Curso de Raciocínio Lógico-Quantitativo

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Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados 
Aula 04 
Aplicações da Álgebra – Equações e Inequações – Parte 1 
Conteúdo 
5. Aplicações em Álgebra ........................................................................................................... 2 
5.1. Polinômios ........................................................................................................................... 2 
5.1.1. Divisão de Polinômios................................................................................................. 5 
5.1.1.1. Divisão por Binômios de Primeiro Grau .......................................................... 8 
5.2. Equações ........................................................................................................................... 13 
5.2.1. Equações Polinomiais ............................................................................................... 13 
5.2.2. Equações de Primeiro Grau .................................................................................... 15 
5.2.3. Equações de Segundo Grau ................................................................................... 16 
5.2.4. Equações Irracionais ................................................................................................. 17 
5.2.6. Inequações ................................................................................................................... 19 
5.2.6.1. Inequações de Primeiro Grau ............................................................................ 19 
5.2.6.2. Inequações de Segundo Grau ........................................................................... 21 
5.2.8. Memorize para a prova ............................................................................................ 24 
5.3. Exercícios de Fixação .................................................................................................... 34 
5.4. Gabarito ............................................................................................................................. 38 
5.5. Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos ............................................... 39 
Bibliografia ..................................................................................................................................... 57 
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5. Aplicações em Álgebra 
Nessa aula, começaremos a ver as aplicações em álgebra. Optei por dividir o 
assunto em duas partes para que fique mais fácil de ser digerido. Portanto, 
nesta aula, veremos quase toda a teoria e alguns exercícios. Na próxima aula, 
veremos mais um pouco de teoria, mais exercícios da parte 1 e exercícios da 
parte 2. Deste modo, acredito que será mais eficiente para o seu aprendizado. 
 
5.1. Polinômios 
 
Bom, antes de falar das equações, vamos falar um pouco novamente sobre os 
polinômios. 
 
Uma função polinomial (polinômio) pode ser representada da seguinte forma: 
 
f(x) = a0 + a1.x + a2.x2 + a3.x3 + .... + an-1.xn-1 + an.xn 
 
Onde: 
a0, a1, a2, a3,...,an-1, an são os coeficientes do polinômio; e 
a0, a1.x, a2.x2, a3.x3,...,an-1.xn-1, an.xn são os termos do polinômio. 
 
Define-se o grau de um polinômio como o maior índice existente entre os 
termos do polinômio. 
 
Exemplos: 
f(x) = 1 + 2x + 4x2 + 5x3 – 7x4 ⇒polinômio de grau 4 
g(x) = 1 + 5x3 ⇒polinômio de grau 3 
h(x) = 2x – 7x5 ⇒polinômio de grau 5 
 
O valor numérico da função polinomial f(x) corresponde ao valor obtido quando 
substituindo a variável x por um número. Vejamos. 
 
Exemplos: 
I) f(x) = 1 + 2x + 4x2 + 5x3 – x4 
Se x = 2 ⇒ f(2) = 1 + 2 . 2 + 4 . 22 + 5 . 23 – 1 . 24 ⇒ 
⇒ f(2) = 1 + 2 . 2 + 4 . 4 + 5 . 8 – 1 . 16 ⇒ 
⇒ f(2) = 1 + 4 + 16 + 40 – 16 ⇒ 
⇒ f(2) = 45 (valor numérico de f(x) para x = 2). 
 
II) g(x) = 1 + 5x3 
Se x = 3 ⇒ g(3) = 1 + 5 . 33 ⇒ 
⇒ g(3) = 1 + 5 . 27 ⇒ 
⇒ g(3) = 1 + 135 ⇒ 
⇒ g(3) = 136 (valor numérico de g(x) para x = 3). 
 
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Memorize para a prova: 
 
N 
 
 
 
 
 
 
Agora, vejamos outros conceitos importantes: 
 
I) Um polinômio f(x) é nulo ou identicamente nulo quando f(x) é igual a zero 
para qualquer valor de x. Ou seja, para que isto ocorra, f(x) deve ser igual a 0. 
 
Memorize para a prova: 
 
N 
 
II) Um polinômio f(x) é idêntico ao polinômio g(x) quando todos os seus 
termos são iguais. 
 
f(x) = a0 + a1.x + a2.x2 + a3.x3 + .... + an-1.xn-1 + an.xn 
g(x) = b0 + b1.x + b2.x2 + b3.x3 + .... + bn-1.xn-1 + bn.xn 
 
a0 = b0 
a1.x = b1.x 
a2.x2 = b2.x2 
(…) 
an-1.xn-1 = bn-1.xn-1 
an.xn = bn.xn 
 
III) Soma e subtração de polinômios: 
 
f(x) = a0 + a1.x + a2.x2 + a3.x3 + .... + an-1.xn-1 + an.xn 
g(x) = b0 + b1.x + b2.x2 + b3.x3 + .... + bn-1.xn-1 + bn.xn 
 
f(x) + g(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1).x + (a2 + b2).x2 + (a3 + b3).x3 + .... + (an-1 
+ bn-1).xn-1 + (an + bn).xn 
 
f(x) – g(x) = (a0 – b0) + (a1 – b1).x + (a2 – b2).x2 + (a3 – b3).x3 + .... + (an-1 – 
bn-1).xn-1 + (an – bn).xn 
 
IV) Multiplicação de polinômios: 
 
f(x) = a0 + a1.x + a2.x2 + a3.x3 + .... + am-1.xm-1 + am.xm 
g(x) = b0 + b1.x + b2.x2 + b3.x3 + .... + bn-1.xn-1 + bn.xn 
 
f(x).g(x) = a0.b0 + (a0.b1+a1.b0).x + (a2.b0 + a1.b1 + a0.b2).x2 + ... am.bn.xm+n 
 
Polinômio Nulo ou Identicamente Nulo: f(x) = 0 
Função Polinomial: 
f(x) = a0 + a1.x + a2.x2 + a3.x3 + .... + an-1.xn-1 + an.xn 
 
Onde: 
a0, a1, a2, a3,...,an-1, an são os coeficientes do polinômio; e 
a0, a1.x, a2.x2, a3.x3,...,an-1.xn-1, an.xn são os termos do polinômio. 
 
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Nossa! É preciso saber este “monstro”! Não, vamos aprender um “macete” 
para multiplicar polinômios. Como sempre, é mais fácil explicar por meio de 
um exemplo numérico. 
 
Exemplo: 
f(x) = 2x + 3x2 + x3 
g(x) = 2 + 3x + 5x2 
 
Calcule f(x) . g(x). 
Passo 1: Coloque o polinômio no formato a0 + a1.x + a2.x2 + .... + am.xm, 
inclusive com os termos nulos. 
 
f(x) = 0 + 2x + 3x2 + x3 
onde: a0 = 0; a1 = 2; a2 = 3 e a3 = 1 
 
g(x) = 2 + 3x + 5x2 
onde: a0 = 2; a1 = 3 e a2 = 5 
 
Passo 2: Monte uma tabela com todos os coeficientes de f(x) e de g(x), 
conforme abaixo: 
 
g 
f 
2 3 5 
0 
2 
3 
1 
 
Passo 3: Calcule os produtos das linhas x colunas: 
 
g 
f 
2 3 5 
0 0 x 2 = 0 0 x 3 = 0 0 x 5 = 0 
2 2 x 2 = 4 2 x 3 = 6 2 x 5 = 10 
3 3 x 2 = 6 3 x 3 = 9 3 x 5 = 15 
1 1 x 2 = 2 1 x 3 = 3 1 x 5 = 5 
 
Passo 4: Some os resultados das diagonais, de cima para baixo, onde o 
primeiro resultado será o termo de x0, o segundo será o termo de x1, e assim 
por diante: 
 
g 
f 
2 3 5 
0 0 0 0 
2 4 6 10 
3 6 9 15 
1 2 3 5 
 
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f(x).g(x) = 
= 0.x0 + (0 + 4).x1 + (6 + 6 + 0).x2 + (2 + 9 + 10).x3 + (3 + 15).x4 + 5.x5 
 
f(x).g(x) = 0.1 + 4x + 12x2 + 21x3 + 18x4 + 5x5 
f(x).g(x) = 4x + 12x2 + 21x3 + 18x4 + 5x5 
 
Vamos conferir, fazendo o cálculo do modo que aprendemos na aula passada: 
 
f(x) = 2x + 3x2 + x3 
g(x) = 2 + 3x + 5x2 
 
f(x).g(x) = (2x + 3x2 + x3).(2 + 3x + 5x2) = 
= 2x.(2 + 3x + 5x2) + 3x2.(2 + 3x + 5x2) + x3.(2 + 3x + 5x2) = 
= 2x.2 + 2x.3x + 2x.5x2 + 3x2.2 + 3x2.3x + 3x2.5x2 + x3.2 + x3.3x + x3.5x2 = 
= 4x + 6x1+1 + 10x1+2 + 6x2 +9x2+1 + 15x2+2 + 2x3 + 3x3+1 + 5x3+2 = 
= 4x + 6x2 + 10x3 + 6x2 + 9x3 + 15x4 + 2x3 + 3x4 + 5x5 = 
= 4x + (6 + 6)x2 + (10 + 9 + 2)x3 + (15 + 3)x4 + 5x5 
f(x).g(x) = 4x + 12x2 + 21x3 + 18x4 + 5x5 (ok) 
 
5.1.1. Divisão de Polinômios 
 
Considere o polinômio f (dividendo) e o polinômio g diferente de 0 (divisor). Ao 
dividir f(x) por g(x), obteremos dois outros polinômios que chamaremos de 
q(x) (quociente) e r(x) (resto). 
 
Logo, temos que: 
 
I) q(x) . g(x) + r(x) = f(x) 
 
II) O grau de r(x) é menor que o grau de g(x). Quando a divisão for exata, 
r(x) será igual a zero. 
 
Há duas situações em que as divisões são imediatas: 
 
Situação 1: O dividendo f(x) é um polinômio nulo. Nesta situação, q(x) e r(x) 
também serão polinômios nulos. 
 
f(x) = 0 ⇒ q(x) = 0 e r(x) = 0 
 
Situação 2: O dividendo f(x) não é um polinômio nulo, mas tem um grau 
menor que o divisor g(x). Nesta situação, q(x) será nulo e r(x) será igual a 
f(x). 
 
Exemplo: 
f(x) = 1 + 4x 
g(x) = 1 + 2x + x2 
 
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( )
( )
f x
g x
=0 com resto r(x) = f(x) = 1 + 4x 
 
Nas outras situações, adotaremos o Método de Chave. Vamos aprender o 
método por meio de um exemplo numérico. 
 
Exemplo: Dividir f(x) por g(x), onde: 
 
f(x) = 3x5 – 6x4 + 13x3 – 9x2 + 11x – 1 
g(x) = x2 – 2x + 3 
 
I) Inicialmente, montamos a divisão como se fossem números “normais”. 
 
3x5 – 6x4 + 13x3 – 9x2 + 11x – 1 x2 – 2x + 3 
 
 
II) Se fôssemos dividir o primeiro termo de f(x) pelo primeiro termo de g(x), 
teríamos: 
 
5
5 2 3
2
3
3 3
x
x x
x
−= = 
 
Portanto, devemos multiplicar todo o polinômio g(x) por 3x3 e fazermos a 
subtração de f(x) pelo polinômio resultante desta multiplicação. Com isso, 
eliminaremos o termo 3x5. Veja: 
 
3x3.g(x) = 3x3.(x2 – 2x + 3) = 3x3.x2 – 3x3.2x + 3x3.3 = 3x5 – 6x4 + 9x3 
 
– (3x3.g(x)) = – (3x5 – 6x4 + 9x3) = – 3x5 + 6x4 – 9x3 
 
 
3x5 – 6x4 + 13x3 – 9x2 + 11x – 1 x2 – 2x + 3 
 
–3x5 + 6x4 – 9x3 3x3 
0 + 0 + 4x3 – 9x2 + 11x – 1 
 
O resultado desta primeira divisão foi o polinômio f´(x) = 4x3 – 9x2 + 11x – 1. 
Como o grau desse polinômio (grau = 3) ainda é maior que o grau do 
polinômio g(x) (grau = 2), podemos continuar a divisão. 
 
Nota: f´(x), “em português”, seria “f linha de x”. É apenas uma variável 
chamada “f linha de x”. 
 
III) Se fôssemos dividir o primeiro termo de f´(x) pelo primeiro termo de g(x), 
teríamos: 
3
3 2
2
4
4 4
x
x x
x
−= = 
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Portanto, devemos multiplicar todo o polinômio g(x) por 4x e fazermos a 
subtração de f´(x) pelo polinômio resultante desta multiplicação. Com isso, 
eliminaremos o termo 4x3. Veja: 
 
4x.g(x) = 4x.(x2 – 2x + 3) = 4x.x2 – 4x.2x + 4x.3 = 4x3 – 8x2 + 12x 
 
– (4x.g(x)) = – (4x3 – 8x2 + 12x) = – 4x3 + 8x2 – 12x 
 
3x5 – 6x4 + 13x3 – 9x2 + 11x – 1 x2 – 2x + 3 
 
–3x5 + 6x4 – 9x3 3x3 + 4x 
0 + 0 + 4x3 – 9x2 + 11x – 1 
 – 4x3 + 8x2 – 12x 
 0 – x2 – x – 1 
 
O resultado desta segunda divisão foi o polinômio f´´(x) = – x2 – x – 1. Como 
o grau desse polinômio (grau = 2) é igual que o grau do polinômio g(x) (grau 
= 2), podemos continuar a divisão. 
 
Nota: f´´(x), “em português”, seria “f duas linhas de x”. 
 
IV) Se fôssemos dividir o primeiro termo de f´´(x) pelo primeiro termo de 
g(x), teríamos: 
 
2
2
1
x
x
−
= − 
 
Portanto, devemos multiplicar todo o polinômio g(x) por –1 e fazermos a 
subtração de f´´(x) pelo polinômio resultante desta multiplicação. Com isso, 
eliminaremos o termo –x2. Veja: 
 
(–1).g(x) = (–1).(x2 – 2x + 3) = –x2 + 2x – 3 
 
– ((–1).g(x)) = g(x) = x2 – 2x + 3 
 
 
3x5 – 6x4 + 13x3 – 9x2 + 11x – 1 x2 – 2x + 3 
 
–3x5 + 6x4 – 9x3 3x3 + 4x – 1 
0 + 0 + 4x3 – 9x2 + 11x – 1 
 – 4x3 + 8x2 – 12x 
 0 – x2 – x – 1 
 + x2 – 2x + 3 
 0 – 3x + 2 
 
Portanto, a divisão de f(x) por g(x) tem como quociente q(x) = 3x3 + 4x – 1 e 
como resto r(x) = – 3x + 2. 
 
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Se você quiser verificar se o resultado está correto, basta aplicar a fórmula da 
divisão: 
 
f(x) = q(x) . g(x) + r(x) ⇒ 
⇒ f(x) = (3x3 + 4x – 1).(x2 – 2x + 3) + (– 3x + 2) ⇒ 
⇒ f(x) = 3x3.(x2 – 2x + 3) + 4x.(x2 – 2x + 3) – 1.(x2 – 2x + 3) – 3x + 2 ⇒ 
⇒ f(x) = 3x3.x2 – 3x3.2x + 3x3.3 + 4x.x2 – 4x.2x + 4x.3 – x2 + 2x – 3 – 3x +2 
⇒ f(x) = 3x3+2 – 6x3+1 + 9x3 + 4x1+2 – 8x2 + 12x – x2 + 2x – 3 – 3x + 2 ⇒ 
⇒ f(x) = 3x5 – 6x4 + (9 + 4)x3 – (8 + 1)x2 + (12 + 2 – 3)x – 3 + 2 ⇒ 
⇒ f(x) = 3x5 – 6x4 + 13x4 – 9x2 + 11x – 1 (ok) 
 
5.1.1.1. Divisão por Binômios de Primeiro Grau 
 
Esta divisão possui uma particularidade importante, tendo em vista que, se 
dividirmos um polinômio f(x) de grau n maior ou igual a 1 por um polinômio 
g(x) de grau 1, como o resto da divisão é um polinômio de grau menor que o 
grau de g(x), será uma constante (r(x) = constante). Vejamos um exemplo. 
 
Exemplo: 
f(x) = 2x3 – 7x2 + 4x – 1 
g(x) = x – 4 
Apure o resultado da divisão de f(x) por g(x). 
 
Vamos aproveitar para treinar o nosso procedimento de divisão. 
 
I) Inicialmente, montamos a divisão como se fossem números “normais”. 
 
2x3 – 7x2 + 4x – 1 x – 4 
 
 
II) Se fôssemos dividir o primeiro termo de f(x) pelo primeiro termo de g(x), 
teríamos: 
 
3
3 1 22 2 2
x
x x
x
−= = 
 
Portanto, devemos multiplicar todo o polinômio g(x) por 2x2 e fazermos a 
subtração de f(x) pelo polinômio resultante desta multiplicação. Com isso, 
eliminaremos o termo 2x3. Veja: 
 
2x2.g(x) = 2x2.(x – 4) = 2x2.x – 2x2.4 = 2x2+1 – 8x2 = 2x3 – 8x2 
 
– (2x2.g(x)) = – (2x3 – 8x2) = – 2x3 + 8x2 
 
 
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2x3 – 7x2 + 4x – 1 x – 4 
 
–2x3 + 8x2 2x2 + x + 8 
0 + x2 + 4x – 1 
 
O resultado desta primeira divisão foi o polinômio f´(x) = x2 + 4x – 1. Como o 
grau desse polinômio (grau = 2) ainda é maior que o grau do polinômio g(x) 
(grau = 1), podemos continuar a divisão. 
 
III) Se fôssemos dividir o primeiro termo de f´(x) pelo primeiro termo de g(x), 
teríamos: 
2
2 1x x x
x
−= = 
 
Portanto, devemos multiplicar todo o polinômio g(x) por x e fazermos a 
subtração de f´(x) pelo polinômio resultante desta multiplicação. Com isso, 
eliminaremos o termo x2. Veja: 
 
x.g(x) = x.(x – 4) = x1+1 – x.4 = x2 – 4x 
 
– (x.g(x)) = – (x2 – 4x) = – x2 + 4x 
 
2x3 – 7x2 + 4x – 1 x – 4 
 
–2x3 + 8x2 2x2 + x + 8 
0 + x2 + 4x – 1 
 – x2 + 4x 
 0 + 8x – 1 
 
O resultado desta segunda divisão foi o polinômio f´´(x) = 8x – 1. Como o 
grau desse polinômio (grau = 1) é igual que o grau do polinômio g(x) (grau = 
1), podemos continuar a divisão. 
 
 
IV) Se fôssemos dividir o primeiro termo de f´´(x) pelo primeiro termo de 
g(x), teríamos: 
 
8
8
x
x
= 
 
Portanto, devemos multiplicar todo o polinômio g(x) por 8 e fazermos a 
subtração de f´´(x) pelo polinômio resultante desta multiplicação. Com isso, 
eliminaremos o termo 8x. Veja: 
 
8.g(x) = 8.(x – 4) = 8x – 8.4 = 8x – 32 
 
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– (8.g(x)) = – (8x – 32) = – 8x + 32 
 
2x3 – 7x2 + 4x – 1 x – 4 
 
–2x3 + 8x2 2x2 + x + 8 
0 + x2 + 4x – 1– x2 + 4x 
 0 + 8x – 1 
 – 8x + 32 
 0 + 31 
 
Portanto, r(x) = 31 (constante). 
 
O resto r é obtido justamente pela substituição da raiz de g(x) em f(x). Veja: 
 
g(x) = x – 4. Para calcularmos a raiz de g(x), igualamos g(x) a zero: 
g(x) = 0 ⇒ x – 4 = 0 ⇒ x = 4 
 
f(x) = 2x3 – 7x2 + 4x – 1 
f(x = 4) = 2.43 – 7.42 + 4.4 – 1 = 2 x 64 – 7 x 16 + 16 – 1 ⇒ 
⇒ f(4) = 128 – 112 + 16 – 1 ⇒ f(4) = 31 (igual ao resto r(x)). 
 
Portanto, o resto da divisão de um polinômio f por x – a é igual ao 
valor numérico de f em para x = a. 
 
Teorema de D´Alembert: Um polinômio f(x) é divisível por x – a (ou seja, o 
resto da divisão é igual a zero) se, e somente se, a é raiz de f(x). 
 
Exemplo: 
I) Verifique de f(x) = x5 – x4 – 2x2 + 3x + 2 é divisível por g(x) = x – 2. 
 
f(1) = 25 – 24 – 2.22 + 3.2 + 2 = 32 – 16 – 8 + 6 + 2 = 0. Portanto, f(x) é 
divisível por g(x). 
 
II) Determine a de modo que f(x) = x3 – 2ax2 + (a – 1)x + 15 seja divisível 
por x – 5. 
 
Para que f(x) seja divisível por x – 5, f(5) deve ser igual a zero. 
 
f(5) = 0 ⇒ 53 – 2a.52 + (a – 1).5 + 15 = 0 ⇒ 
⇒ 125 – 50a + 5a – 5 + 15 = 0 ⇒ 
⇒ 135 – 45a = 0 ⇒ 
⇒ 45a = 135 ⇒ 
⇒ a = 
135
45
 ⇒ a = 3 
 
 
 
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Memorize para a prova: 
 
N 
 
 
 
 
 
 
Até aqui, tudo bem? Então vamos ver outro teorema importante: Se um 
polinômio f(x) é divisível, separadamente, por x – a e x – b, com a ≠ b, 
então f(x) é divisível pelo produto (x – a).(x – b). 
 
Sejam: 
q(x) o quociente; e 
r(x) = cx + d o resto da divisão de f(x) por g(x) = (x – a).(x – b). 
 
Portanto, teremos: 
q(x).g(x) + r(x) = f(x) ⇒ 
⇒ q(x).(x – a).(x – b) + cx + d = f(x) (I) 
 
Para x = a, temos que: f(a) = 0 (porque f(x) é divisível por x – a) 
 
Substituindo x = a na equação (I), teríamos: 
⇒ q(x).(x – a).(x – b) + cx + d = f(x) ⇒ 
⇒q(a).(a – a).(a – b) + c.a + d = f(a) ⇒ (repare que a – a = 0) 
⇒ 0 + c.a + d = 0 ⇒ 
⇒ c.a + d = 0 (II) 
 
Para x = b, temos que: f(b) = 0 (porque f(x) é divisível por x – b) 
 
Substituindo x = b na equação (I), teríamos: 
⇒ q(x).(x – a).(x – b) + cx + d = f(x) ⇒ 
⇒q(b).(b – a).(b – b) + c.b + d = f(b) ⇒ (repare que b – b = 0) 
⇒ 0 + c.b + d = 0 ⇒ 
⇒ c.b + d = 0 (III) 
 
Portanto, chegamos a duas equações: 
c.a + d = 0 (II) 
c.b + d = 0 (III) 
 
Fazendo (III) – (II): c.b + d – c.a – d = 0 ⇒ c.(b – a) = 0 ⇒ c = 0 
Substituindo c = 0 em (III): 0.b + d = 0 ⇒ d = 0 
 
Portanto, o resto r(x) = cx + d da divisão de f(x) por g(x) = (x – a).(x – b) é 
igual a zero. 
 
 
( )f x
x a−
⇒ resto da divisão é igual a f(a). 
 
Se f(a) é igual a 0, f(x) é divisível por x – a. 
 
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Memorize para a prova: 
 
N 
 
 
Já caiu em prova! (Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil-2009-
Esaf) Se um polinômio f for divisível separadamente por (x – a) e (x – b) com 
a ≠ b, então f é divisível pelo produto entre (x – a) e (x – b). Sabendo-se que 
5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x – 1) e (x + 3), 
respectivamente, então o resto da divisão desse polinômio pelo produto dado 
por (x - 1) e (x + 3) é igual a: 
 
a) 
13 7
4 4
x + 
b) 
7 13
4 4
x − 
c) 
7 13
4 4
x + 
d) 
13 13
4 4
x
−
− 
e) 
13 7
4 4
x
−
− 
 
Resolução 
 
Se 5 é o resto da divisão de f por (x – 1) ⇒ f(1) = 5 
Se -2 é o resto da divisão de f por (x + 3) ⇒ f(-3) = -2 
 
Sejam: 
q(x) o quociente; e 
r(x) = ax + b o resto da divisão de f(x) por g(x) = (x – 1).(x + 3). 
 
Portanto, teremos: 
q(x).g(x) + r(x) = f(x) ⇒ 
⇒ q(x).(x – 1).(x + 3) + ax + b = f(x) (I) 
 
Para x = 1, temos que: f(1) = 5 
 
Substituindo x = 1 na equação (I), teríamos: 
⇒ q(x).(x – 1).(x + 3) + ax + b = f(x) ⇒ 
⇒q(1).(1 – 1).(1 + 3) + a.1 + b = f(1) ⇒ 
⇒ 0 + a + b = 5 ⇒ 
⇒ a + b = 5 (II) 
 
 
 
Se um polinômio f(x) é divisível, separadamente, por x – a e x – b, 
com a ≠ b, então f(x) é divisível pelo produto (x – a).(x – b). 
 
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Para x = –3, temos que: f(–3) = –2 
 
Substituindo x = –3 na equação (I), teríamos: 
⇒ q(x).(x – 1).(x + 3) + ax + b = f(x) ⇒ 
⇒q(–3).(–3 – 1).(–3 + 3) + a.(–3) + b = f(–3) ⇒ 
⇒ 0 – 3a + b = –2 ⇒ 
⇒ – 3a + b = –2 (III) 
 
a + b = 5 ⇒ a = 5 – b (II) 
-3a + b = – 2 (III) 
 
Substituindo (I) em (II): –3.(5 – b) + b = –2 ⇒ –15 + 3b + b = –2 ⇒ 
⇒ 4b = 13 ⇒ b = 
13
4
 (IV) 
 
Substituindo (IV) em (I): a = 5 – 
13
4
= 
(20 13)
4
−
=
7
4
 
 
Portanto, o resto da divisão seria: r(x) = 
7 13
4 4
x + 
GABARITO: C 
 
5.2. Equações 
 
5.2.1. Equações Polinomiais 
 
Uma equação polinomial ou algébrica é formada pela sentença f(x) – g(x) = 0, 
onde f(x) e g(x) são funções polinomiais. 
 
Exemplo: 
f(x) = x2 – x + 1 
g(x) = – x + 2 
f(x) – g(x) = 0 ⇒ x2 – x + 1 – (– x + 2) = 0 ⇒ 
⇒ x2 – x + 1 + x – 2 = 0 ⇒ x2 – 1 = 0 ⇒ é uma equação polinomial. 
 
A raiz da equação polinomial f(x) – g(x) = 0 é um número “a” que 
torna a sentença verdadeira. 
 
Portanto, se “a” é raiz de f(x) – g(x) = 0, então f(a) – g(a) = 0. 
 
Exemplo: No exemplo anterior, x = 1 e x = – 1 são raízes da equação 
polinomial. Veja: 
f(x) = x2 – x + 1 
g(x) = – x + 2 
f(x) – g(x) = 0 ⇒x2 – 1 = 0 
Para x = 1 ⇒ 12 – 1 = 0 ⇒ 1 – 1 = 0 ⇒0 = 0 (ok) 
Para x = –1 ⇒ (–1)2 – 1 = 0 ⇒ 1 – 1 = 0 ⇒ 0 = 0 (ok) 
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O número de raízes da equação polinomial é igual ao grau n polinômio 
formado. 
 
Considere a equação polinomial abaixo: 
P(x) = an.xn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + … + a1.x + a0 = 0 
 
Essa equação polinomial pode ser representada por: 
 
P(x) = an.(x – r1).(x – r2).(x – r3)....(x – rn) 
Onde r1, r2,..., rn são as raízes da equação. 
 
Exemplo: Voltando ao nosso exemplo, temos que P(x) = x2 – 1 = 0. 
 
P(x) = 1.x2 + 0.x1 – 1 
n = 2 
a2 = 1 (1.x2) 
a1 = 0 (0.x1) 
a0 = –1 
 
Como a nossa equação polinomial é de grau n = 2, então terá duas raízes. No 
exemplo anterior, achamos que as raízes são: r1 = 1 e r2 = – 1. 
 
Portanto, podemos representar a referida equação do seguinte modo: 
P(x) = an.(x – r1).(x – r2) ⇒ 
⇒ P(x) = 1.(x – 1).(x – (–1)) ⇒ 
⇒ P(x) = (x – 1).(x + 1) 
 
Exemplo: Dada a equação polinomial (x – 1).(x3 – 4x + a) = (x2 – 1)2: 
 
a) Coloque na forma de P(x) = 0; 
b) Obtenha a para que 2 seja uma das raízes da equação. 
 
a) Coloque na forma de P(x) = 0. 
Vamos primeiramente, desenvolver os dois lados da equação para chegar a 
P(x): 
 
(x – 1).(x3 – 4x + a) = (x2 – 1)2 ⇒ 
⇒ x.(x3 – 4x + a) – 1.(x3 – 4x + a) = (x2 – 1).(x2 – 1) ⇒ 
⇒ x.x 3 – x.4x + x.a – 1.x3 – 1.(–4x) – 1.a = x2.(x2 – 1) – 1.(x2 – 1) ⇒ 
⇒ x 1+3 – 4.x1+1 + a.x – x3 + 4x – a = x2.x2 – x2.1 – 1.x2 – 1.(–1) ⇒ 
⇒ x4 – 4x2 + ax – x3 + 4x – a = x2+2 – x2 – x2 + 1 ⇒ 
⇒ x4 – 4x2 + ax – x3 + 4x – a = x4 – 2x2 + 1 ⇒ 
⇒ x4 – 4x2 + ax – x3 + 4x – a – x4 + 2x2 – 1 = 0 ⇒ 
⇒ x4 – x4 – x3 – 4x2 + 2x2 + ax + 4x – a – 1 = 0 ⇒ 
⇒ – x3 – 2x2 + (a + 4)x – (a + 1) = 0 ⇒ 
⇒ x3 + 2x2 – (a + 4)x + (a + 1) = 0 
 
P(x) = x3 + 2x2 – (a + 4)x + (a + 1) 
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b) Obtenha a para que 2 seja uma das raízes da equação. 
 
Se a = 2 é raiz de P(x), então P(2) = 0. 
P(2) = 23 + 2.22 – (a + 4).2 + (a + 1) = 0 ⇒ 
⇒ 8 + 2.4 – 2a – 4.2 + a + 1 = 0 ⇒ 
⇒ 8 + 8 – 2a – 8 + a + 1 = 0 ⇒ 
⇒ – 2a + a + 8 + 8 – 8 + 1 = 0 ⇒⇒ – a + 9 = 0 ⇒ 
⇒ a = 9 
 
Diz-se que r é raiz de multiplicidade m (m ≥ 1) da equação P(x) = 0, 
se, e somente se P = (x – r)m.Q e Q(r) ≠ 0. 
 
Exemplos: 
I) x3.(x + 4)6 = 0. 
Repare que (x – 0)3.(x – (–4))6 = 0 
Nesta equação, temos a raiz 0 com multiplicidade 3 e a raiz –4 com 
multiplicidade 6. 
 
II) (x – b)6 = 0. 
Nesta equação, temos a raiz b com multiplicidade 6. 
 
Memorize para a prova: 
 
N 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.2.2. Equações de Primeiro Grau 
 
Uma equação de primeiro grau é representada da seguinte maneira: 
 
ax + b = 0; a,b ∈ ℝ , com a ≠ 0. 
 
Exemplo: 2x + 3 = 0; a = 2 e b = 3. 
Resolução: 2x + 3 = 0 ⇒ 2x = -3 ⇒ x = 
3
2
−
 
Memorize para a prova: 
 
 
 
 
A raiz da equação polinomial f(x) – g(x) = 0 é um número “a” que 
torna a sentença verdadeira. 
 
O número de raízes da equação polinomial é igual ao grau n 
polinômio formado. 
 
Diz-se que r é raiz de multiplicidade m (m ≥ 1) da equação P(x) = 0, 
se, e somente se P = (x – r)m.Q e Q(r) ≠ 0. 
 
Equação de Primeiro Grau: ax + b = 0; a,b ∈ ℝ , com a ≠ 0. 
 
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5.2.3. Equações de Segundo Grau 
 
Uma equação de segundo grau é representada da seguinte maneira: 
 
ax2 + bx + c = 0; a,b e c ∈ ℝ , com a ≠ 0. 
 
Exemplo: 2x2 + 3x + 5 = 0; a = 2, b = 3 e c = 5. 
 
Raízes de uma equação do segundo grau: serão calculadas pela Fórmula 
de Bhaskara: 
 
ax2 + bx + c = 0 
 
2 4
2
b b ac
x
a
− ± −
= 
2 4b ac∆ = − 
∆ = 0 ⇒ a equação possui uma raiz real dupla: x´= x´´; 
∆ > 0 ⇒ a equação possui duas raízes reais distintas: x´e x´´; e 
∆ < 0 ⇒ a equação não possui raiz real. 
 
Repare que a equação de segundo grau pode ser escrita de forma fatorada, 
quando as raízes são conhecidas: 
 
ax2 + bx + c = 0 ⇒ x2 + (
b
a
)x + (
c
a
) = 0 (I), ou 
a (x – x´).(x – x´´) = 0 ⇒ (x – x´).(x – x´´) = 0 ⇒ 
⇒ x2 – x´´.x – x´.x + x´.x´´ = 0 ⇒ x2 – (x´+ x´´) x + x´x´´ = 0 (II) 
 
Comparando (II) com (I), temos as Relações de Girard: 
b
a
= – (x´+ x´´) ⇒ menos a soma das raízes 
c
a
= x´x´´ ⇒ produto das raízes 
 
Exemplo: x2 + 4x + 3 = 0; a = 1, b = 4 e c = 3. 
 
2 24 4 4 4.1.3 4 16 12
2 2.1 2
4 4 4 2
2 1
2 2
b b ac
x
a
x
= = ⇒
⇒ =
− ± − − ± − − ± −
=
− ± − ±
= = − ±
 
 
x´= – 2 + 1 = – 1 
x´´ = – 2 – 1 = – 3 
 
 
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Vamos relembrar algumas relações importantes que vimos: 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 
(a + b).(a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2 
(a2 – b2) = (a + b) . (a – b) 
 
Nota: Quando a equação for do tipo: ax2 + bx = 0, ou seja, o termo 
independente c for igual a zero, para calcular a raízes, basta colocar o x em 
evidência: 
 
ax2 + bx = 0 ⇒ x . (ax + b) = 0 
 
Raiz 1: x =0; 
 
Memorize para a prova: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.2.4. Equações Irracionais 
 
São equações que possuem alguma variável no radicando (dentro do radical). 
 
Exemplos: 
3
5 12
2 7 0
x
x
+ =
− =
 
Equação de Primeiro Grau: ax2 + bx + c = 0; a,b e c ∈ ℝ , com a ≠ 0. 
 
Raízes de uma equação do segundo grau: serão calculadas pela 
Fórmula de Bhaskara: 
 
ax2 + bx + c = 0 
 
2 4
2
b b ac
x
a
− ± −
= 
2 4b ac∆ = − 
∆ = 0 ⇒ a equação possui uma raiz real dupla: x´= x´´; 
∆ > 0 ⇒ a equação possui duas raízes reais distintas: x´e x´´; e 
∆ < 0 ⇒ a equação não possui raiz real. 
 
Relações de Girard: 
b
a
= – (x´+ x´´) ⇒ menos a soma das raízes 
c
a
= x´x´´ ⇒ produto das raízes 
 
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Resolução de equações irracionais: seguir o seguinte procedimento: 
 
I) elevar ambos os membros da equação a uma potência que permita eliminar 
os radicais; 
 
II) resolver a equação racional encontrada; e 
 
III) cada raiz encontrada precisa ser substituída na equação irracional original 
para verificar a veracidade ou não da igualdade. 
 
Exemplos: 
1) 
( )
2
2
5 12
5 12 5 12 5 144 139
x
Solução
x x x x⇒ ⇒ ⇒
+ =
+ = + = + = =
 
 
Substituindo x = 139 na equação irracional, temos: 
(139 + 5)1/2 = 12 ⇒ 1441/2 = 12 ⇒ 12 = 12 (ok) 
 
2) 
( )
2
2
2 2
2 2
12
12 12 (12 )
144 24 25 144 0
25 25 4.1.144 25 25 4.1.144 25 625 576
2.1 2 2
25 49 25 7
2 2
x x
Solução
x x x x x x
x x x x x
x
x
⇒
−
+ =
+ = ⇒ = − ⇒ = −
⇒ = − + => + =
± − ± − ± −
= = = ⇒
± ±
⇒ = =
 
 
x´= 
25 7
2
+
 = 16 
x´´ = 
25 7
2
−
 = 9 
 
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Testando as soluções: 
12
9
9 9 12 3 9 12 12 12( )
16
16 16 12 4 16 12 20 12( )
x x
x
ok
x
falso
+ =
=
+ = ⇒ + = ⇒ =
=
+ = ⇒ + = ⇒ =
 
 
Portanto, a solução para a equação é x = 9. 
 
Memorize para a prova: 
 
N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.2.6. Inequações 
 
Nas inequações, os membros da equação são separados por uma 
desigualdade: 
 
<: menor 
>: maior 
≤: menor ou igual 
≥: maior ou igual 
 
5.2.6.1. Inequações de Primeiro Grau 
 
Uma inequação de primeiro grau é representada da seguinte maneira: 
 
ax + b > 0; ou 
ax + b < 0; ou 
ax + b ≤ 0; ou 
ax + b ≥ 0. 
 a,b ∈ ℝ , com a ≠ 0. 
 
 
Equações Irracionais: 
São equações que possuem alguma variável no radicando (dentro do radical). 
 
Resolução de equações irracionais: seguir o seguinte procedimento: 
 
I) elevar ambos os membros da equação a uma potência que permita 
eliminar os radicais; 
 
II) resolver a equação racional encontrada; e 
 
III) cada raiz encontrada precisa ser substituída na equação irracional original 
para verificar a veracidade ou não da igualdade. 
 
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Para determinar a solução de uma inequação de primeiro grau devemos 
calcular sua raiz e também conhecer o gráficos da função de primeiro grau, 
que será assunto de aula posterior. Contudo, adiantando um pouco este 
assunto, teríamos os seguintes gráficos: 
 
f(x) = ax + b, a ≠ 0 
 
f(x) = y = 0 = ax + b ⇒ x = -b/a 
x = 0 => f(0) = y = b 
Quando a > 0 ⇒ a função é crescente 
Quando a < 0 ⇒ a função é decrescente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
f(x) = 3x – 10 
f(x) = -2x + 1 
 
Exemplo: 2x + 3 < 0; a = 2 e b = 3. 
 
2x + 3 < 0 ⇒2x < -3 ⇒ x < 
3
2
−
 
Logo, teremos: 
Se x < 
3
2
−
, então 2x + 3 < 0 
Se x = 
3
2
−
, então 2x + 3 = 0 
Se x > 
3
2
−
, então 2x + 3 > 0 
Nota: Quando multiplicamos a inequação por um número k negativo, a 
desigualdade da inequação também inverte. 
 
x 
y 
y = f(x) = ax + b, a > 0 
-b/a 
b 
x 
y = f(x) = ax + b, a < 0 
-b/a 
b 
y 
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Exemplo: 
- 2x + 3 < 0 ⇒ – 2x < -3 
Multiplicando por (–1) ⇒ (–1).( –2x) > (–1). (–3) ⇒ 2x > 3 ⇒ x > 
3
2
 
Memorize para a prova: 
 
N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.2.6.2. Inequações de Segundo Grau 
 
Uma inequação de segundo grau é representada da seguinte maneira: 
 
ax2 + bx + c < 0; ou 
ax2 + bx + c > 0; ou 
ax2 + bx + c ≤ 0; ou 
ax2 + bx + c ≥ 0. 
a,b e c ∈ ℝ , com a ≠ 0. 
 
Para determinar a solução de uma inequação de segundo grau devemos 
calcular suas raízes e também conhecer os gráficos da função de segundo 
grau, que será assunto de aula posterior. Contudo, adiantando um pouco este 
assunto, teríamos osseguintes gráficos: 
 
f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 
 
O gráfico será sempre uma parábola. 
a > 0 ⇒ parábola com concavidade para cima. 
a < 0 ⇒ parábola com concavidade para baixo. 
x1 e x2 ⇒ raízes da equação de segundo grau. 
 
Inequações de Primeiro Grau 
ax + b > 0; ou 
ax + b < 0; ou 
ax + b ≤ 0; ou 
ax + b ≥ 0. 
 a,b ∈ ℝ , com a ≠ 0. 
 
Quando multiplicamos a inequação por um número k negativo, a 
desigualdade da inequação também inverte. 
 
f(x) = ax + b, a ≠ 0 
f(x) = y = 0 = ax + b ⇒ x = -b/a 
x = 0 => f(0) = y = b 
Quando a > 0 ⇒ a função é crescente 
Quando a < 0 ⇒ a função é decrescente 
 
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Nota: Se x1 = x2 => y ≥ 0, qualquer que seja x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: Se x1 = x2 => y ≤ 0, qualquer que seja x. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
f(x) = 3x2 – 10 
f(x) = -2x2 + x + 1 
 
x 
y 
y = f(x) = ax2 + bx + c, a < 0 
x2 < x < x1 ⇒ y > 0 
x < x2 ou x > x1 ⇒ y < 0 
x = x1 ou x = x2 ⇒ y = 0 
-b/2a 
c 
x2 x1 
x 
y 
y = f(x) = ax2 + bx + c, a > 0 
x2 < x < x1 ⇒ y < 0 
x < x2 ou x > x1 ⇒ y > 0 
x = x1 ou x = x2 ⇒ y = 0 
-b/2a 
c 
x2 x1 
x 
y 
c 
x1 = x2 
x 
y 
c 
x1 = x2 
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Exemplos: 
I) 2( ) 2 1 0f x x x= − + ≤ 
 
Primeiramente, precisamos calcular as raízes da equação do segundo grau: 
 
Calculando as raízes da equação: f(x) = x2 – 2x + 1 = 0 
⇒ (x – 1)2 = 0 (repare que (x – 1).(x – 1) = x2 – x – x + 1 = x2 – 2x + 1) 
⇒ x = 1 (raiz dupla). Portanto, esta equação nunca é menor que zero, mas 
será igual a zero em x = 1. Veja o gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2( ) 2 1 0f x x x= − + ≤ ⇒ Solução = {1}. 
 
II) 2( ) 2 3 2 0g x x x= − + + ≥ 
 
Calculando as raízes da equação: -2x2 + 3x + 2 = 0 
a = -2, b = 3 e c = 2 
22 3 3 4.( 2).24 3 9 16 3 5
2 4
2.( 2) 4
b b ac
x
a
− ± − −− ± − − ± + − ±
= = = =
−
− −
 
Raízes: 
x = (-3 + 5)/-4 = -1/2 
x = (-3 – 5)/-4 = 2 
 
Logo, como a é negativo (-2), o gráfico seria da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2( ) 2 3 2 0g x x x= − + + ≥ ⇒ Solução = 
1
{ | 2}
2
x x
−
∈ ≤ ≤ℝ 
x 
y 
1 
x 
g 
-1/2 2 
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Nota: Quando multiplicamos a inequação por um número k negativo, a 
desigualdade da inequação também inverte. 
 
Exemplo: x2 - 2x + 3 < 0 
Multiplicando por (-1) ⇒ (-1). x2 - 2x + 3 < 0 ⇒ - x2 + 2x - 3 > 0 
 
Memorize para a prova: 
 
N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.2.8. Memorize para a prova 
 
Função Polinomial ou Polinômios 
f(x) = a0 + a1.x + a2.x2 + a3.x3 + .... + an-1.xn-1 + an.xn 
 
Onde: 
a0, a1, a2, a3,...,an-1, an são os coeficientes do polinômio; e 
a0, a1.x, a2.x2, a3.x3,...,an-1.xn-1, an.xn são os termos do polinômio. 
 
Define-se o grau de um polinômio como o maior índice existente entre os 
termos do polinômio. 
 
O valor numérico da função polinomial f(x) corresponde ao valor obtido 
quando substituindo a variável x por um número. 
 
Polinômio Nulo ou Identicamente Nulo: f(x) = 0 
Inequações de Segundo Grau 
ax2 + bx + c < 0; ou 
ax2 + bx + c > 0; ou 
ax2 + bx + c ≤ 0; ou 
ax2 + bx + c ≥ 0. 
a,b e c ∈ ℝ , com a ≠ 0. 
 
Quando multiplicamos a inequação por um número k negativo, a 
desigualdade da inequação também inverte. 
 
f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 
O gráfico será sempre uma parábola. 
a > 0 ⇒ parábola com concavidade para cima. 
a < 0 ⇒ parábola com concavidade para baixo. 
 
y = f(x) = ax2 + bx + c, a > 0 
x2 < x < x1 ⇒ y < 0 
x < x2 ou x > x1 ⇒ y > 0 
x = x1 ou x = x2 ⇒ y = 0 
 
y = f(x) = ax2 + bx + c, a < 0 
x2 < x < x1 ⇒ y > 0 
x < x2 ou x > x1 ⇒ y < 0 
x = x1 ou x = x2 ⇒ y = 0 
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Um polinômio f(x) é idêntico ao polinômio g(x) quando todos os seus 
termos são iguais. 
 
Soma e subtração de polinômios: 
f(x) = a0 + a1.x + a2.x2 + a3.x3 + .... + an-1.xn-1 + an.xn 
g(x) = b0 + b1.x + b2.x2 + b3.x3 + .... + bn-1.xn-1 + bn.xn 
 
f(x) + g(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1).x + (a2 + b2).x2 + (a3 + b3).x3 + .... + (an-1 
+ bn-1).xn-1 + (an + bn).xn 
 
f(x) – g(x) = (a0 – b0) + (a1 – b1).x + (a2 – b2).x2 + (a3 – b3).x3 + .... + (an-1 – 
bn-1).xn-1 + (an – bn).xn 
 
Multiplicação de polinômios: 
Exemplo: 
f(x) = 2x + 3x2 + x3 
g(x) = 2 + 3x + 5x2 
 
Calcule f(x) . g(x). 
Passo 1: Coloque o polinômio no formato a0 + a1.x + a2.x2 + .... + am.xm, 
inclusive com os termos nulos. 
 
f(x) = 0 + 2x + 3x2 + x3 
onde: a0 = 0; a1 = 2; a2 = 3 e a3 = 1 
 
g(x) = 2 + 3x + 5x2 
onde: a0 = 2; a1 = 3 e a2 = 5 
 
Passo 2: Monte uma tabela com todos os coeficientes de f(x) e de g(x), 
conforme abaixo: 
 
g 
f 
2 3 5 
0 
2 
3 
1 
 
Passo 3: Calcule os produtos das linhas x colunas: 
 
g 
f 
2 3 5 
0 0 x 2 = 0 0 x 3 = 0 0 x 5 = 0 
2 2 x 2 = 4 2 x 3 = 6 2 x 5 = 10 
3 3 x 2 = 6 3 x 3 = 9 3 x 5 = 15 
1 1 x 2 = 2 1 x 3 = 3 1 x 5 = 5 
 
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Passo 4: Some os resultados das diagonais, de cima para baixo, onde o 
primeiro resultado será o termo de x0, o segundo será o termo de x1, e assim 
por diante: 
 
g 
f 
2 3 5 
0 0 0 0 
2 4 6 10 
3 6 9 15 
1 2 3 5 
 
f(x).g(x) = 
= 0.x0 + (0 + 4).x1 + (6 + 6 + 0).x2 + (2 + 9 + 10).x3 + (3 + 15).x4 + 5.x5 
 
f(x).g(x) = 0.1 + 4x + 12x2 + 21x3 + 18x4 + 5x5 
f(x).g(x) = 4x + 12x2 + 21x3 + 18x4 + 5x5 
 
Vamos conferir, fazendo o cálculo do modo que aprendemos na aula passada: 
 
f(x) = 2x + 3x2 + x3 
g(x) = 2 + 3x + 5x2 
 
f(x).g(x) = (2x + 3x2 + x3).(2 + 3x + 5x2) = 
= 2x.(2 + 3x + 5x2) + 3x2.(2 + 3x + 5x2) + x3.(2 + 3x + 5x2) = 
= 2x.2 + 2x.3x + 2x.5x2 + 3x2.2 + 3x2.3x + 3x2.5x2 + x3.2 + x3.3x + x3.5x2 = 
= 4x + 6x1+1 + 10x1+2 + 6x2 + 9x2+1 + 15x2+2 + 2x3 + 3x3+1 + 5x3+2 = 
= 4x + 6x2 + 10x3 + 6x2 + 9x3 + 15x4 + 2x3 + 3x4 + 5x5 = 
= 4x + (6 + 6)x2 + (10 + 9 + 2)x3 + (15 + 3)x4 + 5x5 
f(x).g(x) = 4x + 12x2 + 21x3 + 18x4 + 5x5 (ok) 
 
Divisão de Polinômios 
q(x) . g(x) + r(x) = f(x) 
 
f(x) = dividendo 
g(x) = divisor 
q(x) = quociente 
r(x) = resto 
 
O grau de r(x) é menor que o grau de g(x). Quando a divisão for exata, 
r(x) será igual a zero. 
 
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Método de Chave 
Exemplo: Dividir f(x) por g(x), onde: 
 
f(x) = 3x5 – 6x4 + 13x3 – 9x2 + 11x – 1 
g(x) = x2 – 2x + 3 
 
I) Inicialmente, montamos a divisão como se fossem números “normais”. 
 
3x5 – 6x4 + 13x3 – 9x2 + 11x – 1 x2 – 2x + 3 
 
 
II) Se fôssemos dividir o primeiro termo de f(x) pelo primeiro termo de g(x), 
teríamos: 
 
5
5 2 3
2
3
3 3
x
x x
x
−= = 
 
Portanto, devemos multiplicar todo o polinômio g(x) por 3x3 e fazermos a 
subtração de f(x) pelo polinômio resultante desta multiplicação. Com isso, 
eliminaremos o termo 3x5. Veja: 
 
3x3.g(x) = 3x3.(x2 – 2x + 3) = 3x3.x2 – 3x3.2x + 3x3.3 = 3x5 – 6x4 + 9x3 
 
– (3x3.g(x)) = – (3x5 – 6x4 + 9x3) = – 3x5 + 6x4 – 9x3 
 
 
3x5 – 6x4 + 13x3 – 9x2 + 11x – 1 x2 – 2x + 3 
 
–3x5 + 6x4 – 9x3 3x3 
0 + 0 + 4x3 – 9x2 + 11x – 1 
 
O resultado desta primeira divisão foi o polinômio f´(x) = 4x3 –9x2 + 11x – 1. 
Como o grau desse polinômio (grau = 3) ainda é maior que o grau do 
polinômio g(x) (grau = 2), podemos continuar a divisão. 
 
III) Se fôssemos dividir o primeiro termo de f´(x) pelo primeiro termo de g(x), 
teríamos: 
3
3 2
2
4
4 4
x
x x
x
−= = 
Portanto, devemos multiplicar todo o polinômio g(x) por 4x e fazermos a 
subtração de f´(x) pelo polinômio resultante desta multiplicação. Com isso, 
eliminaremos o termo 4x3. Veja: 
 
4x.g(x) = 4x.(x2 – 2x + 3) = 4x.x2 – 4x.2x + 4x.3 = 4x3 – 8x2 + 12x 
 
– (4x.g(x)) = – (4x3 – 8x2 + 12x) = – 4x3 + 8x2 – 12x 
 
 
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3x5 – 6x4 + 13x3 – 9x2 + 11x – 1 x2 – 2x + 3 
 
–3x5 + 6x4 – 9x3 3x3 + 4x 
0 + 0 + 4x3 – 9x2 + 11x – 1 
 – 4x3 + 8x2 – 12x 
 0 – x2 – x – 1 
 
O resultado desta segunda divisão foi o polinômio f´´(x) = – x2 – x – 1. Como 
o grau desse polinômio (grau = 2) é igual que o grau do polinômio g(x) (grau 
= 2), podemos continuar a divisão. 
 
IV) Se fôssemos dividir o primeiro termo de f´´(x) pelo primeiro termo de 
g(x), teríamos: 
 
2
2
1
x
x
−
= − 
 
Portanto, devemos multiplicar todo o polinômio g(x) por –1 e fazermos a 
subtração de f´´(x) pelo polinômio resultante desta multiplicação. Com isso, 
eliminaremos o termo –x2. Veja: 
 
(–1).g(x) = (–1).(x2 – 2x + 3) = –x2 + 2x – 3 
 
– ((–1).g(x)) = g(x) = x2 – 2x + 3 
 
 
3x5 – 6x4 + 13x3 – 9x2 + 11x – 1 x2 – 2x + 3 
 
–3x5 + 6x4 – 9x3 3x3 + 4x – 1 
0 + 0 + 4x3 – 9x2 + 11x – 1 
 – 4x3 + 8x2 – 12x 
 0 – x2 – x – 1 
 + x2 – 2x + 3 
 0 – 3x + 2 
 
Portanto, a divisão de f(x) por g(x) tem como quociente q(x) = 3x3 + 4x – 1 e 
como resto r(x) = – 3x + 2. 
 
Divisão por Binômios de Primeiro Grau 
O resto da divisão será uma constante (r(x) = constante). 
 
Exemplo: 
f(x) = 2x3 – 7x2 + 4x – 1 
g(x) = x – 4 
Apure o resultado da divisão de f(x) por g(x). 
 
 
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2x3 – 7x2 + 4x – 1 x – 4 
 
–2x3 + 8x2 2x2 + x + 8 
0 + x2 + 4x – 1 
 – x2 + 4x 
 0 + 8x – 1 
 – 8x + 32 
 0 + 31 
 
Portanto, r(x) = 31 (constante). 
 
O resto r é obtido justamente pela substituição da raiz de g(x) em f(x). Veja: 
 
g(x) = x – 4. Para calcularmos a raiz de g(x), igualamos g(x) a zero: 
g(x) = 0 ⇒ x – 4 = 0 ⇒ x = 4 
 
f(x) = 2x3 – 7x2 + 4x – 1 
f(x = 4) = 2.43 – 7.42 + 4.4 – 1 = 2 x 64 – 7 x 16 + 16 – 1 ⇒ 
⇒ f(4) = 128 – 112 + 16 – 1 ⇒ f(4) = 31 (igual ao resto r(x)). 
 
Portanto, o resto da divisão de um polinômio f por x – a é igual ao 
valor numérico de f em para x = a. 
 
Teorema de D´Alembert: Um polinômio f(x) é divisível por x – a (ou seja, o 
resto da divisão é igual a zero) se, e somente se, a é raiz de f(x). 
 
Se um polinômio f(x) é divisível, separadamente, por x – a e x – b, com 
a ≠ b, então f(x) é divisível pelo produto (x – a).(x – b). 
 
Equações 
Equações Polinomiais 
Uma equação polinomial ou algébrica é formada pela sentença f(x) – g(x) = 0, 
onde f(x) e g(x) são funções polinomiais. 
 
A raiz da equação polinomial f(x) – g(x) = 0 é um número “a” que 
torna a sentença verdadeira. 
 
Portanto, se “a” é raiz de f(x) – g(x) = 0, então f(a) – g(a) = 0. 
 
O número de raízes da equação polinomial é igual ao grau n polinômio 
formado. 
 
Considere a equação polinomial abaixo: 
P(x) = an.xn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + … + a1.x + a0 = 0 
 
Essa equação polinomial pode ser representada por: 
P(x) = an.(x – r1).(x – r2).(x – r3)....(x – rn) 
Onde r1, r2,..., rn são as raízes da equação. 
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Diz-se que r é raiz de multiplicidade m (m ≥ 1) da equação P(x) = 0, 
se, e somente se P = (x – r)m.Q e Q(r) ≠ 0. 
 
Equações de Primeiro Grau 
ax + b = 0; a,b ∈ ℝ , com a ≠ 0. 
 
Equações de Segundo Grau 
ax2 + bx + c = 0; a,b e c ∈ ℝ , com a ≠ 0. 
 
Raízes de uma equação do segundo grau: serão calculadas pela Fórmula 
de Bhaskara: 
 
ax2 + bx + c = 0 
 
2 4
2
b b ac
x
a
− ± −
= 
2 4b ac∆ = − 
∆ = 0 ⇒ a equação possui uma raiz real dupla: x´= x´´; 
∆ > 0 ⇒ a equação possui duas raízes reais distintas: x´e x´´; e 
∆ < 0 ⇒ a equação não possui raiz real. 
 
Repare que a equação de segundo grau pode ser escrita de forma fatorada, 
quando as raízes são conhecidas: 
ax2 + bx + c = 0 ⇒ x2 + (
b
a
)x + (
c
a
) = 0 (I), ou 
a (x – x´).(x – x´´) = 0 ⇒ (x – x´).(x – x´´) = 0 ⇒ 
⇒ x2 – x´´.x – x´.x + x´.x´´ = 0 ⇒ x2 – (x´+ x´´) x + x´x´´ = 0 (II) 
 
Comparando (II) com (I), temos as Relações de Girard: 
b
a
= – (x´+ x´´) ⇒ menos a soma das raízes 
c
a
= x´x´´ ⇒ produto das raízes 
 
Quando a equação for do tipo: ax2 + bx = 0, ou seja, o termo independente c 
for igual a zero, para calcular a raízes, basta colocar o x em evidência: 
 
ax2 + bx = 0 ⇒ x . (ax + b) = 0 
 
Raiz 1: x =0; 
 
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Equações Irracionais 
São equações que possuem alguma variável no radicando (dentro do radical). 
 
Exemplos: 
3
5 12
2 7 0
x
x
+ =
− =
 
 
Resolução de equações irracionais: seguir o seguinte procedimento: 
 
I) elevar ambos os membros da equação a uma potência que permita eliminar 
os radicais; 
 
II) resolver a equação racional encontrada; e 
 
III) cada raiz encontrada precisa ser substituída na equação irracional original 
para verificar a veracidade ou não da igualdade. 
 
Inequações de Primeiro Grau 
ax + b > 0; ou 
ax + b < 0; ou 
ax + b ≤ 0; ou 
ax + b ≥ 0. 
 a,b ∈ ℝ , com a ≠ 0. 
 
f(x) = ax + b, a ≠ 0 
 
f(x) = y = 0 = ax + b ⇒ x = -b/a 
x = 0 => f(0) = y = b 
Quando a > 0 ⇒ a função é crescente 
Quando a < 0 ⇒ a função é decrescente 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
y = f(x) = ax + b, a > 0 
-b/a 
b 
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Exemplos: 
f(x) = 3x – 10 
f(x) = -2x + 1 
 
Nota: Quando multiplicamos a inequação por um número k negativo, a 
desigualdade da inequação também inverte. 
 
Inequações de Segundo Grau 
ax2 + bx + c < 0; ou 
ax2 + bx + c > 0; ou 
ax2 + bx + c ≤ 0; ou 
ax2 + bx + c ≥ 0. 
a,b e c ∈ ℝ , com a ≠ 0. 
 
 
f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 
O gráfico será sempre uma parábola. 
a > 0 ⇒ parábola com concavidade para cima. 
a < 0 ⇒ parábola com concavidade para baixo. 
x1 e x2 ⇒ raízes da equação de segundo grau. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
y = f(x) = ax2 + bx + c, a > 0 
x2 < x < x1 ⇒ y < 0 
x < x2 ou x > x1 ⇒ y > 0 
x = x1 ou x = x2 ⇒ y = 0 
-b/2a 
c 
x2 x1 
x 
y = f(x) = ax + b, a < 0 
-b/a 
b 
y 
D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8
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Nota: Se x1 = x2 => y ≥ 0, qualquer que seja x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: Se x1 = x2 => y ≤ 0, qualquer que seja x. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
f(x) = 3x2 – 10 
f(x) = -2x2 + x + 1 
 
x 
y 
y = f(x) = ax2 + bx + c, a < 0 
x2 < x < x1 ⇒ y > 0 
x < x2 ou x > x1 ⇒ y < 0 
x = x1 ou x = x2 ⇒ y = 0 
-b/2a 
c 
x2 x1 
x 
y 
c 
x1 = x2 
x 
y 
c 
x1 = x2 
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5.3. Exercícios de Fixação 
 
1.(AFRFB-2009-Esaf) Considere uma esfera, um cone, um cubo e uma 
pirâmide. A esfera mais o cubo pesam o mesmo que o cone. A esfera pesa o 
mesmo que o cubo mais a pirâmide. Considerando ainda que dois cones 
pesariam o mesmo que três pirâmides, quantos cubos pesa a esfera? 
 
a) 4 
b) 5 
c) 3 
d) 2 
e) 1 
 
2.(AFRFB-2009-Esaf) Considere as inequações dadas por: 
2( ) 2 1 0f x x x= − + ≤ e 2( ) 2 3 2 0g x x x= − + + ≥ . 
Sabendo-se que A é o conjunto solução de f (x) e B o conjunto solução de 
g(x), então o conjunto Y = A∩B é igual a: 
a) 
1
{ | 2}
2
Y x x
−
= ∈ < ≤ℝ 
b) 
1
{ | 2}
2
Y x x
−
= ∈ ≤ ≤ℝ 
c) { | 1}Y x x= ∈ =ℝ 
d) { | 0}Y x x= ∈ ≥ℝ 
e) { | 0}Y x x= ∈ ≤ℝ 
 
3.(AFRFB-2009-Esaf) Se um polinômio f for divisível separadamente por (x – 
a) e (x – b) com a ≠ b, então f é divisível pelo produto entre (x – a) e (x – b). 
Sabendo-se que 5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x - 1) e 
(x + 3), respectivamente, então o resto da divisão desse polinômio pelo 
produto dado por (x - 1) e (x + 3) é igual a: 
 
a) 
13 7
4 4
x + 
b) 
7 13
4 4
x − 
c) 
7 13
4 4
x + 
d) 
13 13
4 4
x
−
− 
e) 
13 7
4 4
x
−
− 
 
 
 
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4.(ATRFB-2009-Esaf) Sejam X, Y e Z três pontos distintos de uma reta. O 
segmento XY é igual ao triplo do segmento YZ. O segmento XZ mede 32 
centímetros. Desse modo, uma das possíveis medidas do segmento XY, em 
centímetros, é igual a: 
 
a) 27 
b) 48 
c) 35 
d) 63 
e) 72 
 
5.(Especialista em Políticas Públicas e Gestão Governamental-MPOG-
2009-Esaf) Um químico deve preparar dois litros de uma mistura formada 
por duas substâncias A e B na proporção de 3 de A para 2 de B. 
Distraidamente ele misturou 500 ml de A com 1 litro de B. Sabendo-se que ele 
não tem mais do elemento B, como deve proceder para obter a mistura 
desejada? 
 
a) Apenas acrescentar 1 litro da substância A à sua mistura. 
b) Apenas acrescentar 500 ml da substância A à sua mistura. 
c) Descartar 200 ml de sua mistura e acrescentar 700 ml da substância A. 
d) Descartar 300 ml de sua mistura e acrescentar 800 ml da substância A. 
e) Descartar 400 ml de sua mistura e acrescentar 900 ml da substância A. 
 
6.(Enap-2006-Esaf) Sabe-se que x pertence ao conjunto dos números reais 
R. Sabe-se, também, que 3x + 2< -x + 3 ≤ x +4. Então, pode-se afirmar que 
 
a) -0,5 ≤ x < 0,25. 
b) -0,5 < x ≤ 0,25. 
c) 0,5 < x ≤ - 0,25. 
d) 0,5 ≤ x< 0,25. 
e) -0,5 ≤ x ≤ 0,25. 
 
7.(Enap-2006-Esaf) Uma loja de doces trabalha apenas com dois tipos de 
balas, a saber: balas de chocolate e balas de café. Cada bala de chocolate 
custa R$ 0,50 e cada bala de café custa R$ 0,20. Sabe-se que um quilograma 
(kg) de balas de chocolate equivale, em reais, a dois quilogramas de balas de 
café. Sabe-se, também, que uma bala de café pesa 8 gramas. Assim, o peso, 
em gramas, de uma bala de chocolate é igual a 
 
a) 5. 
b) 8. 
c) 15. 
d) 6. 
e) 10. 
 
 
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8.(Analista de Finanças e Controle-STN-2002-Esaf) Ana está em férias 
com seus sobrinhos e para evitar problemas ela guardou uma garrafa cheia de 
licor trancada a chave no seu armário. Um de seus sobrinhos conseguiu uma 
cópia da chave, abriu o armário, bebeu metade do conteúdo da garrafa, 
completou a garrafa com água e recolocou- a no lugar. Deu a chave para um 
outro sobrinho de Ana que fez a mesma coisa. Quando Ana percebeu, já havia 
menos de 1% de licor na garrafa. Assim, o número mínimo de vezes em que 
os sobrinhos de Ana beberam da garrafa é dado por: 
 
a) 4 
b) 5 
c) 7 
d) 10 
e) 15 
 
9.(Analista de Finanças e Controle-STN-2002-Esaf) Os números A, B e C 
são inteiros positivos tais que A < B < C. Se B é a média aritmética simples 
entre A e C, então necessariamente a razão (B - A) / (C - B) é igual a: 
 
a) A / A 
b) A / B 
c) A / C 
d) B / C 
e) - (B/B) 
 
10.(Analista-Serpro-2001-Esaf) Três meninas, cada uma delas com algum 
dinheiro, redistribuem o que possuem da seguinte maneira: Alice dá a Bela e a 
Cátia dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui. A 
seguir, Bela dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a 
quantia que possui. Finalmente, Cátia faz o mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela 
o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Se Cátia 
possuía R$ 36,00 tanto no início quanto no final da distribuição, a quantia total 
que as três meninas possuem juntas é igual a: 
 
a) R$ 214,00 
b) R$ 252,00 
c) R$ 278,00 
d) R$ 282,00 
e) R$ 296,00 
 
11.(TTN-1997-Esaf) A soma de todas as raízes da equação x4 - 25x2 + 144 = 0 
é igual a 
a) 0 
b) 16 
c) 9 
d) 49 
e) 25 
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12.(AFTN-1996-Esaf) Em um laboratório de experiências veterinárias foi 
observado que o tempo requerido para um coelho percorrer um labirinto, na 
enésima tentativa, era dado pela função C(n)=(3+12/n) minutos. Com relação 
a essa experiência pode-se afirmar, então, que um coelho: 
 
a) consegue percorrer o labirinto em menos de três minutos 
b) gasta cinco minutos e quarenta segundos para percorrer o labirinto na 
quinta tentativa 
c) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa 
d) percorre o labirinto em quatro minutos na décima tentativa 
e) percorre o labirinto numa das tentativas, em três minutos e trinta segundos 
 
13.(ITA-SP) Dividindo-se o polinômio P(x) = x5 + ax4 + bx2 + cx + 1 por (x – 
1), obtém-se resto igual a 2. Dividindo-se P(x) por (x + 1), obtém resto igual a 
3. Sabendo-se que P(x) é divisível por (x – 2), tem-se que o valor de 
ab
c
 é 
igual a: 
 
a) – 6 
b) – 4 
c) 4 
d) 7 
e) 9 
 
14.(Cefet-MG) Se f(x) = 2x + 1, g(x) = x2 e h(x) = x – 2, a igualdade 
g(f(h(X))) = h(g(x)) é verdadeira para: 
 
a) nenhum valor real de x. 
b) valores de x irracionais com soma igual a 12. 
c) valores de x irracionais com soma igual a 4. 
d) valores de x racionais com produto igual a 
7
3
. 
e) valores de x racionais com produto igual a 
11
3
. 
 
15.(UCDB-MS) Se o polinômio Q(x) = (ax + b).(x + 3) + (x – 3)2 – c é 
idêntico a P(x) = 3x2 + x + 4, então a + b + c é igual a: 
 
a) 7 
b) 8 
c) 9 
d) 10 
e) 11 
 
 
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5.4. Gabarito 
 
1. B 
2. C 
3. C 
4. B 
5. D 
6. A 
7. E 
8. C 
9. A 
10. B 
11. A 
12. E 
13. E 
14. C 
15. E 
 
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5.5. Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos 
 
1.(AFRFB-2009-Esaf) Considere uma esfera, um cone, um cubo e uma 
pirâmide. A esfera mais o cubo pesam o mesmo que o cone. A esfera pesa o 
mesmo que o cubo mais a pirâmide. Considerando ainda que dois cones 
pesariam o mesmo que três pirâmides, quantos cubos pesa a esfera? 
 
a) 4 
b) 5 
c) 3 
d) 2 
e) 1 
 
Resolução 
 
Coloquei esta questão aqui com o objetivo de mostrar que as equações, 
praticamente, serão utilizadas para resolver todos os problemas de prova. 
Sempre teremos que utilizar uma equação, seja ela de primeiro ou segundo 
grau. 
 
Vamos à resolução da questão. Primeiramente, vamos verificar as informações 
fornecidas para que possamos “montar” nossasequações: 
 
Peso da Esfera = Pe 
Peso do Cubo = Pcb 
Peso do Cone = Pcn 
Peso da Pirâmide = Pp 
 
De acordo com a questão, a esfera mais o cubo pesam o mesmo que o cone. 
Pe + Pcb = Pcn (I) 
 
Ainda de acordo com a questão, a esfera pesa o mesmo que o cubo mais a 
pirâmide. 
Pe = Pcb + Pp ⇒ Pp = Pe – Pcb (II) 
 
E, finalmente, que dois cones pesam o mesmo que três pirâmides. 
2.Pcn = 3.Pp (III) 
 
A questão deseja saber quantos cubos pesa a esfera. 
 
Substituindo (II) em (III): 
Pp = Pe – Pcb (II) 
2.Pcn = 3.Pp (III) 
 
⇒2.Pcn = 3.(Pe – Pcb) ⇒ 
⇒Pcn = (3/2).(Pe – Pcb) ⇒ 
⇒ Pcn = 1,5.(Pe – Pcb) (IV) 
 
 
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Substituindo (IV) em (I): 
Pe + Pcb = Pcn (I) 
Pcn = 1,5.(Pe – Pcb) (IV) 
 
⇒ Pe + Pcb = 1,5.(Pe – Pcb) ⇒ 
⇒ Pe + Pcb = 1,5.Pe – 1,5.Pcb ⇒ 
⇒ 1,5.Pe – Pe = Pcb + 1,5.Pcb ⇒ 
⇒ 0,5.Pe = 2,5.Pcb ⇒ 
⇒ Pe = 5.Pcb 
GABARITO: B 
 
2.(AFRFB-2009-Esaf) Considere as inequações dadas por: 
 
2( ) 2 1 0f x x x= − + ≤ e 2( ) 2 3 2 0g x x x= − + + ≥ . 
 
Sabendo-se que A é o conjunto solução de f (x) e B o conjunto solução de 
g(x), então o conjunto Y = A∩B é igual a: 
a) 
1
{ | 2}
2
Y x x
−
= ∈ < ≤ℝ 
b) 
1
{ | 2}
2
Y x x
−
= ∈ ≤ ≤ℝ 
c) { | 1}Y x x= ∈ =ℝ 
d) { | 0}Y x x= ∈ ≥ℝ 
e) { | 0}Y x x= ∈ ≤ℝ 
 
Resolução 
 
1. 2( ) 2 1 0f x x x= − + ≤ 
Calculando as raízes da equação: f(x) = x2 – 2x + 1 = 0 
⇒ (x – 1)2 = 0 (repare que (x – 1).(x – 1) = x2 – x – x + 1 = x2 – 2x + 1) 
⇒ x = 1 (raiz dupla). Portanto, esta equação nunca é menor que zero, mas 
será igual a zero em x = 1. Veja o gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2( ) 2 1 0f x x x= − + ≤ ⇒A = {1}. 
x 
y 
1 
,
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Repare que poderíamos parar por aqui, pois queremos a interseção de A com B 
e, como A só possui um elemento (1), ou a interseção será um conjunto vazio 
(não há alternativa) ou será {1} (alternativa “c”). 
 
Somente para conferir vamos determinar o conjunto B: 
 
2. 2( ) 2 3 2 0g x x x= − + + ≥ 
 
Calculando as raízes da equação: -2x2 + 3x + 2 = 0 
 
a = -2, b = 3 e c = 2 
 
22 3 3 4.( 2).24 3 9 16 3 5
2 4
2.( 2) 4
b b ac
x
a
− ± − −− ± − − ± + − ±
= = = =
−
− −
 
Raízes: 
x = (-3 + 5)/-4 = -1/2 
x = (-3 – 5)/-4 = 2 
Logo, como a é negativo (-2), o gráfico seria da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2( ) 2 3 2 0g x x x= − + + ≥ => B = 
1
{ | 2}
2
x x
−
∈ ≤ ≤ℝ 
Y = A∩∩∩∩B = 1 ⇒ { | 1}Y x x= ∈ =ℝ 
 
Ainda não vimos o símbolo ∩∩∩∩, mas corresponde a uma interseção, ou seja, o 
que há de comum entre a solução A e a solução B. 
GABARITO: C 
 
3.(AFRFB-2009-Esaf) Se um polinômio f for divisível separadamente por (x – 
a) e (x – b) com a ≠ b, então f é divisível pelo produto entre (x – a) e (x – b). 
Sabendo-se que 5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x - 1) e 
(x + 3), respectivamente, então o resto da divisão desse polinômio pelo 
produto dado por (x - 1) e (x + 3) é igual a: 
x 
g 
-1/2 2 
,
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a) 
13 7
4 4
x + 
b) 
7 13
4 4
x − 
c) 
7 13
4 4
x + 
d) 
13 13
4 4
x
−
− 
e) 
13 7
4 4
x
−
− 
 
Resolução 
 
Se 5 é o resto da divisão de f por (x – 1) ⇒ f(1) = 5 
Se -2 é o resto da divisão de f por (x + 3) ⇒ f(-3) = -2 
 
Se o resto da divisão do polinômio f pelo produto (x – 1).(x + 3) será dado por 
ax + b (lembre-se que o resto deve ser zero ou possuir grau menor que o 
divisor, que, no caso, possui grau 2). Substituindo por x = 1 e x = -3, temos: 
 
a + b = 5 ⇒ a = 5 – b (I) 
-3a + b = -2 (II) 
 
Substituindo (I) em (II): -3.(5 – b) + b = -2 ⇒ -15 + 3b + b = -2 ⇒ 
⇒ 4b = 13 ⇒ b = 13/4 (IV) 
 
Substituindo (IV) em (I): a = 5 – 13/4 = (20 – 13)/4 = 7/4 
 
Portanto, o resto da divisão seria: 
7 13
4 4
x + 
GABARITO: C 
 
4.(ATRFB-2009-Esaf) Sejam X, Y e Z três pontos distintos de uma reta. O 
segmento XY é igual ao triplo do segmento YZ. O segmento XZ mede 32 
centímetros. Desse modo, uma das possíveis medidas do segmento XY, em 
centímetros, é igual a: 
 
a) 27 
b) 48 
c) 35 
d) 63 
e) 72 
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Resolução 
 
X, Y e Z ⇒ 3 pontos distintos de uma reta 
XY = 3.YZ ⇒ YZ = XY/3 
XZ = 32 cm 
 
Supondo a seguinte configuração: 
 
 
 
 
XY = XZ + ZY ⇒ XY = 32 + XY/3 ⇒ XY – XY/3 = 32 ⇒ 2.XY/3 = 32 ⇒ 
⇒ XY = 3 . 32/2 = 3 . 16 ⇒ XY = 48 cm (repare que a questão fala em 
uma das possíveis medidas) 
 
Supondo a seguinte configuração: 
 
 
 
 
XZ = XY + YZ ⇒ 32 = XY + XY/3 ⇒ 4.XY/3 = 32 ⇒ 
⇒ XY = 3 . 32/4 = 3 . 8 ⇒ XY = 24 cm 
GABARITO: B 
 
5.(Especialista em Políticas Públicas e Gestão Governamental-MPOG-
2009-Esaf) Um químico deve preparar dois litros de uma mistura formada por 
duas substâncias A e B na proporção de 3 de A para 2 de B. Distraidamente ele 
misturou 500 ml de A com 1 litro de B. Sabendo-se que ele não tem mais do 
elemento B, como deve proceder para obter a mistura desejada? 
 
a) Apenas acrescentar 1 litro da substância A à sua mistura. 
b) Apenas acrescentar 500 ml da substância A à sua mistura. 
c) Descartar 200 ml de sua mistura e acrescentar 700 ml da substância A. 
d) Descartar 300 ml de sua mistura e acrescentar 800 ml da substância A. 
e) Descartar 400 ml de sua mistura e acrescentar 900 ml da substância A. 
 
Resolução 
 
Mistura = 2 litros = A + B 
Proporção ⇒ 3 de A e 2 de B ⇒ A/B = 3/2 
 
Vamos montar o seguinte sistema de equações: 
 
A + B = 2 litros (I) 
A/B = 3/2 (II) 
 
 
 
X Y Z 
X Z Y 
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De (II), temos: A = 3/2 x B = 1,5 B (III) 
 
Substituindo (III) em (I): 
1,5B + B = 2 ⇒ 
⇒ 2,5 B = 2 ⇒ 
⇒ B = 2/2,5 = 0,8 litros 
⇒ A = 1,5 B = 1,5 x 0,8 = 1,2 litros 
 
Logo, esta deve ser a mistura: A = 1,2 litros e B = 0,8 litros 
 
Contudo, o químico, distraidamente, misturou 500 ml de A e 1 litro de B, e não 
possui mais a substância B: 
 
A = 500 ml = 0,5 litros 
B = 1 litro (não há mais a substância B) 
Total = 500 ml + 1 litro = 1,5 litros 
 
Ou seja, na mistura feita, temos A/B = 0,5/1 = 1/2 (IV) 
 
Como precisamos apenas de 0,8 litros (800 ml de B), precisamos retirar 200 
ml de B, mas, como B já está misturado, a quantidade da mistura que será 
descartada é: 
 
B = 200 ml 
De (IV) A = B/2 = 200 ml/2 = 100 ml 
Total da Mistura Errada a ser Descartada = 200 ml + 100 ml = 300 ml 
 
Logo, a mistura ficou da seguinte maneira: 
A = 500 ml – 100 ml = 400 ml 
B = 1 litro – 200 ml = 800 ml (ok) 
 
Ou seja, para chegar na proporção desejada, temos que adicionar mais 800 
ml da substância A: 
 
A = 400 ml + 800 ml = 1,2 litros (ok) 
B = 800 ml (ok) 
Total = A + B = 1,2 litros + 800 ml = 2 litros 
 
Logo, a alternativa correta é: 
d) Descartar 300 ml de sua mistura e acrescentar 800 ml da 
substância A. 
GABARITO: D 
 
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6.(Enap-2006-Esaf) Sabe-se que x pertence ao conjunto dos números reais 
R. Sabe-se, também, que 3x + 2< -x + 3 ≤ x +4. Então, pode-se afirmar que 
 
a) -0,5 ≤ x < 0,25. 
b) -0,5 < x ≤ 0,25. 
c) 0,5 < x ≤ - 0,25. 
d) 0,5 ≤ x< 0,25. 
e) -0,5 ≤ x ≤ 0,25. 
 
Resolução 
 
Vamos dividir a inequação em duas: 
 
Inequação: 3 x + 2< -x + 3 ≤ x +4 
 
(I) 3x + 2 <- x + 3 ⇒3x + x < 3 - 2 ⇒ 4x < 1 ⇒ x < 1/4 ⇒ x < 0,25 
 
(II) -x + 3 ≤ x +4 ⇒ - x – x ≤ 4 – 3 ⇒ - 2x ≤ 1 ⇒ 2x ≥ - 1 ⇒ 
⇒ x ≥ - 1/2 ⇒ x ≥ - 0,5 
 
Juntando as duas, teremos: - 0,5 ≤ x < 0,25 
GABARITO: A 
 
7.(Enap-2006-Esaf) Uma loja de doces trabalha apenas com dois tipos de 
balas, a saber: balas de chocolate e balas de café. Cada bala de chocolate 
custa R$ 0,50 e cada bala de café custa R$ 0,20. Sabe-se que um quilograma 
(kg) de balas de chocolate equivale, em reais, a dois quilogramas de balas de 
café. Sabe-se, também, que uma bala de café pesa 8 gramas. Assim, o peso, 
em gramas, de uma bala de chocolate é igual a 
 
a) 5. 
b) 8. 
c) 15. 
d) 6. 
e) 10. 
 
Resolução 
 
Nota: 1 kg = 1.000 gramas ⇒ 1 grama = 10-3 kg 
Bala de chocolate = R$ 0,50 
Bala de café = R$ 0,20 
Peso da bala de café = 8 gramas = 0,008 kg 
 
Qch = Quantidade de balas de chocolate 
Pch = peso da bala de chocolate 
Qca = Quantidade de balas de café 
Pca = peso da bala de café 
 
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Qca em 2 kg = 2 kg/0,008 kg = 250 balas 
Valor de 2 kg de bala de café = Qca x Preço = 250 balas x R$ 0,20 = R$ 50,00 
 
Valor de 1 kg de bala de chocolate = Qch x Preço = Qch x R$ 0,50 
 
Do enunciado, temos: 
Valor de 1 kg de bala de chocolate = Valor de 2 kg de bala de café ⇒ 
⇒ Qch x 0,50 = 50,00 => Qch = 100 balas 
 
Pch = 1 kg/100 balas = 1.000 gramas/100 balas = 10 gramas 
GABARITO: E 
 
8.(Analista de Finanças e Controle-STN-2002-Esaf) Ana está em férias 
com seus sobrinhos e para evitar problemas ela guardou uma garrafa cheia de 
licor trancada a chave no seu armário. Um de seus sobrinhos conseguiu uma 
cópia da chave, abriu o armário, bebeu metade do conteúdo da garrafa, 
completou a garrafa com água e recolocou- a no lugar. Deu a chave para um 
outro sobrinho de Ana que fez a mesma coisa. Quando Ana percebeu, já havia 
menos de 1% de licor na garrafa. Assim, o número mínimo de vezes em que 
os sobrinhos de Ana beberam da garrafa é dado por: 
 
a) 4 
b) 5 
c) 7 
d) 10 
e) 15 
 
Resolução 
 
Garrafa cheia = 100% = 1 
 
1) Primeira vez: sobrinho bebeu metade de conteúdo do licor e completou com 
água. 
 Conteúdo de Licor na Garrafa = 1/2 
 
2) Segunda vez: sobrinho bebeu metade de conteúdo do licor e completou com 
água. 
 Conteúdo de Licor na Garrafa = (1/2)/2 = 1/4 = 1/22 
 
3) Terceira vez: sobrinho bebeu metade de conteúdo do licor e completou com 
água. 
 Conteúdo de Licor na Garrafa = (1/22)/2 = 1/23 
(....) 
n) Enésima vez: sobrinho bebeu metade de conteúdo do licor e completou com 
água. 
 Conteúdo de Licor na Garrafa = 1/2n 
 
 
 
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Quando Ana percebeu, já havia menos de 1% de licor na garrafa: 
 
1/2n < 1% = 0,01 ⇒ 1/2n < 0,01 
 
Vamos testar: 
1/24 = 1/16 = 0,0625 > 0,01 ⇒ logo, é maior que n = 4 
1/26 = 1/64 = 0,015625 > 0,01 ⇒ logo, é maior que n =6 e está próximo 
1/27 = 1/128 = 0,0078 < 0,01 ⇒ n = 7 
GABARITO: C 
 
9.(Analista de Finanças e Controle-STN-2002-Esaf) Os números A, B e C 
são inteiros positivos tais que A < B < C. Se B é a média aritmética simples 
entre A e C, então necessariamente a razão (B - A) / (C - B) é igual a: 
 
a) A / A 
b) A / B 
c) A / C 
d) B / C 
e) - (B/B) 
 
Resolução 
 
A < B < C ⇒ números inteiros positivos. 
B = média aritmética simples entre A e C ⇒ B = (A + C)/2 
B – A = (A + C)/2 – A = (A + C – 2A)/2 = (C - A)/2 
C – B = C - (A + C)/2 = (2C – A – C)/2 = (C – A)/2 
(B – A)/(C – B) = [(C - A)/2]/[(C - A)/2] = 1 
 
Logo, a única alternativa possível é a “a”, pois: A/A = 1 
GABARITO: A 
 
10.(Analista-Serpro-2001-Esaf) Três meninas, cada uma delas com algum 
dinheiro, redistribuem o que possuem da seguinte maneira: Alice dá a Bela e a 
Cátia dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui. A 
seguir, Bela dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a 
quantia que possui. Finalmente, Cátia faz o mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela 
o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Se Cátia 
possuía R$ 36,00 tanto no início quanto no final da distribuição, a quantia total 
que as três meninas possuem juntas é igual a: 
 
a) R$ 214,00 
b) R$ 252,00 
c) R$ 278,00 
d) R$ 282,00 
e) R$ 296,00 
 
,
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Resolução 
 
Saldo Inicial: 
Alice = A 
Bela = B 
Cátia = C 
 
1. Alice dá a Bela e a Cátia dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada 
uma possui. 
Bela = B + B = 2B 
Cátia = C + C = 2C 
Alice = A – B - C 
 
2. A seguir, Bela dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a 
quantia que possui. 
Cátia = 2C + 2C = 4C 
Alice = (A – B – C) + (A – B – C) = 2.(A – B – C) 
Bela = 2B – 2C – (A – B – C) = 2B – 2C - A + B + C = 3B – C – A 
 
3. Finalmente, Cátia faz o mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela o suficiente para 
que cada uma duplique a quantia que possui. 
Alice = 2.(A – B – C) + 2.(A – B – C) = 4.(A – B – C) 
Bela = (3B – C – A) + (3B – C – A) = 2.(3B – C – A) 
Cátia = 4C – 2.(A – B – C) – (3B – C – A) = 4C – 2A + 2B + 2C – 3B + C + A 
⇒ Cátia = 7C – B – A 
 
4. Se Cátia possuía R$ 36,00 tanto no início quanto no final da distribuição 
Saldo Inicial de Cátia = C = 36 
Saldo Final de Cátia = 7C – B – A = 36 ⇒ 7 x 36 – B – A = 36 ⇒ 
⇒ A + B = 252 – 36 ⇒ A + B = 216 
 
Como a questão quer a quantia total que as três possuem juntas: 
Quantia Total = A + B + C = 216 + 36 = 252 
GABARITO: B 
 
11.(TTN-1997-Esaf) A soma de todas as raízes da equação x4 - 25x2 + 144 = 0 
é igual a 
a) 0 
b) 16 
c) 9 
d) 49 
e) 25 
 
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Resolução 
 
O professor e a banca ficaram malucos! Equação do quarto grau! Como 
resolver? Não se preocupe, pois basta “transformá-la” para uma equação do 
segundo grau. 
 
Suponha que: 
 y = x2 ⇒ y2 = x4. Substituindo na equação, teríamos: 
x4 - 25x2 + 144 = 0 ⇒ 
⇒ y2 – 25y + 144 = 0 (Aí a nossa equação do segundo grau!). 
 
Vamos resolvê-la: 
 
22 ( 25) ( 25) 4.1.1444 25 625 576
2 2.1 2
25 49 25 7
2 2
b b ac
y
a
y
= = ⇒
− − ± − −− ± − ± −
=
± ±
⇒ = =
 
y´= (25 + 7)/2 = 16 
y´´ = (25 – 7)/2 = 9 
 
Como: y = x2 
 
x2 = y = 16 ⇒ x2 = 16 ⇒ x = ± (16)1/2 ⇒ x = 4 ou x = - 4 
x2 = y = 9 ⇒ x2 = 9 ⇒ x = ± (9)1/2 ⇒ x = 3 ou x = - 3 
 
Soma das raízes da equação = 4 + (-4) + 3 + (-3) = 0 
GABARITO: A 
 
12.(AFTN-1996-Esaf) Em um laboratório de experiências veterinárias foi 
observado que o tempo requerido para um coelho percorrer um labirinto, na 
enésima tentativa, era dado pela função C(n)=(3+12/n) minutos. Com relação 
a essa experiência pode-se afirmar, então, que um coelho: 
 
a) consegue percorrer o labirinto em menos de três minutos 
b) gasta cinco minutos e quarenta segundos para percorrer o labirinto na 
quinta tentativa 
c) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa 
d) percorre o labirinto em quatro minutos na décima tentativa 
e) percorre o labirinto numa das tentativas, em três minutos e trinta segundos 
 
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Resolução 
 
Tempo que o coelho leva para percorrer o labirinto: C(n)=(3+12/n) minutos 
 
Vamos analisar as alternativas: 
 
a) consegue percorrer o labirinto em menos de três minutos 
C(n)=(3+12/n) minutos. Logo, se n tender a infinitas tentativas, 12/n ficará, 
praticamente, zeroe o tempo que o coelho levará para percorrer o labirinto 
será de 3 minutos. Ou seja, o tempo nunca será menor que três minutos. A 
alternativa está INCORRETA. 
 
b) gasta cinco minutos e quarenta segundos para percorrer o labirinto na 
quinta tentativa 
Quinta tentativa ⇒ n = 5 
C(5)=(3+12/n) = 3 + 12/5 = 3 + 2,4 = 5,4 minutos ⇒ 
⇒ C(5) = 5 minutos + 0,4 x 60 segundos = 5 minutos e 24 segundos 
 A alternativa está INCORRETA. 
 
c) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa 
Terceira tentativa ⇒ n = 3 
⇒ C(3)=(3+12/n) = 3 + 12/3 = 3 + 4 = 7 minutos 
 A alternativa está INCORRETA. 
 
d) percorre o labirinto em quatro minutos na décima tentativa 
Décima tentativa ⇒ n = 10 
C(10) =(3+12/n) = 3 + 12/10 = 3 + 1,2 = 4,2 minutos ⇒ 
⇒ C(5) = 4 minutos + 0,2 x 60 segundos = 4 minutos e 12 segundos 
 A alternativa está INCORRETA. 
 
e) percorre o labirinto numa das tentativas, em três minutos e trinta segundos 
C(n) = 3 + 12/n = 3 minutos e 30 segundos = 3,5 minutos ⇒ 
⇒3 + 12/n = 3,5 ⇒ 12/n = 3,5 – 3 = 0,5 ⇒12 = 0,5 . n ⇒ n = 24 
 
Ou seja, o coelho percorre o labirinto em 3 minutos e 30 segundos na 
vigésima quarta tentativa. Portanto, de fato, o coelho percorre o 
labirinto numa das tentativas, em três minutos e trinta segundos. A 
alternativa está CORRETA. 
GABARITO: E 
 
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13.(ITA-SP) Dividindo-se o polinômio P(x) = x5 + ax4 + bx2 + cx + 1 por (x – 
1), obtém-se resto igual a 2. Dividindo-se P(x) por (x + 1), obtém resto igual a 
3. Sabendo-se que P(x) é divisível por (x – 2), tem-se que o valor de 
ab
c
 é 
igual a: 
 
a) – 6 
b) – 4 
c) 4 
d) 7 
e) 9 
 
Resolução 
 
De acordo com os conceitos vistos na aula: o resto da divisão de um 
polinômio f por x – a é igual ao valor numérico de f em para x = a. 
 
I) Dividindo-se o polinômio P(x) = x5 + ax4 + bx2 + cx + 1 por (x – 1), obtém-
se resto igual a 2. 
 
Portanto: x – a = x – 1 ⇒ a = 1 
 
P(x = 1) = 2 ⇒ 15 + a.14 + b.12 + c.1 + 1 = 2 ⇒ 
⇒ 1 + a + b + c + 1 = 2 ⇒ 
⇒ a + b + c = 2 – 1 – 1 ⇒ 
⇒ a + b + c = 0 (I) 
 
II) Dividindo-se P(x) por (x + 1), obtém resto igual a 3 
 
Portanto: x – a = x + 1 ⇒ – a = + 1 ⇒ a = – 1 
 
P(x = – 1) = 3 ⇒ (–1)5 + a.(–1)4 + b.(–1)2 + c.(–1) + 1 = 3 ⇒ 
⇒ – 1 + a.1 + b.1 – c + 1 = 3 ⇒ 
⇒ a + b – c = 3 + 1 – 1 ⇒ 
⇒ a + b – c = 3 (II) 
 
III) P(x) é divisível por (x – 2). 
 
Portanto: x – a = x – 2 ⇒ a = 2 
 
Neste caso, o resto da divisão de P(x) por (x – 2) é igual a zero, ou seja: 
 
P(2) = 0 ⇒ 25 + a.24 + b.22 + c.2 + 1 = 0 ⇒ 
⇒ 32 + a.16 + b.4 + c.2 + 1 = 0 ⇒ 
⇒ 16a + 4b + 2c = 0 – 32 – 1 ⇒ 
⇒ 16a + 4b + 2c = – 33 (III) 
 
 
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Portanto, temos um sistema de três equações e três incógnitas (falaremos 
mais de sistemas lineares em aula posterior): 
 
a + b + c = 0 (I) 
a + b – c = 3 (II) 
16a + 4b + 2c = – 33 (III) 
 
Se fizermos (I) + (II): 
a + b + c + a + b – c = 0 + 3 ⇒ 
⇒ 2a + 2b = 3 ⇒ 2.(a + b) = 3 ⇒ a + b = 
3
2
 (IV) 
 
Substituindo (IV) em (I): 
a + b + c = 0 (I) ⇒ 
3
2
 + c = 0 ⇒ c = 
3
2
−
 (V) 
 
Substituindo (V) em (III): 
16a + 4b + 2c = – 33 (III) ⇒ 16a + 4b + 2. 
3
2
−
= – 33 ⇒ 
⇒ 16a + 4b – 3 = – 33 ⇒ 
⇒ 16a + 4b = – 33 + 3 ⇒ 
⇒ 16a + 4b = – 30 ⇒ (dividindo todos os termos por 2) 
⇒ 8a + 2b = – 15 (VI) 
 
De (IV), temos: 
⇒ a + b = 
3
2
 ⇒ a = 
3
2
 – b (VII) 
 
Substituindo (VII) em (VI): 
8a + 2b = – 15 (VI) ⇒ 8.(
3
2
 – b) + 2b = – 15 ⇒ 
⇒ 8. 
3
2
 – 8b + 2b = – 15 ⇒ 
⇒ 4.3 – 6b = – 15 ⇒ 
⇒ 12 – 6b = – 15 ⇒ 
⇒ 12 + 15 = 6b ⇒ 
⇒ 27 = 6b ⇒ (dividindo todos os termos por 3) 
⇒ 9 = 2b ⇒ b = 
9
2
 (VIII) 
 
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Finalmente, substituindo (VIII) em (VII): 
a = 
3
2
 – b (VII) ⇒ a = 
3 9 6
2 2 2
−
− = ⇒ a = -3 
 
Portanto, encontramos os seguintes valores: 
a = -3 
b = 
9
2
 
c = 
3
2
−
 
 
Repare que a questão pede o resultado de: 
9 3
3. .9
2 2 9
3 3
2 2
ab
c
−
−
= = =
− −
 
GABARITO: E 
 
14.(Cefet-MG) Se f(x) = 2x + 1, g(x) = x2 e h(x) = x – 2, a igualdade 
g(f(h(X))) = h(g(x)) é verdadeira para: 
 
a) nenhum valor real de x. 
b) valores de x irracionais com soma igual a 12. 
c) valores de x irracionais com soma igual a 4. 
d) valores de x racionais com produto igual a 
7
3
. 
e) valores de x racionais com produto igual a 
11
3
. 
 
Resolução 
 
Outro assunto que sempre aparece em prova e que veremos novamente em 
aula posterior. São as funções compostas. Veja: 
 
h(x) = x – 2 
 
f(h(x)) = f(x – 2) (falamos “f de h(x)”, ou seja, devemos substituir as variáveis 
da equação f por h(x)) 
 
f(x) = 2x + 1 
f(h(x)) = 2.h(x) + 1 = 2.(x – 2) + 1 = 2x – 4 + 1 = 2x – 3 
 
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g(f(h(x))) = g(2x – 3) (falamos “g de f de h(x)”, ou seja, devemos substituir 
as variáveis da equação g por f(h(x))) 
 
g(x) = x2 
g(f(h(x))) = (f(h(x))2 = (2x – 3)2 = (2x – 3).(2x – 3) ⇒ 
⇒ g(f(h(x))) = 2x.(2x – 3) – 3.(2x – 3) ⇒ 
⇒ g(f(h(x))) = 2x.2x + 2x.(-3) – 3.2x – 3.(-3) ⇒ 
⇒ g(f(h(x))) = 4x2 – 6x – 6x + 9 ⇒ 
⇒ g(f(h(x))) = 4x2 – 12x + 9 
 
A questão fala que g(f(h(X))) = h(g(x)). Portanto, temos que calcular h(g(x)) 
também: 
 
h(x) = x – 2 
h(g(x)) = g(x) – 2 ⇒ 
⇒ h(g(x)) = x2 – 2 
 
Como g(f(h(X))) = h(g(x)), temos: 
g(f(h(x))) = 4x2 – 12x + 9 
h(g(x)) = x2 – 2 
 
4x2 – 12x + 9 = x2 – 2 ⇒ 
⇒ 4x2 – x2 – 12x + 9 + 2 = 0 ⇒ 
⇒ 3x2 – 12x + 11 = 0 
 
 
Repare que chegamos em uma equação de segundo grau, onde temos que 
achar as raízes. Para isso, aplicaremos a Fórmula de Bhaskara: 
 
ax2 + bx + c = 0 
 
2 4
2
b b ac
x
a
− ± −
= 
 
3x2 – 12x + 11 = 0 
a = 3; 
b = – 12; 
c = 11 
 
22 ( 12) ( 12) 4.3.114
2 2.3
12 144 132 12 12 12 4.3 12 2 3
6 6 6 6
b b ac
x
a
x
− − ± − −− ± −
= = ⇒
± − ± ± ±
⇒ = = = = ⇒ 
 
 
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Repare que podemos dividir o numerado e o denominador por 2. Veja: 
 
1
2
12 2 3 2(6 3) 6 3
6 2.3 3
6 3
3
6 3
3
x
x
x
± ± ±
⇒ = = =
+
=
−
=
 
Ou seja, como há um radical no denominador, as raízes x1 e x2 da equação são 
irracionais. 
 
Além disso, a soma das raízes da equação será: 
1 2
6 3 6 3 6 3 6 3 12
4
3 3 3 3
x x
+ − + + −
+ = + = = = 
GABARITO: C 
 
15.(UCDB-MS) Se o polinômio Q(x) = (ax + b).(x + 3) + (x – 3)2 – c é 
idêntico a P(x) = 3x2 + x + 4, então a + b + c é igual a: 
 
a) 7 
b) 8 
c) 9 
d) 10 
e) 11 
 
Resolução 
 
Q(x) = (ax + b).(x + 3) + (x – 3)2 – c ⇒ 
⇒ Q(x) = ax.(x + 3) + b.(x + 3) + (x – 3).(x – 3) – c ⇒ 
⇒ Q(x) = ax.x + ax.3 + b.x + b.3 + x.(x – 3) – 3.(x – 3) – c ⇒ 
⇒ Q(x) = ax2 + 3ax + bx + 3b + x.x – x.3 – 3.x – 3.(– 3) – c ⇒ 
⇒ Q(x) = ax2 + 3ax + bx + 3b + x2 – 3x – 3x + 9 – c ⇒ 
⇒ Q(x) = ax2 + x2 + 3ax + bx – 6x + 3b + 9 – c ⇒ 
⇒ Q(x) = (a + 1)x2 + (3ª + b – 6)x + (3b + 9 – c) 
 
De acordo com a questão, o polinômio Q(x) deve ser idêntico ao polinômio 
P(x). Portanto, todos os termos dos dois polinômios devem ser iguais. Veja: 
 
Q(x) = (a + 1)x2 + (3a + b – 6)x + (3b + 9 – c) 
P(x) = 3x2 + x + 4 
 
Q(x) = P(x) 
(a + 1)x2 + (3a + b – 6)x + (3b + 9 – c) = 3x2 + 1.x + 4 
 
 
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