CALCULO NUMERICO COMPUTACIONAL prova n2

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JOACIR FIRMINO COSTA
	Curso
	GRA1593 CALCULO NUMERICO COMPUTACIONAL ENGCI201 - 202010.ead-1950.04
· Pergunta 1
0 em 1 pontos
	
	
	
	Um dos métodos mais simples para resolução de equações é o método da bisseção, uma vez que exige apenas que a função seja contínua em um intervalo  , assuma valores com sinais opostos nos extremos do intervalo e contenha uma única raiz nesse mesmo intervalo. Assim, ao utilizarmos o método da bisseção para a função   e sabendo que a raiz  , é possível mostrar que   é igual a:
 
Assinale a alternativa correta:
 
 
	
	
	
	
		Resposta Correta:
	 
-1,00625.
	Feedback da resposta:
	Sua resposta está incorreta. Essa alternativa está incorreta, pois, ao aplicarmos o método da bisseção, podemos mostrar que . Ao construirmos a tabela referente ao método da bisseção, podemos justificar nossa resposta:
 
 
	n
	(-)
	(+)
	
	
	
	
	
	0
	-1,4
	-0,5
	-0,95
	0,21336618
	 
	-1,0600657
	1,25516512
	1
	-1,4
	-0,95
	-1,175
	-0,4039139
	0,225
	 
	 
	2
	-1,175
	-0,95
	-1,0625
	-0,0891207
	0,1125
	 
	 
	3
	-1,0625
	-0,95
	-1,00625
	0,06381519
	0,05625
	 
	 
	
	
	
· Pergunta 2
1 em 1 pontos
	
	
	
	Interpolar uma função  é aproximá-la por uma função  , selecionada entre uma classe de funções escolhidas a priori . Uma das situações em que necessitamos realizar essa aproximação é quando são conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é preciso calcular o valor da função em um ponto não tabelado. Considere a seguinte tabela, que relaciona o calor específico da água e a temperatura.
 
	Temperatura (graus celsius)
	20
	25
	30
	35
	40
	45
	50
	Calor Específico
	0,99907
	0,99852
	0,99826
	0,99818
	0,99828
	0,99849
	0,99878
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
Diante do exposto, usando interpolação quadrática e os pontos para as temperaturas iguais a 35, 40 e 45 graus Celsius, calcule uma aproximação para o calor específico da água quando a temperatura foi igual a 42 graus Celsius. A seguir, assinale a alternativa correta:
 
FERNANDES, D. B. Cálculo numérico. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2015.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
0,99835.
	Resposta Correta:
	 
0,99835.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta, pois, aplicando a interpolação quadrática para os três pontos fornecidos, encontramos ,  e  e, consequentemente, o polinômio interpolador é igual a . Portanto, a aproximação desejada é igual a .
	
	
	
· Pergunta 3
0 em 1 pontos
	
	
	
	Em geral, utilizamos as técnicas de interpolação numérica quando não dispomos da lei de uma função   ou quando a lei apresenta dificuldades acentuadas para o cômputo dos valores. Um exemplo que ilustra essas afirmações é o seguinte: a integral elíptica completa é definida por
Por uma tabela de valores dessa integral, encontramos  e   Usando interpolação linear, determine o polinômio interpolador que aproxima essa função no intervalo dado.
FRANCO, N. M. B. Cálculo numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2006. p. 294.
	
	
	
	
		Resposta Correta:
	 p¹(x) = 0,0011x + 1,5697.
	Feedback da resposta:
	Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois, aplicando a interpolação linear para os dois pontos fornecidos, encontramos  e  e, consequentemente, o polinômio interpolador é igual a .
	
	
	
· Pergunta 4
1 em 1 pontos
	
	
	
	Isolando a raiz positiva da função   em um intervalo   (   e   naturais) de comprimento 1, isto é,   e utilizando o método da Iteração Linear, calcule a terceira (  ) aproximação para esta raiz. Calcule   e escolha uma função de iteração   apropriada. Assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
1,08125569.
	Resposta Correta:
	 
1,08125569.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função de iteração igual a , encontramos , conforme a tabela a seguir:
 
	
	
	
	0
	1,4
	 
	1
	1,10048178
	0,299518223
	2
	1,08125569
	0,019226082
	
	
	
· Pergunta 5
0 em 1 pontos
	
	
	
	Uma aplicação dos métodos numéricos é o cálculo de raízes de funções. Ao utilizar o método da bisseção, calcule a quinta (  ) aproximação da raiz positiva da função   . Para tanto, isole a raiz em um intervalo   (   e   naturais) de comprimento 1, isto é,  . Note que, ao determinar a raiz positiva da função dada, você estará calculando uma aproximação para a raiz quadrada de 10.
 
Assinale a alternativa correta:
 
	
	
	
	
		Resposta Correta:
	 
3,15625.
	Feedback da resposta:
	Sua resposta está incorreta. Esta alternativa está incorreta, pois, ao aplicarmos o método da bisseção, podemos mostrar que . Quando construímos a tabela do método da bisseção, podemos justificar a resposta encontrada:
 
	n
	(-)
	(+)
	
	
	E
	0
	3
	4
	3,5
	2,25
	 
	1
	3
	3,5
	3,25
	0,5625
	0,25
	2
	3
	3,25
	3,125
	-0,234375
	0,125
	3
	3,125
	3,25
	3,1875
	0,16015625
	0,0625
	4
	3,125
	3,1875
	3,15625
	-0,0380859
	0,03125
	
	
	
· Pergunta 6
1 em 1 pontos
	
	
	
	Sabendo-se que a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de um certo corpo de massa   de   a   é
em que   é o calor específico do corpo à temperatura   . Considerando a tabela abaixo, calcule a quantidade de calor necessária para se elevar 15 kg de água de 20 °C a 80 °C.
	  (°C)
	  (  )
	0
	999,8
	10
	999,6
	20
	998,1
	30
	995,4
	40
	992,3
	50
	988,2
	60
	983,2
	70
	977,7
	80
	971,5
	90
	965,6
	100
	958,9
Referência: BARROSO, L. C. et al . Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987, p. 272.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
888240 kcal
	Resposta Correta:
	 
888240 kcal
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta, com , temos que
 
Assim, arrumando e substituindo os pontos da tabela dada na questão, podemos calcular o valor de .
 
	
	
	
	0
	20
	998,1
	1
	30
	995,4
	2
	40
	992,3
	3
	50
	988,2
	4
	60
	983,2
	5
	70
	977,7
	6
	80
	971,5
 
 Consequentemente,  kcal
	
	
	
· Pergunta 7
0 em 1 pontos
	
	
	
	Sabe-se que a velocidade do som na água varia com a temperatura. Dessa forma, usando todos os valores da tabela abaixo, calcule o valor aproximado da velocidade do som na água a 101,5 graus Celsius. Na sequência, assinale a alternativa correta:
 
	Temperatura (graus Celsius)
	Velocidade (  )
	86,0
	1552
	93,3
	1548
	98,9
	1544
	104,4
	1538
Fonte: Adaptada de Barroso et al . (1987).
 
BARROSO, L. C. et al . Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987.
	
	
	
	
		
	
	Resposta Correta:
	 
1541,49 
	Feedback da resposta:
	Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois, partindo da fórmula de Lagrange para os quatro pontos fornecidos, temos:
 
	
	
	
	0
	86
	1552
	1
	93,3
	1548
	2
	98,9
	1544
	3
	104,4
	1538
 
 
Assim, podemos substituir os valores de , , i=0,1,2,3,  e calcular o valor de  diretamente:
  .
	
	
	
· Pergunta 8
0 em 1 pontos
	
	
	
	O Problema da embalagem - Uma fábrica de alimentos deseja confeccionar uma embalagem para uma bebida para exportação. A embalagem deve ser um veículo em formato de paralelepípedo que possui as seguintes proporções:
em que x, y e z são as dimensões da embalagem. Para manter a proporção, a dimensão z deve ser uma soma de um múltiplo da dimensão x com 1, pois a empresa precisa deixar uma parte da embalagem reservada para informações do produto que são exigidas por lei.
Além disso, a empresa deseja que o volume da embalagem seja igual a 500 ml, ou seja, 500  .
Diante da situação apresentada e utilizando o método da bisseção com uma tolerância  , determine quais devem ser as dimensões da embalagem. Use:  . Assinale a alternativa correta:
 
 
	
	
	
	
		
	Resposta Correta:
	 
x=4,7 cm, y=7 cm e z=15,1 cm.
	Feedback da resposta:
	Sua resposta está incorreta. Esta alternativa está incorreta, pois, ao aplicarmos o método da bisseção, podemos mostrar que x=4,7 cm, y=7 cm e z=15,1 cm. A construção da tabela referente ao método da bisseção nos conduz à resposta correta:n
	(-)
	(+)
	
	
	
	
	
	0
	4,5
	5
	4,75
	32,234375
	 
	-119,125
	200
	1
	4,5
	4,75
	4,625
	-45,443359
	0,125
	y
	z
	2
	4,625
	4,75
	4,6875
	-7,1105957
	0,0625
	7,04296875
	15,0859375
	3
	4,6875
	4,75
	4,71875
	12,4345398
	0,03125
	 
	V
	4
	4,6875
	4,71875
	4,703125
	2,63023758
	0,015625
	 
	498,87595
	5
	4,6875
	4,703125
	4,6953125
	-2,2480998
	0,0078125
	 
	 
	
	
	
· Pergunta 9
1 em 1 pontos
	
	
	
	Em geral, utilizamos as técnicas de interpolação numérica quando não dispomos da lei de uma função   ou quando a lei apresenta dificuldades acentuadas para o cômputo dos valores. Um exemplo que demonstra uma situação em que não conhecemos a lei da função é: os resultados de densidade   da água em várias temperaturas são apresentados na tabela abaixo.
 
Considerando os valores de densidade para as temperaturas de 25, 30, 35 e 40, conforme a tabela, calcule uma aproximação para a densidade da água quando a temperatura for igual a 32, usando a fórmula de Lagrange. Na sequência, assinale a alternativa correta:
 
	T
	0
	5
	10
	15
	20
	25
	30
	35
	40
	
	0,9999
	0,9998
	0,9997
	0,9991
	0,9982
	0,9971
	0,9957
	0,9941
	0,9902
Fonte: Adaptada de Franco (2006).
FRANCO, N. M. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2006.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
0,9952.
	Resposta Correta:
	 
0,9952.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta, pois, partindo da fórmula de Lagrange para os quatro pontos fornecidos, temos:
 
	
	
	
	0
	25
	0,9971
	1
	30
	0,9957
	2
	35
	0,9941
	3
	40
	0,9902
 
Assim, podemos substituir os valores de  ,  , i=0,1,2,3,   e calcular o valor de   diretamente:
  
	
	
	
· Pergunta 10
1 em 1 pontos
	
	
	
	Barroso (1987) Uma linha reta foi traçada de modo a tangenciar as margens de um rio nos pontos A e B. Para medir a área de um trecho entre o rio e a reta AB foram traçadas perpendiculares em relação a AB com um intervalo de 0,04 m. Usando os dados tabelados e a regra dos trapézios composta, calcule uma aproximação para a área da região descrita.
 
	Perpendiculares
	Comprimento (metros)
	1
	3,37
	2
	4,43
	3
	4,65
	4
	5,12
	5
	4,98
	6
	3,61
	7
	3,85
	8
	4,71
	9
	5,25
	10
	3,86
	11
	3,22
Referência: BARROSO, L. C. et al . Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987, p. 273.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
1,75 metros quadrados
	Resposta Correta:
	 
1,75 metros quadrados
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 11 pontos distintos, temos
 
Assim, arrumando e substituindo os pontos dados na tabela, podemos calcular o valor de  metros quadrados.
 
	
	
	
	0
	0
	3,37
	1
	0,04
	4,43
	2
	0,08
	4,65
	3
	0,12
	5,12
	4
	0,16
	4,98
	5
	0,2
	3,61
	6
	0,24
	3,85
	7
	0,28
	4,71
	8
	0,32
	5,25
	9
	0,36
	3,86
	10
	0,4
	3,22