Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de Equações (1)

Prévia do material em texto

ROTEIRO DE PRÁTICA
	Tema 
	Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de Equações
	Unidade
	01
	Disciplina (s)
	Cálculo Numérico Computacional
	Data da última atualização
	03/02/2020
	I. Instruções e observações
	
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES
1. É importante o conhecimento prévio de métodos numéricos para obtenção de raízes de equações (Métodos Gráfico, Bisseção, Newton, Iteração Linear).
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos.
3. Consulte o material de apoio (e-book unidade 1).
	II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos
	Descrição
	Quantidade
	Roteiro da prática
	1
	Calculadora científica
	1
	Computador ou Notebook
	1
	III. Introdução
	Existem alguns métodos numéricos para a obtenção de raízes de equações. As técnicas numéricas nos fornecem soluções próximas da solução exata. De modo geral, esses métodos geram uma sequência de números reais, que se aproximam de uma raiz exata da equação. Para a aplicação dos métodos, podemos utilizar recursos computacionais acessíveis e de fácil manuseio, como Excel e o software GeoGebra.
	IV. Objetivos de Aprendizagem
	
· Aplicar o método da iteração linear para determinar uma aproximação refinada para uma raiz de uma função. (Capstone)
· Realizar o refinamento da raiz através dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear.
· Avaliar as vantagens e desvantagens dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear.
	 V. Experimento
	ETAPA 1: Método Gráfico
1. Utilizando o Método Gráfico, determine a quantidade e os sinais das raízes da função:
	
	
2. Compare as respostas obtidas no item anterior a partir da utilização do Software GeoGebra (https://www.geogebra.org/). Use as mesmas funções escolhidas para e .
	
	
	
	x³ - 2x² - 20x + 30
	X³
	2x² + 20x – 30 
ETAPA 2: Método da Bisseção
3. No Excel, sem utilizar a função “SE”, aplique o Método da Bisseção para calcular a quinta aproximação da raiz positiva da função . Para tanto, isole a raiz num intervalo ( e naturais) de comprimento 1, isto é, . 
	
	
	
	3,15625
	0,038086
	0,031250
4. Agora, fazendo uso da função “SE”, calcule a trigésima aproximação da raiz. 
	
	
	
	3,1622777 
	0
	0
5. Calcule com uma calculadora científica e compare o valor encontrado com .
	
 = 3,16227766 
Demonstrando uma ótima aproximação, se diferenciando apenas pelo número de casas decimais 
ETAPA 3: Método de Newton
6. No Excel, isolando a raiz de num intervalo ( e inteiros) de comprimento 1, isto é, e utilizando o Método de Newton, complete o quadro abaixo:
	 (Tolerância)
	Nº mínimo de iterações
	
	
	
	2
	- 2, 354305393352
	- 0, 000169474846
	
	3
	- 2, 354242758736
	- 0, 000000001390
	
	4
	- 2, 354242758223
	0, 0000000000514
7. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função e determinar sua raiz. Em seguida, compare suas respostas para a raiz encontrada no caso em que a tolerância é . 
	
ETAPA 4: Método da Iteração Linear
8. Em relação ao Método da Iteração Linear, considere a função e . Justificando sua resposta, quais as possibilidades para a função de iteração ?
	
Método Gráfico para Isolar as Raízes
g (x) = x³ 
h (x) = cos (x) 
Pelo gráfico é possível observar que elas se cruzam onde as duas são positivas e entre o intervalo (0,1). A função g(x) passa pelos pontos (0,0) e (1,1). A função h(x) está sempre entre 1 e -1 no eixo y. 
Usando o método de iteração linear: 
X³ - cos(x) = 0 
X³ = cos(x) 
F(x) = 
F (x)1 = = 0,957405669
F (x)2 = = 0,831861745
F(x)3= = 0,8765555383
Será sempre menor do que 1 no intervalo considerado, garantido a convergência. 
9. Sejam , e uma função de iteração convenientemente escolhida. No Excel, levando em consideração a sequência de raízes , complete a tabela abaixo:
	
	Raiz aproximada
	
	Erro ()
	
	0,866753875
	0,8650399272
	0,005068762479
	
	0,8654740586
	0,8654740244
	0,0000001009455659
	
	0,8654740321
	0,8654740334
	0,000000003926832415
	
	0,8654740331
	0,8654740331
	0
10. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função determinar sua raiz. Por fim, compare suas respostas para a raiz encontrada ().
	
Os resultados do excel apontam erro igual a zero dando garantia a um valor da raiz 
	VI. Avaliação do experimento
	
	VII. Referências
	BARROSO, L. C; BARROSO, M. M. A.; FILHO, F. F. C.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico com aplicações; 2ª Edição. São Paulo; Harbra, 1987