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ROTEIRO DE PRÁTICA Tema Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de Equações Unidade 01 Disciplina (s) Cálculo Numérico Computacional Data da última atualização Jun/2020 I. Instruções e observações LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 1. É importante o conhecimento prévio de métodos numéricos para obtenção de raízes de equações (Métodos Gráfico, Bisseção, Newton, Iteração Linear). 2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 3. Consulte o material de apoio (e-book unidade 1). II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos Descrição Quantidade Roteiro da prática 1 Calculadora científica 1 Computador ou Notebook 1 III. Introdução Existem alguns métodos numéricos para a obtenção de raízes de equações. As técnicas numéricas nos fornecem soluções próximas da solução exata. De modo geral, esses métodos geram uma sequência de números reais, que se aproximam de uma raiz exata da equação. Para a aplicação dos métodos, podemos utilizar recursos computacionais acessíveis e de fácil manuseio, como Excel e o software GeoGebra. IV. Objetivos de Aprendizagem Aplicar o método da iteração linear para determinar uma aproximação refinada para uma raiz de uma função. ( Capstone) Realizar o refinamento da raiz através dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. Avaliar as vantagens e desvantagens dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. V. Experimento ETAPA 1: Método Gráfico 1. Utilizando o Método Gráfico, determine a quantidade e os sinais das raízes da função: 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 20𝑥 + 30. - Para obtenção desse resultado foi utilizado o software recomendado na atividade (geogebra). - A interpretação da questão foi feita através do método gráfico. - Para sabermos as raízes dessa função temos f(x) = g(x) – h(x), como resultado teremos: - Verificando no gráfico podemos dizer que o ponto de encontro está localizado entre [1,2]. 2. Compare as respostas obtidas no item anterior a partir da utilização do Software GeoGebra (https://www.geogebra.org/). Use as mesmas funções escolhidas para 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥). 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥) 𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) F(2) = 8 – 18 = -8 [2,8] [2,-18] ETAPA 2: Método da Bisseção 3. No Excel, sem utilizar a função “SE”, aplique o Método da Bisseção para calcular a quinta (𝑥4) aproximação da raiz positiva da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 10. Para tanto, isole a raiz num intervalo [𝑎, 𝑏] (𝑎 e 𝑏 naturais) de comprimento 1, isto é, 𝑏 − 𝑎 = 1. 𝑥4 𝑓(𝑥4) |𝑥4 − 𝑥3| x(4) = g(4) = 16 https://www.geogebra.org/ 4. Agora, fazendo uso da função “SE”, calcule a trigésima (𝑥29) aproximação da raiz. 𝑥29 𝑓(𝑥29) |𝑥29 − 𝑥28| 5. Calcule √10 com uma calculadora científica e compare o valor encontrado com 𝑥29. ETAPA 3: Método de Newton 6. No Excel, isolando a raiz de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4 num intervalo [𝑎, 𝑏] (𝑎 e 𝑏 inteiros) de comprimento 1, isto é, 𝑏 − 𝑎 = 1 e utilizando o Método de Newton, complete o quadro abaixo: 𝜀 (Tolerância) Nº mínimo de iterações 𝑥𝑛 𝑓(𝑥𝑛) 10−1 4 (3,32) X12 = 2 fX12 = 7,090702573 10−4 14 (13,38) X12 = 2 fX12 = 7,090702573 10−9 30 (29, 89) X12 = 2 fX12= 7,090702573 7. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) e determinar sua raiz. Em seguida, compare suas respostas para a raiz encontrada no caso em que a tolerância é 𝜖 ≤ 10−9. - Raízes encontradas no software [1,2] - Raízes encontradas analiticamente [-2,5 ,4], entretanto tendo como base ∈ ≤ 10 -9 resultará em [2,2] se aproximando mais dos valores analíticos encontrados. ETAPA 4: Método da Iteração Linear 8. Em relação ao Método da Iteração Linear, considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos(𝑥) e 𝑥0 = 0,5. Justificando sua resposta, quais as possibilidades para a função de iteração 𝐹(𝑥)? - Resulta em duas possíveis aproximações para F(X): https://pt.wiktionary.org/wiki/%E2%88%88 https://pt.wiktionary.org/wiki/%E2%89%A4 9. Sejam 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos(𝑥), 𝑥0 = 0,5 e uma função de iteração 𝐹(𝑥) convenientemente escolhida. No Excel, levando em consideração a sequência de raízes 𝑥𝑛, complete a tabela abaixo: 𝑥𝑛 Raiz aproximada 𝑓(𝑥𝑛) Erro (|𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1|) 𝑥5 [1,9, 1] 3,066557 0,03125 𝑥15 [1,999939, 1] 3,304026 3,05E-5 𝑥18 [1,999992, 1] 3,304233 3,81E-6 𝑥32 [1,2] 3,304263 2,33E-10 10. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) determinar sua raiz. Por fim, compare suas respostas para a raiz encontrada (𝑥32). - Na resolução para encontrar as raízes aproximadas da função resultou que f(x) e g(x) não convergiam obtendo o gráfico a seguir: - Destarte, podemos observar que o ponto de encontro as funções ocorrem em valores negativos. VI. Avaliação do experimento VII. Referências BARROSO, L. C; BARROSO, M. M. A.; FILHO, F. F. C.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico com aplicações; 2ª Edição. São Paulo; Harbra, 1987
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