Cálculo Diferencial e Integral III

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Indaial – 2019
CálCulo DiferenCial 
e integral iii
Prof.a Jaqueline Luiza Horbach
Prof. Leonardo Garcia Santos
1a Edição
Copyright © UNIASSELVI 2019
Elaboração:
Prof.a Jaqueline Luiza Horbach
Prof. Leonardo Garcia Santos
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
H811c
 Horbach, Jaqueline Luiza
 Cálculo diferencial e integral III. / Jaqueline Luiza Horbach; Leonardo 
Garcia Santos. – Indaial: UNIASSELVI, 2019.
 211 p.; il.
 ISBN 978-85-515-0347-8
 1. Cálculo diferencial. – Brasil. 2. Cálculo integral. – Brasil. I. Santos, 
Leonardo Garcia. II. Centro Universitário Leonardo Da Vinci.
CDD 515.3
III
apresentação
Prezado acadêmico! Seja bem-vindo à disciplina de Cálculo Diferencial 
e Integral III. Neste livro continuaremos o estudo iniciado nas disciplinas de 
Cálculo Diferencial e Integral I e II. No momento, adentraremos em um estudo 
com qual não estávamos acostumados. Deixaremos muitas vezes de trabalhar 
com o plano e estaremos voltados às discussões de funções no espaço, assim 
como explorado na última unidade do Cálculo Diferencial e Integral II.
Outro ponto bastante peculiar desta disciplina serão as aplicações 
existentes no campo da física como base fundamental. Em diversos 
momentos verificaremos que antes do conceito físico a ser explorado, haverá 
uma contextualização e justificativa física para o conceito, algo que até então 
não era praticado nas disciplinas teóricas da matemática. 
Por exemplo, ao verificar o fluxo de um fluído escoando em um espaço 
limitado, poderemos conhecer, dado um ponto, a quantidade deste fluído 
que escoa por unidade de tempo. Para tal, iniciaremos compreendendo as 
influências da densidade e da velocidade do fluído para apenas na sequência, 
enunciarmos o conceito de “divergente de um campo vetorial”. Conceito 
este, riquíssimo em aplicações práticas e que possui uma matemática 
extremamente rigorosa por detrás.
Este material fala mais especificadamente do Cálculo Vetorial e está 
dividido em três unidades. Na primeira unidade definiremos integral para 
funções de mais de uma variável. Em especial, as integrais duplas e triplas 
e suas respectivas mudanças de coordenada. Na Unidade 2 teremos uma 
introdução importantíssima para o estudo posterior do cálculo vetorial. 
Neste ponto abordaremos os conceitos básicos de curvas no plano e espaço 
e enunciaremos os principais campos vetoriais (e escalares) que serão 
necessários para os importantes teoremas que trataremos na Unidade 3. 
Unidade esta que trabalhará com aplicações do Cálculo na Área da Física 
e, em especial, nos casos em que as grandezas a serem estudadas sejam 
representadas por vetores.
 
Sabemos, acadêmico, que para ter sucesso nesta disciplina é preciso 
disciplina, organização e um horário de estudos pré-definido. Em sua caminhada 
acadêmica, você é quem faz a diferença. Como todo texto matemático, por 
vezes denso, você necessitará de papel, lápis, borracha, calculadora, muita 
concentração e dedicação. Aproveitando esta motivação, iniciemos a leitura 
desde livro. A melhoria constante deve ser o objetivo de todo acadêmico.
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
Esperamos que ao final deste estudo, você consiga notar a evolução 
do seu entendimento matemático, e consiga aplicar estes conhecimentos 
na sua área de atuação. Desta forma, a disciplina pretende oportunizar a 
compreensão da construção dos conhecimentos aqui trabalhados e servir de 
subsídio para os conhecimentos subsequentes.
Bons estudos!
Prof.a Dra. Jaqueline Luiza Horbach
Prof. Me. Leonardo Garcia Santos
V
VI
VII
UNIDADE 1 – INTEGRAIS MULTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS ............................................1
TÓPICO 1 – INTEGRAIS MÚLTIPLAS ................................................................................................3
1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................3
2 INTEGRAIS DUPLAS ...........................................................................................................................4
2.1 INTEGRAIS DUPLAS SOBRE RETÂNGULOS .............................................................................5
2.2 INTEGRAL DUPLA DE REGIÕES NÃO RETANGULARES ................................................... 11
3 INTEGRAL TRIPLA ............................................................................................................................. 20
3.1 INTEGRAL TRIPLA EM UMA REGIÃO COM FORMATO DE UM PARALELEPÍPEDO .. 21
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 23
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 25
TÓPICO 2 – MUDANÇA DE VARIÁVEIS NAS INTEGRAIS MÚLTIPLAS .............................. 29
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 29
2 MUDANÇA DE VARIÁVEL NA INTEGRAL DUPLA ................................................................. 30
2.1 COORDENADAS POLARES ......................................................................................................... 31
3 MUDANÇA DE VARIÁVEIS NA INTEGRAL TRIPLA ............................................................... 36
3.1 INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS CILÍNDRICAS .................................................... 37
3.2 INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS ESFÉRICAS .......................................................... 41
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................ 47
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 49
TÓPICO 3 – APLICAÇÕES .................................................................................................................... 51
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................51
2 MASSA DE UM CORPO ..................................................................................................................... 51
3 CARGA ELÉTRICA ............................................................................................................................. 54
4 CENTRO DE MASSA .......................................................................................................................... 56
5 MOMENTO DE INÉRCIA .................................................................................................................. 61
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................... 66
RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................ 70
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 71
UNIDADE 2 – INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO VETORIAL.......................................................... 73
TÓPICO 1 – FUNÇÕES VETORIAIS E CURVAS ............................................................................. 75
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 75
2 FUNÇÕES VETORIAIS ...................................................................................................................... 75
3 CURVAS ................................................................................................................................................. 79
3.1 CURVAS PARAMÉTRICAS EM 
2 E EM 3. ............................................................................ 84
4 DERIVADA E INTEGRAL DE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL ......... 89
4.1 RETA TANGENTE ........................................................................................................................... 93
4.2 COMPRIMENTO DE ARCO ......................................................................................................... 95
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 99
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................101
sumário
VIII
TÓPICO 2 – CAMPOS VETORIAIS .................................................................................................107
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................107
2 CAMPO VETORIAL ..........................................................................................................................107
3 GRADIENTE .......................................................................................................................................111
4 ROTACIONAL ...................................................................................................................................114
5 DIVERGENTE ....................................................................................................................................118
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................121
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................123
TÓPICO 3 – INTEGRAIS DE LINHA................................................................................................127
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................127
2 INTEGRAL DE LINHA DE CAMPOS ESCALARES ..................................................................127
3 INTEGRAL DE LINHA DE CAMPOS VETORIAIS ..................................................................132
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................139
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................147
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................148
UNIDADE 3 – TEOREMAS DO CÁLCULO VETORIAL ..............................................................151
TÓPICO 1 – TEOREMA DE GREEN .................................................................................................153
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................153
2 TEOREMA DE GREEN ......................................................................................................................154
3 TEOREMA DA DIVERGÊNCIA .....................................................................................................161
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................165
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................166
TÓPICO 2 – TEOREMA DE GAUSS .................................................................................................169
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................169
2 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE DE UM CAMPO ESCALAR .......................................................172
3 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE DE UM CAMPO VETORIAL .....................................................173
4 TEOREMA DE GAUSS......................................................................................................................176
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................183
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................184
TÓPICO 3 – TEOREMA DE STOKES ...............................................................................................187
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................187
2 TEOREMA DE STOKES ....................................................................................................................188
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................198
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................208
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................209
REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................211
1
UNIDADE 1
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
E FUNÇÕES VETORIAIS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• definir integral de múltiplas variáveis e funções vetoriais;
• apresentar técnicas de mudança de variáveis;
• conhecer as principais propriedades de funções vetoriais;
• parametrizar curvas definidas por funções vetoriais;
• calcular o gradiente de capôs escalares;
• calcular o divergente, rotacional de campos vetoriais;
• entender a motivação física de divergente e rotacional;
• definir e calcularintegral de linha de campos vetoriais;
• conhecer os Teoremas de Green e Stokes e suas aplicações.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade você 
encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – INTEGRAIS MÚLTIPLAS
TÓPICO 2 – MUDANÇA DE VARIÁVEIS NAS INTEGRAIS MÚLTIPLAS
TÓPICO 3 – APLICAÇÕES
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
1 INTRODUÇÃO
Ao longo da construção do conhecimento matemático, já era conhecido 
que problemas que envolviam medidas, ou ainda comprimentos, áreas e volumes 
vieram se aperfeiçoando ao longo dos anos. Vimos anteriormente que as integrais 
possibilitam um avanço substancial nestes casos, em que, por exemplo, calculamos 
áreas abaixo de curvas e volumes de superfícies de revolução. 
Já no Egito antigo, já se fazia necessário o cálculo de área de campos 
e volume de grãos. Porém, a ideia de integrais duplas e triplas começou a ser 
desenvolvida quando Gilles Personne de Roberval (1602-1675) usando o princípio 
de Cavalieri tentou calcular a área sob um arco da cicloide. Esse estudo de integrais 
duplas e triplas só foi aprofundado por Blaise Pascal (1623-1662) que calculou 
aproximações por somas triangulares (no caso de integral dupla) e piramidais (no 
caso de integrais triplas).
Agora no Cálculo III, após conhecer os conceitos de derivadas parciais de 
funções de mais de uma variável real, em que podemos fixar uma das variáveis 
e realizar o processo de derivação em relação a uma delas apenas por vez, 
estenderemos este conceito, de modo análogo para integrais indefinidas, em que a 
integração pode ser realizada em cada variável de modo específico. Por exemplo, 
4
3 2 2 3 2 .
4
 
= = + 
 
∫ ∫
xx y dx y x dx y C
Note que consideramos os valores de y como constantes e realizamos a 
integração em torno apenas da variável x. Este será o ponto central destes nossos 
primeiros conceitos.
UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS
4
em que f(x) é uma função contínua e não negativa no intervalo fechado [a, b], 
é definida como sendo a área limitada abaixo da função f(x), acima do eixo X 
e lateralmente pelas retas x = a e x = b. O que será realizado é a extensão deste 
conceito para uma função de duas variáveis 
2 INTEGRAIS DUPLAS
Sabemos que o cálculo das integrais de uma variável é simbolicamente 
dado por
( ) ,
b
a
f x dx∫
2: ,f D R⊆ → 
contínuas na região D (compacta), como por exemplo, em nossas primeiras 
análises, no retângulo
( ){ }2, : .xyD x y a x b e c y d= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤
GRÁFICO 1 – RETÂNGULO
FONTE: Os autores
Nas duas próximas subseções, estudaremos como calcular integral dupla 
e tripla de funções e algumas propriedades importantes sobre o assunto.
TÓPICO 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS
5
2.1 INTEGRAIS DUPLAS SOBRE RETÂNGULOS
Vamos iniciar o estudo de integrais duplas sobre retângulos, considere 
então uma função de duas variáveis z = f(x, y), contínua e com domínio na região 
retangular compacta, 
[ ] [ ] ( ){ }2, , , : .xyD a b c d x y a x b e c y d= × = ∈ ≤ ≤ ≤ ≤
Suponha ainda que f é não negativa, ou seja, a superfície gerada por f está 
acima do plano XY. Definiremos integral dupla em alguns passos para facilitar 
o entendimento, porém, na prática, prezado acadêmico, você deve imaginar-se 
calculando o volume que está acima do plano XY e abaixo da superfície descrita 
por z = f(x, y). 
 
Inicialmente, devemos particionar a região do domínio retangular D, na 
direção do eixo X e do eixo Y, conforme descrito a seguir
0 1 1 0 1 1 ,m m n na x x x x b e c y y y y d− −= < < …< < = = < < …< < =
respectivos aos intervalos [a, b] e [c, d].
 
Em seguida, o processo é formar retângulos [xi, xi+1] x [ui, yi+1] a partir das 
partições, formando uma quantidade de m · n retângulos de lados iguais a:
1 1 e .i i i i
b a d cx x x y y y
m n+ +
− −
∆ = − = ∆ = − =
Retomando o conceito de limites, sabemos que quando as quantidades m 
e n aumentam, os lados dos retângulos tendem a zero.
Após este fato, tomaremos um ponto interno de cada um destes retângulos 
e calcularemos o valor da função z = f(x, y), ou seja, calcularemos zi = f (xi, yi). 
Como xi e yi representam conjuntamente um retângulo e o valor da função zi a 
“altura” da superfície em questão, podemos imaginar o produto zi = f (xi, yi) como 
sendo o volume de uma pequena fatia abaixo da superfície, conforme apresenta 
o gráfico a seguir.
UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS
6
GRÁFICO 2 – REPRESENTAÇÃO DA INTEPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DUPLA
FONTE: Os autores
O próximo passo é recorrer ao mesmo processo que utilizamos na 
interpretação da integral simples, o das somas de Riemann. Aqui, cada parcela 
f (xi, yi) · ∆x∆y, ao serem somadas, geram:
( ),
0 0
, .
n m
m n i i
i j
S f x y x y
= =
= ∆ ∆∑∑
Esta soma de Riemann trata-se de uma aproximação por falta ou por 
excesso do volume do sólido de base D (retângulo) e superfície descrita pela 
função f(x, y). Ao realizarmos o limite desta soma, teremos o volume real deste 
sólido e teremos definido este fato como sendo a integral dupla da função f(x, y) 
sobre o retângulo de área D, como mostrado a seguir: 
Sendo que o produto dxdy = dA é a área infinitesimal.
( )
, 0
0 0
lim , ( , )
D
n m
i im n
i j
f x y x y f x y dxdy
→
= =
∆ ∆ = ∫ ∫∑∑
A integral dupla reza as mesmas propriedades da integral simples. Dentre elas 
podemos destacar as propriedades de linearidade, aditividade e valor médio.
NOTA
TÓPICO 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS
7
Obviamente, para calcular uma integral dupla (volume abaixo de uma 
superfície) não teremos que recorrer sempre ao processo das somas de Riemann. 
Desta forma, para este fim, verificaremos agora o dispositivo de cálculo necessário 
para esta resolução, o Teorema de Fubini.
Teorema de Fubini
Seja uma função f de duas variáveis, contínua no domínio retangular
então
em que,
( ){ }2, : xyD x y a x b e c y d= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤
( )( , ) , =∫ ∫ ∫∫
d b
D
c a
f x y dxdy f x y dxdy
( ) ( ) ( ), , , .
d b d b b d
c a c a a c
f x y dxdy f x y dx dy f x y dy dx
   
= =   
   
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Note que a ordem em que a integral é calculada não modifica o resultado 
alcançado. Por este modo, o Teorema de Fubini é conhecido como o teorema das 
integrais iteradas. Neste processo, por exemplo, resolvemos a integral 
( ), ,
b
a
f x y dx∫
mantendo temporariamente a variável y constante, e em seguida, integramos o 
resultado alcançado com relação a variável y, no intervalo [c, d].
Vamos analisar o cálculo de uma integral dupla resolvendo alguns 
exemplos.
Exemplo: calcular a integral dupla, sobre o retângulo [0,1] x [0,1], e abaixo da 
superfície
( ) 2, .f x y xy=
UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS
8
Resolução: verificando o enunciado para este exemplo, temos que a integral 
dupla a ser resolvida será
1 1
0 0
² .xy dxdy∫∫
Como a primeira integral a ser resolvida é com relação à variável x, iremos 
momentaneamente admitir a variável y como sendo uma constante, e assim 
sendo, teremos
1 1
2
0 0
 y x dx dy
 
⋅  
 
∫ ∫
ou seja, primeiro resolveremos a integral interna aos colchetes do modo já 
verificado para as integrais simples
11 12 2 2
2 2
0 00
1 0 
2 2 2
xy dy y dy
   
⋅ = −  
   
∫ ∫
1 2
0
.
2
y dy= ∫
Agora a integral só depende de y e resolvemos normalmente
11
2
00
1 1 ³ 1 . 
2 2 3 6
yy dy  = ⋅ =  ∫
Procure calcular a integral, invertendo a ordem da integração, realizando:
Note, que este fato só é possível com esta naturalidade (sem demais preocupações), pois a 
região do domínio de integração é um retângulo.
IMPORTANT
E
1 10 0
² xy dydx∫∫
TÓPICO 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS
9
Exemplo: calcular o volume do sólido S, acima da região retangular [0,1] x [0,1] e 
abaixo da superfície plana x + y + z = 2.
Resolução: observe, antes de resolvermos o exemplo em questão, o fato que 
estamos calculando um volume antes complicado de ser resolvido, de um modo 
mais tranquilo, através da integração dupla. Observe o gráfico a seguir que mostra 
graficamente a situação apresentada no exemplo.
GRÁFICO 3 – REPRESENTAÇÃO DO VOLUME DESCRITO NO EXEMPLO
FONTE: Os autores
A integral dupla para o caso é construída da seguinte forma
1 1
0 0
2 .x y dxdy− −∫∫
Para a sua resolução, utilizando o Teorema de Fubini, teremos
1 1
0 0
2 .x y dx dy
 
− − 
 
∫ ∫
Lembrando que devemos manter a variável y como constante e integrando 
em relação a x na primeira integral a ser resolvida, assim
11 12
0 00
32 .
2 2
xx xy dy y dy
 
− − = − 
 
∫ ∫
UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS
10
Agora a função dentro da integral só depende de y e integramos 
normalmente
11 2
0 0
3 3 3 1 1.
2 2 2 2 2
y yy dy
 
− = − = − = 
 
∫
Exemplo: determinar o volume do sólido R, sobre o retângulo [–1,1] x [0,1], e abaixo 
da superfície cilíndrica z = 1 – x2.
Resolução: para ilustrar, analisemos o gráfico:
GRÁFICO 4 – REPRESENTAÇÃO DO VOLUME DESCRITO NO EXEMPLO
FONTE: Os autores
Usando a definição de integral dupla e iniciando a integração pela variável 
y, temos que o volume é 
1 1
2
10
1V x dydx
−
= −∫ ∫
1 1
1 0
1 ² x dy dx
−
 
= − 
 
∫ ∫
1
2
1
1
 
0
y x y dx
−
 = − ∫
1
2
1
1 .x dx
−
= −∫
TÓPICO 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS
11
Integrando com relação a x, teremos
1
2
1
1 V x dx
−
= −∫
13
13
xx
−
 
= − 
 
( ) ( )
311 41 1 . 
3 3 3
 −   = − − − − =      
2.2 INTEGRAL DUPLA DE REGIÕES NÃO RETANGULARES
O próximo passo acadêmico é pensar em regiões que não são retangulares, 
como calculamos a integral dupla nesse caso. A ideia é recorrer à mesma teoria 
vista para as regiões retangulares. Deveremos tomar como base o fato de que a 
região D (não retangular) estará totalmente inscrita em um retângulo, conforme 
mostra o gráfico seguir. 
GRÁFICO 5 – REPRESENTAÇÃO DA INTEGRAL DUPLA EM UMA REGIÃO NÃO RETANGULAR
FONTE: Os autores
Por este motivo, podemos tratar este tipo de integral do mesmo modo da 
integral dupla vista anteriormente. Da mesma maneira, utilizaremos o Teorema de 
Fubini para o cálculo destas integrais, é claro que em uma visão um pouco mais 
geral e sendo a região D uma região dita “simples”, ou seja, com uma das direções 
do domínio fixada em valores fixos e a outra direção podendo variar ao longo de 
uma função. Serão dois casos importantes.
UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS
12
Região vertical simples
Neste caso inicial, teremos uma região do domínio do tipo
( ) ( ) ( ){ }2 1 2, : xR x y a x b e g x y g x= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤
em que g1, g2 são funções contínuas. O gráfico a seguir representa uma região 
vertical simples. Temos variação fixa em intervalo no eixo X e funções delimitando 
a variação no eixo Y.
GRÁFICO 6 – REPRESENTAÇÃO DE UMA REGIÃO VERTICAL SIMPLES
FONTE: Os autores
A integral a ser resolvida fica da forma:
( )
( )
( )
( )
2
1
, , .
 
=  
  
∫ ∫ ∫ ∫x
g xb
R
a g x
f x y dxdy f x y dy dx
Vamos entender como trabalhar com esse caso através de exemplos. 
Exemplo: calcular a integral dupla, sobre a função 
( ) 2, ,f x y xy=
em que o domínio é o quarto de círculo no primeiro quadrante
( ){ }, : 0 1 0 1 ² .D x y x e y x= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ −
TÓPICO 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS
13
Resolução: utilizando o Teorema de Fubini sobre a região vertical simples 
originada, teremos
2 21 1 1 1
2 2
0 0 0 0
 
x x
xy dy dx x y dy dx
− −   
   = ⋅
      
∫ ∫ ∫ ∫
211 3
0 03
x
yx dx
−
 
= ⋅  
 
∫
1 3
2 2
0
1 1 .
3
x x dx = ⋅ ⋅ − ∫
Observe que para realizar a integral devemos utilizar o método da 
substituição. Considere u = 1 – x2, e assim sendo, du = –2x dx, ou seja,
1 1 33
2 22
0 0
1 11 
3 6
x x dx u du ⋅ ⋅ − = − ⋅ ∫ ∫
15
2
0
1 2
6 5
u
 
= − ⋅  
 
( )
15
2 2
0
1 2 11 .
6 5 15
x
 
= − ⋅ − = 
 
Exemplo: calcular a integral dupla 
( )
 
3
 
3 
D
x y dA+∫∫
em que D é a região limitada pelas curvas y = x2 e y = 2x.
Resolução: quando a região não está delimitada, devemos analisar o gráfico, 
observe que o gráfico é apresentado no gráfico a seguir. 
UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS
14
GRÁFICO 7 – REPRESENTAÇÃO DO DOMÍNIO D
FONTE: Os autores
Em seguida, apesar de já estar claro na figura, devemos saber quais os 
pontos de intersecção das duas curvas, e para isso basta resolver a equação x2 = 2x, 
nesse caso encontramos os valores x = 0 e x = 2. Portanto, a região pode ser vista 
como vertical simples, cujo domínio será
( ){ }, : 0 2 ² 2 .D x y x e x y x= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤
Com o Teorema de Fubini, temos
( )
2 2
22 2 2 2
3 3
0 0
33 
2
xx
x x
yx y dy dx x y dx
   
+ = +   
    
∫ ∫ ∫
( ) ( )22 22 3 3 2
0
33 2
2
2 2
xx
x x x x dx
⋅⋅
= ⋅ + − ⋅ −∫
2 4
4 2 5
0
32 6
2
xx x x dx= + − −∫
( )
2
5 4 2
0
1 2 12 
2
x x x dx= ⋅ − + +∫
26 5 3
0
1 2 12
2 6 5 3
x x x 
= − + + 
 
6 5 31 2 2 2 12 2
2 6 5 3
 ⋅ ⋅
= − + + 
 
1 64 32 12832 .
2 3 5 15
 = − + + = 
 
TÓPICO 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS
15
Exemplo (área a partir de uma integral dupla): calcular por integral dupla a área 
da região compreendida entre as curvas 
2 2 16 2 4.x y e x y+ = + =
Resolução: incialmente, devemos fazer a seguinte análise, a fim de compreender 
o dispositivo de cálculo que será utilizado neste exemplo, imaginemos uma 
função f(x, y) = 1, que se trata de uma superfície de altura constante igual a 1. Ora, 
todo prisma de altura igual é 1, possui volume numericamente igual a área da 
base, isto é
( )
 
 
1 .
D
A D dA= ∫∫
Agora, com este conhecimento, determinaremos os limites para o 
domínio indicado. Para encontrar a região indicada primeiro isolando o y nas 
duas equações temos 
e
2 216 8
2 2
x xy −= = −
4 2
2 2
x xy −= = −
agora encontramos os pontos de intersecção resolvendo a equação
216 4x x− = −
2 12 0,x x− − =
por Bhaskara, encontramos as seguintes soluções x = –3 e x = 4 podemos observar 
isso no gráfico a seguir. 
UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS
16
GRÁFICO 8 – REPRESENTAÇÃO DA REGIÃO DO EXEMPLO
FONTE: Os autores
Portanto, a região D pode ser descrita por:
( )
2
, : 3 4 2 8
2 2
x xD x y x e y
 
= ∈ − ≤ ≤ − ≤ ≤ − 
 

e pelo Teorema de Fubini, temos que a área é 
2
2
84 42
3 32
2
8
2
1 
2
2
x
x
x
dy dx y dx
x
−
− −−
− 
 
= 
 
  −
∫ ∫ ∫
4 2
3
8 2
2 2
x x dx
−
= − − +∫
4 2
3
6
2 2
x x dx
−
= + −∫
( )
4
3
1 34312 ² .
2 12
x x dx
−
= ⋅ + − =∫
TÓPICO 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS
17
Exemplo: calcular a área, via integral dupla da região D, entre as curvas y = x2 e x = y2.
Resolução: verificamos que as funções dadas não estão com a mesma variável 
como independente. Logo a função x = y2 será reescrita como y = √x. Os pontos de 
intersecção são x = 0 e x = 1.
Desta forma, o Teorema de Fubini, para o cálculo desta área fica escrito como
( )
2
1 1
2
0 0
1 
x
x
dy dx x x dx
 
= − 
  
∫ ∫ ∫
13 3
2
0
2 .3 3
xx
 
= − = 
 
Região horizontal simples
Neste caso teremos uma região do domínio do tipo:
( ) ( ) ( ){ }2 1 2, : xR x y h y x h y ec y d= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤
em que h1, h2 são funções contínuas. O gráfico a seguir representa uma região 
horizontal simples. Temos variação fixa em intervalo no eixo Y e funções 
delimitando a variação no eixo X.
GRÁFICO 9 – REPRESENTAÇÃO DE UMA REGIÃO HORIZONTAL SIMPLES
FONTE: Os autores
A integral a ser resolvida fica da forma:
( )
( )
( )
( )
2
1
, , .
 
=  
  
∫ ∫ ∫ ∫y
h xd
R
c h x
f x y dxdy f x y dx dy
UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS
18
Vamos entender como trabalhar com esse caso através de exemplos. 
Exemplo: calcular a integral dupla 
( )
 
3
 
3 
D
x y dA+∫∫
em que D é a região limitada pelas curvas y = x2 e y = 2x.
Resolução: sabemos que o gráfico dessa região é 
GRÁFICO 10 – REPRESENTAÇÃO DO DOMÍNIO D
FONTE: Os autores
Podemos escrever o domínio da região acima, isolando o x e nesse caso 
encontramos 
( ), : 0 4 .
2
yD x y x y e y = ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ 
 

Com o Teorema de Fubini, temos
TÓPICO 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS
19
( )
4 4 4
3
0 0
22
3 3 
4
yy
yy
xx y dx dy yx dy
 
  + = +      
∫ ∫ ∫
( )
4
4
4
0
23 3
4 4 2
y
y yy y y dy
 
 
 = + − − ⋅∫
4 32 4 2
2
0
33
4 64 2
y y yy dy= + − −∫
4 32 4
2
0
5 3
4 64
y yy dy−= + −∫
45
3 52
0
5 6
12 5 320
y y y
 
 = − + −  
 
53 5
25 4 6 44
12 5 320
⋅
= − + −
80 192 16 128 .
3 5 5 15
= − + − =
Observe que encontramos o mesmo resultado, mesmo com métodos 
diferentes.
Exemplo: calcular a área, via integral dupla da região D, entre as curvas y = x2 e 
x = y2.
Resolução: verificamos que as funções dadas não estão com a mesma variável 
como independente. Em vez de isolar o y como fizemos no caso anterior aqui, 
isolaremos o x, logo a função y = x2 será reescrita como x = √y e os pontos de 
intersecção são y = 0 e y = 1
Pelo Teorema de Fubini a área é 
( )
2
1 1
2
0 0
1 
y
y
dx dy y y dy
 
  = −
  
∫ ∫ ∫
13 3
2
0
2 .
3 3
yy
 
= − = 
 
UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS
20
Podemos supor ainda que a região D pode ser decomposta em duas ou mais 
regiões simples. Do tipo vertical ou horizontal. Após isto, a integral dupla é calculada pela 
propriedade aditiva das integrais.
NOTA
( ) ( ) ( )
1 2
, , , .= +∫ ∫ D D Df x y dA f x y dA f x y dA
3 INTEGRAL TRIPLA
Para o estudo da integração tripla, para fins de simplificação, tomaremos 
como compreendidas as mesmas construções, definições e propriedades da 
integral dupla. Assim, temos por definição, que a integral tripla de f sobre uma 
região espacial R é dada por
( ), , 
R
f x y z dV∫ ∫ ∫
em que dV = dx · dy · dz é uma unidade infinitesimal de volume.
Caso tenhamos f (x, y, z) = 1, estamos calculando o volume da região espacial 
R, assim como similarmente tinhamos uma propriedade para a integral dupla.
NOTA
TÓPICO 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS
21
3.1 INTEGRAL TRIPLA EM UMA REGIÃO COM FORMATO 
DE UM PARALELEPÍPEDO
Dada uma função 3:f R ⊂ →  , contínua e compacta, seguindo os 
seguintes pontos
( ){ }3, , : , , R x y z a x b c y d e z f= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
então a integral tripla de f sobre R é dada por:
( ), ,
fb d
a c e
f x y z dz dy dx
  
  
    
∫ ∫ ∫
e ainda, de modo idêntico o Teorema de Fubini se aplica, podendo-se permutar a 
ordem de integração.
Exemplo: calcular a integral tripla da função f (x, y, z) = xyz, em que a região de 
domínio é dada por:
( ){ }3, , :1 2 , 0 1,1 2 .R x y z x y z= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
Resolução: a partir da região mostrada no exemplo, podemos afirmar que ela se 
trata de um paralelepípedo reto-retângulo, que pode ser notado como [–1, 2] x [0, 
1] x [1, 2], logo:
2 1 2
1 0 1
 xyz dx dy dz
−
  
  
   
∫ ∫ ∫
22 1 2 12
1 0 1 01
3 
2 2
x yz dy dz yz dy dz
−
    
 = = ⋅   
     
∫ ∫ ∫ ∫
12 22
1 10
3 3 9 .
2 2 4 8
y z dz z dz
 
= ⋅ = ⋅ = 
 
∫ ∫
Assim como nas integrais duplas, é possível também termos o cálculo de 
integrais triplas com regiões não retangulares, em que neste caso, as duas integrais 
calculadas incialmente possuem variação de acordo com funções de duas e uma 
variável, respectivamente e a última integral a ser calculada varia entre intervalo fixo.
UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS
22
Exemplo: calcular a integral tripla
 
2 2 2
 
 
R
x y z dV+ +∫∫∫
em que R é delimitada pelos planos x + y + z = 2, x = 0, y = 0 e z =0
Resolução: para iniciar a resolução desta questão, vamos analisar o gráfico a 
seguir que exemplifica o caso.
GRÁFICO 11 – REPRESENTAÇÃO DO EXEMPLO
FONTE: Os autores
Analisando os limites da região dada, verificamos que:
( ){ }3, , : 0 2 , 0 2 , 0 2R x y z x y x z x y= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ − ≤ ≤ − −
o que resulta na integral tripla a seguir, cujo resultado será obtido pelo Teorema 
de Fubini:
22 2
2 2 2
0 0 0
 
x yx
x y z dz dy dx
− −−  
+ +  
    
∫ ∫ ∫
( ) ( )
2 2
2 2
0 0
1 2 3 3 2 ² 
3
x
x y x y x y dy dx
− 
 = ⋅ − − ⋅ + + − −  
 
∫ ∫
( ) ( )
2
2 2
0
1 52 2 1 .
3 8
x x x dx= ⋅ ⋅ − − + =∫
23
Neste tópico, você aprendeu que:
• Uma integral dupla é uma extensão do conceito da integração simples, e ainda:
• Para integrais duplas de regiões não retangulares, podemos analisar o domínio 
segundo:
 ◦ Região vertical simples
• Uma integral dupla, além do cálculo do volume abaixo de uma superfície, o 
cálculo de área de uma região D (domínio), através de:
 ◦ Região horizontal simples
• A resolução de uma integral dupla é feita a partir do Teorema de Fubini:
RESUMO DO TÓPICO 1
( ) ( ), , .=∫ ∫ ∫∫
d b
D
c a
f x y dxdy f x y dxdy
( ) ( ) ( ), , , .
d b d b b d
c a c a a c
f x y dxdy f x y dx dy f x y dy dx
   
= =   
   
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )
( )
( )
( )
2
1
, , .
 
=  
  
∫ ∫ ∫ ∫x
g xb
R
a g x
f x y dxdy f x y dy dx
( )
( )
( )
( )
2
1
, , .
 
=  
  
∫ ∫ ∫ ∫y
h xd
R
c h x
f x y dxdy f x y dx dy
( )
 
 
1 .
D
A D dA= ∫∫
24
• Uma integral tripla tem a forma:
E é calculada por:
( )
 
 
, , .
R
f x y z dV∫∫∫
( ), , .
fb d
a c e
f x y z dz dy dx
  
  
    
∫ ∫ ∫
25
Acadêmico, um dos princípios da UNIASSELVI é “Não basta saber, é 
preciso saber fazer”. Agora chegou a sua vez de colocar em prática os conceitos 
sobre matrizes estudados neste tópico.
1 Calcular as integrais duplas: 
a)
2 Um dos primeiros princípios e utilizações para as integrais múltiplas é o 
cálculo de áreas e volumes de figuras e/ou sólidos os quais não possuem 
formatos usuais. Isso pode estar fortemente ligado à elaboração de uma peça 
em um processo produtivo, ao qual necessitamos saber qual é a quantidade de 
material utilizado ou qual o espaço exato que esta peça ocupará dentro de um 
componente. Considere a região delimitada por x = 2, x = 8, y = 2x + 2, y = 2x.
 Faça o que se pede:
a) Construa no sistema cartesiano de coordenadas a região correspondente.
b) Se esta região representa a área de uma peça de viscose talhada, calcule esta 
área por meio de uma integral dupla.
3 Assinale a opção que delimita o volume do tetraedro, dado pela intersecção 
do plano x + y + z = 1 e o primeiro octante.
b)
AUTOATIVIDADE
( )
3 2
2 0
2 6xy dydx+∫∫
( )
3 4
1 2
40 2xy dydx−∫∫26
a) ( ) 1/6.
b) ( ) 1/2.
c) ( ) 1/3. 
d) ( ) 1/4.
e) ( ) 1/5. 
4 Define-se o valor médio de uma função sobre uma região R no espaço por
Considerando a função F(x, y, z) = x. y. z, o valor médio de F sobre o 
cubo limitado pelos planos x = 4, y = 4 e z = 4, no primeiro octante é igual a?
a) ( ) 16/3.
b) ( ) 64/3.
c) ( ) 64. 
d) ( ) 8. 
5 Por integração dupla, a área da região limitada por y = x2 e y = √x, em unidades 
de área é igual a:
a) ( ) 1/3.
b) ( ) 2/3.
c) ( ) 5/6.
d) ( ) 7/6.
6 Maria e José estão discutindo a lista de exercícios de integrais duplas e triplas 
para calcular o volume do sólido S obtido a partir da intersecção das superfícies 
2x + 4y + z = 8, z = 0, y = 0 e x = 0.
• José afirma que a integral para resolver o caso é:
• Maria afirma que a integral para o caso é:
( ) .= ∫ ∫ ∫m
R
V F F dV
0,5 24
0 0
8 2 4 
x
x y dydx
− +
− −∫ ∫
2 42
0 0
8 2 4 
y
x y dxdy
− +
− −∫ ∫
27
Em relação às soluções propostas por Maria e José, julgue a verdadeira:
a) ( ) Maria está incorreta e José correto.
b) ( ) Maria está correta e José incorreto.
c) ( ) Ambos estão corretos.
d) ( ) Ambos estão incorretos.
7 Considere a função f(x, y), e a região D no plano, delimitada pelas retas x = 0, 
x = 6 – y e a parábola y = x2, com x > 0. Assinale a opção que calcula o volume 
abaixo da superfície de f(x, y) e acima da região D.
a) ( )
b) ( )
c) ( )
d) ( )
( )
22
0 6
, 
x
x
f x y dxdy
−
∫ ∫
( )
2
2 6
3
, 
x
x
f x y dy dx
−
−
∫ ∫
( )
2
2 6
0
, 
x
x
f x y dy dx
−
∫ ∫
( )
2 ²
36
, 
x
x
f x y dy dx
− −
∫ ∫
28
29
TÓPICO 2
MUDANÇA DE VARIÁVEIS NAS INTEGRAIS MÚLTIPLAS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Acadêmico, você já estudou algumas técnicas de resolução de integrais 
no tópico anterior, porém existem integrais que precisam de técnicas mais 
elaboradas. O objetivo deste tópico é abordar a técnica de substituição de variáveis 
para resolver integrais duplas e triplas, dependendo das funções que estamos 
integrando, vamos usar uma substituição adequada.
Quando estudamos a técnica de integrais simples por substituição, o que 
estamos realizando é uma mudança de variáveis para conseguir utilizar uma 
tabela de primitivas. O que fazemos é tomar uma função [ ]: ,f a b →  , contínua 
e [ ]: ,g c d →  , derivável, sendo que g' é integrável e ainda g(c) = a e g(d) = b, 
para obter:
( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ´ .
g d d
g c c
f x dx f g u g u du= ⋅∫ ∫
Para relembrar o processo, vamos utilizar o seguinte exemplo. Calcular a 
integral:
Logo
1
0
1 ² .x dx−∫
Para resolver tal integral, devemos lembrar que se tomarmos f(x) = √1 – x2, 
0 ≤ x ≤ 1, com a substituição x = g(u) = sen(u), obtemos:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ² cos ´ cos , 0 .2f g u sen u u eainda g u u com u
π
= − = = ≤ ≤
( )
1 2
2
0 0
1 ² x dx cos u du
π
− =∫ ∫
UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS
30
agora, sabendo que ( ) ( )( )2 1cos 1 cos 2 ,2u u= + concluímos que 
( )( )
1 2
2
0 0
11 1 cos 2 
2
x dx u du
π
− = ⋅ +∫ ∫
( ) 221 .
2 2 4
0
sen u
x
π
π 
+ = 
 
O próximo passo é deduzir o processo de mudança de variável para 
integrais com mais de uma variável.
2 MUDANÇA DE VARIÁVEL NA INTEGRAL DUPLA
Nesta seção a ideia é resolver as integrais duplas usando mudanças de 
variável, no primeiro momento, entenderemos como realizar o processo de 
mudança de variáveis na integração dupla de funções de várias variáveis. Em 
geral trabalharemos com duas variáveis f = f(x, y).
Para funções de várias variáveis, devemos recorrer a uma transformação 
do tipo 2: ²T →  , tal qual
( )
( )
,
: 
,
x x u v
T
y y u v
 =
 =
sendo que as funções, que chamaremos de “funções coordenadas”, x(u, v) e y(u, v), 
possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas.
Além desta suposição inicial, deveremos considerar o Jacobiano que é 
definido pelo determinante das derivadas parciais de x e y em relação às novas 
variáveis u e v, ou seja,
( ) .u v
u v
x x
J T
y y
=
TÓPICO 2 | MUDANÇA DE VARIÁVEIS NAS INTEGRAIS MÚLTIPLAS
31
Visto isto, definiremos para a mudança de variável de uma função com 
duas variáveis, a seguinte expressão
( ) ( ) ( )( ) ( )
 
 
, , , , .
xy uvR R
f x y dxdy f x u v y u v J T dudv= ⋅∫ ∫ ∫ ∫
Esta fórmula representa a mudança de variáveis, neste caso das 
coordenadas cartesianas, x e y, para qualquer outro referencial de coordenadas u e 
v. Sabemos também, que isto permite-nos uma série de tipos de troca de variável, 
porém, em algumas situações, não teremos grandes aplicações práticas deste 
processo, o que não é o objetivo deste material. Assim, exemplificaremos para 
este item, inicialmente, um tipo de troca de variáveis, bastante útil em diversos 
casos, que é a mudança para coordenadas polares.
2.1 COORDENADAS POLARES
Antes de iniciarmos o processo de cálculo em si para a troca de coordenadas, 
devemos imaginar a seguinte questão:
Estamos bastante acostumados, até o momento, a identificar um ponto no 
plano cartesiano, através de suas coordenadas (vertical e horizontal). No entanto, 
será que existe outra forma de conseguirmos localizar este ponto além dessa?
 
A resposta é sim! Para tal, devemos informar a distância que este ponto se 
encontra da origem do sistema e ainda qual o ângulo formado entre o segmento 
de reta que liga este ponto à origem com o eixo das abscissas (eixo X). Note que 
o ponto localizado com um par (r, θ), ou seja, distância e ângulo, é único e assim 
sendo conseguimos tal localização.
 
Analisando o gráfico a seguir, podemos notar que existe uma relação 
(transformação) para cada x e y, utilizando-se de novas variáveis (r, θ), conforme 
reza a regra que vimos anteriormente para a troca de variáveis.
GRÁFICO 12 – REPRESENTAÇÃO DE COORDENADAS POLARES
FONTE: Os autores
UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS
32
Note que a transformação que devemos considerar, já que podemos usar 
as formas trigonométricas do triângulo retângulo, é 
( )
( )
cos
: .
sen
θ
θ
 = ⋅
 = ⋅
x r
T
y r
A transformação inversa é dada por r2 = x2 + y2 e ( ) ytg
x
θ = . E para a 
transformação T temos o seguinte Jacobiano 
( ) ( ) ( )( ) ( )
cos sen
sen cos
r
J T
r
θ θ
θ θ
− ⋅
=
⋅
( ) ( )2 2 .r cos r sen rθ θ= ⋅ + ⋅ =
Deste modo, sempre que utilizarmos a mudança de variável de coordenadas 
retangulares (padrão) para coordenadas polares, teremos que substituir a área 
elementar dxdy por
( ) ,J T drd r drdθ θ= ⋅
assim como visto na fórmula para mudança de variáveis. 
 
Por fim, indica-se que esta mudança de variáveis é bastante útil para áreas 
e domínios que possuem similaridade com circunferências.
A equação de uma circunferência é dada por x2 + y2 =r2. Acadêmico, não se 
esqueça da equação da circunferência, ela será muito útil nos cálculos em que utilizaremos 
a mudança para coordenadas polares.
NOTA
Exemplo: calcular a integral dupla
( )
 
2 2
 
log .
xyR
x y dA+∫ ∫
TÓPICO 2 | MUDANÇA DE VARIÁVEIS NAS INTEGRAIS MÚLTIPLAS
33
em que Rxy é a região delimitada pelos círculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.
Resolução: percebemos que esta integral dupla é uma séria candidata a utilização de 
coordenadas polares. Vejamos no gráfico a seguir a representação da região Rxy indicada.
GRÁFICO 13 – REPRESENTAÇÃO DA REGIÃO R
xy
FONTE: Os autores
Perceba que a faixa que estamos interessados em analisar possui raio 
variando entre 1 e 2 e, por ser uma região do primeiro quadrante, o ângulo 
variando entre 0 e π/2.
 
Sendo assim, a região Rxy quando transformadana região (já para 
coordenadas polares) Rrθ passa a ser
( ) 2, :1 2, 0 .
2r
R r rθ
πθ θ = ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ 
 

Logo, lembrando que x2 + y2 = r2 e a área elementar dA = r · drdθ, teremos 
uma nova visão da integral dupla, agora, em coordenadas polares:
( ) ( )
 /2 2
2 2 2
 0 1
log log .
xyR
x y dA r r drd
π
θ+ = ⋅∫ ∫ ∫ ∫
( )
/2 2
2
0 1
log .r r dr d
π
θ
 
= ⋅ 
 
∫ ∫
Agora, para a resolução desta integral interna, devemos lembrar o processo 
de cálculo por substituição simples, visto na disciplina de Cálculo II. Ou seja: 
UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS
34
²u r=
2 .
2
dudu r dr r dr= ⋅ =
Assim sendo
( ) ( )
2 4
2
1 1
1log log 
2
r r dr u du⋅ =∫ ∫
( )( )
4
1
log 1
2
u u = ⋅ −  
( ) ( )4 1log 4 1 log 1 1
2 2
   = − − ⋅ −      
( ) ( )2log 4 1 0 1 2log 4 .= − − + =
Finalizando o cálculo da integral dupla 
( ) ( ) ( )
/2
0
2
2 log 4 2 log 4 log 4 .
0
d
π
π
θ θ π   = ⋅ = ⋅   ∫
Caro acadêmico, você já percebeu que vamos utilizar muito o conceito de 
integração que estudamos na disciplina Calculo Diferencial e Integral I.
UNI
Exemplo: calcular a integral dupla
 
2
 
14 ² 
xyR
x y dA− −∫ ∫
em que Rxy é a região delimitada pelos círculos 4 ≤ x2 + y2 ≤ 9.
TÓPICO 2 | MUDANÇA DE VARIÁVEIS NAS INTEGRAIS MÚLTIPLAS
35
Resolução: observando que esta integral possui domínio delimitado por círculos, 
é interessante realizar a troca de variáveis para coordenadas polares, com raio 
variando entre 2 e 3 e ângulo de volta completa, ou seja, de zero a 2π. Devemos 
lembrar que x2 + y2 = r2. Então
( )
 2 3
2
 0 2
14 ( ²) 14 ²
xyR
x y dA r r drd
π
θ− + = − ⋅∫ ∫ ∫ ∫
Que resolvendo, temos 
32 3 2 2 4
3
0 2 0 2
1414 
2 4
r rr r drd d
π π
θ θ
 
− = − 
 
∫ ∫ ∫
2 4 4
2 2
0
3 27 3 7 2
4 4
d
π
θ
    
= ⋅ − − ⋅ −    
    
∫
( )
2
0
8163 28 4
4
d
π
θ
  = − − −    
∫
22
00
75 75 75 .
4 4 2
d
ππ πθ θ = = =  ∫
Exemplo: calcular a integral dupla
 
2 2
 
 
xyR
x x y dxdy+∫ ∫
em que Rxy é a região do primeiro quadrante delimitada pelos círculos 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4.
Solução: observe que nesse caso o raio está variando entre 1 e 2 e o ângulo é um quarto 
de volta, ou seja, de zero a 
2
π . Devemos lembrar que x2 + y2 = r2 e que x = rcos(θ), então
( )
 22
2 2 2
 0 1
 
xyR
x x y dxdy r cos r r drd
π
θ θ+ = ⋅ ⋅∫ ∫ ∫∫
UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS
36
Que resolvendo, temos 
( ) ( )
 2 42 2
3
0 1 0
2
cos cos 
4
1
rr drd d
π π
θ θ θ θ=∫∫ ∫
( )
42
0
2 1cos 
4 4
d
π
θ θ
 
= − 
 
∫
( ) ( )
2
0
215 15cos 
4 4
0
d sen
π
π
θ θ θ= =∫
( )15 15 150 .
4 2 4 4
sen senπ = − = 
 
Acadêmico, preste muito atenção na mudança de coordenadas cartesianas 
para polares para não perder informação. Sempre que possível, desenhe o gráfico 
da região em que você estiver integrado usando algum software como o Geogebra 
ou WolframAlpha. 
3 MUDANÇA DE VARIÁVEIS NA INTEGRAL TRIPLA
No caso de integrais triplas, a função a ser integrada é uma função de 
três variáveis, e da mesma forma que na seção anterior, fazer uma mudança de 
variável é essencial para conseguimos calcular mais facilmente algumas integrais 
triplas. Nessa seção estudaremos como fazer a mudança de variável para as 
integrais triplas. 
Para realizar o processo de mudança de variáveis na integração tripa, 
devemos recorrer a uma transformação do tipo
3 3: ,T → 
de uma forma totalmente análoga a mudança de variável na integral dupla, tal qual:
( )
( )
( )
, ,
: , ,
, ,
x x u v w
T y y u v w
z z u v w
 =

=
 =
TÓPICO 2 | MUDANÇA DE VARIÁVEIS NAS INTEGRAIS MÚLTIPLAS
37
sendo que as funções, que chamaremos de “funções coordenadas”, x(u, v, w), y(u, v, w) 
e z(u, v, w), possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas.
 
Além desta suposição inicial, deveremos considerar o seguinte Jacobiano 
(nova definição):
( ) .
u v w
u v w
u v w
x x x
J T y y y
z z z
=
Visto isto, definiremos para a mudança de variável de uma função com 
três variáveis, a seguinte expressão:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
 
 
, , , , , , , , , , .
xyz uvwR R
f x y z dxdydz f x u v w y u v w z u v w J T dudvdw= ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫
A ideia é modificar a integral de forma que essa nova integral seja 
mais simples de ser calculada, quando estamos em três dimensões uma das 
mudanças de variáveis mais eficaz é a mudança de coordenadas cartesianas 
para coordenadas cilíndricas.
3.1 INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS CILÍNDRICAS
Para este tipo de mudança de variáveis, vamos considerar no plano a 
mudança de variável para coordenadas polares, já estamos em duas dimensões, 
e a altura z envolvida permanece inalterada. Desta forma, teremos a seguinte 
transformação para a mudança de coordenadas cilíndricas.
( ) ( ), , , , .T r z rcos rsen zθ θ θ=
Lembre-se de que a transformação inversa é e .2 2 2r x y= + ( ) ytg
x
θ =
Quanto ao Jacobiano, ele será exatamente o mesmo das coordenadas 
polares, dado por r, e desta forma, uma integral tripla, do tipo:
( )
 
 
, , 
R
f x y z dV∫∫∫
UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS
38
será calculada por
( ) ( )
 
 
, , , , 
xyz r zR R
f x y z dV rcos rsen z r dzdrd
θ
θ θ θ= ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
ou seja, em coordenadas cilíndricas, o volume elementar dV será dado por r 
dzdrdθ.
Acadêmico, lembre-se de que a integral tripla da função constante 1 é o volume 
do sólido, ou seja,
NOTA
.= ∫ ∫ ∫
D
Volume dV
Exemplo: calcular utilizando integral tripla, o volume de um cilindro de raio R e 
altura h.
Resolução: seguindo o conceito visto para coordenadas cilíndricas, teremos 
extremos de integração para a integral tripla
: 0 2 , 0 , 0 .r zR r R z hθ θ π≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
E assim:
[ ]
2 2
0
0 0 0 0 0
 
R h R
hr dzdrd r z drd
π π
θ θ= ⋅∫ ∫∫ ∫ ∫
2
0 0
 
R
h r drd
π
θ= ⋅∫ ∫
2 2
0 0
 
2
R
rh d
π
θ
 
= ⋅ 
 
∫
2
22 .
2
R h R hπ π= ⋅ = ⋅
TÓPICO 2 | MUDANÇA DE VARIÁVEIS NAS INTEGRAIS MÚLTIPLAS
39
Exemplo: utilize coordenadas cilíndricas para determinar a integral tripla
 
 
 
D
xy dV∫∫∫
em que a região D é limitada por x2 + y2 ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1.
Resolução: observando que a expressão x2 + y2 ≤ 1 é a região interna de um cilindro 
de raio 1, e tomando a altura variando de 0 até 1, temos a integral escrita, em 
coordenadas cilíndricas, como sendo:
( ) ( )( )
 2 1 1
 0 0 0
 
D
xy dV rcos rsen r dzdrd
π
θ θ θ= ⋅∫∫∫ ∫ ∫∫
lembre-se de que x = rcos(θ) e y = rsen(θ), logo 
( ) ( )
 2 1 1
2
 0 0 0
 cos 
D
xy dV r sen dzdrd
π
θ θ θ= ⋅∫∫∫ ∫ ∫∫
( ) ( )
2 1
2
0 0
1
cos 
0
r sen z drd
π
θ θ θ= ⋅ ⋅∫ ∫
( ) ( )
2 1
2
0 0
cos r sen drd
π
θ θ θ= ⋅∫ ∫
( ) ( )
12 3
0 0
cos
3
r sen d
π
θ θ θ
 
=  
 
∫
( ) ( )
2
0
1 cos 
3
sen d
π
θ θ θ= ∫
para calcularmos essa última integral, devemos usar a mudança de variável u = cos(θ) 
e como du = –sen(θ)dθ temos que 
 2
 0
1 
3D
xy dV u du
π
= −∫∫∫ ∫
( )
2
2
2 2
1 1 cos 
3 2 6
0 0
u
π π
θ= − = −
( ) ( )2 21 1cos 2 cos 0 0.
6 6
π= − + =
UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS
40
Nesse caso a integral tripla pode ser igual a zero, pois não estamos falando 
de volume e sim simplesmente de integração. 
Exemplo: calcule a integral triplaD
dxdydz∫ ∫ ∫
com D o conjunto x2 + y2 ≤ z ≤ 2 – x2 – y2.
Resolução: observe que nesse caso a limitação de z também vai precisar ser 
modificada já que não temos constantes, mas sim funções que limitam z. Primeiro 
fazemos a integração em relação a z.
2 2
2 2
2− −
+
∫ ∫ ∫ = ∫ ∫ ∫
xy
x y
x yD D
dxdydz dz dxdy
2 2
2 2
2| − −
+
= ∫ ∫
xy
x y
x yD
z dx dy
2 22 2 2
xyD
x y dxdy= ∫ ∫ − −
Vamos considerar
2 2 2r x y= +
( )cosx r θ=
( ) y r sen θ=
observe também que x2 + y2 = 2 – x2 – y2 é uma circunferência de raio 1 e centro 
(0, 0), concluímos assim que o raio varia de 0 até 1 e que o ângulo varia de 0 
até 2π. Assim, a integral tripla após a mudança de coordenadas cartesianas para 
cilíndricas fica 
2 1 2
0 0 2 2
D
dxdydz r rdrdπ θ∫ ∫ ∫ = ∫ ∫ −
2 1 3
0 0 2 2r drd
π θ= ∫ ∫ −
4 22 2 1
0 0 0
1|
2 2
rr d d
ππ θ θ= ∫ − = ∫
2
0
1 | .
2
πθ π= =
TÓPICO 2 | MUDANÇA DE VARIÁVEIS NAS INTEGRAIS MÚLTIPLAS
41
Lembre-se, acadêmico, de que a mudança de variável é uma técnica de 
integração, você vai ter que decidir qual é a melhor técnica a ser usado para cada 
uma das integrais, quando temos um domínio que é uma circunferência ou parte 
a técnica de mudança de variável cartesiana para cilíndrica é muito recomendada. 
3.2 INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS ESFÉRICAS
Outra técnica usada para integrais triplas é a mudança de coordenadas 
cartesianas para a esférica. Nesse caso a transformação usada é 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), , cos , , cos ,ρ θ φ ρ φ θ ρ θ φ ρ φ=T sen sen sen
ou seja, 
x = ρ sen(ϕ) cos(θ)
y = ρ sen(θ) sen(ϕ)
z = ρ cos(ϕ)
ou ainda,
2 2 2x y zρ = + +
yarctg
x
θ  =  
 
2 2 2
arccos z
x y z
φ
 
 =
 + + 
e cuja interpretação geométrica é dada no gráfico a seguir.
GRÁFICO 14 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA MUDANÇA DE VARIÁVEL CARTESIANA PARA ESFÉRICA
FONTE: Os autores
UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS
42
O Jacobiano dessa transformação é dado por 
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )2
cos cos cos 
cos cos .
cos 0
φ θ ρ φ θ ρ φ θ
φ θ ρ φ θ ρ φ θ ρ φ
φ ρ φ
−
= + =
−
sen sen sen
J T sen sen sen sen sen
sen
Ou seja, em coordenadas esféricas, a transformação se reduz
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
 
2
 
, , cos , , cos 
ρθφ
ρ φ θ ρ θ φ ρ φ ρ φ ρ φ θ= ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
xyzR R
f x y z dV sen sen sen sen d d d
Vamos resolver algumas integrais triplas usando a mudança de variável 
cartesiana para esférica nos exemplos a seguir. 
 
Exemplo: (STEWART) Calcule a integral 
2 2 2
 
( )3/2 x y z
D
e dxdydz+ +∫ ∫ ∫
com D a bola unitária ( ){ }3 2 2 2, , : 1 .D x y z x y z= ∈ + + ≤
Resolução: como estamos trabalhando com uma esfera, teremos 
0 1ρ≤ ≤ 0 2θ π≤ ≤ 0 φ π≤ ≤
2 2 2 2x y zρ = + +
GRÁFICO 15 – GRÁFICO ESFERA DE RAIO 1
FONTE: Os autores
1
1
–1
x
y
z
TÓPICO 2 | MUDANÇA DE VARIÁVEIS NAS INTEGRAIS MÚLTIPLAS
43
Então a integral fica 
( )2 2 2 3
 2 1
( )3/2 2
0 0 0
x y z
D
e dxdydz e sen d d d
π π
ρ ρ φ ρ φ θ+ + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫
( ) 3
2 1
2
0 0 0
 .sen e d d d
π π
ρφ ρ ρ φ θ= ∫ ∫ ∫
Para resolvermos a primeira integral, vamos usar a mudança de variável 
u = p3 logo du = 3ρ2dρ, portanto 
3
1 1
2
0 0
1
3
ue d e duρ ρ ρ =∫ ∫
( )
1
1 1 1 .
3 3
0
ue e= = −
Assim 
( ) ( )2 2 2
 2
( )3/2 
0 0
1 1
3
x y z
D
e dxdydz e sen d d
π π
φ φ θ+ + = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
2
0
1 1 cos 
3
0
e d
π π
φ θ= − − ∫
( )
2
0
2 1
3
e d
π
θ= − ∫
( ) ( )
2
2 41 1 .
3 3
0
e e
π
πθ= − = −
Exemplo: (STEWART) Determinar o volume do sólido que é interior à esfera 
x2 + y2 + z2 = z e ao cone 
( )23 ² .z x y= +
Resolução: para idealizar qual o volume estamos lidando, vamos inicialmente, 
analisar o gráfico a seguir.
UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS
44
GRÁFICO 16 – REPRESENTAÇÃO DO SÓLIDO DESCRITO NO EXEMPLO
FONTE: Os autores
Note que os dois sólidos se interceptam quando 
( ) ( )2 2 2 23 ² 3 ²x y x y x y+ + + = +
( ) ( )2 2 24 3 ²x y x y+ = +
( ) ( )22 2 2 216 3x y x y+ = +
ou seja, quando (x, y) = (0, 0) ou quando 
2 2 3
16
x y+ =
uma circunferência de centro (0, 0) e raio 3
4
, nesse caso, como estamos trabalhando 
com uma circunferência, temos que θ varia de 0 até 2π. Falta determinar a variação 
de ρ e ϕ, como 
2 2 2x y z z+ + =
fazendo a mudança de variável temos 
( )2 cosρ ρ φ=
ou seja, 
( )cosρ φ=
TÓPICO 2 | MUDANÇA DE VARIÁVEIS NAS INTEGRAIS MÚLTIPLAS
45
concluímos assim que ρ varia de 0 até cos(ϕ). E, por último, temos que 
( )2 23z x y= +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2cos 3 cos 2 3 2ρ φ ρ φ π ρ π φ= +sen sen sen
( ) ( )2 2cos 3 senρ φ ρ φ=
( ) ( )cos 3 senρ φ ρ φ=
( ) 1 .
63
tg πφ φ= ⋅ =
Desta forma, a integral tripla fica descrita como
( )
( ) ( )
( )cos2 2 36 6
2
0 0 0 0 0
cos
 
3
0
sen d d d sen d d
π π
φπ π φρρ φ ρ φ θ φ φ θ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
32 6
0 0
cos
 .
3
sen d d
π
π φ
φ φ θ= ∫ ∫
Note que para resolvermos a integral 
( ) ( )
36
0
cos
 
3
sen d
π
φ
φ φ∫
precisamos utilizar a substituição de variável, considere u = cos(ϕ) logo du = –sen(ϕ)dϕ 
e temos 
( ) ( )
3 36 6
0 0
cos
 
3 3
usen d du
π π
φ
φ φ = −∫ ∫
( )44 6cos 
12 12
0
u
π
φ
= − = −
UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS
46
( )
4 44cos cos 0 1 3 16
12 12 12 2 12
π 
    = − + = − +  
 
9 1 7 .
192 12 192
= − + =
Concluímos que o volume do sólido é 
( )
( )
cos2 26
2
0 0 0 0
7 
192
sen d d d d d
π
φπ π
ρ φ ρ φ θ φ θ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫
2
7 7 .
192 96
0
π
πθ= =
Acadêmico, a determinação dos limites de integração é de fundamental 
importância, cada sólido tem seus limites, preste muito atenção na hora de encontrá-los.
NOTA
47
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• A forma geral para a mudança de variáveis na integral dupla é dada por:
• Para escrever uma integral dupla em coordenadas polares:
 Teremos:
• Para a mudança de variáveis na integral tripla, devemos utilizar:
• Nas coordenadas esféricas, utilizamos:
• Nas coordenadas cilíndricas, utilizamos:
( ) ( ) ( )( ) ( )
 
 
, , , , .
xy uvR R
f x y dxdy f x u v y u v J T dudv= ⋅∫ ∫ ∫ ∫
( )
( ) ( )
2 2 2: .
x r cos yT ou r x y etg
y r sen x
θ
θ
θ
 = ⋅ = + = = ⋅
Cujo Jacobiano é:
( ) ( ) ( )( ) ( )
cos sen
.
sen cos
r
J T r
r
θ θ
θ θ
− ⋅
= =
⋅
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
 
 
, , , , , , , , , , .
xyz uvR R
f x y z dxdydz f x u v w y u v w z u v w J T dudvdw= ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
 
 
, , , , .
xyz r zR R
f x y z dV rcos rsen z r dzdrd
θ
θ θ θ= ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
 
2
 
, , ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( )
ρθφ
ρ φ θ ρ θ φ ρ φ ρ φ ρ φ θ= ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
xyzR R
f x y z dV sen cos sen sen cos sen d d d
48
em que
ou ainda,
e( ) ( ) cos ,x senρ φ θ= ( ) ( ) ρ θ φ=y sen sen ( ) cosz ρ φ=
e2 2 2x y zρ = + +
yarctg
x
θ  =  
  2 2 2
arccos .z
x y z
φ
 
 =
 + + 
49
Prezado acadêmico, chegou a hora de você testar seus conhecimentos 
sobre o cálculo dos determinantes e suas propriedades. Lápis e borracha em 
mãos e boa atividade!
1 Calcule as integrais duplas a seguir:
a)
2 Calcule as integrais triplas a seguir usando coordenadas cilíndricas:
4 Escreva uma integral dupla em coordenadas polares para calcular a área da 
região formada por x = –2, x = 2, y = 0 e x2 + y2 = 4.
5 Calcular a área da região delimitadapelas curvas x2 + y2 = 9 e x2 + y2 = 1.
3 Calcule as integrais triplas a seguir usando coordenadas esféricas:
b)
a)
a)
b)
c)
b)
AUTOATIVIDADE
22 2
2 2
0 0
 
x
x y dy dx
−
+∫ ∫
21 1
0 0
 
x
x dy dx
−
∫ ∫
2
2 2
2 4 2
2 2
0 0
 .
x
x y
x y dz dy dx
−
+
+∫ ∫ ∫
211
2 2
1 0 0
 .
y x
x y dz dxdy
−
−
+∫ ∫ ∫
 
2 2 2 , em que é o conjunto 0, 4.
D
xdxdydz D x x y z≥ + + ≤∫ ∫ ∫
 
2 2 2 , em que é o conjunto1 4 0.
D
z dxdydz D x y z e z≤ + + ≤ ≥∫ ∫ ∫
( )
 
2 2 2 2 2 2 2 2 , em que é a inteseção da semi esfera 4 0 1.
D
x y z dxdydz D x y z z comocilindro x y+ + − + + ≤ ≥ + ≤∫ ∫ ∫
50
6 Calcular o volume dado pela integral
7 Calcule o volume do sólido limitado pelo plano z = 0 e pelo paraboloide 
z = 1 – x2 – y2. Em seguida, assinale a opção que apresenta este valor.
a) ( ) π
b) ( ) 4
π
c) ( ) 2π
d) ( ) 2
π
e ( ) 4π
8 O sistema de coordenadas cilíndricas é muito importante, ele pode ser 
usado para simplificar os nossos estudos sobre integração múltipla. Este 
sistema foi concebido a partir da definição das coordenadas polares, em 
segunda instância, pode-se pensar nele como uma evolução do modelo 
polar adaptado para o espaço tridimensional. Efetuando a mudança para 
coordenadas cilíndricas ou esféricas, faça o que se pede:
a) Calcule o volume gerado pelo sólido limitado pelos planos z = –4 + x2 + y2 e 
z = 5.
b) Calcule o volume gerado pelo sólido limitado pelos planos z2 = 3 + x2 + y2 e 
z = 2.
c) Calcule o volume gerado pelo sólido limitado pelos planos z2 = 8 – x2 – y2 e 
z = –2.
( )
2 2
2 2
2
0 0
.
x y
x ye dydx
+
+∫ ∫
z
y
x
(0, 0, 1)
0
D
51
TÓPICO 3
APLICAÇÕES
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Além de determinarmos os procedimentos de cálculo necessários para se 
trabalhar com as integrais múltiplas (duplas e triplas), um aspecto importante 
é o fato de trabalharmos com as aplicações possíveis para estes dispositivos de 
cálculo e análise. Neste tópico verificaremos algumas dessas aplicações.
Um ponto importante a ser dito aqui, logo no início, é que focaremos nas 
aplicações das integrais duplas, tomando como conhecido que, para integrais 
triplas, os processos são análogos, porém, para aplicações que em alguns casos 
são mais trabalhosas de se representarem.
Dentre as aplicações que estudaremos, teremos: cálculo da massa de um 
corpo (e sua respectiva densidade, se necessário), centro de massa, momento de 
inércia e cargas elétricas.
2 MASSA DE UM CORPO
Vamos supor uma chapa (lâmina) acondicionada em uma região D do 
plano cartesiano, com densidade conhecida em qualquer um de seus pontos. A 
densidade será dada pela função
δ(x, y),
em que garante-se que ela seja contínua e integrável no intervalo considerado. 
 
Desta forma, definiremos a massa elementar por unidade de área, 
calculada por integração dupla como sendo δ(x, y)dxdy, sendo a massa total do 
corpo dada por 
( ), .δ= ∫ ∫
D
m x y dxdy
Utilizando este procedimento, conseguimos determinar a massa de 
quaisquer chapas (lâmina) no plano. A única premissa inicial é o fato de 
possuirmos a função densidade do corpo antecipadamente.
52
UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS
Exemplo: dada uma chapa de vértices situados no plano XY, nos pontos (0, 0), (4, 0), 
(0, 2) e (4, 2), formando um retângulo. Calcule a massa da chapa, em gramas, sabendo 
que a função densidade de massa por área em qualquer ponto P é δ(x,y) = 3xy.
Resolução: a fim de calcular a massa desta chapa, utilizaremos o conceito de 
integração dupla e a fórmula vista anteriormente. Como o gráfico é um retângulo, 
podemos facilmente desenhar esta região. 
GRÁFICO 17 – REPRESENTAÇÃO DA CHAPA DADA NO EXEMPLO
FONTE: Os autores
Assim, temos que o conjunto D, é dado por
( ){ }2, : 0 4 0 2D x y x e y= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤
e a massa total é
( ), 3 D Dm x y dxdy xy dxdyδ= ∫ ∫ = ∫ ∫
2 4 2 4
0 0 0 0
3 3 xy dx dy y xdx dy
   
= =   
   
∫ ∫ ∫ ∫
2 22
0 0
4
3 24 
2
0
xy dy y dy= =∫ ∫
2
2
24 48.
2
0
y
= =
TÓPICO 3 | APLICAÇÕES
53
Assim, temos que a massa total da chapa é de 48 gramas. 
Exemplo: (GUIDORRIZI) Calcule a massa de um semicírculo de raio R, sendo a 
densidade superficial no ponto P proporcional à distância do ponto ao centro do círculo. 
Resolução: sabemos que a distância do ponto P = (x, y) ao centro da circunferência 
(podemos supor que o centro está sobre o ponto (0, 0)) é dado por
R R
(x, y)
2 2d x y= +
assim a densidade superficial é 
( ) 2 2,x y k x yδ = +
com k a constante de proporcionalidade.
Portanto, a massa é 
( ) 2 2, D Dm x y dxdy k x y dxdyδ= ∫ ∫ = ∫ ∫ +
vamos usar a mudança de variável polar r2 = x2 +y2, como estamos trabalhando 
com um semicírculo temos que 0 ≤ θ ≤ π e 0 ≤ r ≤ R, logo
2
0 0
 
R
m kr dr d
π
θ
 
=  
 
∫ ∫
3 3
0 0
 
3 3
0
R
r kRk d d
π π
θ θ= =∫ ∫
3 3
 .
3 3
0
kR k R
π
πθ= =
54
UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS
Observe que no primeiro exemplo não usamos a mudança de variável 
cartesiana para polar, pois a integração segue de maneira simples, já no segundo 
exemplo fez-se necessário. 
3 CARGA ELÉTRICA 
De modo análogo ao conceito anterior, vamos supor uma região D do 
plano cartesiano, com densidade, agora de carga elétrica conhecida em qualquer 
um de seus pontos. A densidade de carga será dada pela função δ(x, y), em que, 
garante-se também, que ela seja contínua e integrável no intervalo considerado. 
 
Desta forma, definiremos a carga elementar por unidade de área, calculada 
por integração dupla como sendo δ(x, y)dxdy, sendo a carga total do corpo, como sendo
( ), .Dq x y dxdyδ= ∫ ∫
Exemplo: sabendo que a carga elétrica distribuída sobre uma região D situada 
no retângulo de vértices (3,2), (0,2), (3,0) e (0,0) está associada a uma função 
densidade de carga definida por δ(x,y) = x2y, em coulomb por metro quadrado 
(C/m²). Calcule a carga total desenvolvida nesta região. 
Resolução: para calcular a carga total, sabemos que se deve analisar graficamente 
a região considerada. 
GRÁFICO 18 – REPRESENTAÇÃO DA REGIÃO DADA NO EXEMPLO
FONTE: Os autores
Sendo assim, temos que a região D, é dada por
( ){ }2, : 0 3 0 2 ,D x y x e y= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤
TÓPICO 3 | APLICAÇÕES
55
e a carga total é
( ) 2, D Dq x y dxdy x ydxdyδ= ∫ ∫ = ∫ ∫
2 3 2 3
2 2
0 0 0 0
 x y dx dy y x dx dy
   
= =   
   
∫ ∫ ∫ ∫
2 23
0 0
3
 9 
3
0
xy dy y dy= =∫ ∫
2
2
9 9 2 18.
2
0
y
= = ⋅ =
Logo, a carga total na região D é de 18 coulombs. 
Exemplo: sabendo que a carga elétrica distribuída sobre uma região triangular 
de vértices (0,0), (1,1) e (1,0) está associada a uma função densidade de carga 
definida por δ(x, y) = (x – x2)(y – y2), em coulomb por centímetro quadrado (C/
cm²). Calcule a carga total desenvolvida nesta região.
Resolução: segundo os dados retirados do problema, temos que a região é 
( ){ }2, : 0 1 0 ,D x y x e y x= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤
e a carga total é
( ) ( )( )
1
2 2
0 0
, 
x
Dq x y dxdy x x y y dydxδ= ∫ ∫ = − −∫∫
( )
1
2 2
0 0
 
x
x x y y dy dx
 
= − − 
 
∫ ∫
( )
1 2 3
2
0
 
2 3
0
x
y yx x dx
 
= − − 
 
∫
( )
1 2 3
2
0 2 3
x xx x dx
 
= − − 
 
∫
1 3 4 5
0
5 
2 6 3
x x x dx= − +∫
56
UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS
4 5 6
1
1 1 1 
8 6 18 8 6 18
0
x x x
= − + = − +
9 12 4 1 .
72 72
− +
= =
Logo, a carga total na região D é de 
1
72
 coulombs. 
4 CENTRO DE MASSA
Através dos conceitos de resistência de materiaissabemos que 
simbolicamente o centro de massa de um corpo é um ponto (x,y) que centraliza 
teoricamente a massa de um corpo nele. Através de integração dupla, definimos 
centro de massa como sendo
( )
( )
 , 
, 
y D
D
M x x y dxdy
x
m x y dxdy
δ
δ
∫ ∫
= =
∫ ∫
e
( )
( )
 , 
.
, 
Dx
D
y x y dxdyMy
m x y dxdy
δ
δ
∫ ∫
= =
∫ ∫
Nesta relação, temos m a massa total do corpo, que já vimos o seu 
procedimento de cálculo anteriormente e Mx e My são os momentos do corpo com 
relação a cada um dos eixos orientados, x e y. Isso quer dizer, estamos respeitando 
o conceito físico que indica o fato de ser o centro de massa calculado pelo produto 
da massa pela distância em que esta massa está localizada.
Neste centro de massa, teremos o ponto referência de equilíbrio do corpo. 
Teoricamente, seria como se toda a massa do corpo estivesse concentrada nele.
Exemplo: inicialmente, calcule a massa e em seguida o centro de massa de uma 
chapa triangular de vértices (0,0), (0,1) e (0,2), em que sua função densidade é 
δ(x,y) = 1 + 3x + y.
Resolução: representando o gráfico, temos:
TÓPICO 3 | APLICAÇÕES
57
GRÁFICO 19 – REPRESENTAÇÃO DA REGIÃO DADA NO EXEMPLO
FONTE: Os autores
Assim, notamos (realizando a equação da reta y = 2 – 2x) que a região é 
delimitada por: x = 0, y = 0 e y = 2 – 2x. Logo a região a ser integrada é dada por 
( ){ }2, : 0 1 0 2 2 .D x y x e y x= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ −
Deste modo, para a massa
( ) ( ), 1 3D Dm x y dxdy x y dxdyδ= ∫ ∫ = ∫ ∫ + +
1 2 2
0 0
1 3 
x
x y dy dx
− 
= + + 
 
∫ ∫
1 2
0
2 2
3 
2
0 
x
yy xy dx
−
 
= + + 
 
∫
( ) ( )
21
0
2 2
2 2 3 2 2
2
x
x x x dx
−
= − + − +∫
1 3
2
0
1
44 4 4 
3
0
xx dx x= − = −∫
4 84 .
3 3
= − =
58
UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS
Para os momentos, temos: 
( ) 2, 3x D DM y x y dxdy y xy y dxdyδ= ∫ ∫ = ∫ ∫ + +
1 2 2
2
0 0
3 
x
y xy y dy dx
− 
= + + 
 
∫ ∫
1 2 2 3
0
2 2
3 
2 2 3
0 
x
y xy y dx
−
 
= + + 
 
∫
( ) ( ) ( )2 2 31
0
2 2 3 2 2 2 2
2 2 3
x x x x
dx
− − −
= + +∫
1 3 2
2 2 3
0
8 24 24 82 4 2 6 12 6
3
x x xx x x x x dx− + − += − + + − + +∫
1 3
2
0
14 106 2 
3 3
xx x dx= − − +∫
3 4
2
1
14 2 53 
3 3 6
0
x x xx= − − +
14 2 5 113 .
3 3 6 6
= − − + =
( ) 2, 3 y D DM x x y dxdy x x xy dxdyδ= ∫ ∫ = ∫ ∫ + +
1 2 2
2
0 0
3 
x
x x xy dy dx
− 
= + + 
 
∫ ∫
1 2
2
0
2 2
3 
2
0 
x
xyxy x y dx
−
 
= + + 
 
∫
( ) ( ) ( )
21
2
0
2 2
2 2 3 2 2
2
x x
x x x x dx
−
= − + − +∫
1
2 2 3 2 3
0
2 2 6 6 2 4 2x x x x x x x dx= − + − + − +∫
1
3 4 2
0
1
4 4 2 
0
x xdx x x= − + = − +∫
TÓPICO 3 | APLICAÇÕES
59
1 2 1.= − + =
Assim segue que: 
e
11 e 1.
6x y
M M= =
Em que, finalmente, para o centro de massa, teremos:
1 3
8 8 
3
yMx
m
= = =
11
116 .8 16 
3
xMy
m
= = =
Finalizando com o centro de massa no ponto: ( ) 3 11, ,
8 16
x y  =  
 
, como 
mostra o gráfico a seguir. 
GRÁFICO 20 – REPRESENTAÇÃO DO CENTRO DE MASSA RESULTANTE
FONTE: Os autores
60
UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS
Exemplo: (GUIDORRIZI) Calcule o centro de massa de um semicírculo de raio 
R, sendo a densidade superficial no ponto P proporcional à distância do ponto ao 
centro do círculo. 
Resolução: já sabemos que a densidade superficial é dada pela função 
e
( ) 2 2, x y k x yδ = +
com k a constante de proporcionalidade e a massa é igual a 3 .
3
k Rπ Para determinar 
o centro de massa, precisamos calcular Mx e My, para isso, vamos usar novamente 
a mudança de variável cartesiana para polar x = rcos(θ) e y = rsen(θ) com 0 ≤ θ ≤ 
π e 0 ≤ r ≤ R
( ) ( )3
0 0
, 
R
x DM y x y dxdy k r sen dr d
π
δ θ θ= ∫ ∫ = ∫∫
( )
4
0
 
4
0
R
rk sen d
π
θ θ= ∫
( )
4
04
Rk sen d
π
θ θ= ∫
( )
4 4
cos 
4 2
0
R kRk
π
θ= − =
( ) ( )3
0 0
, 
R
y DM k x x y dxdy k r cos dr d
π
δ θ θ= ∫ ∫ = ∫∫
( )
4
0
 
4
0
R
rk cos d
π
θ θ= ∫
( )
4
04
kR cos d
π
θ θ= ∫
( )
4
sen 0.
4
0
Rk
π
θ= =
TÓPICO 3 | APLICAÇÕES
61
e
Portanto, o centro de massa é 
3
0 0
3
yMx
k Rm π
= = =
4
3
32 .
2
3
x
kR
M Ry
k Rm π π
= = =
5 MOMENTO DE INÉRCIA
Sabemos do conceito físico de momento de inércia, de uma partícula de 
massa m, que ele é definido por mr2, em que r é a distância da partícula até o 
eixo de rotação desta partícula. Porém, este conceito é restrito para distribuições 
discretas de massa. 
Ao estender este conceito para uma distribuição contínua, como por 
exemplo, o momento de inércia de uma barra, uma chapa ou uma esfera, devemos 
conhecer a função que descreve a densidade do corpo δ(x,y), que deve ser contínua 
no intervalo considerado (região D do plano XY) e aplicando o conceito teórico 
de integração dupla, conforme veremos agora e trataremos como momento de 
inércia para uma distribuição contínua de massa: 
• O momento de inércia em torno do eixo x será determinado por:
• O momento de inércia em torno do eixo y será determinado por:
( )2 , .x
D
I y x y dxdyδ= ∫ ∫
( )2 , .y
D
I x x y dxdyδ= ∫ ∫
Se tratarmos do momento de inércia em torno da origem, que por vários 
autores é chamado de momento de inércia polar (ou do eixo z), teremos:
62
UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS
0 x yI I I= +
( ) ( )2 2, ,
D D
y x y dxdy y x y dxdyδ δ= ∫ ∫ + ∫ ∫
( ) ( )2 2 , .
D
x y x y dxdyδ= ∫ ∫ +
Exemplo: calcular os momentos de inércia em x, y e z, referentes ao disco maciço 
D com densidade constante δ(x,y) = k, com centro na origem e raio de valor a.
Resolução: teremos como delimitação para a região D. o círculo x2 + y2 = a2, que 
em coordenadas polares, teremos que D é descrito por
( ){ }2, : 0 0 2 .D r r aeθ θ π= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤
Calculando Ix, temos
( ) ( )( )
2
22
0 0
, 
a
x
D
I y x y dxdy k r sen r drd
π
δ θ θ= ∫ ∫ = ∫ ∫
se considerarmos a mudança de variável cartesiana para polar y = r sen(θ), logo 
( )
2 4
2
0
 
4
0
x
a
rI k sen d
π
θ θ= ∫
( )
24
2
04
ka sen d
π
θ θ= ∫
como 2 sen2(θ) = 1 – cos(2θ) temos que 
( )
24
0
1 cos 2
8x
kaI d
π
θ θ= −∫
( )4
2
2
 
8 2
0
senka
π
θ
θ
 
= − 
 
4 4
2 .
8 4
ka k aππ= ⋅ =
TÓPICO 3 | APLICAÇÕES
63
Assim, o momento de inércia em torno do eixo x é 
4
4x
k aI π= . 
Vamos calcular agora o momento de inércia em torno de y, Iy, temos
( ) ( )( )
2
22
0 0
, 
a
y
D
I x x y dxdy k r cos r drd
π
δ θ θ= ∫ ∫ = ∫ ∫
se considerarmos a mudança de variável cartesiana para polar y = r cos(θ), logo 
( )
2 4
2
0
cos 
4
0
y
a
rI k d
π
θ θ= ∫
( )
24
2
0
cos
4
ka d
π
θ θ= ∫
como 2 cos2(θ) = 1 + cos(2θ) temos que 
( )
24
0
1 cos 2
8y
kaI d
π
θ θ= +∫
( )4
2
2
 
8 2
0
senka
π
θ
θ
 
= + 
 
4 4
2 .
8 4
ka k aππ= ⋅ =
Assim, o momento de inércia em torno do eixo y também é 
4
4y
k aI π= .
O fato que Ix = Iy é consequência da simetria de um disco e ainda pelo fato 
de que a densidade distribuída é constante. 
Como já possuímos Ix e Iy, para calcular o momento de inércia polar, basta 
somar estes resultados, então: 
4 4 4
0 .4 4 2x y
k a k a k aI I I π π π= + = + =
64
UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS
Portanto, o momento polar é