O vetor P pode ser P(0,1,0) ou P(0,0,5) O vetor P pode ser P(0,0,1) ou P(0,3,2) O vetor P pode ser P(0,0,0) ou P(0,0,-4) O vetor P pode ser P(0,2,3) ou P(1,0,4) Respondido em 05/05/2020 17:25:47 Explicação: Um pesquisador perdeu parte dos dados de sua pesquisa. Ele precisa descobrir qual é o valor de z pertencente ao ponto P (0,0,z). O pesquisador sabe que P com o vetor T (-1,2,-2) tem como distância o valor 3. Portanto P será: √(0−(−1))2+(0−2)2+(z+2)2=3entaoz2+4z+9=9(0−(−1))2+(0−2)2+(z+2)2=3entaoz2+4z+9=9 z = - 4 e z = 0 Portanto P = (0,0,0) ou P (0,0,-4) 4a Questão Um carro percorre uma distância de 72 km ao longo de uma estada, no sentido sul-norte, depois pega uma estrada secundária, percorrendo mais 65 km, no sentido leste-oeste. Calcule o módulo do deslocamento resultante. 30 90 97 87 72 Respondido em 05/05/2020 17:25:55 Explicação: c2=a2+b2 c2=a2+b2 c2=722+652 c2=722+652 c2=5184+4225 c2=5184+4225 c=9409 √c=9409 c = 97 km O vetor resultante tem módulo 97 quilômetros. 5a Questão O carteiro percorre uma distância para entregar uma carta saindo do ponto A (0,5) até o ponto B (3,-2). Sabendo que a distância percorrida pelo carteiro pode ser representado pelo módulo do vetor AB . Calcule a distância percorrida pelo carteiro. 1 u.c 7 u.c 6 u.c √58u.c58u.c 10 u.c Respondido em 05/05/2020 17:26:05 Explicação: O carteiro percorre uma distância para entregar uma carta saindo do ponto A (0,5) até o ponto B (3,-2). Sabendo que a distância percorrida pelo carteiro pode ser representado pelo módulo do vetor AB . Calcule a distância percorrida pelo carteiro. Vetor AB = B - A = (3,-2) - (0,5) = (3-0, -2 -5) = (3,-7) Modulo de AB que irá representar a distância = √(3−0)2+(−2−5)2(3−0)2+(−2−5)2= √32+(−7)2=√58u.c32+(−7)2=58u.c 6a Questão Sabendo que a distância percorrida por uma partícula é o módulo do vetor que representa essa distância. Calcule a distância do vetor T(-12,9) a origem. 2 u.c 15 u.c 4 u.c 200 u.c 5 u.c Respondido em 05/05/2020 17:26:13 Explicação: O modulo do vetor T(-12,9) a origem será √(−12−0)2+(9−0)2=15u.c(−12−0)2+(9−0)2=15u.c 7a Questão São grandezas escalares todas as quantidades a seguir, EXCETO: Velocidade de 80km/h80km/h Terreno de 220m2220m2 Temperatura de 35∘C35°C Peso de 60kg60kg Volume de 2L2L Respondido em 05/05/2020 17:26:05 Explicação: As grandezas que não são completamente definidas apenas por seu módulo são denominadas de grandezas vetoriais. Assim a velocidade é uma grandeza vetorial. 8a Questão Determinar a origem A do segmento que representa o vetor u =(2,3, -1) sendo sua extremidade o ponto B = (0, 4,2). A=(-2, 1, 3) A=(-2, -1, 3) A=(4, 1, -3) A=(2, 1, 3) A=(4, 1, 3) Respondido em 05/05/2020 17:26:44 Explicação: u = AB = B - A -> A = B - u 1a Questão Um carro percorre uma distância de 72 km ao longo de uma estada, no sentido sul-norte, depois pega uma estrada secundária, percorrendo mais 65 km, no sentido leste-oeste. Calcule o módulo do deslocamento resultante. 72 97 87 90 30 Respondido em 05/05/2020 17:31:30 Explicação: c2=a2+b2 c2=a2+b2 c2=722+652 c2=722+652 c2=5184+4225 c2=5184+4225 c=9409 √c=9409 c = 97 km O vetor resultante tem módulo 97 quilômetros. 2a Questão O carteiro percorre uma distância para entregar uma carta saindo do ponto A (0,5) até o ponto B (3,-2). Sabendo que a distância percorrida pelo carteiro pode ser representado pelo módulo do vetor AB . Calcule a distância percorrida pelo carteiro. 1 u.c 10 u.c 7 u.c √58u.c58u.c 6 u.c Respondido em 05/05/2020 17:31:39 Explicação: O carteiro percorre uma distância para entregar uma carta saindo do ponto A (0,5) até o ponto B (3,-2). Sabendo que a distância percorrida pelo carteiro pode ser representado pelo módulo do vetor AB . Calcule a distância percorrida pelo carteiro. Vetor AB = B - A = (3,-2) - (0,5) = (3-0, -2 -5) = (3,-7) Modulo de AB que irá representar a distância = √(3−0)2+(−2−5)2(3−0)2+(−2−5)2= √32+(−7)2=√58u.c32+(−7)2=58u.c 3a Questão Sabendo que a distância percorrida por uma partícula é o módulo do vetor que representa essa distância. Calcule a distância do vetor T(-12,9) a origem. 200 u.c 2 u.c 15 u.c 5 u.c 4 u.c Respondido em 05/05/2020 17:32:25 Explicação: O modulo do vetor T(-12,9) a origem será √(−12−0)2+(9−0)2=15u.c(−12−0)2+(9−0)2=15u.c 4a Questão São grandezas escalares todas as quantidades a seguir, EXCETO: Terreno de 220m2220m2 Temperatura de 35∘C35°C Peso de 60kg60kg Volume de 2L2L Velocidade de 80km/h80km/h Respondido em 05/05/2020 17:32:32 Explicação: As grandezas que não são completamente definidas apenas por seu módulo são denominadas de grandezas vetoriais. Assim a velocidade é uma grandeza vetorial. 5a Questão Um pesquisador perdeu parte dos dados de sua pesquisa. Ele precisa descobrir qual é o valor de z pertencente ao ponto P (0,0,z). O pesquisador sabe que P com o vetor T (-1,2,-2) tem como distância o valor 3. Portanto P será: O vetor P pode ser P(0,1,0) ou P(0,0,5) O vetor P pode ser P(0,2,3) ou P(1,0,4) O vetor P pode ser P(0,0,0) ou P(0,0,-4) O vetor P pode ser P(0,0,1) ou P(0,3,2) O vetor P pode ser P(1,0,0) ou P(0,0,0) Respondido em 05/05/2020 17:32:40 Explicação: Um pesquisador perdeu parte dos dados de sua pesquisa. Ele precisa descobrir qual é o valor de z pertencente ao ponto P (0,0,z). O pesquisador sabe que P com o vetor T (-1,2,-2) tem como distância o valor 3. Portanto P será: √(0−(−1))2+(0−2)2+(z+2)2=3entaoz2+4z+9=9(0−(−1))2+(0−2)2+(z+2)2=3entaoz2+4z+9=9 z = - 4 e z = 0 Portanto P = (0,0,0) ou P (0,0,-4) 6a Questão Determinar a origem A do segmento que representa o vetor u =(2,3, -1) sendo sua extremidade o ponto B = (0, 4,2). A=(2, 1, 3) A=(4, 1, 3) A=(4, 1, -3) A=(-2, -1, 3) A=(-2, 1, 3) Respondido em 05/05/2020 17:32:34 Explicação: u = AB = B - A -> A = B - u 7a Questão Marque a alternativa correta As grandezas vetoriais para serem perfeitamente definidas necessita-se conhecero valor do módulo, sua direção e seu sentido. Existem três tipos de grandeza: as escalares, as vetoriais e as algébricas. Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento e mesma direção, não podem ser classificados como paralelos ou colineares. Sobre as grandezas escalares pode-se afirmar que são aquelas que ficam completamente definidas por apenas a direção. Força, velocidade e aceleração são grandezas algébricas. Respondido em 05/05/2020 17:32:44 Explicação: Definições no conteúdo online 8a Questão Calcule o ângulo entre os vetores u=(3,2) e v=(6,4) 0° 45° 30° 90° 60° Respondido em 05/05/2020 17:33:02 Explicação: u.v=(3,2).(6,4)=3.6+2.4=18+8=26 !!u!!=V3²+2²=V9+4=V13 !!v!!=V6²+4²=V36+16=V52=2V13 Então: cos A= u.v / !!u!!.!!v!! = 26 /V13.2V13 = 1 => A=0° 1a Questão Um carro percorre uma distância de 72 km ao longo de uma estada, no sentido sul-norte, depois pega uma estrada secundária, percorrendo mais 65 km, no sentido leste-oeste. Calcule o módulo do deslocamento resultante. 30 90 87 72 97 Respondido em 05/05/2020 17:34:13 Explicação: c2=a2+b2 c2=a2+b2 c2=722+652 c2=722+652 c2=5184+4225 c2=5184+4225 c=9409 √c=9409 c = 97 km O vetor resultante tem módulo 97 quilômetros. 2a Questão O carteiro percorre uma distância para entregar uma carta saindo do ponto A (0,5) até o ponto B (3,-2). Sabendo que a distância percorrida pelo carteiro pode ser representado pelo módulo do vetor AB . Calcule a distância percorrida pelo carteiro. √58u.c58u.c 1 u.c 6 u.c 10 u.c 7 u.c Respondido em 05/05/2020 17:34:20 Explicação: O carteiro percorre uma distância para entregar uma carta saindo do ponto A (0,5) até o ponto B (3,-2). Sabendo que a distância percorrida pelo carteiro pode ser representado pelo módulo do vetor AB . Calcule a distância percorrida pelo carteiro. Vetor AB = B - A = (3,-2) - (0,5) = (3-0, -2 -5) = (3,-7) Modulo de AB que irá representar a distância = √(3−0)2+(−2−5)2(3−0)2+(−2−5)2= √32+(−7)2=√58u.c32+(−7)2=58u.c 3a Questão Sabendo que a distância percorrida por uma partícula é o módulo do vetor que representa essa distância. Calcule a distância do vetor T(-12,9) a origem. 4 u.c 2 u.c 5 u.c 200 u.c 15 u.c Respondido em 05/05/2020 17:34:27 Explicação: O modulo do vetor T(-12,9) a origem será √(−12−0)2+(9−0)2=15u.c(−12−0)2+(9−0)2=15u.c 4a Questão São grandezas escalares todas as quantidades a seguir, EXCETO: Velocidade de 80km/h80km/h Terreno de 220m2220m2 Temperatura de 35∘C35°C Volume de 2L2L Peso de 60kg60kg Respondido em 05/05/2020 17:34:34 Explicação: As grandezas que não são completamente definidas apenas por seu módulo são denominadas de grandezas vetoriais. Assim a velocidade é uma grandeza vetorial. 5a Questão Um pesquisador perdeu parte dos dados de sua pesquisa. Ele precisa descobrir qual é o valor de z pertencente ao ponto P (0,0,z). O pesquisador sabe que P com o vetor T (-1,2,-2) tem como distância o valor 3. Portanto P será: O vetor P pode ser P(0,0,1) ou P(0,3,2) O vetor P pode ser P(0,2,3) ou P(1,0,4) O vetor P pode ser P(1,0,0) ou P(0,0,0) O vetor P pode ser P(0,1,0) ou P(0,0,5) O vetor P pode ser P(0,0,0) ou P(0,0,-4) Respondido em 05/05/2020 17:34:27 Explicação: Um pesquisador perdeu parte dos dados de sua pesquisa. Ele precisa descobrir qual é o valor de z pertencente ao ponto P (0,0,z). O pesquisador sabe que P com o vetor T (-1,2,-2) tem como distância o valor 3. Portanto P será: √(0−(−1))2+(0−2)2+(z+2)2=3entaoz2+4z+9=9(0−(−1))2+(0−2)2+(z+2)2=3entaoz2+4z+9=9 z = - 4 e z = 0 Portanto P = (0,0,0) ou P (0,0,-4) 6a Questão Determinar a origem A do segmento que representa o vetor u =(2,3, -1) sendo sua extremidade o ponto B = (0, 4,2). A=(2, 1, 3) A=(-2, -1, 3) A=(4, 1, 3) A=(-2, 1, 3) A=(4, 1, -3) Respondido em 05/05/2020 17:34:50 Explicação: u = AB = B - A -> A = B - u 7a Questão Marque a alternativa correta Existem três tipos de grandeza: as escalares, as vetoriais e as algébricas. Força, velocidade e aceleração são grandezas algébricas. Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento e mesma direção, não podem ser classificados como paralelos ou colineares. Sobre as grandezas escalares pode-se afirmar que são aquelas que ficam completamente definidas por apenas a direção. As grandezas vetoriais para serem perfeitamente definidas necessita-se conhecer o valor do módulo, sua direção e seu sentido. Respondido em 05/05/2020 17:34:44 Explicação: Definições no conteúdo online 8a Questão Calcule o ângulo entre os vetores u=(3,2) e v=(6,4) 45° 0° 90° 30° 60° Respondido em 05/05/2020 17:35:14 Explicação: u.v=(3,2).(6,4)=3.6+2.4=18+8=26 !!u!!=V3²+2²=V9+4=V13 !!v!!=V6²+4²=V36+16=V52=2V13 Então: cos A= u.v / !!u!!.!!v!! = 26 /V13.2V13 = 1 => A=0° 1a Questão A reta r definida por x = - y e a reta s definida por ax - 3y = 0 são ortogonais. Qual o valor de a? a=32a=32 a=0a=0 a=−3a=−3 a=12a=12 a=3a=3 Respondido em 05/05/2020 17:35:48 Explicação: y=mx+qy=mx+q r:x=−y.:y=−xr:x=−y.:y=−x s:ax−3y=0.:3y=−axy=−ax3s:ax−3y=0.:3y=−axy=−ax3 −1=−a3−3=−aa=3−1=−a3−3=−aa=3 2a Questão Calcule o ângulo entre os vetores v = (2,2) e u = (0,2). α=48°α=48° α=44°α=44° α=46°α=46° α=45°α=45° α=47°α=47° Respondido em 05/05/2020 17:35:59 Explicação: I)|v|=√22+22=√8=2√2|u|=√02+22=√4=2II)|u|.|v|=2.2√2=4√2I)|v|=22+22=8=22|u|=02+22=4=2II)|u|.|v|=2.22=42 III)|v,u|=(2.0)+(2.2)|v,u|=0+4|v,u|=4IV)cosα=44√2cosα=1√2cosα=√22α=45°III)|v,u|=(2.0)+(2.2)|v,u|=0+4|v,u|=4IV)cosα=442cosα=12cosα=22α=45° 3a Questão Dados os pontos A(3 , m - 1, - 4) e B(8 , 2m - 1, m), determinar "m" de modo que |AB| = √3535. m = {-3, -2} m = {4, -1} m = {-5, -3} m = {3, -1} m = {-3, -1} Respondido em 05/05/2020 17:36:11 Explicação: A(3 , m - 1, - 4) e B(8 , 2m - 1, m), logo AB = (8 - 3, (2m - 1) - (m - 1), m - (-4)) = (5, m, m + 4). |AB| = √52+m2+(m+4)252+m2+(m+4)2 35 = 2m2 + 8m + 41 m1 = -3 e m2 = -1 4a Questão Dados os vetores →u=(3,5)u→=(3,5) e →v=(−1,2)v→=(−1,2), a soma →s=→u+→vs→=u→+v→ será: →s=(2,7)s→=(2,7) →s=(3,5)s→=(3,5) →s=(2,3)s→=(2,3) →s=(0,0)s→=(0,0) →s=(4,7)s→=(4,7) Respondido em 05/05/2020 17:36:28 Explicação: →s=→u+→v=(3,5)+(−1,2)=(2,7)s→=u→+v→=(3,5)+(−1,2)=(2,7) 5a Questão Dados os vetores −−→AB=(3,8)AB→=(3,8), o vetor 4−−→AB4AB→ será : 4−−→AB=(7,12)4AB→=(7,12) 4−−→AB=(−1,4)4AB→=(−1,4) n.d.a 4−−→AB=(0,0)4AB→=(0,0) 4−−→AB=(12,32)4AB→=(12,32) Respondido em 05/05/2020 17:36:19 Explicação: 4−−→AB=4.(3,8)=(4.3,4.8)=(12,32)4AB→=4.(3,8)=(4.3,4.8)=(12,32) 6a Questão Dados os vetores v = (2,2) e u = (0,2), calcule o ângulo entre eles 48° 47° 46° 45° 49° Respondido em 05/05/2020 17:36:29 Explicação: cosx=(2,2).(0,2)2√8=42√8cosx=(2,2).(0,2)28=428 cosx=2√8cosx=28 x=π4=45°x=π4=45° 7a Questão Dados os pontos A(3, m-1, -4) e B(8, 2m - 1, m), determine "m" de modo que |AB| = √3535. 0 e -3 3 e -1 1 e 3 -1 e -3 -2 e -3 Respondido em 05/05/2020 17:36:51 Explicação: Sendo A(3, m - 1, -4) e B(8, 2m - 1, m), temos que AB = (5, m, m + 4). Logo |AB| = √52+m2+(m+4)2=√2m2+8m+4152+m2+(m+4)2=2m2+8m+41 Sendo |AB| = √3535 ⇒ √35=√2m2+8m+4135=2m2+8m+41⇒ (√35)2=(√2m2+8m+41)2(35)2=(2m2+8m+41)2 Entaõ, 35 = 2m2 + 8m + 41 ⇒ 2m2 + 8m + 6 = 0 ⇒ m' = -3 e m'' = -1 8a Questão Sejam os vetores v = (0,-3,-4) e s = (-2,5,8). O vetor u = (a,b,c) é definido pela expressão 3v - s. Logo, a, b e c valem, respectivamente: -14, 2 e -20 -20, 2 e -14 20, 14 e 2 -2, 14 e 20 2, -14 e -20 Respondido em 05/05/2020 17:36:59 Explicação: 3 . (0,-3,-4) - (-2,5,8) (0,-9,-12) - (-2,5,8) (2,-14,-20) 1a Questão Considere uma reta r que passa pelo ponto B=(1,2,-1) e tem a direção de →u=(0,1,2)u→=(0,1,2). O ponto P que pertence à reta r, quando o parâmetro t é 2 será: P=(2,1,2)P=(2,1,2) P=(1,4,3)P=(1,4,3) P=(1,2,−1)P=(1,2,−1) P=(0,1,2)P=(0,1,2) P=(−1,2,3)P=(−1,2,3) Respondido em 05/05/2020 17:37:38 Explicação: r(x,y,z)=(1,2,−1)+t(0,1,2)r(x,y,z)=(1,2,−1)+t(0,1,2) Se t=2 então P=(1,4,3) 2a Questão Determine d(Q, r) para Q(1, 2, 3) e r: {x - y + 2z + 1 = 0 e 2x + y - z + 3 = 0. 6√143561435 √147147 6√1476147 6√14√3561435 547547 Respondido em 05/05/2020 17:37:58 Explicação: d(Q,r)=[(1,9,7)×(−1,5,3)]√35=6√147d(Q,r)=[(1,9,7)×(−1,5,3)]35=6147 3a Questão Seja os pontos: A (-1,-1, 2), B (2, 1, 1) e C (M, -5, 3). Para qual valor de M o triângulo ABC é retângulo em A? 2 0 8 3 6 Respondido em 05/05/2020 17:37:48 Explicação: seja AB.AC=0 AB= (3,2, -1) e AC= ( M+1, -4,1), vem 3 (M+1) +M+ 2(-4) -1(1)=0 3M+ 3 -8 -1=0 3M= 6 M= 2 4a Questão Os pontos A(a,2) e B(0,b) pertencem à reta (r): 2x+y-6 = 0. Qual a distância entre os pontos A e B? 2V5 4V5 8V5 V5 3V5 Respondido em 05/05/2020 17:37:52 Explicação: A pertence a r -> 2a+2-6=0 -> a=2 => A(2,2) B pertence a r -> 2.0+b-6=0 -> b=6 => B(0,6) Logo: d(A,B) = V(0-2)² + (6-2)² = V4+16 = V20 = 2V5 5a Questão Considere o paralelogramo determinado pelos vetores v = (0,-1,-1) e s = (-3,5,8). A área desse quadrilátero é igual a um múltiplo k da raiz de três. O valor de k é igual a: 2 1 4 3 5 Respondido em 05/05/2020 17:37:59 Explicação: O produto vetorial de v x s será dado pelo vetor u: - 3i + 3j - 3k Assim, a área do paralelogramo será o módulo do vetor u. Logo: A = 3√33 6a Questão Determine as equações simétricas da reta r que passa pelo ponto A(5,-2,3) e tem a direção do vetor v=(4,-4,-7). x-4 / 5 = y+4 / -2 = z+7 / 3 x+5 / -4 = y-2 / 4 = z+3 / 7 x+4 / -5 = y-4 / 2 = z-7 / -3 x-5 / -4 = y-2 / -4 = z+3 / 7 x-5 / 4 = y+2 / -4 = z-3 / -7 Respondido em 05/05/2020 17:38:21 Explicação: As equações simétricas da reta r que passa pelo ponto P(x',y',z') e tem a direção do vetor v=(x",y",z") são dadas por x-x' / x" = y-y' /y" = z-z' / z". Basta então substituir os valores dados para se obter a equações pedidas. 7a Questão Determinar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(2,0,5) e tem a direção do vetor v=(-4,-1,3). x=t y=2t z=5+3t x=-4+2t y=-1 z=3+5t x=-4+t y=-2-t z=3-5t x=2t y=-3t z=5t x=2-4t y=-t z=5+3t Respondido em 05/05/2020 17:38:14 Explicação: As equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P(x',y',z') e tem a direção do vetor v=(x",y",z") são dadas por: x=x'+x"t y=y'+y"t z=z'+z"t BAsta então substituir os valores dados para se obter as equações. 8a Questão Qual o volume do paralelepípedo definido pelos vetores u = (-3,-3,-3), v = (0,4,9) e t = (-1,2,7)? 10 15 30 5 20 Respondido em 05/05/2020 17:38:36 Explicação: O volume do paralelepípedo é definido por: V = |u,v,t| -3 -3 -3 0 4 9 -1 2 7 O módulo do determinante da matriz será equivalente ao volume. Logo: V = 15 1a Questão Dados A=(3,2,1) e →v=(2,1,−1)v→=(2,1,−1), a equação do plano ππ que passa por A e é ortogonal a →vv→, será: x−y−z+9=0x−y−z+9=0 2x+y−z+9=02x+y−z+9=0 3x+2y−z+9=03x+2y−z+9=0 2x+y−z−9=02x+y−z−9=0 3x+y−z+9=03x+y−z+9=0 Respondido em 05/05/2020 17:39:19 Explicação: π:2x+y−z+d=0π:2x+y−z+d=0 Como A pertence a ππentão 2.(3)+1.(2)-1.(-1)+d=0 6+2+1+d=0 9+d=0 d=-9 2x+y−z−9=02x+y−z−9=0 2a Questão Dado o ponto A(2, 3, -4) e o vetor v = (1, -2, 3), determine as equações paraétricas da reta r que passa por A e tem a direção de v. r:{x = 2 + 2t; y = 3 - 3t e z = -4 + 3t r:{ x = 1 + t; y = 2 - 2t e z = -4 + 3t r:{x = 2 - t; y = 3 + 2t e z = 4 - 2t r:{ x = 1 + 2t; y = 3 - 4t e z = -2 + 3t r:{x = 2 + t; y = 3 - 2t e z = -4 + 3t Respondido em 05/05/2020 17:39:39 Explicação: Pela condição de igualdade entre pontos e vetores, temos: r (x, y, z) = A(2, 3, -4) + t(1, -2, 3), daí obtemos a equação de forma direta. 3a Questão A equação geral do plano ππ que passa pelo ponto A(0,-1,3) e é ortogonal ao vetor n = (-2,3,4) é corretamente representada por: x + y + z = 0 2x - 4y - 3z - 9 = 0 3x - 4y + 5z - 11 = 0 2x - 3y - 4z + 9 = 0 - 2x - 3y - 4z - 9 = 0 Respondido em 05/05/2020 17:39:29 Explicação: A(0,-1,3) e n = (-2,3,4) Assim: ππ: -2x + 3y + 4z + d = 0 Como A pertence ao plano ⇒ -2(0) + 3(-1) + 4(3) + d = 0 ⇒ -3 + 12 + d = 0 ⇒ d = -9 Assim: ππ: -2x + 3y + 4z - 9 = 0 ⇒ ππ: 2x - 3y - 4z + 9 = 0 4a Questão Deterninar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(2,1, -2) e é perpendicular à reta r: {x = -4 + 3t; y = 1 + 2t e z = t. 3x + 3y - z + 6 = 0 -3x - 2y + z - 3 = 0 3x + 2y + z - 6 = 0 2x + 3y + z - 6 = 0 2x + 2y + z - 2 = 0 Respondido em 05/05/2020 17:39:39 Explicação: O vetor diretor desta reta é normal a este plano (3, 2, 1). Então, a equação do plano, de acordo com a fórmula: a(x - x1) + b(y - y1) + c(z - z1) = 0 ou ainda pela fórmula ax + by + cz - ax1 - by1 - cz1 = 0, temos: 3(x - 2) + 2(y - 1) + 1(z + 2) = 0, resultando na equação: 3x + 2y + z - 6 = 0 . 5a Questão Dado o plano ππ determinado pelos pontos A(-2,0,-2), B(1,2,4) e C(-1,-2,6). Um sistema de equações paramétricas de ππ é corretamente representado por: x = -2 + 3h + t y = 2h - 2t z = -2 + 6h + 8t x = -2 + 3h y = 2h z = -2 + 6h + 8t x =3h + t y = 2h + t z = -2 + 6h + 8t x = 3h + t y = 2h - 2t z = 6h + 8t x = 2 + 3h + t y = - 2h - 2t z = -2 + h + 8t Respondido em 05/05/2020 17:39:43 Explicação: Determinamos os vetores diretores do plano: AB = B - A = (1,2,4) - (-2,0,-2) = (3,2,6) AC = C - A = (-1,-2,6) - (-2,0,-2) = (1,-2,8) Logo, as equações paramétricas serão: x = -2 + 3h + t y = 2h - 2t z = -2 + 6h + 8t 6a Questão Calcule a distância entre as retas: r: X = (1, 0, 2) + h(1, 1, 1); h∈Rh∈R e s: x - 1 = y + 2 = z - 3. √423423 √423423 √403403 403403 9 Respondido em 05/05/2020 17:39:52 Explicação: Como os coeficientes das retas r e s são iguais, (1, 1, 1), estas são paralelas. Cosiderando R(1, 0, 2) e S(1, -2, 3) pontos de r e s, respectivamente, então: d(r,s)=[(0,−2,1)×(1,1,1)][(1,1,1)]d(r,s)=[(0,−2,1)×(1,1,1)][(1,1,1)] = √423423 1a Questão Qual deve ser o valor de m para que os vetores u = (2,m,0), v = (1,-1,2) e w = (-1,3,-1) sejam coplanares? - 9 - 10 - 13 - 11 - 14 Respondido em 05/05/2020 17:40:37 Explicação: Para que os vetores sejam coplanares, deve-se ter (u,v,w) = 0, ou seja. 2 m 0 1 -1 2 = 0 -1 3 -1 Logo 2 - 2m - 12 + m = 0 e, portanto, m = -10 2a Questão Determine a equação da circunferência com o centroem Q(0,−2)Q(0,−2) e raio 44. x2+y2=16x2+y2=16 x2+(y+2)2=16x2+(y+2)2=16 x2+(y+2)2=14x2+(y+2)2=14 (x+1)2+(y+2)2=15(x+1)2+(y+2)2=15 (x+2)2+y2=16(x+2)2+y2=16 Respondido em 05/05/2020 17:40:46 Explicação: Usando a fórmula da equação reduzida temos: (x−a)2+(y−b)2=r2(x−a)2+(y−b)2=r2 (x−0)2+(y+2)2=42(x−0)2+(y+2)2=42 x2+(y+2)2=16x2+(y+2)2=16 3a Questão Determine a equação reduzida da circunferência com centro no ponto A(1,-2) e que passa pelo ponto P(2,3). (x−1)2+(y+2)2=26(x−1)2+(y+2)2=26 (x−1)2+(y+2)2=25(x−1)2+(y+2)2=25 (x+2)2+(y−1)2=22(x+2)2+(y−1)2=22 (x−2)2+(y+2)2=23(x−2)2+(y+2)2=23 (x−2)2+(y+1)2=24(x−2)2+(y+1)2=24 Respondido em 05/05/2020 17:41:33 Explicação: Primeiro ache o raio pela fórmula: r = d(P,A) = √(x−a)2+(y+b)2(x−a)2+(y+b)2 / r2 = (x-a)2 + (y-b)2 r = √(x−1)2+(y+2)2(x−1)2+(y+2)2 r = √(2−1)2+(3+2)2=√12+52(2−1)2+(3+2)2=12+52 r = √1+251+25 r = √2626 Agora siga pela fórmula da equação: (x-a)2 + (y-b)2 = r2 (x−1)2+(y+2)2=(√26)2(x−1)2+(y+2)2=(26)2 (x−1)2+(y+2)2=26(x−1)2+(y+2)2=26 4a Questão A hipérbole x2−y2=1x2−y2=1 apresenta os focos F1 e F2, respectivamente, iguais a: F1(0,0) e F2(√22,0) F1(−√2,√2−2,2) e F2(1,1) F1(−√2−2,0) e F2(0,0) F1(−√2,0−2,0) e F2(√2,02,0) F1(-1,0) e F2(1,0) Respondido em 05/05/2020 17:41:58 Explicação: Pela equação da hipérbole, o centro é C(0,0) e o eixo real está sobre o eixo dos x: a2=1a2=1 e b2=1b2=1 c 2=a2+b2c 2=a2+b2 ⇒ c = ±√2±2 Logo, os focos serão: F1(−√2,0−2,0) e F2(√2,02,0) 5a Questão Determine a equação da circunferência com o centro em D(0,0) e raio 5. y2=26y2=26 x2−y2=25x2−y2=25 x2+y2=26x2+y2=26 x2+y2=25x2+y2=25 x2=25x2=25 Respondido em 05/05/2020 17:41:51 Explicação: Usando a fórmula da equação reduzida temos: (x−a)2+(y−b)2=r2(x−a)2+(y−b)2=r2 (x−0)2+(y−0)2=52(x−0)2+(y−0)2=52 x2+y2=25x2+y2=25 6a Questão Uma parábola passa pelos pontos A(0,5), B(2,-3) e C(3,-4). A soma das coordenadas do vértice é: 1 2 -1 -2 0 Respondido em 05/05/2020 17:42:12 Explicação: y = ax2+bx+cax2+bx+c a(0) + b(0) + c = 5 ⇒ c = 5 a(2)^2 + b(2) + 5 = - 3 ⇒ 2a + b = - 4 a(3)^2 + b(3) + 5 = - 4 ⇒ 3a + b = - 3 Resolvendo o sistema: a = 1 e b = -6 Logo: y=x2−6x+5y=x2−6x+5 V(−b2a−b2a,−Δ4a−Δ4a) −b2a−b2a = −(−6)2−(−6)2 = 3 −Δ4a−Δ4a = 4∗(1)∗(5)−(−6)244∗(1)∗(5)−(−6)24 = - 4 Logo: somatório das coordenadas do vértice será -1 7a Questão Determine a equação reduzida de uma circunferência com centro O(-3,1) e de raio 3. (x+3)2+(y−1)2=9(x+3)2+(y−1)2=9 (x+1)2+(y−2)2=8(x+1)2+(y−2)2=8 (x+2)2+(y−3)2=8(x+2)2+(y−3)2=8 (x+1)2+(y−3)2=8(x+1)2+(y−3)2=8 (x+2)2+(y−2)2=8(x+2)2+(y−2)2=8 Respondido em 05/05/2020 17:42:17 Explicação: (x+a)2 + (y-b)2 = r2 (x+3)2 + (y-1)2 = 32 (x+3)2 + (y-1)2 = 9 (equação na forma reduzida) 8a Questão São elemetos de uma parábola, exceto: Ordenada Diretriz Vértice Foco Eixo Respondido em 05/05/2020 17:42:11 Explicação: Ordenada é o eixo vertical do plano cartesiano 1a Questão Determine a equação da elipse de focos F1(3,0) e F2(-3,0) e vértices, que são as extremidades do eixo maior, A1(5,0) e A2(-5,0). x225+y215=1x225+y215=1 x225+y216=1x225+y216=1 x225+y213=1x225+y213=1 x225+y214=1x225+y214=1 x225+y212=1x225+y212=1 Respondido em 05/05/2020 17:42:52 Explicação: Pelos dados do problema, os focos estão no eixo Ox e temos a = 5 e c = 3. a2=b2+c2a2=b2+c2 25=b2+925=b2+9 b2=16b2=16 Neste caso, a esquação reduzida é: x2a2+y2b2=1x2a2+y2b2=1 x225+y216=1x225+y216=1 2a Questão Qual a distância entre os focos da hipérbole x²/9 - y²/4 = 1 ? 5V13 V13 2V13 4V13 7V13 Respondido em 05/05/2020 17:43:00 Explicação: Temos que: x²/a² - y²/b² = 1 -> x²/9 - y²/4 = 1 -> a²=9 -> a=3 b²=4 -> b=2 Mas: c² = a² + b² -> c² = 9 + 4 -> c² = 13 - c= V13 Daí: F1F2 = 2c = 2V13 que é a distância entre os focos da hipérbole (distância focal) 3a Questão Identifique a equação canônica da equação -16x2 + 9y2 - 160x - 54y - 895 = 0, (y−3)282−(x+5)262=1(y−3)282−(x+5)262=1 (y−2)282−(x+3)262=1(y−2)282−(x+3)262=1 (y−3)242−(x+5)232=1(y−3)242−(x+5)232=1 (y+3)282−(x−5)262=1(y+3)282−(x−5)262=1 (y−3)262+(x+5)282=1(y−3)262+(x+5)282=1 Respondido em 05/05/2020 17:43:03 Explicação: Agrupado a equação dada, temos: -16(x2 + 10x) + 9(y2 - 6y) - 895 = 0; completando os quadrados: -16[(x + 5)2 - 25] + 9[(y - 3)2 - 9] - 895 = 0; reescrevendo: - 16(x + 5)2 + 400 + 9(y - 3)2 - 91 - 895 = 0 ⇒ -16(x + 5)2 + 9(y- 3)2 - 576 = 0 no formato canônico temos: (y−3)282−(x+5)262=1(y−3)282−(x+5)262=1 4a Questão Determine o foco e a diretriz da parábola de equação y2 = 5x. Foco F(45,0)F(45,0) e a diretriz é x=−45x=−45 Foco F(54,0)F(54,0) e a diretriz é x=−54x=−54 Foco F(−54,0)F(−54,0) e a diretriz é x=54x=54 Foco F(−54,0)F(−54,0) e a diretriz é x=−54x=−54 Foco F(54,0)F(54,0) e a diretriz é x=54x=54 Respondido em 05/05/2020 17:43:08 Explicação: Podemos escrever y2 = 5x comoy2=4.54xy2=4.54x ou (y−0)2=4.54(x−0)(y−0)2=4.54(x−0). A distância do vértice (0,0) ao foco é c=54c=54. Logo, F(54,0)F(54,0) e a diretriz é x=−54x=−54 5a Questão Uma hipérbole tem equação 9x2 - 16y2 = 144. As coordenadas dos focos, as coordenadas dos vértices e a excentricidade dessa hiprébole são, respectivamente: F1(-5,0) e F2(5,0), A1(-4,0) e A2(4,0) e a excentricidade e=54e=54 F1(0,-5) e F2(0,5), A1(0,-4) e A2(0,4) e a excentricidade e=54e=54 F1(5,0) e F2(-5,0), A1(4,0) e A2(-4,0) e a excentricidade e=54e=54 F1(5,0) e F2(5,0), A1(4,0) e A2(4,0) e a excentricidade e=54e=54 F1(-5,0) e F2(-5,0), A1(-4,0) e A2(-4,0) e a excentricidade e=54e=54 Respondido em 05/05/2020 17:43:33 Explicação: 9x2−16y2=1449x2−16y2=144 ⇒ 9x2144−16y2144=1441449x2144−16y2144=144144 ⇒ x216−y29=1x216−y29=1 A equação indica que os focos estão sobre o eixo Ox com centro (0,0), daí: a2=16a2=16 ⇒ a=4a=4 b2=9b2=9 ⇒ b=3b=3 c2=a2+b2=16+9=25c2=a2+b2=16+9=25 ⇒ c=5c=5 e=ca=54e=ca=54 Logo, F1(5,0) e F2(-5,0), A1(4,0) e A2(-4,0) e a excentricidade e=54e=54 6a Questão Qual a distância entre os focos da hipérbole: x² / 9 - y² / 4 = 1 ? 7V13 2V13 4V13 5V13 V13 Respondido em 05/05/2020 17:43:33 Explicação: Temos: x²/a² - y²/b² = 1 => x²/9 - y²/4 = 1 => a²=9 => a =3 b²=4 => b =2 Mas: c² = a² + b² => c² = 9 + 4 => c² = 13 => c=V13 Daí, a distância focal é: F1F2 = 2c = 2V13 7a Questão Determine a equação de uma das assíntotas à hipérbole x²/9 - y²/36 = 1. y=2x y=3x y=-3x y=3x-2 y=x Respondido em 05/05/2020 17:43:42 Explicação: Temos: x²/9 - y²/36 = 1 -> a²=9 -> a=3 b²=36 -> b=6 x y 1 Daí: 3 6 1 = 0 -> 6x-3y-18+18 --3y + 6x = 0 -> 12x - 6y = 0 -> 6y = 12x -> y =2x -3 -6 1 8a Questão Determine os valores de p para que o ponto P(3,p) pertença a circunferência de equação x²+y²=18. +/-9 2 e -3 +/-1 +/-3 -1 e 9 Respondido em 05/05/2020 17:43:54 Explicação: Temos: 3²+p²=18 -> p²=9 -> p=+/-3 Logo: P(3,3) ou P(3,-3) 1a Questão Resolva o sistema linear abaixo obtendo osvalores de x e y. 7x + 3y = 23 15x -2y = 24 x = 1 e y = 5 x = 4 e y = -2 x = -1 e y = 10 x = 2 e y = 3 x = 3 e y = 1 Respondido em 05/05/2020 17:45:22 Explicação: Multiplique a 1a. equação por 2 e a 2a.equação por 3. Some ambas equações e obterá o valor de x = 2, substitua este valor em qualquer das equações e obterá y = 3. 2a Questão Resolva o sistema dado abaixo: 3x + 2y + z = 10 x + 2y + 2z = 11 x + y + z = 6 x = 1; y = 2 e z = 3 x = -1; y = 3 e z = -2 x = -1, y = 3 e z = -2 x = 2; ; y = 2 e z = -2 x = -1; y = -2 e z = -3 Respondido em 05/05/2020 17:45:27 Explicação: Inverta a 1a. equação com a 3a. equação, obtendo um novo sistema. Multiplique a 1a. equação por (-1) e some-a com a 2a. equação, ambas do novos sistema. Multiplique a nova 2a. equação por (-3) e some-a com a 3a. equação. Como agora você tem z = 3, substitua no sistema e obtenha x = 1 e y = 2. 3a Questão A dimensão da matriz B=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1234−140207352833⎞⎟ ⎟ ⎟⎠B=(1234−140207352833)é B4,4B4,4 B4,2B4,2 B3,3B3,3 B2,2B2,2 B2,4B2,4 Respondido em 05/05/2020 17:45:21 Explicação: B4,4B4,4 4a Questão Represente a matriz A = (aij)3x2 definida por : aij = 0 se i igual a j (-1)i+j se i diferente de j 2 -1 A = -3 1 1 -1 0 1 A = 3 -4 -2 -1 0 1 A = 3 -2 1 -1 0 -1 A = 1 0 -1 -1 0 -1 A = -1 0 1 -1 Respondido em 05/05/2020 17:45:27 Explicação: Temos que a matriz A é do tipo: a11 a12 A = a21 a22 a31 a32 Daí: a11 = 0 a21 = (-1)2+1=(-1)3=-1 a31 = (-1)3+1=(-1)3 = -1 a12 = (-1)1+2 = (-1)3 = -1 a22 = 0 a32 = (-1)3+2 = (-1)5 = -1 Então a matriz será: 0 -1 A = -1 0 1 -1 5a Questão A dimensão da matriz A=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝234−1020352−33⎞⎟ ⎟ ⎟⎠A=(234−1020352−33)é: A3,4A3,4 A4,4A4,4 A4,3A4,3 A3,3A3,3 N.D.A Respondido em 05/05/2020 17:45:42 Explicação: Matriz retangular de 4 linhas por 3 colunas 6a Questão Dadas as matrizes A=⎛⎜⎝1−52⎞⎟⎠A=(1−52), B=⎛⎜⎝−403⎞⎟⎠B=(−403) e C=⎛⎜⎝−28−6⎞⎟⎠C=(−28−6) , determine a soma dos elementos da matriz X tal que A - 2B + 3C - X = 0. 5 -6 0 1 -2 Respondido em 05/05/2020 17:45:54 Explicação: A - 2B + 3C - X = 0 X =⎛⎜⎝1−52⎞⎟⎠(1−52)- ⎛⎜⎝−806⎞⎟⎠(−806) + ⎛⎜⎝−624−18⎞⎟⎠(−624−18) X = ⎛⎜⎝319−22⎞⎟⎠(319−22) Daí, a soma dos elementos da matriz é: 3 + 19 - 22 = 0 1a Questão São dadas as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2, com aij = 3i + 4j e bij = ¿ 4i ¿ 3j. Considerando C = A + B, calcule a matriz C. C=(01−10)C=(01−10) C=(−100−1)C=(−100−1) C=(0110)C=(0110) C=(100−1)C=(100−1) C=(0−1−10)C=(0−1−10) Respondido em 05/05/2020 17:46:37 Explicação: 2a Questão Dadas as matrizes , e , determine a matriz D resultante da operação A + B ¿ C. D=⎛⎜⎝−8−9−4−2416555⎞⎟⎠D=(−8−9−4−2416555) D=⎛⎜⎝5−95−6810−852⎞⎟⎠D=(5−95−6810−852) D=⎛⎜⎝−8−512−95−8516⎞⎟⎠D=(−8−512−95−8516) D=⎛⎜⎝−8−91624101055⎞⎟⎠D=(−8−91624101055) D=⎛⎜⎝16−9−841025510⎞⎟⎠D=(16−9−841025510) Respondido em 05/05/2020 17:46:54 Explicação: 3a Questão 2 0 1 Se p = 2 1 e q = -3 1 2 então pq - p² é um número. 3 -2 4 1 4 múltiplo de 7 primo divisor de 144 ímpar 0 Respondido em 05/05/2020 17:47:05 Explicação: Temos: p = 2 1 = -4 -3 = -7 2 0 1 3 -2 e q = -3 1 2 = 8 - 3 - 4 - 4 = -3 4 1 4 Logo: pq - p² = (-7).(-3) - (-3)² = 21 - 9 = 12 4a Questão Determine a soma dos elementos da inversa da matriz A = 4 1 . 3 0 1 2 -1 0 -1/2 Respondido em 05/05/2020 17:47:39 Explicação: Temos que: A-1 = adj(A) / !A! = 0 -1 = 0 1/3 -3 4 / -3 1 -4/3 Logo: 0 + 1/3 + 1 - 4/3 = 0 5a Questão Qual a matriz A = (aij)4x4, em que aij = 3i - 2j? A=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝5−3−11−2024135746810⎞⎟ ⎟ ⎟⎠A=(5−3−11−2024135746810) A=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−1−3−5420−2753110864⎞⎟ ⎟ ⎟⎠A=(1−1−3−5420−2753110864) A=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−18027450−10−2−38−741⎞⎟ ⎟ ⎟⎠A=(−18027450−10−2−38−741) A=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−1806−4571−105−632−210⎞⎟ ⎟ ⎟⎠A=(−1806−4571−105−632−210) A=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝9−71084054−11778520⎞⎟ ⎟ ⎟⎠A=(9−71084054−11778520) Respondido em 05/05/2020 17:47:35 Explicação: aij = 3i - 2j, logo: A=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝a1,1a1,2a1,3a1,4a2,1a2,2a2,3a2,4a3,1a3,2a3,3a3,4a4,1a4,2a4,3a4,4⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠A=(a1,1a1,2a1,3a1,4a2,1a2,2a2,3a2,4a3,1a3,2a3,3a3,4a4,1a4,2a4,3a4,4) A=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝3.1−2.13.1−2.23.1−2.33.1−2.43.2−2.13.2−2.23.2−2.33.2−2.43.3−2.13.3−2.23.3−2.33.3−2.43.4−2.13.4−2.23.4−2.33.4−2.4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠A=(3.1−2.13.1−2.23.1−2.33.1−2.43.2−2.13.2−2.23.2−2.33.2−2.43.3−2.13.3−2.23.3−2.33.3−2.43.4−2.13.4−2.23.4−2.33.4−2.4) A=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−1−3−5420−2753110864⎞⎟ ⎟ ⎟⎠A=(1−1−3−5420−2753110864) 6a Questão Sejam as matrizes: A = (aij)4x3, aij = j.i e B = (bij)3x4, bij = j.i . Seja C a matriz resultante do produto entre A e B. Calcule elemento c23 da matriz C. 100 84 108 96 72 Respondido em 05/05/2020 17:47:59 Explicação: Após efetuar as somas, a matriz C ficará assim: 14 28 42 56 28 56 84 112 42 84 126 168 56 112 168 224 Mas como só nos interessa o elemento de C23... O elemento da C23 é 84. (Lembrando que o elemento C23 é encontrado na 2ª linha e 3ª coluna da matriz C) O calculo é bem simples, é 2*3 = 6 4*6 = 24 6*9 = 54 Depois basta somar, 6+24+54=84... 1a Questão Qual o cofator do elemento a13 na matriz abaixo? A=⎛⎜⎝215432768⎞⎟⎠A=(215432768) 3 5 4 2 6 Respondido em 05/05/2020 17:48:27 Explicação: Como i = 1 e j = 3, eliminamos a 1ª linha e a 3ª coluna da matriz A, e assim temos: A13 = (-1)1+3 . (4376)(4376) A13 = 1 . (24 - 21) = 3 Fórmula do cofator: Aij = (-1)i-j . Dij 2a Questão Resolva, em R, a desigualdade: ⎛⎜⎝4−12x10032⎞⎟⎠(4−12x10032) > ⎛⎜⎝1100x1002⎞⎟⎠(1100x1002) x>−1/2x>−1/2 x<−3/2x<−3/2 x>−4/3x>−4/3 x>3/2x>3/2 x<1/2x<1/2 Respondido em 05/05/2020 17:48:39 Explicação: Calculando o determinante de cada matriz, obteremos, respectivamente: 0 + 0 + 2x + 8 + 0 + 6x > 0 + 0 + 0 + 2x + 0 + 0 2x + 8 + 6x > 2x 2x + 6x - 2x > - 8 6x > -8 x > −8/6−8/6 (simplifiquea fração) x > −4/3−4/3 3a Questão Determine o cofator do elemento b22 na matriz B: B=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝3127193544300135⎞⎟ ⎟ ⎟⎠B=(3127193544300135) 89 91 87 83 85 Respondido em 05/05/2020 17:48:45 Explicação: Eliminando a 2ª linha e a 2ª coluna de B, obtemos: B22 = (-1)2+2 . ⎛⎜⎝327430035⎞⎟⎠(327430035) (nesta etapa calcule o determinante normalmente e depois multiplique para achar o cofator) B22 = 1 . 89 B22 = 89 4a Questão Sendo (a,b,c) a solução do sistema ⎧⎨⎩x−2y+4z=92x+y−10z=−133x+3y−z=10{x−2y+4z=92x+y−10z=−133x+3y−z=10,então a + 2b - c, vale: 2 3 4 6 -4 Respondido em 05/05/2020 17:48:54 Explicação: Temos: D=∣∣ ∣∣1−2421−1033−1∣∣ ∣∣=−1+60+24−12−4+30=97D=|1−2421−1033−1|=−1+60+24−12−4+30=97 Da=∣∣ ∣∣9−24−131−10103−1∣∣ ∣∣=−9+200−156−40+26+270=291Da=|9−24−131−10103−1|=−9+200−156−40+26+270=291 Db=∣∣ ∣∣1942−13−10310−1∣∣ ∣∣=13−270+80+156+18+100=97Db=|1942−13−10310−1|=13−270+80+156+18+100=97 Dc=∣∣ ∣∣1−2921−133310∣∣ ∣∣=10+78+54−27+40+39=194Dc=|1−2921−133310|=10+78+54−27+40+39=194 Daí: a = Da/D = 291/97 = 3 b = Db/D = 97/97 = 1 c = Dc/D = 194/97 = 2 Então: a + 2b - c = 3 + 2.1 - 2 = 3 5a Questão Calcule o valor do determinante: 3 2 1 1 2 5 1 -1 0 26 24 25 22 23 Respondido em 05/05/2020 17:48:50 Explicação: Nesta questão deve ser aplicado o calculo de determinante em matriz de ordem 3, copiando as duas primeiras colunas ao lado da terceira. Formando uma matriz A3x5, e seguir o calculo do determinante que ficará da seguinte forma: D = (3 . 2 . 0) + (2 . 5 . 1) - (1 . 1 . -1) - (1 . 2 . 1) + (-1 . 5 . 3) + (0 . 1 . 2) D = 0 +10 -1 -2 +15 - 0 D = 25 - 3 D = 22 6a Questão Um sistema linear tem a seguinte matriz de coeficientes ⎡⎢⎣3452k41−22⎤⎥⎦[3452k41−22]. Uma condição necessária e suficiente sobre k para que o sistema tenha uma única solução é: k diferente de −1211−1211 k diferente de 4 k diferente de 12111211 k diferente de zero k diferente de - 4 Respondido em 05/05/2020 17:49:02 Explicação: \[3452k41−22\]\[3452k41−22\] O determinante da matriz acima, aplicando a regra de Sarrus, é: k + 4 Para que o sistema admita uma única solução, k + 4 deve ser diferente de zero. Logo: k é diferente de - 4. 7a Questão Determine o valor do determinante da matriz a seguir: ⎛⎜⎝a0000000c⎞⎟⎠(a0000000c) 2bc ac bc ab abc Respondido em 05/05/2020 17:49:16 Explicação: Nesta questão deve ser aplicado o calculo de determinante em matriz de ordem 3, copiando as duas primeiras colunas ao lado da terceira. Formando uma matriz A3x5, e seguir o calculo do determinante que ficará da seguinte forma: D = (a . b . c) + (0 . 0 . 0) + (0 . 0 . 0) - (0 . b . 0) - (0 . 0 . a) - (c . 0 . 0) D = abc 1a Questão Considere a transformação linear do R², f(x,y) = (x+y , 4x) e os vetores u=(-1,3) e v=(5,2). Determine o valor de f(3u-2v). (6,-52) (8,52) (-8,52) (8,-52) (-8,-52) Respondido em 05/05/2020 17:50:16 Explicação: Temos: 3u-2v = 3(-1,3) - 2(5,2) = (-3,9) - (10,4) = (-13,5) Logo: f(x,y) = (x+y , 4x) => f(-13,5) = (-13+5 , 4.(-13)) = (-8,-52) 2a Questão Um clube promoveu um show de música popular brasileira ao qual compareceram 200 pessoas, entre sócios e não sócios. No total, o valor arrecadado foi de R$ 1 400,00 e todas as pessoas pagaram ingresso. Sabendo que o preço do ingresso foi R$ 10,00 e que cada sócio pagou metade desse valor, determine o número de sócios e não sócios que compareceram ao show. 115 sócios e 85 não sócios 78 sócios e 122 não sócios 130 sócios e 70 não sócios 120 sócios e 80 não sócios 122 sócios e 78 não sócios Respondido em 05/05/2020 17:50:42 Explicação: X+y=200 (5) X= quantidade de sócios y=quantidade não sócios 5x+10y=1400 5x+5y=1000 (-1) 5x+10y=1400 -5x-5y=-1000 5x+10y=1400 Some as duas equações 5y=400 y=80 Substitua y=80 em x+y=200 x+80=200 x=120 Foram 80 não associados e 120 associados ao show 3a Questão Um estacionamento cobra R$ 2,00 por moto e R$ 3,00 por carro estacionado. Ao final de um dia, o caixa registrou R$ 277,00 para um total de 100 veículos. Quantas motos e carros usaram o estacionamento nesse dia? 53 carros e 47 motos 77 carros e 23 motos 67 carros e 33 motos 47 motos e 53 motos 23 carros e 38 motos Respondido em 05/05/2020 17:51:47 Explicação: c,m = carro, moto 3c + 2m = 277 ........ (i) c + m = 100 ............ (ii) De (ii) tiramos: c = 100-m e aplicamos isso em (i): 3c + 2m = 277 3.(100-m) + 2m = 277 300 - 3m + 2m = 277 -m = 277-300 → multiplicamos toda equação por (-1) para positivar o "m": m = -277+300 m = 23 ====== c = 100 - m = 100 - 23 c = 77 4a Questão Considere uma colisão de dois veículos. Num sistema de coordenadas cartesianas, as posições finais destes veículos após a colisão são dadas nos pontos A = (2,2) e B = (4, 1). Para compreender como ocorreu a colisão é importante determinar a trajetória retilínea que passa pelos pontos A e B. x - 2y + 2 = 0 2x + 2y- 8 = 0 x - y = 0 x + y - 5 = 0 x + 2y - 6 = 0 Respondido em 05/05/2020 17:52:22 Explicação: Primeiro, devemos calcular o determinante entre os pontos P(x,y), A(2,2), B(4,1). | x y 1 | x y | 2 2 1 | 2 2 | 4 1 1 | 4 1 Depois, devemos fazer o cálculo do produto das diagonais principais, menos o produto das diagonais secundárias. 2x+4y+2-8-x-2y=0 x+2y-6=0 5a Questão Determine a e b para que os sistemas sejam equivalentes. x - y = 9 ax + y = 12 x + y = 5 e 2x - by = 20 a = 2 e b = 3 a = 3 e b = 4 a = 3 e b = 2 a = 4 e b = 3 a = 6 e b = 5 Respondido em 05/05/2020 17:54:06 Explicação: Primeiro resolvemos o sistema x - y = 9 x + y = 5 x - y = 9 x + y = 5 Somando as duas equações temos: 2x = 14 ⇒ 7 - 9 ⇒ y = -2 Para que os sitemas sejam equivalentes, S = {(7, -2)} também deve ser o conjunto solução do outro sistema; então: ax + y = 12 ⇒ a(7) + (-2) = 12 ⇒ 7a - 2 = 12 ⇒ 7a = 14 ⇒ a = 2 2x - by = 20 ⇒ 2(7) - b(-2) = 20 ⇒ 14 + 2b = 20 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 Portanto, a = 2 e b = 3 6a Questão A dimensão do espaço vetorial dim M5 x 5(R) é igual a: 20 25 5 0 10 Respondido em 05/05/2020 17:54:09 Explicação: A resolução é: dim M5 x 5(R) = 5 . 5 = 25 7a Questão Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram uma velha balança com defeito, que só indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim, eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas: Carlos e o cão pesam juntos 87 kg; Carlos e Andreia pesam 123 kg; Andreia e Bidu pesam 66 kg. Determine o peso de cada um deles. Andreia pesa 53 kg, Bidu 14 kg e Carlos 75 kg. Andreia pesa 51 kg, Bidu 15 kg e Carlos 72 kg. Andreia pesa 50 kg, Bidu 16 kg e Carlos 70 kg. Andreia pesa 52 kg, Bidu 16 kg e Carlos 73 kg. Andreia pesa 51 kg, Bidu 17 kg e Carlos 70 kg. Respondido em 05/05/2020 17:54:05 Explicação: Peso de Carlos = x Peso de Ándreia = y Peso de Bidu = z eq 1: x + z = 87 eq 2: x + y = 123 eq 3: y + z = 66 Agora, subtraímos a equação 1 da equação 2: (x + y) - (x + z) = 123 - 87 y - z = 36 (eq 4) Agora, somamos a eq 3 com a eq 4: (y - z) + (y + z) = 36 + 66 2y = 102 y = 51 Com y = 51, temos: y + z = 66 51 + z = 66 z = 15 Então... x + z = 87 x + 15 = 87 x = 72 Logo, os pesos de cada um são: Carlos (x) = 72 Kg Ándreia (y) = 51 Kg Bidu (z) = 15
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