CALCULO_III_LISTA_EXERCICIOS_2 _(Direcional_gradiente_rotacional e divergente)_20181

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE SALVADOR 
Disciplina: Cálculo III 
Semestre: 2018.1 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 2 
Cálculo Vetorial 
 
Derivada Direcional e Gradiente 
1. Calcule a derivada direcional ( )o
f
P
u
→
∂
∂
 sendo dados: 
(a)
2 2x
f(x,y)=e , 
y−
 0P (1,1) e 
→
ué o versor de ( 3, 4). 
(b) ( , )
x
f x y arctg
y
= ; 0P (3, 3) e 
2 2
,
2 2
u
→  
=   
 
. 
(c) 
2 2
1
( , ) ;f x y
x y
=
+
 0P (3, 2) e 
5 12
13 13
u i j
→ → →
= + . 
(d) ( ) f x, y xy ;= ; 0 (1, 4)P = e 
→
u é o vetor que faz ângulo 3/πθ = com o eixo OX. 
(e) ( ) ( )2 f x, y tg x y ;= + 0 ( / 6, / 3)P π π=
→
u é o vetor que faz ângulo 4/7π=θ com o eixo OX. 
(f) ( ) 3 2, f x, y z x y z;= . 0P (1, 1, 1 ) e (1, 0, -1) u
→
= . 
(g) ( ) ( ) ( )2 2, ln 1, 4, 1 ; 2of x, y z y x z ; P u i j k
→ → → →
= + = − + . 
 
2. Determine o gradiente de f no ponto indicado: 
 
(a) ( ) ( ) ( )32 1, 1f x, y x xy P= + − − . 
(b) ( ) ( ) ( )ln 3, 4f x, y y x y P= + − . 
 
3. Esboce a curva de nível de f que passa por P e desenhe o vetor gradiente em P. 
 
a) ( ) ( )4 2 3 1,2f x, y x y ; P= − + . 
b) ( ) ( )2 24 2,0f x, y x y ; P= + − . 
 
 
EAETI 
Escola de Engenharia, 
Arquitetura e 
Tecnologia da Informação 
2 
 
Aplicações de Derivada Direcional e Gradiente 
4. Uma chapa de metal está situada em um plano xy, de modo que a temperatura T em (x,y) é inversamente 
proporcional à distância da origem, e a temperatura em P(3,4) é 100o F. 
a) Ache a taxa de variação de T em P na direção de i + j. 
b) Em que direção e sentido T aumenta mais rapidamente, em P? 
c) Em que direção e sentido T decresce mais rapidamente, em P? 
d) Em que direção a taxa de variação é nula? 
5. Se um potencial elétrico em um ponto (x,y) do plano xy é V(x,y) então o vetor de intensidade elétrica em 
um ponto (x,y) é ( ),E V x y= −∇ . Suponha que ( ) ( )2, cos 2xV x y e y−= . Determine o vetor intensidade 
elétrica em 




 π
0,
4
 e verifique que, em cada ponto do plano, o potencial elétrico decresce mais rapidamente 
na direção e sentido do vetor E. 
 
6. O potencial elétrico V em um ponto P(x,y,z) num sistema de coordenadas retangulares é dado por 
2 2 24 9 .V x y z= + + Determine a taxa de variação de V em P(2, −1, 3) na direção de P para a origem, ou 
seja , na direção do vetor 
→
PO . Determine a direção e sentido que produz taxa máxima de variação de V em 
P. Qual a taxa máxima de variação em P? 
 
Divergente e Rotacional 
7. Determine div F e rot F nos seguintes casos: 
 
a) 
2( , , ) 2F x y z x i j yz k
→ → → →
= − + b) ( , , ) xy yzF x y z e i e j xz k
→ → → →
= + + 
c) ( , , )F x y z xy i z j xz k
→ → → →
= + + d) ( , , ) ln( )F x y z x y i z j xz k
→ → → →
= + + + 
8. (a) Seja u um campo escalar e 
→
Fum campo vetorial. Diga, justificando, se cada expressão a seguir tem 
significado. Em caso afirmativo diga se o resultado é um campo escalar ou vetorial: 
(a1) xu∇ ; (a2) u∇ (a3) )Fx.(
→
∇∇ (a4) ( )F
→
∇ ∇ ⋅ ; (a5) )F.(
→
⋅∇∇ 
(b) Calcule o valor das expressões que têm significado no item (A) para 
2u(x,y,z) x ln(y xz)= + e 
F (x,y,z) i (x yz) j (xy z ) k
→ → → →
= + + + − . 
9. Ache um campo vetorial conservativo que tenha o potencial indicado 
 
a) ( , ) ar ( )f x y ctg xy= b) 2 2 2( , , ) 3 4f x y z x y z= − + c) 2 2 2( , , ) ( )f x y z sen x y z= + + 
10. Confirme que u é uma função potencial de F 
 a) 
2 2 3( , ) 2 3u x y y x y xy= + − e 3 3 2F (x,y) (6 ) i (4y 3x -3xy ) jxy y
→ → →
= − + + . 
 b) ( , , ) ( ) ( ) ( )u x y z x sen z y sen x z sen y= + + e 
F (x,y,z) ( ( ) cos( )) i ( ( ) cos( )) j (xcos( ) ( )) ksen z y x sen x z y z sen y
→ → → →
= + + + + + . 
3 
 
11. Verifique se os campos vetoriais são conservativos e em caso afirmativo determine uma função 
potencial para os mesmos 
 
a) F (x,y) ( ) i ( ) jx y
→ → →
= + b) 2 2F (x,y) ( ) i (5xy ) jx
→ → →
= + 
c) F (x,y) cos( cos( )) i ( ( ) ( )) jy y x sen x xsen y
→ → →
= + + − d) 2 2 2 2 2 3(2 , 3 , )F x y z x y z x y y
→
= + 
e) F (x,y) ( cos( ) ) i ( cos( ) ) j kxy xyy xy ye x xy xe
→ → → →
= + + + + (f) F (x,y) ( cos( )) i ( ( )) j kyz x xz sen y xy
→ → → →
= + + − + 
 
Gabaritos 
 
01. (a) -2/5; b) zero; (c) -6/169; (d) 
8
3
2
1+ (e) 22 (f) 2; g) 63 ; 
02. (a) -36i-12j; (b) 4i+4j. 
03. (a) a curva de nível é a reta y = 2x e o vetor gradiente (4, -2) 
 (b) a curva de nível é a elipse x2 + 4y2 = 4 e o gradiente ( −4,0) 
04. (a) 2/28− ; (b) a direção de -12i -16j; (c) a direção de 12i +16j; (d) a direção de 4i -3j. 
05. ie2 2π− . 06. 2996 ,54k +8j-4i ; 
14
178−
; 
07. (a) div F = 2x + y; rot F = z i (b) ( ) xy yzdiv F ye ze x
→
= + + ; ( ) yz xyrot F ye i z j xe k
→ → → →
= − − − 
 
c) ( )div F y x
→
= + ; ( )rot F i z j x k
→ → → →
= − − − ; d) 
1
( )div F
x y
→
=
+
; 
1
( )rot F i z j k
x y
→ → → →
= − − −
+
 
 
08. a) a1) e a5) não têm significado; a2) e a4) são campos vetoriais e a3) é escalar; 
b) 
→→→
+
+
+
+






+
++=∇ k
xzy
x
j
xzy
xy2
i
xzy
xz
)xzyln(u
2
2
22
2 ; )Fx.(
→
∇∇ = 0; 
3/ 2
( ) 1
4
z
F k
−→ → 
∇ ∇ ⋅ = +  
 
. 
09. a) 
2 2 2 2
( , )
1 1
y x
F x y i j
x y x y
= +
+ +
; b) F(x,y,z) = 2x i −6y j + 8z k; 
c) F(x,y,z) = 2x cos(x2 +y2 +z2) i + 2y cos(x2 +y2 +z2) j + 2z cos(x2 +y2 +z2) k 
 
10) Resposta pessoal, demonstração. 
11. a) conservativo; 
2 2
( , )
2 2
x y
u x y C= + + ; b) e d) não conservativo; c) conservativo, u(x,y) = xcosy +ysenx + 
C; e) conservativo, u = senxy + exy +z + C; f) conservativo e u = xyz + senx + cosy + C