AULA [INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA TORÇÃO - SEÇÕES CIRCULARES] RM I [2020 1]

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Resistência dos Materiais
Introdução ao Estudo da Torção
Torção em Peças com Seções Circulares Maciças 
e Tubulares ou Vazadas
Prof. Victor Augusto
Prof. Victor Augusto
Introdução
❑ Inicialmente iremos estudar torção em virtude de seções
circulares, sendo maciças ou vazadas;
❑ Analisaremos tensões e deformações de eixos circulares,
submetidos a “momentos de torção” ou “torque”;
❑ Visualizaremos os desmembramentos no qual se desencadeará
o estudo dos ângulos máximos de deformação na torção.
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O que significa Torção?
Torção é a deformação causada por efeito do torque, no qual tende
a girar as seções de um corpo, uma em relação à outra.
Definição 01
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O que significa Torção?
Definição 02
Torção se refere ao giro de uma
barra retilínea quando
carregada por momentos (ou
torques) que tendem a produzir
rotação sobre o eixo longitudinal
da barra.
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Definição do Torque
Torque é um momento (força x distância do CG) que tende a torcer
um elemento em torno de seu eixo longitudinal.
Os momentos de torção ou simplesmente torque (T, T’) devem ter mesma intensidade
“T” e sentidos opostos para manter o equilíbrio do elemento (Nash,1982).
O plano de ação do torque = Área da seção transversal.
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Demonstração de Torque
Centro de Torção (o): é o ponto em torno do qual a seção transversal gira. Para
seções simétricas, coincide como o centro de gravidade.
Eixo de Torção: é o lugar geométrico dos centros de torção, onde pode-se ter a
incidência de várias engrenagens por exemplo, mas este seguirá como eixo central.
O plano de ação do torque = Área da seção transversal.
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Deformação por Torção (Seções Circulares)
Um eixo circular está fixado a um suporte por uma de suas extremidades e
aplicando-se à extremidade livre um momento de torção T, o eixo gira, e a
seção transversal da extremidade apresenta uma rotação representada pelo
ângulo φ, chamado de ângulo de torção (Beer and Johnston, 1989).
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Deformação por Torção (Seções Circulares)
O ângulo de torção, para uma certa faixa de variação de T, é proporcional tanto
a T como ao comprimento do eixo L.
Um prisma de seção circular, tendo uma de suas extremidades fixas, submetido
a um momento de torção T.
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Deformação por Torção (Seções Circulares)
De forma mais sucinta, têm-se:
A medida que a peça for carregada com um torque externo (TA, TB, TX...) e tiver que resistir ao torque
interno T gerado nela, essa linha reta vai se deformar desta forma.
Qualquer ponto, distante do centro por um raio ρ (0 ≤ ρ ≤ c) vai sofrer uma deformação que cresce
linearmente com o aumento de ρ, conforme se demonstra na imagem.
Essa deformação ocorre nas faces das seções transversais do eixo. Sendo assim, compreende-se: o que 
acontece nas faces das seções transversais é tensão e deformação cisalhante.
→ →
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Distribuição de Deformações no Cisalhamento
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Distribuição de Deformações no Cisalhamento
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Distribuição de Deformações no Cisalhamento
Engaste
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Propriedades dos Eixos Circulares (Deformação)
a) Quando um eixo circular é submetido à torção, todas as seções transversais
permanecem planas e indeformadas (apesar de haver uma deformação angular
entre as seções dentro de cada seção não há deslocamento entre os pontos da
mesma seção, cada seção se comporta como um disco sólido). Os raios das
seções transversais permanecem planos e a distância entre as seções
transversais permanecem inalteradas.
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Propriedades dos Eixos Circulares (Deformação)
b) as geratrizes se transformam em hélices;
c) o “quadrado” se transforma em um “losango” com os lados sofrendo a
mesma deformação angular;
d) as seções normais permanecem planas e normais ao eixo de rotação e
conservam sua forma. Neste caso, é preciso assegurar que os momentos
sejam aplicados de tal forma que as extremidades também permaneçam planas
sem deformação.
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Propriedades dos Eixos Circulares (Deformação)
e) Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do eixo
permanecerão inalterados;
f) Tensões máximas maiores na periferia da seção;
g) Tensão inversamente proporcional à deformação;
h) Tensão mínima tendente ao centro da peça (CG).
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Propriedades dos Eixos Circulares (Deformação)
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Considerações Importantes
Vale ressalvar que em função da trabalhabilidade desencadeada pela torção,
gera-se tensões longitudinais e transversais, concomitantemente.
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Determinação da Distribuição de Tensões
Mediante a determinação da distribuição de tensões de cisalhamento na seção
transversal, a deformação relativa ao cisalhamento γ deve ser igual ao ângulo
formado por AB e A’B.
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Determinação da Distribuição de Tensões
a) Eixo circular de comprimento L e raio c, que foi torcido por um ângulo de
torção φ;
b) Retirando do interior do eixo um cilindro de raio ρ, marcando-se um
“quadrado” sobre a superfície do mesmo, sem atuação de momento de torção;
c) Aplica-se a torção o “quadrado” se transforma em “losango”, as deformações
de cisalhamento são medidas pela variação de dois lados.
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Determinação da Distribuição de Tensões
Pela figura observa-se que quando γ é pequeno, o comprimento de arco AA’
é dado por AA’ = L.γ e na seção transversal AA’ = ρ. φ
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Determinação da Distribuição de Tensões
Logo:
Portanto, pode-se concluir que a deformação de
cisalhamento em uma barra com seção circular
varia linearmente com a distância ao eixo da barra.
γ é máximo na superfície da barra circular, onde ρ = c
e
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Tensões no Regime Elástico (Robert Hooke)
Se a torção T tem um valor tal que as tensões no material se mantém abaixo da
tensão de cisalhamento de escoamento 𝜏e.
Nesse caso, as tensões no material permanecem abaixo dos limites de
proporcionalidade e elasticidade (Lei de Hooke).
a tensão de cisalhamento na barra varia linearmente
com a distância ρ do eixo da barra
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Tensões no Regime Elástico (Robert Hooke)
Se a deformação na seção transversal do eixo cresce linearmente à medida
que se afasta do centro, o mesmo deve acontecer para a tensão.
Então se a gente for visualizar a distribuição de tensão cisalhante (𝜏) ao longo
de uma linha qualquer em uma seção transversal do eixo, conforme demonstra-
se a distribuição triangular:
Onde a distribuição de tensão 𝜏 varia de 0 em ρ = 0 até 𝜏𝑚á𝑥 em ρ = c.
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Tensões no Regime Elástico (Robert Hooke)
Caso o eixo seja vazado, terá um raio interno (Cint), a distribuição continua
com o mesmo aspecto triangular, mas variaria de 𝜏 𝑚í𝑛 em ρ = Cint até 𝜏 máx
em ρ = c.
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Tensões no Regime Elástico (Robert Hooke)
Distribuição das tensões de cisalhamento
na seção transversal de eixo circular
maciço.
Distribuição das tensões de cisalhamento
para um eixo circular vazado, de raio
interno c1, e raio externo c2.
Onde:
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Equação de Torção (Teoria da Elasticidade)
Quando um torque externo é aplicado a um eixo,
cria um torque interno correspondente no interior do
eixo.
A equação da torção relaciona o torque interno com
a distribuição das tensões de cisalhamento na
seção transversal de um eixo ou tubo circular.
Para material linear-elástico aplica-se a lei de
Hooke.
onde: G = Módulo de rigidez
g = Deformação por cisalhamento [𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒐𝒔]
[
𝒌𝒈𝒇
𝒎𝒎𝟐
;
𝒌𝒈𝒇
𝒄𝒎2
;
𝑵
𝒎2
Geralmente em GPA]
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Equação de Torção (Teoria da Elasticidade)
[ 𝒎𝒎𝟒; 𝒄𝒎𝟒; 𝒎𝟒 ]
[𝒌𝒈𝒇.𝒎𝒎;𝒌𝒈𝒇. 𝒄𝒎; 𝒌𝒈𝒇.𝒎;𝑵.𝒎𝒎;𝑵. 𝒄𝒎;𝑵.𝒎]
[𝒎𝒎; 𝒄𝒎;𝒎]
[𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒐𝒔]
[
𝒌𝒈𝒇
𝒎𝒎𝟐
;
𝒌𝒈𝒇
𝒄𝒎2
;
𝑵
𝒎2
]
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Momento Polar de Inércia(Torção)
De forma simples, o momento polar de inércia é a resistência de um eixo
ou viga de ser distorcido por torção, em função de sua forma. A rigidez
vem apenas da área transversal do objeto e não depende da composição
do material ou módulo de cisalhamento. Quanto maior a magnitude do
momento polar de inércia, maior a resistência à torção do objeto.
O que seria momento polar de inércia?
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Dimensionamento de Eixo (Seção Maciça)
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Dimensionamento de Eixo (Seção Tubular/Vazada)
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Demonstração de Falha na Torção (Seção Circular)
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Desmembramento de Fórmula em Função do
Módulo de Rigidez
Um novo parâmetro Wt como MÓDULO DE RESISTÊNCIA À TORÇÃO, como
sendo a razão entre Jp e o raio R.
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Desmembramento de Fórmula em Função do
Módulo de Rigidez
Então, levando-se em conta além da segurança, à economia de material,
impomos à condição de dimensionamento:
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Desmembramento de Fórmula em Função do
Módulo de Rigidez
Portanto:
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Desmembramento de Fórmula em Função do
Módulo de Rigidez
Através das equações (Eq.5.25) e (Eq.5.26), determinamos o diâmetro
necessário para um eixo sujeito a MT.
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Desmembramento de Fórmula em Função do
Módulo de Rigidez (De Forma Mais Simplificada)
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Desmembramento de Fórmula em Função do
Módulo de Rigidez (De Forma Mais Simplificada)
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Desmembramento de Fórmula em Função do
Módulo de Rigidez (De Forma Mais Simplificada)
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Exercício de Fixação 01
O tubo mostrado na figura tem um diâmetro interno de 80 mm e diâmetro
externo de 100 mm. Supondo que sua extremidade seja apertada contra o
apoio em A por meio de um torquímetro em B, determinar a tensão de
cisalhamento desenvolvida no material nas paredes interna e externa ao longo
da parte central do tubo quando são aplicadas forças de 80 N ao torquímetro.
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Resolução:
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Resolução:
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a) Calcular a tensão de cisalhamento máximo num eixo maciço de
aço com 30 mm de diâmetro, no qual o mesmo sustentará um
elevador.
b) Calcular o ângulo máximo de torção, sabendo que o
comprimento do eixo é igual a 50 cm. Dado: G = 76 GPa.
Exercício Proposto 01
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Um eixo é feito de liga de aço com tensão admissível ao
cisalhamento de 900 kgf/cm².
a) Supondo que o diâmetro do eixo seja de 5 cm, determinar o torque máximo
que este pode ser transmitido.
b) Qual seria o torque máximo se o eixo tivesse um furo de 3 cm de diâmetro
em toda sua extensão?
c) Mediante os resultados da letra a e b, faça uma analogia vislumbrando
primeiramente, em função da abertura da seção, o que isso impacta no que diz
respeito à resistência e depois faça uma verificação relativa ao custo/benefício.
Exercício Proposto 02
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Um eixo é feito de aço com tensão de cisalhamento admissível
𝜏𝑎𝑑𝑚 = 84 Mpa. Se o diâmetro do eixo for 37,5 mm, determine o
torque máximo T que pode ser transmitido. Qual seria o torque
máximo T' se fosse feito um furo de 25 mm de diâmetro no eixo?
Faça um rascunho da distribuição da tensão de cisalhamento ao
longo de uma linha radial em cada caso.
Exercício Proposto 03
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Abaixo tem-se a representação de um eixo maciço e circular de
diâmetro igual a 200 mm de uma barra de aço. Essa barra possui
𝜏𝑎𝑑𝑚 = 80 Mpa. Sabendo disso e ainda que há uma carga de 10 kN
que contribui na torção, determine o valor máximo de T sem que
haja rompimento na barra. Analise apenas as contribuições
referentes aos esforços torsores.
Exercício Proposto 04
Prof. Victor Augusto
A barra de madeira abaixo representa o eixo de giro de um moinho. Por
problemas nas engrenagens uma das extremidades do eixo ficou presa.
Sabendo que o eixo foi sujeito aos esforços torsores mostrados abaixo e
que a resistência ao cisalhamento dessa barra (levando em consideração
apenas esforços torsores) é de 25 Mpa, determine o raio máximo que a
barra poderá ter para que o eixo não rompa.
Exercício Proposto 05
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Uma máquina deve transmitir um momento torsor equivalente a
14.800 kgf.cm. Sabendo-se que a tensão admissível do material do
eixo de transmissão é ҧ𝜏 = 600 kgf/cm², determinar o diâmetro
necessário do eixo.
Exercício Proposto 06
Prof. Victor Augusto
Um chaveiro quer construir um esmeril com acionamento manual conforme o
desenho abaixo. Calcule o diâmetro do eixo para suportar uma força aplicada
na manivela de 5 kgf, sendo r = 30 cm. Considerar aço ABNT 1010 LQ e FS =
2, sendo para este exercício em específico [1 kgf = 9,8 N].
Exercício Proposto 07
Prof. Victor Augusto