Aula 8 - Forças internas(1)

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Prof. Dr. Lucas Vono
Forças internas
Mecânica dos Sólidos - Estática
Disciplina CRT: 2694 - Mecânica dos Sólidos - Estática
Professor Lucas Vono
Data Conteúdo
10/01/2020 Aula cancelada devido à chuva
17/01/2020 Revisão de trigonometria e vetores
24/01/2020 Recesso Escolar - Carnaval
02/03/2020 Equilíbrio de um partícula
09/03/2020 Resultante de um sistema de forças
16/03/2020 Resultante de um sistema de forças
23/03/2020 Equilíbrio de um corpo rígido
30/03/2020 Equilíbrio de um corpo rígido
06/04/2020 Análise Estrutural
13/04/2020 Prova N1
20/04/2020 Análise Estrutural
27/04/2020 Semana da Engenharia e Tecnologia
04/05/2020 Análise Estrutural - Entrega da APS
11/05/2020 Forças Internas
18/05/2020 Forças Internas
25/05/2020 Forças Internas
01/06/2020 Centro de Gravidade e Centróide
08/06/2020 Momento de Inércia
15/06/2020 Prova N2
22/06/2020 Prova Substitutiva
27/04/2020
Teste de Progresso de Ciência da Computação, Sistemas de Informação, 
Tecnologia em Análise e Desenvolvimento de Sistemas, Tecnologia em Gestão 
de TI, Engenharia de Computação, Engenharia Elétrica e Engenharia Mecânica
28/04/2020 Teste de Progresso de Engenharia de Produção
29/04/2020 Teste de Progresso de Engenharia Civil e Engenharia Ambiental
Cronograma de Aulas - 2020/1
IMPORTANTE!!!
Objetivos
1. Esforços internos
2. Diagramas de esforços internos
3. Exercícios para prática
Referências:
‒ Hibbeler, Mecânica para engenharia : Cap. 7
‒ Beer & Jonnston, Mecânica vetorial para engenheiros: Cap. 7 
Anteriormente em Mecânica dos sólidos
O que é treliça?
Estrutura formada de elementos unidos em suas extremidades para formar uma estrutura rígida
Estruturas amplamente utilizadas na engenharia.
Exemplos:
Pontes, torres de transmissão elétrica, suporte de telhados, etc.
Hipóteses de Projeto
1. Todas as cargas são aplicadas nos nós
2. Elementos ligados por pinos lisos
O peso é normalmente desprezado pois a carga suportada é 
bem maior que o peso do elemento. Se precisar levar em 
consideração o peso ele é dividido nas extremidades.
Vale o que foi discutido em junções! Se for uma placa!
Se as hipóteses acima forem atendidas:
Cada elemento da treliça atua como um elemento de duas forças. Essas forças atuam nas extremidades e são observadas 
ao longo do eixo. A barra de uma treliça aceitará apenas forças axiais (compressão ou tração).
A barra não transmite nenhuma força cortante ou momento fletor e todos os esforços aplicados na treliça atuam nos nós.
Observação:
Lei de Newton de ação e reação!
Se a barra é tracionada ou comprimida – ela traciona ou
comprime o nó também! Com força de mesma magnitude
- A barra AC está sujeita à tração e traciona os nós A e C.
- A barra BC está sujeita à compressão e comprime os nós B e C.
Solução de Treliças
Treliças podem ser solucionadas por diferentes métodos: Método dos nós, método de Maxwell-Cremona, método das 
seções, método matricial, etc.
Método dos nós:
Consiste em desmembrar a treliça nos seus nós e aplicar o conceito de DCL para cada nó e 
determinar o equilíbrio nos eixos x e y.
Importante: convenção de sinais
- A convenção de sinais para os esforços externos atuando 
na treliça (forças externas aplicadas e reações dos apoios) 
segue o sistema de eixos coordenados global.
- A convenção de sinais para os esforços internos (forças 
atuando nas barras) é independente do sistema de 
coordenadas global. A força é positiva quando a barra é 
tracionada e negativa quando a barra é comprimida.
Agora em Mecânica dos sólidos
Esforços
Em um corpo em equilíbrio, os esforços internos equilibram as forças externas aplicadas sobre o corpo. São 
possíveis 3 tipos de esforços internos: força normal N, força cortante V e momento fletor M.
Importante: Repare que após o corte, os esforços internos do lado esquerdo são numericamente idênticos 
ao do lado direito. Porém, com sentidos opostos.
Diagrama de Esforços Internos
Método usado para construir o diagrama de esforços internos. Baseia-se no princípio 
de que se um corpo sólido sujeito a um sistema de forças está em equilíbrio estático, 
qualquer uma de suas partes também está.
Método das Seções
Diagrama de Esforços Internos
Os valores dos esforços internos podem ser obtidos aplicando as equações globais de equilíbrio para cada lado.
Por exemplo, fazendo o equilíbrio de forças do lado esquerdo do corte:
Lado esquerdo do corte está em equilíbrio: NB, VB e MB estão equilibrando Ax, Ay e MA.
Esforços Internos
Notação de sinais para os esforços internos:
Importante: a convenção de sinais para os esforços internos é diferente da notação de sinais para esforços externos!
A força normal NB é positiva porque está tracionando 
o elemento, mesmo que ele aponte para o sentido 
oposto de x.
Diagrama de Esforços Internos
Os diagramas de esforços internos solicitante são curvas ou gráficos que fornecem as intensidades dos esforços 
internos em todas as seções ao longo do corpo. Eles são importantes pois permitem determinar os máximos 
esforços que atuam em uma estrutura, fornecendo uma ferramenta útil para o dimensionamento.
Calcula-se os esforços internos 
para todas as seções da viga:
Com os dados constrói-se o diagrama de esforços 
internos (como N, V e M variam em função de x):
Seção:
𝑥 = 2 𝑚
𝑥 = 4 𝑚
𝑥 = 6 𝑚
Diagrama de Esforços Internos
Para construir os diagramas utiliza-se o método das seções ao longo de todo o comprimento da viga (x variando de 
0 até o final da viga).
Para facilitar a construção, algumas relações entre os esforços internos são bastante úteis:
𝑑𝑉
𝑑𝑥
= −𝑤
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= 𝑉
Das duas relações acima pode-se observar algumas propriedades que facilitam a construção dos diagramas:
Se a carga distribuída é nula, a força cortante no trecho é constante.
𝑤 = 0 →
𝑑𝑉
𝑑𝑥
= 0 → 𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Se a força cortante é constante, o momento fletor no trecho é uma função do 1º grau.
𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 →
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 → 𝑀𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑜 1º 𝐺𝑟𝑎𝑢
Examine o exemplo anterior para checar que as duas propriedades são verdadeiras.
Diagrama de Esforços Internos
Outra propriedade bastante útil para construir os diagramas de forças cortantes e momentos fletores é obtida 
integrando-se as equações de carga distribuída e força cortante:
𝑑𝑉
𝑑𝑥
= −𝑤 → 𝑉2 − 𝑉1 = −න
𝑥1
𝑥2
𝑤𝑑𝑥 → Δ𝑉 = − á𝑟𝑒𝑎 𝑤1−2
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= 𝑉 → 𝑀2 −𝑀1 = −න
𝑥1
𝑥2
𝑉𝑑𝑥 → Δ𝑉 = − á𝑟𝑒𝑎 𝑉1−2
Diagrama de Esforços Internos
Para vigas, uma propriedade bastante útil para construir os diagramas de carga distribuída pode ser verificada nos 
extremos direito e esquerdo: o valor do diagrama em um extremo da viga é igual ao valor da carga correspondente
aplicada ou reação de apoio naquele ponto.
Exemplo:
No extremo A: a força cortante da reação é igual 
a 10 kN para baixo (esforço cortante interno de -
10 kN). Não há momento fletor aplicado no 
ponto A, portanto o valor é nulo no diagrama.
No extremo B: a força cortante aplicada é igual a 
30 kN para baixo (esforço cortante interno de 
+30 kN). Não há momento fletor aplicado no 
ponto B, portanto o valor é nulo no diagrama.
Diagrama de Esforços Internos
Roteiro para construção dos diagramas de esforços internos:
1 – calcular as reações nos apoios;
2 – marcar os valores (N, V e M) dos extremos direito e esquerdo no diagrama;
3 – separar a viga em trechos (aplicar cortes);
4 – construir o diagrama de esforços internos trecho por trecho;
5 – checar se os valores nos extremos do diagrama coincidem com os esforços
aplicados nos respectivos pontos.
Exercícios 1: Esforços Internos
Exercícios 1: Esforços Internos
Exercícios 2: Diagramas de Esforços Internos
Exercícios 2: Diagramas de Esforços Internos
Exercícios 2: Diagramas de Esforços Internos
Exercícios 2: Diagramas de Esforços Internos
Exercícios 3: Diagramas de Esforços Internos