calculo numerico atividade 3

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ROTEIRO DE PRÁTICA
	Tema 
	Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de Equações
	Unidade
	01
	Disciplina (s)
	Cálculo Numérico Computacional
	Data da última atualização
	03/02/2020
	I. Instruções e observações
	
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES
1. É importante o conhecimento prévio de métodos numéricos para obtenção de raízes de equações (Métodos Gráfico, Bisseção, Newton, Iteração Linear).
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos.
3. Consulte o material de apoio (e-book unidade 1).
	II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos
	Descrição
	Quantidade
	Roteiro da prática
	1
	Calculadora científica
	1
	Computador ou Notebook
	1
	III. Introdução
	Existem alguns métodos numéricos para a obtenção de raízes de equações. As técnicas numéricas nos fornecem soluções próximas da solução exata. De modo geral, esses métodos geram uma sequência de números reais, que se aproximam de uma raiz exata da equação. Para a aplicação dos métodos, podemos utilizar recursos computacionais acessíveis e de fácil manuseio, como Excel e o software GeoGebra.
	IV. Objetivos de Aprendizagem
	
· Aplicar o método da iteração linear para determinar uma aproximação refinada para uma raiz de uma função. (Capstone)
· Realizar o refinamento da raiz através dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear.
· Avaliar as vantagens e desvantagens dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear.
	 V. Experimento
	ETAPA 1: Método Gráfico
1. Utilizando o Método Gráfico, determine a quantidade e os sinais das raízes da função:
.
	
Para esse resultado foi utilizado o software Geogebra como recomendado. Para tanto foi feita a interpretação da questão a partir do Método Gráfico. Sabendo que para obtenção das raízes dessa função temos que f(x)=g(x) – h(x), observemos:
Com os cálculos feitos a mão verifiquei que as raízes estão entre [1,2], verificado no ponto de encontro dos gráficos das funções estudadas.
2. Compare as respostas obtidas no item anterior a partir da utilização do Software GeoGebra (https://www.geogebra.org/). Use as mesmas funções escolhidas para e .
	
	
	
	𝑓(2) = 8 − 18 = −16
	[2,8]
	[2,-18]
ETAPA 2: Método da Bisseção
3. No Excel, sem utilizar a função “SE”, aplique o Método da Bisseção para calcular a quinta aproximação da raiz positiva da função . Para tanto, isole a raiz num intervalo ( e naturais) de comprimento 1, isto é, . 
	
	
	
	𝑥4 = 𝑔(4) = 16
	
	
 
4. Agora, fazendo uso da função “SE”, calcule a trigésima aproximação da raiz. 
	
	
	
	
	
	
5. Calcule com uma calculadora científica e compare o valor encontrado com .
ETAPA 3: Método de Newton
6. No Excel, isolando a raiz de num intervalo ( e inteiros) de comprimento 1, isto é, e utilizando o Método de Newton, complete o quadro abaixo:
	 (Tolerância)
	Nº mínimo de iterações
	
	
	
	4 (3,32)
	𝑥12 = 2
	 
7,090702573
	
	14 (13,28)
	𝑥12 = 2
	 
7,090702573
	
	30 (29,89)
	𝑥12 = 2
	 
7,090702573
7. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função e determinar sua raiz. Em seguida, compare suas respostas para a raiz encontrada no caso em que a tolerância é . 
	
As raízes encontradas de maneira analítica forma [1,2], enquanto que no software foi aproximadamente [-2,5 , 4], seja por erros consecutivos no modo analítico ou outros. Mas tendo como base o 𝜖 ≤ 10−9 desejado temos [2,2] se aproximando mais dos valores analíticos encontrados.
ETAPA 4: Método da Iteração Linear
8. Em relação ao Método da Iteração Linear, considere a função e . Justificando sua resposta, quais as possibilidades para a função de iteração ?
	 Podemos obter 2 possíveis aproximação para F(x).
9. Sejam , e uma função de iteração convenientemente escolhida. No Excel, levando em consideração a sequência de raízes , complete a tabela abaixo:
	
	Raiz aproximada
	
	Erro ()
	
	[1,9 , 1]
	3,066557
	0,03125
	
	[1,999939 ; 1]
	3,304026
	3,05E-05
	
	[1,999992 ; 1]
	3,304233
	3,81E-06
	
	[1,2]
	3,304263
	2,33E-10
10. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função determinar sua raiz. Por fim, compare suas respostas para a raiz encontrada ().
	
As soluções na tentativa de achar raízes aproximadas para a função dada mostrou que g(x) e h(x) não convergia. Dessa forma, o gráfico da função mostrou o contrário.
 
Nesse gráfico podemos observar um ponto de encontro das funções, para tanto valores negativos deve ser considerados. 
	VI. Avaliação do experimento
	
	VII. Referências
	BARROSO, L. C; BARROSO, M. M. A.; FILHO, F. F. C.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico com aplicações; 2ª Edição. São Paulo; Harbra, 1987