A teoria dos jogos na solução de problemas

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A teoria dos jogos na solução de 
problemas	
APRESENTAÇÃO
A tomada de decisão é uma rotina frequente na vida e no mundo dos negócios. Os gestores 
precisam estar atentos aos movimentos do mercado, aos concorrentes e à economia. A teoria dos 
jogos é uma ferramenta útil para apoiar a tomada de decisão, permitindo que o decisor analise as 
possíveis interações estratégicas e, consequentemente, controle os riscos da decisão. Saber 
modelar e aplicar corretamente a solução de problemas conforme a teoria dos jogos proporciona 
ao decisor maior segurança em relação aos resultados das interações estratégicas.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai entender como aplicar a teoria dos jogos em 
situações reais, além de compreender a classificação dos jogos de competição, coordenação, 
coexistência e compromisso. Por fim, você vai aprender a aplicar a teoria dos jogos na solução 
de problemas por meio da ferramenta Solver do Excel.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Modelar problemas reais aplicando a teoria dos jogos.•
Exemplificar problemas de jogos de competição, coordenação, coexistência e 
compromisso.
•
Aplicar a teoria dos jogos em demandas reais utilizando o Solver (Excel).•
DESAFIO
Saber solucionar corretamente os problemas com base na teoria dos jogos proporciona ao 
decisor a segurança de que considerou as diferentes interações estratégicas e, consequentemente, 
está agindo para reduzir os riscos do negócio. 
Considere que você é gerente de uma empresa de tecnologia. As empresas de tecnologia estão 
constantemente disputando mercado e realizando lançamentos de novos produtos na tentativa de 
conquistar novo público, além de manter fiel o público já existente. 
O seu segmento é dominado por duas empresas: a sua, chamada empresa Tech, e o seu principal 
concorrente, a empresa Smart. As duas empresas estão disputando parcelas de mercado. 
A sua empresa tem a possibilidade de lançar quatro tipos de produtos diferentes, os produtos A, 
B, C e D. 
A empresa Smart também pode lançar quatro tipos de produtos diferentes, X, W, Y e Z. Cada 
empresa só pode lançar um produto de cada vez. A forma estratégica a seguir informa as 
parcelas de mercado ganhas pela empresa Tech para cada combinação de lançamento de 
produtos:
INFOGRÁFICO
Em teoria dos jogos, o decisor pode fazer uso de estratégias puras ou estratégias mistas para 
maximizar o seu payoff individual. Para aplicar as estratégias de forma correta e conseguir 
prever os resultados, é preciso ter clareza de como e quando aplicar cada tipo de estratégia.
Acompanhe neste Infográfico um comparativo entre as estratégias puras e as estratégias mistas.
CONTEÚDO DO LIVRO
Compreender a aplicação da teoria dos jogos na solução de problemas é útil para fazer uso dessa 
ferramenta como apoio à tomada de decisão. Para isso, é importante compreender as técnicas de 
aplicação e os conceitos de estratégia pura e estratégia mista, bem como a classificação de tipos 
de jogos de competição, coordenação, coexistência e compromisso.
Para entender mais sobre esses assuntos, leia o capítulo A teoria de jogos na solução de 
problemas, da obra Pesquisa operacional, que é a base teórica desta Unidade de Aprendizagem, 
e veja como a análise em teoria dos jogos facilita a tomada de decisão. Para isso, aprenda a 
utilidade da ferramenta Solver do Excel e veja como aplicá-la.
Boa leitura.
PESQUISA 
OPERACIONAL 
Aline De Geroni Roncato Lazzari 
A teoria dos jogos na 
solução de problemas
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Modelar problemas reais aplicando a teoria dos jogos.
  Exemplificar problemas de jogos de competição, coordenação, 
coexistência e compromisso.
  Aplicar a teoria dos jogos em demandas reais utilizando o Solver (Excel).
Introdução
Compreender a utilidade prática da teoria dos jogos proporciona ao 
decisor uma ferramenta de apoio à tomada de decisão. A partir da apli-
cação dessa ferramenta, é possível avaliar os possíveis resultados das 
interações estratégicas. A solução dos jogos é baseada por meio da 
aplicação de estratégias simples. Porém, muitas vezes, pode ser necessária 
a utilização de probabilidade para solucionar os jogos com estratégias 
mistas. Modelando o jogo corretamente, é possível utilizar como apoio 
a ferramenta Solver do Excel. 
Neste capítulo, você vai aprender sobre a aplicação da teoria dos 
jogos na solução de problemas com base nas estratégias de solução, que 
podem ser puras ou mistas. Além disso, você vai conhecer problemas 
de jogos de competição, coordenação, coexistência e compromisso e, 
por fim, vai ver como solucionar problemas de teoria dos jogos com a 
ferramenta Solver do Excel. 
Aplicando a teoria dos jogos
A pesquisa operacional é uma disciplina que busca encontrar a solução ótima para 
um determinado problema dentro de possibilidades estratégicas. Esses problemas 
podem ser de maximização ou minimização de resultado. Por exemplo, ampliar 
a receita é um típico caso de maximização de resultado. Por outro lado, reduzir 
o consumo de energia é um exemplo de que as estratégias devem ser aplicadas 
buscando a minimização de resultado. Assim, nesses exemplos, enquanto em um 
caso a solução ótima é voltada à maximização, no outro, a solução ótima é volta 
à minimização. Nesse contexto, uma das técnicas para solucionar problemas em 
teoria dos jogos é conhecida como minmax ou maxmin, que é um método que 
visa minimizar a perda (minmax) ou maximizar o resultado (maxmin). Diante 
de uma situação de confl ito e de tomada de decisão, a partir da modelagem 
correta do problema, os jogadores, ao agirem racionalmente, tendem a selecionar 
a estratégia que resulte no melhor payoff . Essa estratégia é considerada ótima 
para o jogador independentemente da decisão do oponente. 
A técnica conhecida como minmax ou maxmin funciona da forma expli-
cada a seguir.
  O jogador 1 tem como objetivo maximizar seus ganhos mínimos; assim, 
deve escolher os menores ganhos em cada linha e, depois, o maior 
ganho entre eles — esse procedimento é o que chamamos de maxmin.
  O jogador 2 tem como objetivo minimizar suas perdas máximas; assim, 
deve escolher as maiores perdas em cada coluna e, depois, a menor 
perda entre eles — esse procedimento é o que chamamos de minmax.
Para auxiliar na sua compreensão da aplicação desta técnica, veja, a seguir, 
um exemplo de uma situação real.
Considere a empresa A e a empresa B. A empresa A precisa decidir a melhor estratégia 
para a inserção em um novo mercado. O payoff consiste no ganho de mercado em 
número de clientes previsto em relação à empresa B. Assim, temos a seguinte mode-
lagem na forma estratégica, apresentando o payoff para a empresa A:
Empresa B
B1 B2 B3
Empresa A A1 1000 2000 4000
A2 1000 0 5000
A3 0 1000 -1000
A teoria dos jogos na solução de problemas2
Para solucionar esse problema com a técnica de minmax/maxmin, devemos 
assumir a posição da empresa A (que precisa tomar a decisão) e refletir sobre qual 
seria o pior resultado para cada uma das estratégias A1, A2 e A3 preenchendo a 
coluna “mínimo”:
Empresa B
B1 B2 B3 mínimo
Empresa A A1 1000 2000 4000 1000
A2 1000 0 5000 0
A3 0 1000 -1000 -1000
A seguir, devemos analisar o cenário sob a ótica do concorrente, ou seja, o que 
acontece de melhor para o meu concorrente de acordo com as estratégias B1, B2 e 
B3, e preencher a linha máximo. Assim:
Empresa B
B1 B2 B3 mínimo
Empresa A A1 1000 2000 4000 1000
A2 1000 0 5000 0
A3 0 1000 -1000 -1000
máximo 1000 2000 5000
Por fim, devemos selecionar para A o melhor ganho entre os mínimos. Esse melhor 
ganho entre os mínimos é o que chamamos de maxmin, em que A tem a menor 
perda. Para B, devemos selecionar o pior ganho entre os máximos. Esse melhor ganho 
entre os máximos é o que chamamos de minmax, em que B tem o menor ganho. Se 
minmax for igual a maxmin, temos uma estratégiadominante. Assim, como podemos 
observar no exemplo, temos uma estratégia dominante (A1; B1).
Empresa B
B1 B2 B3 mínimo
Empresa A A1 1000 2000 4000 1000 maxmin
A2 1000 0 5000 0
A3 0 1000 -1000 -1000
máximo 1000 2000 5000
minmax
3A teoria dos jogos na solução de problemas
Quando minmax é igual ao maxmin, temos uma estratégia dominante; 
assim, temos a melhor estratégia definida, chamada de estratégia pura. 
Observe, a partir do exemplo, que a estratégia dominante não é a estraté-
gia de maior ganho para A, a estratégia de maior ganho para A seria A2; 
porém, caso a empresa B utilizasse a estratégia B2, a empresa A teria 
ganho igual a zero. 
Conforme ilustrado pelo exemplo, sempre, ao aplicar a teoria dos jogos 
em situações reais, os jogadores fazem uso das técnicas de análise para au-
xiliar na definição por uma estratégia que lhes reduza os riscos de perda. Ao 
aplicarmos a técnica minmax/maxmin, se os valores (v) encontrados forem 
iguais, dizemos que essa é a estratégia dominante. No caso do exemplo, 
isso ocorreu. Ou seja, minmax é igual a maxmin e, portanto, a estratégia 
dominante é (A1; B1). Segundo Hillier e Lieberman (2013), a estratégia 
dominante também pode ser chamada de ponto de sela, assim:
maxmin = minmax = ponto de sela = estratégia dominante
A estratégia dominante considera que o jogador está fazendo o melhor que pode, 
independentemente do que o adversário esteja fazendo. 
Entretanto, em alguns casos, ao aplicar a técnica minmax/maxmin, não se 
encontrará o ponto de sela e, portanto, não se terá uma estratégia dominante. 
Isso ocorre quando minmax é diferente do maxmin. É o que Hillier e Lieberman 
(2013) denominam solução instável, pois é necessário desenvolver uma solução 
mais satisfatória. Assim, quando o jogo não possui uma estratégia dominante, 
a teoria dos jogos recomenda buscar a identificação da melhor decisão com 
base nas probabilidades do jogo, compondo, assim, uma estratégia mista. A 
partir de uma estratégia mista, é possível se dividir nas diferentes opções de 
estratégias. Hillier e Lieberman (2013) ressaltam, ainda, que uma premissa 
para utilizar estratégias mistas consiste na impossibilidade de descobrir qual 
será a ação do adversário.
Para compreender a utilização das estratégias mistas e a aplicação de 
probabilidades, vamos considerar o exemplo a seguir.
A teoria dos jogos na solução de problemas4
Uma fábrica de calçados chamada Beleza deseja fazer o lançamento da coleção de 
verão. No mesmo período, a empresa Conforto, concorrente direto, também planeja 
o lançamento de sua nova coleção para o verão. Suponha que o gerente da empresa 
Beleza precisa decidir qual estratégia de divulgação dos produtos irá utilizar. A decisão 
da estratégia interfere diretamente no resultado das vendas, portanto, considerando o 
público, a dúvida consiste em fazer a propaganda na televisão ou no rádio. A matriz de 
payoff é expressa em mil reais por dia para a empresa Beleza. Por conhecer a técnica 
minmax e maxmin, o gerente tentou aplicá-la para buscar uma estratégia dominante:
Conforto
TV Rádio mínimo
Beleza TV 20 (a) 6 (c) 6 maxmin
Rádio -1 (b) 10 (d) -1
máximo 20 10
minmax
Entretanto, o gerente imediatamente percebeu que minmax é diferente de maxmin 
(10 ≠ 6), indicando, assim, que não possui uma estratégia dominante. Portanto, co-
nhecendo as técnicas de teoria dos jogos, o gerente sabe que, neste caso, é indicada 
a utilização de estratégia mista, de forma que a empresa Beleza invista uma parte do 
valor disponível em mídia na TV e uma outra parte no rádio. Assim, será possível que 
a empresa Beleza maximize os seus ganhos e reduza as possibilidades de perda de 
mercado para a empresa Conforto. Nessa situação, o gerente buscou solucionar o 
jogo a partir das probabilidades.
Considerando as probabilidades de tomada de decisão e as recompensas (v) es-
peradas, temos:
P1*(a) + P2*(b) = v
P1*(c) + P2*(d) = v
P1 + P2 = 1
Tais equações representam o resultado esperado dadas as probabilidades de ocor-
rência dos possíveis resultados para os jogadores. Assumindo o cálculo para o exemplo 
sob a perspectiva da empresa Beleza: 
P1*20 + P2*(-1)= v
P1*6 + P2*10 = v
P1 + P2 = 1
5A teoria dos jogos na solução de problemas
Solucionando:
20P1 -1P2 = 6P1 + 10P2
20P1 – 6P1 -1P2 -10P2 = 0
14P1 -11P2 = 0
Assumindo que: 
P1 + P2 = 1
Então: P1 = 1-P2
Assim:
14P1 -11P2 = 0
14 (1 – P2) – 11P2 = 0
14 – 14P2 – 11P2 = 0
14 = 25P2
P2 = 0,56 (que é o mesmo que 56%)
Portanto, se P2 é igual a 0,56, e P1 + P2 = 1 então:
P1 + 0,56 = 2
P1 = 0,44 (que é o mesmo que 44%)
Assim, o gerente conclui que a solução é a empresa Beleza investir 44% da sua 
verba em propaganda de televisão e 56% da sua verba em propaganda no rádio. Ao 
utilizar uma composição de estratégias mistas, o gerente sabe que o payoff (v) do 
jogo será alterado, assim: 
P1*6 + P2*10 = v
(0,44*6) + (0,56*10) = v
v = 8,24
O que esse resultado de “v” quer dizer?
Como a empresa Beleza optou em dividir esforço nas duas possibilidades de es-
tratégias, o payoff do jogo será resultado da combinação desse esforço, variando de 
acordo com o investimento realizado em propaganda de rádio e TV. Se observarmos 
a tabela de jogo, o melhor resultado seria a combinação (TV, TV), que resultaria em R$ 
20.000,00 por dia para a empresa Beleza. Entretanto, para que isso ocorresse, a empresa 
Beleza precisaria ter certeza de que a Conforto também optaria pela estratégia de 
publicidade em TV. Como o mercado é competitivo, não é possível ter essa certeza da 
estratégia da empresa Conforto. Assim, jogadores racionais e no mundo real optam 
em reduzir os riscos; por isso, é preferível para a empresa Beleza fazer uso de estratégia 
mista e esperar no mínimo uma receita igual ao “v”, que representa R$ 8.240,00 por dia. 
A teoria dos jogos na solução de problemas6
Contudo, podemos concluir que, em situações reais, nem sempre temos uma 
estratégia pura a ser aplicada, de modo que pode ser necessária a utilização de 
estratégias mistas com base no cálculo de probabilidades. Conforme ilustrado 
nos exemplos, aplicar as técnicas de teoria dos jogos no mundo real fornece 
segurança na tomada de decisão. 
Jogos de competição, coordenação, 
coexistência e compromisso
De acordo com Fiani (2015), alguns jogos podem ser classifi cados em jogos 
de competição, coordenação, coexistência e compromisso. A seguir, vamos 
ver detalhadamente cada uma destas classifi cações.
Jogos de competição 
Os jogos de competição são também são chamados de jogos de soma zero, pois, 
nesse tipo de jogo, o ganho de um participante é igual à perda do outro. Fiani 
(2015) ressalta que, em jogos de competição, o jogador está mais preocupado 
com a derrota do seu adversário do que estritamente com a sua vitória. Como 
exemplo disso, podemos citar a concorrência de duas empresas por um mesmo 
mercado. O aumento da participação de uma empresa somente irá ocorrer 
se a outra empresa perder participação no mercado. Para que ocorram jogos 
de competição, não deve existir combinação de estratégia preferível para os 
dois jogadores simultaneamente. Assim, nesse tipo de jogo, não há equilíbrio 
de estratégia pura, mas equilíbrio de estratégia mista. O exemplo a seguir 
demonstra a disputa de mercado das empresas A e B. 
Veja, a seguir, a matriz de payoff exemplificando a disputa de mercado das empresas A e B.
Empresa B
B1 B2
Empresa A A1 50, -50 80, -80
A2 90, -90 20, -20
7A teoria dos jogos na solução de problemas
A situação do exemplo ilustra um jogo de soma zero, em que o ganho de um 
jogador necessariamente resulta na derrota do outro. Ou seja, para a empresa 
A ampliar clientes, necessariamente a empresa B perde clientes. 
Jogos de coordenação
Chamamos de jogos de coordenação os jogos em que os jogadores buscam 
se organizar para induzir um melhor resultado, mesmo quando não podem 
se comunicar. Nesse tipo de jogo, de acordo com Fiani (2015), o payoff tende 
a ser maior sempre que os jogadores coordenarem as suas decisões, mas têmpreferências distintas sobre o tipo de coordenação que deve ser adotada. Assim, 
esse tipo de jogo caracteriza-se por ter dois equilíbrios de Nash. 
Para facilitar a compreensão sobre esse tema, vamos analisar o exemplo 
a seguir.
  Se a empresa A utilizar a estratégia A1 e a empresa B a estratégia B1, a empresa 
A ganha 50 novos clientes e, consequentemente, a empresa B perde 50 clientes.
  Se a empresa A utilizar a estratégia A2 e a empresa B a estratégia B1, a empresa 
A ganha 90 novos clientes e, consequentemente, a empresa B perde 90 clientes.
  Se a empresa A utilizar a estratégia A1 e a empresa B a estratégia B2, a empresa 
A ganha 80 novos clientes e, consequentemente, a empresa B perde 80 clientes.
  Se a empresa A utilizar a estratégia A2 e a empresa B a estratégia B2, a empresa 
A ganha 20 novos clientes e, consequentemente, a empresa B perde 20 clientes.
Suponha dois funcionários de uma mesma empresa fabricante de ventiladores 
chamados Vitor e João. O chefe desses dois funcionários levou ambos a uma feira 
especializada em equipamentos do segmento. Ao chegar à feira, o chefe revelou que 
desejava adquirir um equipamento novo, que ampliasse a capacidade de produção 
da fábrica de ventiladores. Assim, solicitou que os funcionários indicassem a melhor 
opção entre dois equipamentos. A condição estabelecida é que ambos não se 
comunicassem previamente e que, se ambos escolhessem o mesmo equipamento, 
seriam recompensados por isso. Os funcionários ficaram em dúvida, pois cada um 
tinha preferência por um equipamento distinto. A tabela de payoff, nesse caso, 
apresenta-se da seguinte forma:
A teoria dos jogos na solução de problemas8
Se observarmos o jogo exemplificado, podemos verificar a presença de dois 
equilíbrios de Nash (1,1 e 1,1). O equilíbrio de Nash indica a melhor situação 
para os dois ao mesmo tempo, e não individualmente. Assim, para que sejam 
recompensados pela escolha, os jogadores devem tentar induzir a escolha do 
outro jogador. Caso os jogadores não consigam coordenar a decisão, ambos 
perderão a chance de maximizar os seus resultados.
Nas estratégias de cooperação, Fiani (2015) apresenta o conceito de ponto focal 
como um elemento que se destaca em um contexto e que permite aos jogadores 
coordenar a sua decisão. Nesse exemplo, por mais que os jogadores tenham prefe-
rência distintas entre os equipamentos, se um dos equipamentos tiver dimensões 
muito grandes, impedindo que seja instalado na fábrica, os jogadores naturalmente 
são induzidos a escolher o equipamento com dimensões adequadas. Assim, nesse 
caso, as dimensões do equipamento são o ponto focal deste problema, permitindo 
a coordenação dos jogadores mesmo sem a comunicação.
Também podemos citar como exemplo de jogos de coordenação o caso de 
uma empresa montadora de veículos e outra que fabrica e fornece as rodas. 
Na hipótese de lançamento de um novo modelo de veículo, é preciso que a 
empresa fabricante das rodas esteja igualmente preparada. Portanto, é preciso 
que ambos os fabricantes coordenem a decisão de lançamento do novo modelo 
de veículo e do novo modelo de rodas. Caso essa coordenação não ocorra, uma 
empresa poderá lançar o veículo e não ter rodas, ou lançar as rodas e não ter 
o veículo. Na literatura de teoria dos jogos, um importante e famoso jogo de 
coordenação é a chamado “batalha dos sexos”.
Jogos de coexistência
A teoria dos jogos também foi considerada pelos biólogos como ferramenta 
para estudar o comportamento animal. Nesse contexto, surgiu o mais famoso 
dos jogos classifi cados como coexistência: o jogo dos pombos e falcões. Esse 
Vitor
Equipamento 1 Equipamento 2
João Equipamento 1 1,1 0,0
Equipamento 2 0,0 1,1
9A teoria dos jogos na solução de problemas
jogo faz uma analogia considerando o falcão, animal que luta de forma mais 
agressiva e só desiste do combate quando está seriamente ferido, e o pombo, 
animal que se limita a fazer ameaças, mas sem ferir o adversário. Varian 
(2006) exemplifi ca esse jogo da forma apresentada a seguir.
Quando dois cachorros selvagens encontram comida, têm que decidir se brigam ou 
dividem o alimento. A briga é a estratégia do falcão: um ganho e o outro perde. Dividir 
é a estratégia do pombo: essa estratégia funciona bem se o outro jogador também 
tiver um comportamento manso; porém, se o adversário for agressivo, a proposta de 
divisão será rejeitada e o jogador manso ficará sem nada. Assim, o jogo fica formatado 
da seguinte forma:
  se os dois cachorros jogarem pombo, acabam com (2,2) e ninguém sai machucado;
  se um deles jogar falcão e o outro pombo, o jogador falcão ganha tudo, pois o 
pombo desiste do jogo;
  se ambos jogarem falcão, os dois cachorros saem feridos.
Cachorro 2
Pombo Falcão
Cachorro 1 Pombo 2,2 0,2
Falcão 2,0 -2,-2
O conflito entre os dois cachorros ilustra uma situação de conflito entre 
dois indivíduos por um interesse em comum. No início do jogo, cada jogador 
sinaliza o seu interesse pelo prêmio e, a partir daí, duas estratégias são dis-
poníveis: falcão (brigar pela vitória) ou pombo (desistir da briga ao perceber 
que o adversário deseja brigar). 
Analisando o jogo, vemos que não pode haver equilíbrio se ambos jo-
garem falcão, pois, se algum deles jogar pombo, acabaria com 0. Ou seja, 
em uma população de falcão, dificilmente um pombo terá vez. Portanto, se 
ambos os cachorros jogassem pombo, compensaria apenas se um deles se 
desviasse e também jogasse pombo. Os pombos sempre cooperam entre si 
e nunca entram em conflito; já entre os falcões, em uma briga, sempre um 
sai bastante ferido. Esse jogo simula um comportamento comum, em que, 
ao jogar várias vezes, os jogadores vão entendendo a melhor forma de agir. 
Em um primeiro momento, é racional cooperar; porém, a partir da repetição 
A teoria dos jogos na solução de problemas10
do jogo, os jogadores tendem a aumentar a sua recompensa, deixando a 
cooperação de lado. Para isso, os jogadores passam a utilizar estratégias 
como o blefe, em uma tentativa de trapacear e aumentar a recompensa 
individual. E é aí que aparece o conceito de estratégia evolucionariamente 
estável (EEE), que não é considerada uma estratégia pura, pois um cachorro 
pode fazer uso de uma estratégia de pomba mutante jogando tipo falcão ou 
jogar um falcão mutante tipo pomba. 
Jogos de compromisso
Chamamos de jogos de compromisso os jogos em que os jogadores têm a 
possibilidade de assumir um compromisso com o outro jogador, porém, 
dedicado a jogos com movimentos sequenciais. Recorrendo ao clássico 
dilema dos prisioneiros, supondo que a decisão de ambos seria sequencial, 
se os prisioneiros pudessem comunicar-se para assumir um compromisso, 
um com o outro, os ganhos seriam maiores. Ou seja, os dois poderiam 
assumir o compromisso de fi car em silêncio e, consequentemente, o ganho 
de ambos seria fi car um ano na prisão, e não 5 anos, conforme payoff pelo 
equilíbrio de Nash. 
A situação descrita no problema é sobre dois suspeitos, A e B, que foram presos pela 
polícia. Os suspeitos são mantidos em celas distintas. Por não possuir provas suficientes 
para incriminar os prisioneiros, a polícia ofereceu a eles o acordo a seguir.
  Se um dos prisioneiros confessar o crime, testemunhando contra o outro, e esse 
outro se mantiver em silêncio, o que confessou é liberado pela polícia, enquanto 
o que silenciou cumpre 10 anos de prisão. 
  Se os dois prisioneiros ficarem em silêncio, a polícia só poderá condená-los a 1 
ano de prisão, cada um.
  Se os dois prisioneiros confessarem, cada um será condenado a 5 anos de prisão.
Assim, temos a seguinte modelagem:
B B
Confessa Silêncio
A Confessa 5,5 livre,10
A Silêncio 10,livre 1,1
11A teoria dos jogos na solução de problemas
Para que a estratégia do compromisso funcione, é preciso que o compro-
misso estabelecido seja irreversível e observável. A irreversibilidade significa 
o compromisso em si, e a possibilidade de observação é importante para que o 
outro jogador seja convencido a mudar o seu comportamento.Trazendo para 
a realidade, essa classe de estratégia de compromisso é aplicável a acordos de 
parcerias entre empresas. Essas parcerias podem ser tanto de coalizão ou ser 
aplicadas, por exemplo, nos casos em que as empresas assumem o compromisso 
de não atuar no mercado geográfico da outra.
Solver (Excel) na solução de problemas 
em teoria dos jogos 
Agora que você aprendeu a aplicação de teoria dos jogos em situações reais, 
vamos aprender como resolver esses problemas utilizando o Excel, que dis-
ponibiliza um suplemento chamado Solver, ferramenta útil para facilitar a 
aplicação da teoria dos jogos, principalmente em situações de estratégia mista. 
Para iniciar a utilização, é preciso, primeiro, habilitar o suplemento Solver 
no Excel. Para ativar essa funcionalidade, ao abrir o Excel, deve-se clicar 
no menu “Arquivo” (item 1 da Figura 1) e, logo após, no menu “Opções” 
(item 2 da Figura 1), conforme ilustrado a seguir.
Figura 1. Passos 1 e 2 de instalação do Solver no Excel.
A teoria dos jogos na solução de problemas12
Após clicar em “Opções”, deve-se clicar em “Suplementos” (item 3 da 
Figura 2); em “Gerenciar”, selecionar a opção “Suplementos do Excel” e clicar 
em “Ir” (item 4 da Figura 2). Na tela “Suplementos”, selecionar a opção Solver 
(item 5 da Figura 2) e clicar em “OK” para ativar a opção.
Figura 2. Passos 3, 4 e 5 de instalação do Solver no Excel.
Seguindo esses passos, a ferramenta Solver ficará habilitada no Excel. Ao 
final da instalação, você pode observar que o suplemento Solver está dispo-
nível na aba Dados do Excel (Figura 3), podendo ser utilizado na aplicação 
de problemas reais.
Figura 3. Demonstração da função Solver na aba Dados do Excel. 
Ao clicar em Solver, encontramos a tela que aparece na Figura 4. Nessa 
tela, encontramos um conjunto de parâmetros que devem ser configurados 
para obtermos respostas para os problemas.
13A teoria dos jogos na solução de problemas
Devemos: 
  informar a função objetivo — indicada pelo número 1;
  selecionar se deseja o resultado de “máximo” ou “mínimo” ou obter 
um valor específico para a função objetivo — indicado pelo número 2;
  informar as variáveis de decisão — indicado pelo número 3;
  informar as restrições — indicação pelo número 4.
Figura 4. Demonstração da função Solver na aba Dados do Excel.
Para compreendermos com clareza a utilização do Solver, vamos retomar 
o exemplo das empresas Beleza e Conforto para demonstrar a realização do 
cálculo utilizando a função Solver no Excel.
A teoria dos jogos na solução de problemas14
Inicialmente, devemos estruturar em uma planilha do Excel os dados de entrada do 
problema das empresas Beleza e Conforto: 
1. Abrir a planilha em Excel e dispor o problema e abrir os campos para “Variáveis de 
Decisão”, “Restrições” e “Função Objetivo”.
2. As células destinadas a “Variáveis de Decisão” devemos deixar em branco, pois 
serão as células que vamos informar no Solver para a resposta da solução do jogo. 
15A teoria dos jogos na solução de problemas
3. Nas células destinadas às “restrições”, vamos compor a fórmula do Excel conforme segue.
20*P1 - 1*P2 = V
6*P1 + 10*P2 = V
P1 + P2 = 1
4. Na célula destinada à “Função Objetivo”, vamos preencher com o objetivo do jogo. 
Neste caso do exemplo, o objetivo do jogo é maximizar o resultado, portanto, 
maximizar o valor “V”. Assim, função objetivo = v.
A teoria dos jogos na solução de problemas16
5. Abrir o Solver na aba Dados e preencher com as informações do jogo.
Após preencher a tela Solver com as informações do jogo e clicar em “Resolver”, a 
solução jogo aparecerá na planilha do Excel. 
Assim, o jogo é resolvido através da função Solver. Conforme podemos observar, no 
caso do exemplo discutido, a solução é a empresa Beleza investir 44% da sua verba 
em propaganda de televisão e 56% da sua verba em propaganda no rádio, obtendo, 
assim, um valor de jogo de R$ 8.240,00.
17A teoria dos jogos na solução de problemas
No exemplo apresentado, demonstramos que a análise do jogo realizada 
a partir da ferramenta Solver do Excel resulta nas mesmas probabilidades 
calculadas manualmente na exemplificação das estratégias mistas. Da mesma 
forma, resultou no mesmo valor de jogo. Assim, a função Solver do Excel 
se mostra uma grande aliada na aplicação de teoria dos jogos, facilitando a 
definição de estratégias mistas pelo decisor e atuando como uma alternativa 
ao cálculo realizado manualmente.
FIANI, R. Teoria dos jogos: com aplicações em economia, administração e ciências sociais. 
4. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2015.
HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à pesquisa operacional. 9. ed. Porto Alegre: 
McGraw-Hill, 2013. 
VARIAN, H. R. Microeconomia: princípios básicos: uma abordagem moderna. 7. ed. Rio 
de Janeiro: Elsevier, 2006.
A teoria dos jogos na solução de problemas18
DICA DO PROFESSOR
Saber solucionar os problemas em teoria dos jogos proporciona ao gestor segurança na tomada 
de decisão. São diversas as estratégias que podem ser aplicadas na solução de problemas e é 
importante conhecê-las e dominá-las para aplicá-las corretamente.
No vídeo da Dica do Professor, você verá como aplicar a estratégia dominada na solução de 
jogos.
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EXERCÍCIOS
1) Considerando a aplicação da teoria dos jogos na solução de problemas, o que se pode 
entender por ponto de sela?
A) É quando maxmin = minmax.
B) É quando maxmin ≠ minmax.
C) É quando não há uma estratégia dominante.
D) Quando é atingido o melhor payoff individual.
E) Quando é atingido o menor payoff individual.
2) Para solucionar o jogo, o decisor pode aplicar estratégia pura ou estratégia mista. 
Considerando a possibilidade de aplicação de uma estratégia mista, qual seria o 
objetivo de calcular as probabilidades?
A) Buscar uma estratégia dominante.
B) Maximizar o payoff individual mediante uma combinação de estratégias.
C) Encontrar o ponto de sela.
D) Atingir o melhor payoff para todos os jogadores.
E) Escolher a melhor estratégia.
3) Em teoria dos jogos, alguns jogos podem ser classificados como jogos de competição, 
coordenação, coexistência ou compromisso. O que se entende por jogos de 
coordenação?
A) São os jogos em que os jogadores assumem compromisso um com o outro.
B) São os jogos em que o ganho de um representa a perda do outro.
C) São os jogos em que os jogadores competem diretamente um com o outro.
D) São os jogos em que os jogadores se comunicam para estabelecer uma estratégia e buscar 
um melhor resultado.
E) São os jogos em que os jogadores buscam se organizar para induzir um melhor resultado, 
mesmo sem comunicação.
4) Diante de um jogo de compromisso, os jogadores podem se comunicar e assumir o 
compromisso de utilizar determinada estratégia. O que é preciso, segundo a teoria 
dos jogos, para que o compromisso funcione?
A) Irreversibilidade e observação.
B) Reversibilidade e observação.
C) Indução e observação.
D) Indução e irreversibilidade.
E) Reversibilidade e previsibilidade.
5) Os chamados jogos de competição também são conhecidos como jogos de soma zero. 
Nesse tipo de jogo:
A) o jogador busca um acordo de cooperação para ter um melhor payoff.
B) o jogador busca induzir a ação estratégica do outro.
C) o jogador busca atuar com a estratégia de pombos e falcões.
D) o jogador está mais preocupado com a derrota do seu adversário do que com sua vitória.
E) o jogador busca o melhor payoff para todos.
NA PRÁTICA
Em mercados altamente competitivos, empresas podem buscar acordos de cooperação como 
ação estratégica. Esses acordos podem ser de coalizão, parcerias ou fusão. 
Ao gerenciar um negócio, estabelecer acordos e alianças estratégicas com outras empresas pode 
ser benéfico. Para estabelecer uma boa negociação e ter certeza do bom resultado, é preciso pôr 
em prática os conhecimentos em teoria dos jogos.
Você vai ver neste Na Prática um caso típico de aplicação de teoria dos jogos para a tomada de 
decisãode consolidação de uma aliança estratégica.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
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