PO II - TEORIA DOS JOGOS

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PESQUISA OPERACIONAL II
ROGÉRIO NOGUEIRA PEREIRA
A TEORIA DOS JOGOS NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS
A tomada de decisão é uma rotina frequente na vida e no mundo dos negócios. Os gestores precisam estar atentos aos movimentos do mercado, aos concorrentes e à economia. A teoria dos jogos é uma ferramenta útil para apoiar a tomada de decisão, permitindo que o decisor analise as possíveis interações estratégicas e, consequentemente, controle os riscos da decisão. Saber modelar e aplicar corretamente a solução de problemas conforme a teoria dos jogos proporciona ao decisor maior segurança em relação aos resultados das interações estratégicas.
A TEORIA DOS JOGOS NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Em teoria dos jogos, o decisor pode fazer uso de estratégias puras ou estratégias mistas para maximizar o seu payoff individual. Para aplicar as estratégias de forma correta e conseguir prever os resultados, é preciso ter clareza de como e quando aplicar cada tipo de estratégia.
A TEORIA DOS JOGOS NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS
A TEORIA DOS JOGOS NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS
A TEORIA DOS JOGOS NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS
A TEORIA DOS JOGOS NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Em mercados altamente competitivos, empresas podem buscar acordos de cooperação como ação estratégica. Esses acordos podem ser de coalizão, parcerias ou fusão.
Ao gerenciar um negócio, estabelecer acordos e alianças estratégicas com outras empresas pode ser benéfico. Para estabelecer uma boa negociação e ter certeza do bom resultado, é preciso pôr em prática os conhecimentos em teoria dos jogos.
A TEORIA DOS JOGOS NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS
A TEORIA DOS JOGOS NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS
MODELOS DE FLUXO EM REDES
Aplicando a teoria dos jogos 
A técnica conhecida como minmax ou maxmin funciona da forma explicada a seguir.
O jogador 1 tem como objetivo maximizar seus ganhos mínimos; assim, deve escolher os menores ganhos em cada linha e, depois, o maior ganho entre eles — esse procedimento é o que chamamos de maxmin. 
O jogador 2 tem como objetivo minimizar suas perdas máximas; assim, deve escolher as maiores perdas em cada coluna e, depois, a menor perda entre eles — esse procedimento é o que chamamos de minmax. 
Aplicando a teoria dos jogos 
Considere a empresa A e a empresa B. A empresa A precisa decidir a melhor estratégia para a inserção em um novo mercado. O payoff consiste no ganho de mercado em número de clientes previsto em relação à empresa B. Assim, temos a seguinte modelagem na forma estratégica, apresentando o payoff para a empresa A:
Aplicando a teoria dos jogos 
Para solucionar esse problema com a técnica de minmax/maxmin, devemos assumir a posição da empresa A (que precisa tomar a decisão) e refletir sobre qual seria o pior resultado para cada uma das estratégias A1, A2 e A3 preenchendo a coluna “mínimo”:
Aplicando a teoria dos jogos 
A seguir, devemos analisar o cenário sob a ótica do concorrente, ou seja, o que acontece de melhor para o meu concorrente de acordo com as estratégias B1, B2 e B3, e preencher a linha máximo. Assim:
Aplicando a teoria dos jogos 
Por fim, devemos selecionar para A o melhor ganho entre os mínimos. Esse melhor ganho entre os mínimos é o que chamamos de maxmin, em que A tem a menor perda. Para B, devemos selecionar o pior ganho entre os máximos. Esse melhor ganho entre os máximos é o que chamamos de minmax, em que B tem o menor ganho. Se minmax for igual a maxmin, temos uma estratégia dominante. Assim, como podemos observar no exemplo, temos uma estratégia dominante (A1; B1).
Aplicando a teoria dos jogos 
Aplicando a teoria dos jogos 
Quando minmax é igual ao maxmin, temos uma estratégia dominante; assim, temos a melhor estratégia definida, chamada de estratégia pura. Observe, a partir do exemplo, que a estratégia dominante não é a estratégia de maior ganho para A, a estratégia de maior ganho para A seria A2; porém, caso a empresa B utilizasse a estratégia B2, a empresa A teria ganho igual a zero. 
maxmin = minmax = ponto de sela = estratégia dominante
Aplicando a teoria dos jogos 
Uma fábrica de calçados chamada Beleza deseja fazer o lançamento da coleção de verão. No mesmo período, a empresa Conforto, concorrente direto, também planeja o lançamento de sua nova coleção para o verão. Suponha que o gerente da empresa Beleza precisa decidir qual estratégia de divulgação dos produtos irá utilizar. A decisão da estratégia interfere diretamente no resultado das vendas, portanto, considerando o público, a dúvida consiste em fazer a propaganda na televisão ou no rádio. A matriz de payoff é expressa em mil reais por dia para a empresa Beleza. Por conhecer a técnica minmax e maxmin, o gerente tentou aplicá-la para buscar uma estratégia dominante:
Aplicando a teoria dos jogos 
Aplicando a teoria dos jogos 
Entretanto, o gerente imediatamente percebeu que minmax é diferente de maxmin (10 ≠ 6), indicando, assim, que não possui uma estratégia dominante. Portanto, conhecendo as técnicas de teoria dos jogos, o gerente sabe que, neste caso, é indicada a utilização de estratégia mista, de forma que a empresa Beleza invista uma parte do valor disponível em mídia na TV e uma outra parte no rádio. Assim, será possível que a empresa Beleza maximize os seus ganhos e reduza as possibilidades de perda de mercado para a empresa Conforto. Nessa situação, o gerente buscou solucionar o jogo a partir das probabilidades.
Aplicando a teoria dos jogos 
Considerando as probabilidades de tomada de decisão e as recompensas (v) esperadas, temos: 
P1*(a) + P2*(b) = v 
P1*(c) + P2*(d) = v 
P1 + P2 = 1
Aplicando a teoria dos jogos 
Tais equações representam o resultado esperado dadas as probabilidades de ocorrência dos possíveis resultados para os jogadores. Assumindo o cálculo para o exemplo sob a perspectiva da empresa Beleza: 
P1*20 + P2*(-1)= v 
P1*6 + P2*10 =v
P1 + P2 = 1
Aplicando a teoria dos jogos 
Solucionando: 
20P1 -1P2 = 6P1 + 10P2 
20P1 – 6P1 -1P2 -10P2 = 0 
14P1 -11P2 = 0 
Assumindo que: 
P1 + P2 = 1 
Então: P1 = 1-P2
Aplicando a teoria dos jogos 
Assim: 
14P1 -11P2 = 0 
14 (1 – P2) – 11P2 = 0 
14 – 14P2 – 11P2 = 0 
14 = 25P2 
P2 = 0,56 (que é o mesmo que 56%)
Aplicando a teoria dos jogos 
Portanto, se P2 é igual a 0,56, e P1 + P2 = 1 
então: P1 + 0,56 = 2 P1 = 0,44 (que é o mesmo que 44%) 
Assim, o gerente conclui que a solução é a empresa Beleza investir 44% da sua verba em propaganda de televisão e 56% da sua verba em propaganda no rádio. Ao utilizar uma composição de estratégias mistas, o gerente sabe que o payoff (v) do jogo será alterado, assim:
 P1*6 + P2*10 = v 
(0,44*6) + (0,56*10) = v 
v = 8,24
Aplicando a teoria dos jogos 
O que esse resultado de “v” quer dizer? Como a empresa Beleza optou em dividir esforço nas duas possibilidades de estratégias, o payoff do jogo será resultado da combinação desse esforço, variando de acordo com o investimento realizado em propaganda de rádio e TV. Se observarmos a tabela de jogo, o melhor resultado seria a combinação (TV, TV), que resultaria em R$ 20.000,00 por dia para a empresa Beleza. Entretanto, para que isso ocorresse, a empresa Beleza precisaria ter certeza de que a Conforto também optaria pela estratégia de publicidade em TV. Como o mercado é competitivo, não é possível ter essa certeza da estratégia da empresa Conforto. Assim, jogadores racionais e no mundo real optam em reduzir os riscos; por isso, é preferível para a empresa Beleza fazer uso de estratégia mista e esperar no mínimo uma receita igual ao “v”, que representa R$ 8.240,00 por dia. 
Saber solucionar corretamente os problemas com base na teoria dos jogos proporciona ao decisor a segurança de que considerou as diferentes interações estratégicas e, consequentemente, está agindo para reduzir os riscos do negócio.
Considere que você é gerente de uma empresa de tecnologia. As empresas de tecnologia estão constantemente disputando mercado e realizando lançamentos de novos produtos na tentativa de conquistar novo público, além de manter fiel o público já existente.
EXERCICIOS
O seu segmentoé dominado por duas empresas: a sua, chamada empresa Tech, e o seu principal concorrente, a empresa Smart. As duas empresas estão disputando parcelas de mercado.
A sua empresa tem a possibilidade de lançar quatro tipos de produtos diferentes, os produtos A, B, C e D.
​​​​​​​A empresa Smart também pode lançar quatro tipos de produtos diferentes, X, W, Y e Z. Cada empresa só pode lançar um produto de cada vez. A forma estratégica a seguir informa as parcelas de mercado ganhas pela empresa Tech para cada combinação de lançamento de produtos:
EXERCICIOS
EXERCICIOS
EXERCICIOS
EXERCICIOS
EXERCICIOS
EXERCICIOS
EXERCICIOS
a) Identificar se há alguma solução pelo método minmax-maxmin e se existe algum ponto de sela nessa tabela de recompensa.
b) Usando seu conhecimento referente à teoria dos jogos, na sua opinião, qual a melhor estratégia a ser aplicada?
Jogos de competição, coordenação, coexistência e compromisso
Jogos de competição 
Os jogos de competição são também são chamados de jogos de soma zero, pois, nesse tipo de jogo, o ganho de um participante é igual à perda do outro. Fiani (2015) ressalta que, em jogos de competição, o jogador está mais preocupado com a derrota do seu adversário do que estritamente com a sua vitória. Como exemplo disso, podemos citar a concorrência de duas empresas por um mesmo mercado. 
Jogos de competição, coordenação, coexistência e compromisso
Se a empresa A utilizar a estratégia A1 e a empresa B a estratégia B1, a empresa A ganha 50 novos clientes e, consequentemente, a empresa B perde 50 clientes. 
Se a empresa A utilizar a estratégia A2 e a empresa B a estratégia B1, a empresa A ganha 90 novos clientes e, consequentemente, a empresa B perde 90 clientes. 
Se a empresa A utilizar a estratégia A1 e a empresa B a estratégia B2, a empresa A ganha 80 novos clientes e, consequentemente, a empresa B perde 80 clientes. 
Se a empresa A utilizar a estratégia A2 e a empresa B a estratégia B2, a empresa A ganha 20 novos clientes e, consequentemente, a empresa B perde 20 clientes.
Jogos de competição, coordenação, coexistência e compromisso
Jogos de coordenação 
Chamamos de jogos de coordenação os jogos em que os jogadores buscam se organizar para induzir um melhor resultado, mesmo quando não podem se comunicar. Nesse tipo de jogo, de acordo com Fiani (2015), o payoff tende a ser maior sempre que os jogadores coordenarem as suas decisões, mas têm preferências distintas sobre o tipo de coordenação que deve ser adotada. Assim, esse tipo de jogo caracteriza-se por ter dois equilíbrios de Nash. 
Jogos de competição, coordenação, coexistência e compromisso
Suponha dois funcionários de uma mesma empresa fabricante de ventiladores chamados Vitor e João. O chefe desses dois funcionários levou ambos a uma feira especializada em equipamentos do segmento. Ao chegar à feira, o chefe revelou que desejava adquirir um equipamento novo, que ampliasse a capacidade de produção da fábrica de ventiladores. Assim, solicitou que os funcionários indicassem a melhor opção entre dois equipamentos. A condição estabelecida é que ambos não se comunicassem previamente e que, se ambos escolhessem o mesmo equipamento, seriam recompensados por isso. Os funcionários ficaram em dúvida, pois cada um tinha preferência por um equipamento distinto. A tabela de payoff, nesse caso, apresenta-se da seguinte forma:
Jogos de competição, coordenação, coexistência e compromisso
Jogos de competição, coordenação, coexistência e compromisso
Jogos de coexistência 
A teoria dos jogos também foi considerada pelos biólogos como ferramenta para estudar o comportamento animal. Nesse contexto, surgiu o mais famoso dos jogos classificados como coexistência: o jogo dos pombos e falcões. Esse jogo faz uma analogia considerando o falcão, animal que luta de forma mais agressiva e só desiste do combate quando está seriamente ferido, e o pombo, animal que se limita a fazer ameaças, mas sem ferir o adversário.
Jogos de competição, coordenação, coexistência e compromisso
Quando dois cachorros selvagens encontram comida, têm que decidir se brigam ou dividem o alimento. A briga é a estratégia do falcão: um ganho e o outro perde. Dividir é a estratégia do pombo: essa estratégia funciona bem se o outro jogador também tiver um comportamento manso; porém, se o adversário for agressivo, a proposta de divisão será rejeitada e o jogador manso ficará sem nada. 
Jogos de competição, coordenação, coexistência e compromisso
Assim, o jogo fica formatado da seguinte forma: 
se os dois cachorros jogarem pombo, acabam com (2,2) e ninguém sai machucado; 
se um deles jogar falcão e o outro pombo, o jogador falcão ganha tudo, pois o pombo desiste do jogo; 
se ambos jogarem falcão, os dois cachorros saem feridos.
Jogos de competição, coordenação, coexistência e compromisso
Jogos de competição, coordenação, coexistência e compromisso
Jogos de compromisso 
Chamamos de jogos de compromisso os jogos em que os jogadores têm a possibilidade de assumir um compromisso com o outro jogador, porém, dedicado a jogos com movimentos sequenciais. Recorrendo ao clássico dilema dos prisioneiros, supondo que a decisão de ambos seria sequencial, se os prisioneiros pudessem comunicar-se para assumir um compromisso, um com o outro, os ganhos seriam maiores. Ou seja, os dois poderiam assumir o compromisso de fi car em silêncio e, consequentemente, o ganho de ambos seria fi car um ano na prisão, e não 5 anos, conforme payoff pelo equilíbrio de Nash.
Jogos de competição, coordenação, coexistência e compromisso
A situação descrita no problema é sobre dois suspeitos, A e B, que foram presos pela polícia. Os suspeitos são mantidos em celas distintas. Por não possuir provas suficientes para incriminar os prisioneiros, a polícia ofereceu a eles o acordo a seguir. 
Se um dos prisioneiros confessar o crime, testemunhando contra o outro, e esse outro se mantiver em silêncio, o que confessou é liberado pela polícia, enquanto o que silenciou cumpre 10 anos de prisão. 
Se os dois prisioneiros ficarem em silêncio, a polícia só poderá condená-los a 1 ano de prisão, cada um. 
Se os dois prisioneiros confessarem, cada um será condenado a 5 anos de prisão. Assim, temos a seguinte modelagem:
Jogos de competição, coordenação, coexistência e compromisso
Solver (Excel) na solução de problemas em teoria dos jogos
Solver (Excel) na solução de problemas em teoria dos jogos
Solver (Excel) na solução de problemas em teoria dos jogos
Solver (Excel) na solução de problemas em teoria dos jogos
Solver (Excel) na solução de problemas em teoria dos jogos
Solver (Excel) na solução de problemas em teoria dos jogos
Solver (Excel) na solução de problemas em teoria dos jogos
FIM