Cálculo Financeiro Comercial e suas aplicações

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Matemática Financeira – Unidade de Sorriso - SENAC MT, Prof Rikey Felix 
 
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1 1 
 
 
Cálculo Financeiro 
Comercial e suas aplicações. 
Método Algébrico 
Parte 01 
 
Professor Rikey Felix 
Edição 10/2013 
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Matemática Financeira 
 
 
Introdução a Matemática Financeira Comercial e suas aplicações. 
 
 
Rikey Paulo Pires Felix, 
 
Licenciado em Matemática pela Universidade Estadual de Goiás, 
Pós Graduado em Gestão Empresarial pela Faculdade Montes 
Belos Goiás, funcionário concursado em exercício do Banco do 
Brasil, instrutor do SENAC da unidade Sorriso MT desde 2011. 
 
Objetivos: Conhecer assuntos introdutórios de Matemática 
Financeira Comercial, apresentando conceitos teóricos, resolução 
de exercícios, bem como suas respectivas aplicações na 
contabilidade, administração, com o auxílio da calculadora científica 
financeira HP 12C, trazendo uma didática e proposta pedagógica 
voltada para um curso profissionalizante preparatório para o 
mercado de trabalho. 
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3 3 
Conteúdos abordados: 
 Radiciação e potenciação 
 Multiplicação de potência de mesma base 
 Divisão de potência de mesma base 
 Potência de potência 
 Percentagem taxa unitária, fórmula para cálculo percentual 
 Operação sobre Mercadorias 
 Vendas com lucro (sobre o preço de custo) e (sobre o preço da 
venda) 
 Vendas com prejuízo (sobre o preço de custo) e (sobre o preço da 
venda) 
 Juros simples – Juro, capital e taxa 
 Regimes de capitalização 
 Cálculos de Juros simples 
 Taxas proporcionais 
 Taxas equivalentes 
 Juro comercial e juro exato 
 Montante 
 Desconto Simples 
 Títulos de crédito 
 Desconto comercial, valor do desconto comercial, valor atual, taxa 
de juro efetiva 
 Equivalência de capitais 
 Desconto racional, valor do desconto racional, valor atual racional 
 Juros composto, 
 Cálculo de montante 
 Determinação do fator de capitalização 
 Calculadoras científicas, financeiras e logaritmos 
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4 4 
 Cálculo do capital no juro composto 
 Taxas proporcionais, taxas equivalentes 
 Taxa nominal 
 Taxa efetiva 
 Taxa Real e taxa aparente, 
 Taxa unificada 
 Conceito de inflação 
 Desconto Composto (Comercial e racional) 
 Capitalização e amortização composta 
 Renda certa 
 Empréstimos 
 Sistema Francês de amortização (Price) e conceitos 
 Calculo do saldo devedor, valor atual e amortização 
 Tabela Price no Excel 
 Price com prazo de carência 
 Sistema de Amortização (SAC) e conceitos. 
 Calculo do saldo devedor, valor atual e amortização 
 Tabela SAC no Excel 
 SAC com prazo de carência. 
 Uso de calculadora cientifica e financeira HP 12C. 
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5 5 
 
1. Potenciação 
Imagine a seguinte situação ???3
60
. Para resolvermos este 
problema utilizamos o conceito de potenciação, (estudo da potência), 
Vejam só: 
3x3x3x3x3x3x ... por 60 vezes. A potência indica quantas vezes o 
elemento (base) está sendo multiplicado por ele mesmo. 
Potencia é a multiplicação de um número “a” a R, por ele mesmo, 
quantas vezes estiverem indicando em seu expoente n R. 
 
Calcule as seguintes potências: 
a) 211 
b) 302,0 
c) 00075,0 
d) 318,1 
 
2. Potência de potência. 
 
Podemos aplicar uma potência sobre uma potência que já está 
estabelecida, neste caso para resolvermos este problema, multiplicamos 
os índices das potências, transformando em apenas uma potência. 
Vejamos o exemplo 
164444 22))2(( x
 
 
Calcule as seguintes potências: 
a) 103)08,0( 
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6 6 
b) 42
2
)
42
5
( 
c) XX 123)( 
 
3. Multiplicação de potência de mesma base. 
 
Observe o seguinte caso: 
35).()( baba yx . Para 
resolvermos multiplicação de potência de mesma, basta conservamos a 
base e somarmos os expoentes. .22.2
4545
 
 
4. Estudo de Percentagem 
Imagine a seguinte situação. Um vendedor recebeu R$ 4.000,00 de 
comissão de uma venda de R$ 210.000,00. Qual foi o percentual para o 
vendedor desta venda. 
 
100.
valortotal
alvalorparci
Percentual
 
100.
210000
4000
Percentual
 
 
%90,1Percentual 
 
5. Operações sobre mercadoria. 
 
O que vamos ver neste tópico são problemas de percentagem ligados às 
operações de compra e venda de mercadorias, isto é, vamos aprender a 
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7 7 
fazer cálculos de lucro ou prejuízo sobre os preços e de venda de 
mercadorias. 
 
Legenda: 
LLucro 
CCusto 
PejuízoPr 
VVenda 
Taxa Unitária do Lucro = i . Sempre utilizar a taxa em unidades decimais. 
Por exemplo: 2%, utiliza – se 0,02. 
 
6. Vendas com Lucro sobre o preço de custo 
 
CiLucro . 
LCV 
 CiCV . 
CiV ).1( 
Neste caso, para facilitar no raciocínio, basta considerarmos o custo da 
mercadoria como equivalente a 100%. 
 
Ex: Um comerciante vendeu mercadorias com um lucro de 8% sobre o 
preço de custo. Determine o preço de venda, sabendo que essas 
mercadorias custaram R$ 500,00 
 
CiV ).1( 
500).08,01(V 
500).08,1(V 
540V 
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8 8 
 
7. Vendas com Lucro sobre o preço de Venda 
 
LCV 
ViL . 
ViCV . 
CViV . 
Então temos: i
C
V
1 
Ex: Um comerciante comprou um objeto por R$ 480,00. Desejando ganhar 
20% sobre o preço de custo, qual deve ser o preço de venda? 
i
C
V
1
 
2,01
480
V 
600V 
 
Neste caso, para facilitar no raciocínio, basta considerarmos o valor da 
venda como equivalente a 100%. 
 
 
8. Vendas com Prejuízo sobre o preço de custo. 
 
V=C-P 
P=i.C 
V=C-P 
V=C-i.C 
)1( iCV
 
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9 9 
 
 
9. Vendas com Prejuizo sobre o preço de venda 
 
V=C-P 
P=iV 
V=C-P 
V=C-iV 
V+iV=C 
)1( i
C
V
 
 
10. Abatimentos e aumentos sucessivos. 
 
Legenda: 
M – Valor do montante resultante dos aumentos sucessivos. 
 L – Valor líquido, 
N – Valor nominal do título 
a – taxa qualquer de desconto aplicada definida pelo exercício 
b – taxa qualquer de desconto aplicada definida pelo exercício. 
c – taxa qualquer de desconto aplicada definida pelo exercício. 
 
 
 
 
11. Abatimentos sucessivos 
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10 10 
)1).(1).(1.( cbaNL
 
Ex: Um trator que custa R$ 200.000,00 é vendido com descontos 
sucessivos de 2% e 3 %. Qual o preço líquido final desta máquina? 
 
)97,0).(98,0.(200000L 
$190120RL 
 
 
Aumento sucessivo 
)1).(1).(1.( cbaNM
 
Ex: Um trator que custa R$ 200.000,00 é vendido com acréscimos 
sucessivos de 2% e 3 %. Qual o preço líquido final desta máquina? 
)03,01).(02,01.(200000M 
)03,1).(02,1.(200000M 
$210120RM 
 
 
 
12. Juro simples e montante 
niNJ .. 
 
Legenda 
J – juro 
N – Valor nominal do título 
)03,01).(02,01.(200000L
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11 11 
i – taxa de juros 
n – períodos da aplicação. 
Taxa proporcional, modelo simples. 
Taxa equivalente, quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo 
período, produzem o mesmo juro 
Em jurosimples taxa proporcional = taxa equivalente. 
 
 
13. Cálculo do Montante (Juros simples) 
 
JCM 
niNNM .. 
 
Então temos a seguinte fórmula: 
).1.( niNM 
 
Ex: 
a) Tomou emprestado a importância de R$ 1200,00, pelo prazo de dois 
anos, à taxas de 30% ao ano. Qual será o valor do juro a ser pago? 
 
b) Aplicou – se a importância de R$ 3000,00, pelo prazo de três meses, 
à taxa de 1,2% ao mês. Qual o valor do juro a receber? 
 
c) Um capital de R$ 56800,00 foi empregado, à taxa de 0,75% ao mês, 
durante 2,5 meses. Calcule o juro? 
 
d) Calcule a taxa anual proporcional a 8% ao trimestre (considerando 
juros simples)? 
 
e) A que taxa foi empregado o capital de R$ 12000,00 que, no prazo de 
2 anos, rendeu R$ 8400,00 de juro? 
 
f) Determine o período financeiro relativo à aplicação do capital de R$ 
12800 que, à taxa de 1% ao mês, rendeu R$ 896? 
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12 12 
14. Juro comercial e juro exato 
 
A técnica que estamos empregando no cálculo do juro simples (1 ano = 
360 dias) nos dá o que denominamos juro simples comercial. Entretanto, 
podemos obter o juro fazendo uso de número exato de dias do ano (365 
dias ou 366, caso o ano seja bissexto. Neste caso o resultado é denomidado 
de juro simples exato. 
Além disso, temos que levar em consideração o modo de obtenção do 
número de dias. Admitindo que cada mês tenha 30 dias, obtemos o tempo 
aproximado, fazendo a contagem no calendário, obtemos o tempo exato. 
 
 
15. Desconto simples comercial (ou desconto por fora) 
 
1) Desconto comercial (considera – se como referência de cálculo o 
valor nominal). 
 
O desconto comercial só deve ser empregado para períodos curtos, pois 
para períodos longos o valor do desconto pode até ultrapassar o valor 
nominal do título. 
niNDcomercial .. 
 
16. Cálculo do valor atual de um desconto comercial simples 
 
Legenda: 
A – Valor atual, valor já com o desconto (valor líquido) 
N – Valor do título 
D – desconto comercial ( niNDcomercial .. ) 
n – quantidade de períodos da operação. 
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13 13 
 
DNA 
inNNA . 
)1( inNA 
 
Exercícios 
a) Um título de R$ 6000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. 
Faltando 45 dias para o vencimento. Calcule o valor do desconto 
comercial simples e o valor atual? 
 
b) Uma duplicata de R$ 6900 foi resgatada antes de seu vencimento por 
R$ 6072, Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de seu 
desconto comercial foi de 4% ao mês? 
 
17. Taxa de juro efetiva simples. 
 
É a taxa que ao capitalizar (simples) o valor atual, obtém – se o valor 
nominal. (taxa efetiva representada por 
.if
 
 
 
).1( niNM 
).1( nifAN
 
 
Daí temos 
 
nifAAN .. : 
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14 14 
ANnifA .. 
nA
AN
if
.
 
nA
dcomercial
if
. 
Exemplo de cálculo de taxa efetiva: 
a) Um título de R$ 6.000,00 foi descontado a taxa de 2,1% ao mês, 
faltando 45 dias para o seu vencimento. Sabendo que o desconto 
comercial foi de R$ 189,00, calcule a taxa efetiva. 
 
 
18. Desconto racional simples (considera – se o valor atual, conhecido 
como desconto por dentro) 
 
Na prática, o desconto comercial é mais usado, por referir exatamente ao 
valor nominal na base dos cálculos. 
 Também conhecido por valor (por dentro) 
 Idéia de raciocínio, A + X/100A = N, Onde o valor inicial corresponde 
a 100% 
 O valor do desconto é menor que o valor do desconto comercial 
 Pode ser calculado através da fórmula niAdr .. 
 Esse desconto não é muito usado no dia a dia. 
 
. 
A maioria dos exercícios traz em seu contexto o valor nominal, e não o 
valor atual, sendo assim, é importante elaborarmos uma outra fórmula 
equivalente que utiliza o valor nominal N 
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15 15 
 
niAdr .. 
nidrNdr .).( 
nidrniNdr .... 
niNnidrdr .... 
niNnidr ..).1( 
).1(
..
ni
niN
dr
 
 
a) Um título de R$ 6.000 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. 
Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine o valor descontado 
racional, e o valor atual racional 
resposta: dr = R$ 183,00 
 
19. Equivalência de capitais (simples) 
 
 Usamos o conceito de capital diferido: títulos de crédito com 
vencimentos diferentes. 
 A referência é feita baseado no título, ou valor nominal. 
 Igualamos os valores atuais das respectivas datas. 
 Sempre voltamos para uma data igual à zero. 
 
'AA , ).1( niNA niNd .. 
 
a) Quero substituir um título de R$ 5.000, vencível em 3 meses, por 
outro com vencimento em 5 meses. Sabendo que esses títulos podem 
ser descontados à taxa de 3,5 ao mês, qual o valor nominal comercial 
do novo título? 
resposta: R$ 6.559,00 
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16 16 
 
b) Queremos substituir dois títulos, um de R$ 5.000 para 90 dias e outro 
de R$ 12.000 para 60 dias, por outros três títulos, com o mesmo 
valor nominal, vencíveis, respectivamente, em 30, 60 e 90 dias. 
Calcule o valor nominal comum, sabendo que a taxa de desconto 
comercial da transação é de 3% ao mês. resposta: R$ 5.613 
 
20. Juros composto 
 
 Chamado de capitalização composta. 
 niCM )1( 
)1(11 iCM 
)1(12 iMM 
)1(23 iMM 
Substituindo de forma regressiva, chegamos à fórmula genérica. 
niCM )1(
 
 ni)1( , fator de capitalização. 
 ni)1( , fator de descapitalização. 
 É necessária tábua financeira, logaritmo, calculadora científica ou 
financeira. 
 Taxas proporcionais não são equivalentes. 
 Taxas equivalentes: quando aplicadas a capitais iguais, por prazos 
iguais, produzem juros também iguais. 
 360)1( di
12)1( mi
6)1( bi
4)1( ti
2)1( si )1( ai 
 Cálculo do capital inicial da aplicação: Lembrando que ni)1( é o 
fator de descapitalização. 
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17 17 
 
ni
M
C
)1( 
 
 
21. Taxa nominal 
 
Taxa nominal é quando o período de capitalização não coincide com 
aquele a que ela se refere, considera a taxa nominal proporcional na 
execução dos cálculos. 
 
a) Qual o montante (composto) de um capital de R$ 5.000, no fim de 2 
anos, com juros de 24% ao ano capitalizado trimestralmente? 
resposta: R$ 7.969,25 
 
22. Taxa efetiva 
 
Taxa efetiva é a taxa verdadeira da operação. 
a) Quando oferecemos 6% ao ano e capitalizamos semestralmente a 3%, a 
taxa de 6% é, como vimos anteriormente, representa a taxa nominal. A 
taxa efetiva e a taxa anual equivalente a 3% semestrais. Logo, sendo 
fi a taxa efetiva, temos. 
2)1( si )1( ai ou seja 
2)03.01( )1( ai = 0,06090 
 
b) Uma taxa nominal de 18% ao ano é capitalizada semestralmente. 
Calcule a taxa efetiva. 
resposta:18.81% a.a 
 
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18 18 
23. Relação entre taxa real, taxa aparente e taxa da inflação. 
(taxa unificada) 
 
Considere a seguinte situação: 
 
Jorge aplicou o seu dinheiro no Banco Costa e Silva SA em uma aplicação 
que rende 12% ao ano. Nesse mesmo período a inflação foi de exatamente 
8%. Qual foi a taxa real de rentabilidade desta aplicação? 
 
Legenda 
 iA , taxa aparente = 12% 
 iR , taxa real = ? 
 iI taxa da inflação = 8% 
 
)1).(1.()1.( iRiICiaC 
)1).(1()1( iRiIia
 
 
 
 
24. Desconto composto comercial 
 
niNA )1(
 
Legenda: 
A – Valor atual (valor já com o desconto 
N – Valor do título 
i –Taxa aplicada 
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19 19 
n – Quantidade de períodos. 
 Esse desconto não muito usado em matemática financeira, pois em 
pouco tempo o valor do desconto ultrapassa o valor do título N. 
 A base de cálculo é o valor nominal do título N. 
 Mesmo raciocínio do Abatimento sucessivo. 
 
25. Desconto racional composto. 
 
Cálculo do valor atual: Valor atual, em regime de juro composto, de um 
capital N disponível no fim de n períodos, à taxa i relativa a esse período, é 
o capital A que colocado a juros compostos a taxa i, produz no fim dos n 
períodos o Montante N. 
 
Legenda: 
A – Valor atual (valor já com o desconto) 
N – Valor do título 
i – Taxa aplicada 
n – Quantidade de períodos. 
 
NiA n)1.( 
 
ni
N
A
)1( ou 
niNA )1.(
 
Lembrando que 
ni)1( é o fator de descapitalização. 
 
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20 20 
a) Um título de valor nominal de R$ 1.500,00 foi resgatado 3 meses 
antes de seu vencimento. Tendo sido contratado a taxa de 30% ao 
ano, capitalizado mensalmente. Qual foi o desconto composto 
racional concedido? 
 
26. Equivalência de capitais compostos. (capitais diferidos) 
 
 
'
)1(
AA
iNA n
 
Mesmo conceito de equivalência de capitais simples, mas considerando a 
descapitalização do valor nominal composta. 
 
a) Um título no valor nominal de R$ 7000,00 com vencimento para 5 
meses, é trocado por outro com vencimento para 3 meses. Sabendo 
que a taxa de juro corrente no mercado é de 3% ao mês, qual o valor 
nominal do novo título? (considerar juros compostos) 
 
b) Um comerciante, devedor de um título de R$ 40.000 para três anos, 
deseja resgatar essa dívida com dois pagamentos anuais e iguais: um 
no fim do 1 ano e outro no fim do 2 anos. Sabendo que a taxa é de 
40% ao ano, calcule o valor desses pagamentos. (considerar juros 
compostos) 
 
 
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21 21 
 
27. Capitalização e amortização compostas 
 
Quando queremos fazer um investimento, podemos depositar todos os 
meses certa quantia em uma caderneta de poupança; quando queremos 
comprar um bem qualquer, podemos fazê – lo em prestações, a serem 
pagas mensalmente. 
 Podemos, portanto, constituir um capital ou resgatar uma dívida 
depositando ou pagando certa quantia em épocas distintas. 
 No primeiro caso temos uma capitalização e no segundo, uma 
amortização. 
 
Rendas: A sucessão de depósitos ou de prestações, em épocas 
diferentes, destinados a formar um capital ou pagar uma dívida é 
denominada Renda. 
As rendas podem ser certas ou aleatórias, periódicas ou não periódicas, 
constantes ou variáveis ou diferidas (carência de prazo). 
 
28. Capitalização – POSTECIPADA (final do mês) 
 
a) Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, 
durante 5 meses a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante da 
renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao 
mês, capitalizados mensalmente. 
 
Podemos entender que o depósito é realizado no final do mês, sendo que 
o último mês não rende juros. 
 
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22 22 
niCM )1( 
100+ 
)02,01(100 + 
2)02,01(100 + 
3)02,01(100 + 
4)02,01(100 + 
Somatório = R$ 520,40 
Considerando o conceito de fórmula Genérica. 
121 )1(...)1()1( niTiTiTTSf
121 )1...()1()1(1 niiiTSf 
Observe que dentro do colchete, temos uma Progressão Geométrica. 
11a ,
1)1( nn ia , )1( iq 
Fórmula da soma da PG. 1
. 1
q
aqa
SPG n
 
11
1)1.()1( 1
i
ii
SPG
n
 
i
i
SPG
n 1)1(
 
Voltando a expressão anterior abaixo, 
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23 23 
i
i
TSf
n 1)1(
Temos a fórmula para a capitalização 
postecipada. 
O fator também pode ser obtido através de tabelas, tábuas financeiras e 
etc. 
 
a) Uma pessoa deposita em um banco, no fim de cada mês, durante 5 
meses, a quantia de R$ 350,00. Calcule o montante da renda, 
sabendo que esta financeira paga juros compostos de 1% ao mês, 
capitalizados mensalmente. 
b) Uma pessoa deposita em um banco, no fim de cada mês, durante 5 
meses, a quantia de R$ 500,00. Calcule o montante da renda, 
sabendo que esta financeira paga juros compostos de 1,5% ao mês, 
capitalizados mensalmente. 
 
29. Capitalização Antecipada (no início do mês) 
 
Podemos entender que o valor é depositado no início do período, sendo que 
a última parcela também rende juros. 
 
a) Uma pessoa deposita em uma financeira, no início de cada mês, 
durante 5 meses a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante da 
renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao 
mês, capitalizados mensalmente. 
niCM )1.( 
1)02,01(100 + 
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24 24 
2)02,01(100 + 
3)02,01(100 + 
4)02,01(100 + 
5)02,01(100 
Somatório = R$ 530,81 
Considerando o conceito de fórmula Genérica. 
niTiTiTiTSi )1(...)1()1()1( 21
niiiTSi )1(...)1()1( 2 
niiiTTTSi )1(...)1()1( 2
niiiTTSi )1(...)1()1(1 2 
Observe que dentro do colchete, temos uma Progressão Geométrica. 
11a ,
n
n ia )1( , )1( iq 
Fórmula da soma da PG. 1
. 1
q
aqa
SPG n
 
11
1)1.()1(
i
ii
SPG
n
 
i
i
SPG
n 1)1( 1
 
Voltando a expressão anterior abaixo, 
 
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25 25 
 i
i
TTSi
n 1)1( 1
 
T
i
i
TSi
n 1)1( 1
 
a) Qual o montante de uma renda antecipada (no inicio do mês) de 10 
termos mensais de R$ 500,00 a taxa de 1,5% ao mês? 
 
30. Amortização composta 
 
Vamos, agora, aprender a calcular o valor de uma dívida (ou de um 
empréstimo, ou o valor à vista de uma mercadoria) que será paga 
em prestações periódicas de quantias constantes, sobre as quais 
incide a mesma taxa. 
 
31. Amortização (postecipada) 
 
Consideremos o seguinte problema: 
a) Que dívida pode ser amortizada por 5 prestações mensais (no 
fim do mês) de R$ 100,00, sendo de 2% ao mês a taxa de 
juros. 
 
O objetivo deste exercício é calcular o valor atual da dívida, ou seja, 
saber o preço a vista desta compra. 
Lembrando que para trazer cada parcela para a data zero, devemos 
aplicar o desconto racional composto em cada uma das parcelas. 
niNA )1.( 
A fórmula que nos dá o valor atual seria a seguinte: 
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26 26 
1)02,01(100 + 
2)02,01(100 + 
3)02,01(100 + 
4)02,01(100 + 
5)02,01(100 + 
Valor atual = R$ 471,34 
 
niTiTiTAf )1(...)1()1( 21 
niiiTAf )1(...)1()1( 21 
A expressão que se encontra dentro dos colchetes é a soma dos termos de 
uma PG, na qual temos: 
nia )1(1 ,
1)1( ian , )1( iq 
Fórmula da soma da PG. 1
. 1
q
aqa
SPG n
 
11
)1()1.()1( 1
i
iii
SPG
n
 
i
i
SPG
n)1(1
 
Multiplicando toda a expressão por 
ni)1( para facilitar a visualização 
dos termos. 
 
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27 27 
n
nn
ii
ii
SPG
)1.(
)1.)()1(1(
 
 
n
n
ii
i
SPG
)1.(
1)1(
Este termo é conhecido como 
fator de amortização. 
Voltando a expressão anterior, 
n
n
ii
i
TAf
)1.(
1)1(
 
 
a) Qual o valor atual de uma renda anual imediata de 12 termos iguais a 
R$ 15.000,00 cada um, à taxa de 6% ao ano? 
 
b) Qual dívida pode ser amortizada por 15 prestações mensais de R$ 
8.000,00 cada uma, sendo 2% ao mês a taxa de juro? 
 
32. Amortização antecipadaNeste caso, a primeira parcela da amortização é feita no ato do contrato 
(data zero). Para exemplificar vamos refazer o exemplo da explicação 
anterior considerando o pagamento no ato do contrato. 
a) Que dívida pode ser amortizada por 5 prestações mensais (no 
ínicio do mês) de R$ 100,00, sendo de 2% ao mês a taxa de 
juros. 
 
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28 28 
Resolução: 
niNA )1.( Ou seja, 
100+ 
1)02,1.(100 + 
2)02,1.(100 + 
3)02,1.(100 + 
4)02,1.(100 = 
Valor atual = R$ 480,77 
 
Vamos à fórmula genérica 
)1(21 )1(...)1()1( niTiTiTTAi
)1(21 )1(...)1()1(1 niiiTAi 
 A expressão que se encontra dentro dos colchetes é a soma dos termos de 
uma PG, na qual temos: 
)1(
1 )1(
nia , 1na , )1( iq 
Fórmula da soma da PG. 1
. 1
q
aqa
SPG n
 
11
)1()1.(1 )1(
i
ii
SPG
n
i
ii
SPG
n )1()1()1(
 
Voltando a expressão anterior, 
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29 29 
i
ii
TAi
n )1()1()1(
 
a) Calcule o valor atual de uma anuidade antecipada de 12 termos 
mensais de R$ 250,00, à taxa de 3% ao mês. 
b) Qual o valor de uma prestação mensal antecipada para amortizar, 
com 6 pagamentos, uma compra de R$ 6.500, com juro de 2,5% ao 
mês. 
 
 
33. Empréstimos (Sistema Francês de amortização) – Tabela 
Price. 
 
O mutuário se compromete a amortizar o empréstimo com 
prestações constantes, periódicas e imediatas. Como essas prestações são 
constantes, à medida que vão sendo paga, a dívida diminui e os juros 
tornam – se menores, enquanto que as quotas de amortização tornam – se 
automaticamente maiores. A tabela price amplamente usado em crédito 
veículo, eletrônicos, CDC e etc. 
 
Características: 
 As prestações são constantes em todos os períodos 
 A prestação é composta por (Juro + amortização) de forma que 
a prestação permaneça constante. 
 Os juros vão diminuindo ao longo do tempo, 
 A amortização vai aumentando ao longo do tempo. 
 No cálculo é utilizada a taxa proporcional. 
 
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30 30 
Vamos voltar ao conceito de amortização composta postecipada. 
n
n
ii
i
TAf
)1.(
1)1(
.Podemos entender que o termo 
Af é o valor atual, e ao mesmo tempo o valor a vista 0D 
 
n
n
ii
i
TD
)1.(
1)1(
0
 
Isolando o T temos, 
 
34. Esta é a formula para financiamentos gerais, pelo método 
PRICE. 
1)1(
)1.(
0 n
n
i
ii
DT
 
 
Vamos aos exemplos: 
a) Uma instituição financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00 
para ser pago pelo SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO 
(PRICE) em 4 prestações anuais, à taxa de 15% ao ano. Calcule o 
valor da prestação e monte a planilha de amortização. 
Utilizando a fórmula descrita (tabela price) calculamos o valor da 
parcela, R$ 35.027,00 
 
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31 31 
TABELA PRICE 
PERÍODOS PRESTAÇÃO JURO AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR 
0 R$ 100.000,00 
1 R$ 35.027,00 R$ 15.000,00 R$ 20.027,00 R$ 79.973,00 
2 R$ 35.027,00 R$ 11.995,95 R$ 23.031,05 R$ 56.941,95 
3 R$ 35.027,00 R$ 8.541,29 R$ 26.485,71 R$ 30.456,24 
4 R$ 35.027,00 R$ 4.568,44 R$ 30.458,56 -R$ 2,32 
 
Podemos tirar algumas conclusões escrevendo as fórmulas genéricas: 
 O valor do juro é 1. kk DiJ 
 O valor da amortização é kk JTA 
 O saldo devedor é kkk ADD 1 
 
 
b) Uma moto Honda custa R$ 6.000,00 à vista. Financiado em 
24 parcelas com a taxa de 1,5% a. m. Calcule o valor da 
parcela e construa a tabela PRICE correspondente. 
TABELA PRICE 
PERÍODOS PRESTAÇÃO JURO AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR 
0 R$ 6.000,00 
1 R$ 299,55 R$ 90,00 R$ 209,55 R$ 5.790,45 
2 R$ 299,55 R$ 86,86 R$ 212,69 R$ 5.577,76 
3 R$ 299,55 R$ 83,67 R$ 215,88 R$ 5.361,87 
4 R$ 299,55 R$ 80,43 R$ 219,12 R$ 5.142,75 
5 R$ 299,55 R$ 77,14 R$ 222,41 R$ 4.920,34 
6 R$ 299,55 R$ 73,81 R$ 225,74 R$ 4.694,60 
7 R$ 299,55 R$ 70,42 R$ 229,13 R$ 4.465,47 
8 R$ 299,55 R$ 66,98 R$ 232,57 R$ 4.232,90 
9 R$ 299,55 R$ 63,49 R$ 236,06 R$ 3.996,84 
10 R$ 299,55 R$ 59,95 R$ 239,60 R$ 3.757,24 
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32 32 
11 R$ 299,55 R$ 56,36 R$ 243,19 R$ 3.514,05 
12 R$ 299,55 R$ 52,71 R$ 246,84 R$ 3.267,21 
13 R$ 299,55 R$ 49,01 R$ 250,54 R$ 3.016,67 
14 R$ 299,55 R$ 45,25 R$ 254,30 R$ 2.762,37 
15 R$ 299,55 R$ 41,44 R$ 258,11 R$ 2.504,26 
16 R$ 299,55 R$ 37,56 R$ 261,99 R$ 2.242,27 
17 R$ 299,55 R$ 33,63 R$ 265,92 R$ 1.976,36 
18 R$ 299,55 R$ 29,65 R$ 269,90 R$ 1.706,45 
19 R$ 299,55 R$ 25,60 R$ 273,95 R$ 1.432,50 
20 R$ 299,55 R$ 21,49 R$ 278,06 R$ 1.154,44 
21 R$ 299,55 R$ 17,32 R$ 282,23 R$ 872,20 
22 R$ 299,55 R$ 13,08 R$ 286,47 R$ 585,74 
23 R$ 299,55 R$ 8,79 R$ 290,76 R$ 294,97 
24 R$ 299,55 R$ 4,42 R$ 295,13 -R$ 0,15 
 
35. Determinação do saldo devedor (Sistema Price) 
 
Vamos imaginar uma maneira de calcular o saldo devedor após 
ma certa quantia sem construir a tabela price e sem calcular 
manualmente dos saldos anteriores. 
Quando calculamos o 0
D
, na verdade estamos amortizando 
todas as parcelas para a data zero, então com isso estamos 
obtendo o saldo devedor que é igual ao valor inicial do 
financiamento. Podemos entender que 
,1D ,2D ,3D ,knD segue o cálculo do saldo devedor à 
medida que vamos quitando as respectivas parcelas. 
 
Então temos. 
 
 
 
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33 33 
 
n
n
ii
i
TD
)1.(
1)1(
0
 
kn
kn
k
ii
i
TD
)1.(
1)1(
, onde k é quantidade de 
parcelas já quitadas (pagas) 
 
a) Uma dívida de R$ 50.000,00 vai ser amortizada, através do Sistema 
Francês de Amortização, em 8 prestações anuais à taxa de 20% ao 
ano. Calcule o saldo devedor após ter sido paga a terceira parcela. 
 
b) Um banco empresta R$ 200.000,00 para ser pago pelo Sistema 
Francês de Amortização em 20 prestações anuais à taxa de 25% ao 
ano. Calcule o saldo devedor após o pagamento da décima segunda 
prestação. 
 
36. Empréstimos (Sistema Francês de amortização) – Tabela 
Price. COM CARÊNCIA. 
 
Um financiamento pode ser oferecido ao mutuário com um 
prazo de carência. Quando isso acontece, devemos considerar 
três casos: 
1) Durante a carência o mutuário paga apenas os juros da 
dívida, não havendo, portanto, amortização desta. 
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34 34 
2) Durante a carência o mutuário não paga os juros da dívida, 
estes serão capitalizados e incorporados à dívida, para 
serem amortizados nas prestações. 
3) A carência é apenas um incentivo para o mutuário na 
negociação, não havendo cobrança por isso. (Não conheço 
nenhum caso na prática. 
 
Vamos estudar o primeiro caso (mutuário paga 
somente os juros no período da carência). 
 
a) Uma instituição financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00 
para ser pago pelo SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO 
(PRICE) em 4 prestações anuais, à taxa de 15% ao ano e 2 anos de 
carência. Calcule o valor da prestação e monte a planilha de 
amortização. 
Utilizando a fórmula descrita (tabela price) calculamos o valor da 
parcela, R$ 35.027,00 
TABELA PRICE ( Com carência) 
PERÍODOS PRESTAÇÃO JURO AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR 
0 R$ 100.000,00 
1 CARÊNCIA R$ 15.000,00 Carência R$ 100.000,00 
2 CARÊNCIA R$ 15.000,00 Carência R$ 100.000,00 
3 R$ 35.027,00 R$ 15.000,00 R$ 20.027,00 R$ 79.973,00 
4 R$ 35.027,00 R$ 11.995,95 R$ 23.031,05 R$ 56.941,95 
5 R$ 35.027,00 R$ 8.541,29 R$ 26.485,71 R$ 30.456,24 
6 R$ 35.027,00 R$ 4.568,44 R$ 30.458,56 -R$ 2,32 
 
 
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35 35 
Vamos estudar o segundo caso (mutuário não 
paga nada durante a carência e estes juros 
serão capitalizados e incorporados à dívida). 
 
b) Uma instituição financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00 
para ser pago pelo SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO 
(PRICE) em 4 prestações anuais, à taxa de 15% ao ano e 2 anos de 
carência. Calcule o valor da prestação e monte a planilha de 
amortização. 
Vamos capitalizar a dívida. 
 
niCM )1(
 
115000)15,01(100000 11M 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
132250)15,01(100000 22M 
 ------------------------------------------------------------------------------- 
TABELA PRICE COM CARENCIA 
PERÍODOS PRESTAÇÃO JURO AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR 
0 R$ 100.000,00 
1 R$ 115.000,00 
2 R$ 132.250,00 
3 R$ 46.322,56 R$ 19.837,50 R$ 26.485,06 R$ 105.764,94 
4 R$ 46.322,56 R$ 15.864,74 R$ 30.457,82 R$ 75.307,12 
5 R$ 46.322,56 R$ 11.296,07 R$ 35.026,49 R$ 40.280,63 
6 R$ 46.322,56 R$ 6.042,09 R$ 40.280,47 R$ 0,16 
 
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36 36 
37. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (TABELA SAC) 
 
O Sistema de amortização constante (SAC), também chamado de 
sistema hamburguês, foi introduzido no Brasil, a partir de 1971, 
pelo sistema financeiro da habitação. O SAC Possui as seguintes 
características: 
 A amortização é constante 
 O mutuário paga a dívida em prestações periódicas e 
imediatas decrescentes, que englobam juros e 
amortizações. 
 Os juros são cobrados sobre o saldo devedor e a 
amortização é constante, então as prestações são 
decrescentes. 
 O valor do juro é 1. kk DiJ 
 O valor da amortização é 
n
D
A 0 
 O saldo devedor é kkk ADD 1 
 
a) Uma financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00 para ser 
pago pelo Sistema de Amortização Constante em 4 prestações 
anuais, à taxa de 15% ao ano. Monte a planilha de amortização. 
1000000D 
4n 
aai .%15 
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37 37 
n
D
A 0 = 
25000
4
100000
A 
TABELA SAC / TAXA 15% 
PERÍODOS PRESTAÇÃO JURO AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR 
0 R$ 100.000,00 
1 R$ 40.000,00 R$ 15.000,00 R$ 25.000,00 R$ 75.000,00 
2 R$ 36.250,00 R$ 11.250,00 R$ 25.000,00 R$ 50.000,00 
3 R$ 32.500,00 R$ 7.500,00 R$ 25.000,00 R$ 25.000,00 
4 R$ 28.750,00 R$ 3.750,00 R$ 25.000,00 R$ 0,00 
 
 
38. Determinação do saldo devedor. 
 
Por analogia aos modelos apresentados, temos a fórmula genérica 
do saldo devedor de um sistema de amortização constante: 
 
AkDDk .0 
a) Uma dívida de R$ 600.000,00 vai ser amortizada, através do sistema 
de amortização constante, em 12 prestações anuais, à taxa de 20% ao 
ano. Calcule o saldo devedor após ter sido paga a oitava prestação. 
50000
12
6000000
n
D
A 
AkDDk .0 
20000050000.86000008D
 
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38 38 
Comprovando o cálculo anterior através da tabela SAC. 
 
TABELA SAC / TAXA 20% 
PERÍODOS PRESTAÇÃO JURO AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR 
0 R$ 600.000,00 
1 R$ 170.000,00 R$ 120.000,00 R$ 50.000,00 R$ 550.000,00 
2 R$ 160.000,00 R$ 110.000,00 R$ 50.000,00 R$ 500.000,00 
3 R$ 150.000,00 R$ 100.000,00 R$ 50.000,00 R$ 450.000,00 
4 R$ 140.000,00 R$ 90.000,00 R$ 50.000,00 R$ 400.000,00 
5 R$ 130.000,00 R$ 80.000,00 R$ 50.000,00 R$ 350.000,00 
6 R$ 120.000,00 R$ 70.000,00 R$ 50.000,00 R$ 300.000,00 
7 R$ 110.000,00 R$ 60.000,00 R$ 50.000,00 R$ 250.000,00 
8 R$ 100.000,00 R$ 50.000,00 R$ 50.000,00 R$ 200.000,00 
9 R$ 90.000,00 R$ 40.000,00 R$ 50.000,00 R$ 150.000,00 
10 R$ 80.000,00 R$ 30.000,00 R$ 50.000,00 R$ 100.000,00 
11 R$ 70.000,00 R$ 20.000,00 R$ 50.000,00 R$ 50.000,00 
12 R$ 60.000,00 R$ 10.000,00 R$ 50.000,00 R$ 0,00 
 R$ 1.380.000,00 R$ 780.000,00 R$ 600.000,00 
 
39. Sistema de SAC com prazo de carência 
 
Da mesma forma que acontece na tabela price, podemos 
considerar três casos. 
 
Quando isso acontece, devemos considerar três casos: 
1. Durante a carência o mutuário paga apenas os juros da 
dívida, não havendo, portanto, amortização desta. 
2. Durante a carência o mutuário não paga os juros da 
dívida, estes serão capitalizados e incorporados à dívida, 
para serem amortizados nas prestações. 
3. A carência é apenas um incentivo para o mutuário na 
negociação, não havendo cobrança por isso. (Não 
conheço nenhum caso na prática. 
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39 39 
 
a) Refaça o exercício anterior atribuindo a carência de dois 
anos nos dois casos previstos principais (considerando o 
juro e capitalizando e montando um novo capital. 
 
Parte 01 
 
Referências Bibliográficas: 
 
 Matemática Comercial e Financeira – Antônio Arnot Crespo 
 Matemática Financeira com uso do Excel e Hp 12 C – Lúcio Magno 
Pires 
 Matemática Elementar Coleção vol 1 – Gelson Iezzi 
 Matemática Elementar Coleção vol 2 – Gelson Iezzi 
 Guia do Usuário Hp 12c – 5º edição – Hp do Brasil. 
 
 
 
 
RIKEY PAULO PIRES FELIX 
 
 
 
 
 
 
 
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