Evaporação de Gotas

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Evaporação de Gotas 
 
�̇�(𝑟) = constant = 4𝜋𝑟2�̇�" 
�̇�" = �̇�𝐴
" + �̇�𝐵
" = �̇�𝐴
" 
�̇�𝐵
" = 0 
�̇�𝐴
" = 𝑌𝐴�̇�𝐴
" − 𝜌𝐷𝐴𝐵
𝑑𝑌𝐴
𝑑𝑟
 
(1 − 𝑌𝐴)�̇�𝐴
" = −𝜌𝐷𝐴𝐵
𝑑𝑌𝐴
𝑑𝑟
 
�̇�
4𝜋𝑟2
= −
𝜌𝐷𝐴𝐵
1 − 𝑌𝐴
𝑑𝑌𝐴
𝑑𝑟
 
�̇� = −4𝜋𝑟2
𝜌𝐷𝐴𝐵
1 − 𝑌𝐴
𝑑𝑌𝐴
𝑑𝑟
 
Integrando a eq. anterior e aplicando a condição fronteira de que na superfície da gota a fracção 
mássica de vapor é 𝑌𝐴,𝑠 obtemos. 
𝑌𝐴(𝑟 = 𝑟𝑠) = 𝑌𝐴,𝑠 
∫ −
�̇�
4𝜋𝜌𝐷𝐴𝐵
𝑑𝑟
𝑟2
𝑟
𝑟𝑠
= ∫
𝑑𝑌𝐴
1 − 𝑌𝐴
𝑌𝐴,𝑟
𝑌𝐴,𝑠
 
�̇�
4𝜋𝜌𝐷𝐴𝐵
[
1
𝑟
]
𝑟𝑠
𝑟
= [−ln (1 − 𝑌𝐴)]𝑌𝐴,𝑠
𝑌𝐴,𝑟 
�̇�
4𝜋𝜌𝐷𝐴𝐵
(
1
𝑟
−
1
𝑟𝑠
) = − ln(1 − 𝑌𝐴,𝑟) − (−ln (1 − 𝑌𝐴,𝑠)) 
�̇�
4𝜋𝜌𝐷𝐴𝐵
(
1
𝑟
−
1
𝑟𝑠
) = ln [
(1 − 𝑌𝐴,𝑠)
 (1 − 𝑌𝐴,𝑟)
] 
Aplicando exponenciais a ambos os membros da equação obtemos: 
exp (
−�̇�
4𝜋𝜌𝐷𝐴𝐵𝑟𝑠
)
exp (
−�̇�
4𝜋𝜌𝐷𝐴𝐵𝑟
)
=
(1 − 𝑌𝐴,𝑠)
 (1 − 𝑌𝐴,𝑟)
 
Invertendo ambos os membros da equação obtemos 
exp (
−�̇�
4𝜋𝜌𝐷𝐴𝐵𝑟
)
exp (
−�̇�
4𝜋𝜌𝐷𝐴𝐵𝑟𝑠
)
=
(1 − 𝑌𝐴,𝑟)
 (1 − 𝑌𝐴,𝑠)
 
De onde resulta 
2 
 
(1 − 𝑌𝐴,𝑟) = (1 − 𝑌𝐴,𝑠)
exp (
−�̇�
4𝜋𝜌𝐷𝐴𝐵𝑟
)
exp (
−�̇�
4𝜋𝜌𝐷𝐴𝐵𝑟𝑠
)
 
𝑌𝐴,𝑟 = 1 −
(1 − 𝑌𝐴,𝑠)exp (
−�̇�
4𝜋𝜌𝐷𝐴𝐵𝑟
)
exp (
−�̇�
4𝜋𝜌𝐷𝐴𝐵𝑟𝑠
)
 
Que nos permite calcular a fracção mássica da espécie A para um determinado r. 
Partindo da equação seguinte derivada anteriormente e fazendo 𝑌𝐴,𝑟 = 𝑌𝐴,∞ para 𝑟 → ∞ 
�̇�
4𝜋𝜌𝐷𝐴𝐵
(
1
𝑟
−
1
𝑟𝑠
) = ln [
(1 − 𝑌𝐴,𝑠)
 (1 − 𝑌𝐴,𝑟)
] 
Obtemos 
−
�̇�
4𝜋𝑟𝑠𝜌𝐷𝐴𝐵
= ln [
(1 − 𝑌𝐴,𝑠)
 (1 − 𝑌𝐴,∞)
] 
�̇� = −4𝜋𝑟𝑠𝜌𝐷𝐴𝐵 ln [
(1 − 𝑌𝐴,𝑠)
 (1 − 𝑌𝐴,∞)
] 
De onde resulta a equação seguinte que nos permite calcular �̇� 
�̇� = 4𝜋𝑟𝑠𝜌𝐷𝐴𝐵 ln [
(1 − 𝑌𝐴,∞)
 (1 − 𝑌𝐴,𝑠)
] 
Para ver de forma mais conveniente como a fracção mássica de vapor na superfície da gota, 𝑌𝐴,𝑠, 
e afastada da superfície, 𝑌𝐴,∞, influenciam a taxa de evaporação, o argumento do logaritmo na 
equação anterior é usado para definir o número de transferência adimensional, 𝐵𝑌. 
1 + 𝐵𝑌 =
1 − 𝑌𝐴,∞
 1 − 𝑌𝐴,𝑠
 
𝐵𝑌 =
1 − 𝑌𝐴,∞
 1 − 𝑌𝐴,𝑠
− 1 
𝐵𝑌 =
1 − 𝑌𝐴,∞ − (1 − 𝑌𝐴,𝑠)
 1 − 𝑌𝐴,𝑠
 
𝐵𝑌 =
𝑌𝐴,𝑠 − 𝑌𝐴,∞
 1 − 𝑌𝐴,𝑠
 
Usando o número de transferência a taxa de evaporação é expressa como 
�̇� = 4𝜋𝑟𝑠𝜌𝐷𝐴𝐵 ln(1 + 𝐵𝑌) 
Desta equação concluímos que quando o número de transferência é zero a taxa de evaporação é 
nula e que quando o número de transferência aumenta a taxa de evaporação também aumenta. 
Isto faz sentido fisicamente porque do modo em que a diferença de fracção mássica 𝑌𝐴,𝑠 −
3 
 
𝑌𝐴,∞ aparece na definição de 𝐵𝑌 pode ser interpretada como um “potencial motor” para a 
transferência de massa. 
Conservação de massa da gota 
𝑑𝑚𝑑
𝑑𝑡
= −�̇� 
𝑚𝑑 = 𝜌𝑙𝑉 = 𝜌𝑙
𝜋
6
𝐷3 
�̇� = 4𝜋𝑟𝑠𝜌𝐷𝐴𝐵 ln(1 + 𝐵𝑌) 
𝑉 é o volume da gota, 𝐷 é o diâmetro da gota e 𝐷 = 2𝑟𝑠 
Combinando as equações anteriores obtemos 
𝑑
𝑑𝑡
(𝜌𝑙
𝜋
6
𝐷3) = −4𝜋𝑟𝑠𝜌𝐷𝐴𝐵 ln(1 + 𝐵𝑌) 
𝑑
𝑑𝑡
(𝜌𝑙
𝜋
6
𝐷3) = −4𝜋
𝐷
2
𝜌𝐷𝐴𝐵 ln(1 + 𝐵𝑌) 
𝜌𝑙
𝜋
6
3𝐷2
𝑑𝐷
𝑑𝑡
= −4𝜋
𝐷
2
𝜌𝐷𝐴𝐵 ln(1 + 𝐵𝑌) 
2𝐷
𝑑𝐷
𝑑𝑡
= −
8𝜌𝐷𝐴𝐵
𝜌𝑙
ln(1 + 𝐵𝑌) 
𝑑𝐷2
𝑑𝑡
= −
8𝜌𝐷𝐴𝐵
𝜌𝑙
ln(1 + 𝐵𝑌) 
Esta equação diz-nos que a derivada temporal do quadrado do diâmetro da gota é constante. 𝐷2 
varia linearmente com 𝑡 com o declive 𝐾. Este declive 𝐾 é definido como sendo a constante de 
evaporação. 
𝐾 =
8𝜌𝐷𝐴𝐵
𝜌𝑙
ln(1 + 𝐵𝑌) 
Esta equação anterior pode tomar a forma 
𝑑𝐷2
𝑑𝑡
= −𝐾 
Pode-se integrar esta equação para calcular o diâmetro da gota no instante 𝑡 a partir do diâmetro 
da gota 𝐷0 no instante 𝑡 = 0. 
∫ 𝑑𝐷2 = ∫ −𝐾𝑑𝑡
𝑡
0
𝐷2(𝑡)
𝐷0
2
 
Integrando obtemos 
𝐷2(𝑡) − 𝐷0
2 = −𝐾(𝑡 − 0) 
4 
 
De onde resulta 
𝐷2(𝑡) = 𝐷0
2 − 𝐾𝑡 
A equação anterior é conhecida como a lei de 𝐷2 para evaporação de uma gota. Os dados 
experimentais mostram que a lei de 𝐷2 é válida depois de um período inicial transitório como se 
mostra na Fig. 3.7b. A lei de 𝐷2 também é usada para descrever a queima de gotas de combustível, 
que é discutida no Capítulo 10. 
Podemos usar a equação anterior para encontrar o tempo de vida de uma gota 𝑡𝑑 que é o tempo 
que uma gota de um dado diâmetro inicial 𝐷0 demora a evaporar, uma vez que para 𝑡 = 𝑡𝑑 temos 
𝐷2(𝑡𝑑) = 0 de onde resulta: 
0 = 𝐷0
2 − 𝐾𝑡𝑑 
𝑡𝑑 =
𝐷0
2
𝐾