Cálculo uma variável a6

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 Pergunta 1 
1 em 1 pontos 
 
Observando o tráfego numa estrada foi possível modelar a função , que representa a 
taxa de fluxo de carros por hora, dada por , em que v é a velocidade de tráfego em 
quilômetros por hora. Nesse contexto, encontre a velocidade que vai maximizar a taxa de 
fluxo na estrada. 
 
A partir do apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
I. A velocidade que maximiza a taxa de fluxo na estrada é igual a 40 km/h, 
Pois: 
II. para ocorre o único ponto de máximo local da função . 
 
A seguir, está correto o que se afirma em: 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é 
uma justificativa correta da I. 
Resposta Correta: 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é 
uma justificativa correta da I. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a asserção I 
é uma proposição verdadeira, desde quando: 
Consequentemente, a proposição II também é verdadeira 
e justifica a I. 
 
 
 Pergunta 2 
1 em 1 pontos 
 
As funções trigonométricas possuem características próprias, tornando-as funções de 
grande complexidade. Portanto, derivar essas funções a partir da definição de derivadas 
por limites, torna-se um trabalho árduo. Assim, a tabela de derivadas inclui fórmulas para 
derivar, também, as funções trigonométricas. 
 
A respeito das derivadas de funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) . 
II. ( ) . 
III. ( ) . 
IV. ( ) 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
 
Resposta Selecionada: 
V, F, F, V. 
Resposta Correta: 
V, F, F, V. 
 
Feedback 
da resposta: 
Resposta correta. A afirmativa das alternativas I e IV é 
verdadeira, pois as derivadas estão de acordo com a tabela de 
derivadas. Já a afirmativa II é falsa, pois a derivada da função 
cossecante é dada por Por fim, a afirmativa III também é 
falsa desde quando a derivada da cotangete é 
 
 Pergunta 3 
1 em 1 pontos 
 
Para determinarmos o seno de um ângulo qualquer, devemos inicialmente localizá-lo no 
círculo trigonométrico, e quando este ângulo não está localizado no primeiro quadrante, 
devemos fazer o seu rebatimento ao primeiro quadrante. Assim, encontramos o seno do 
ângulo no primeiro quadrante, em valor absoluto e associamos o sinal que o seno assume 
no quadrante de origem. Nesse contexto, analisando o círculo trigonométrico, mostrado na 
figura, determine o valor de 
 
 
Fonte: elaborada pela autora 
O valor encontrado é: 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
Feedback da resposta: 
Resposta correta. 
 
 
 Pergunta 4 
1 em 1 pontos 
 
Para determinarmos o seno de um ângulo qualquer, devemos inicialmente localizá-lo no 
círculo trigonométrico, e quando este ângulo não está localizado no primeiro quadrante, 
devemos fazer o seu rebatimento ao primeiro quadrante. Assim, encontramos o seno do 
ângulo no primeiro quadrante, em valor absoluto e associamos o sinal que o seno assume 
no quadrante de origem. Nesse contexto, analisando o círculo trigonométrico, mostrado na 
figura, determine o valor de 
 
 
Fonte: elaborada pela autora 
O valor encontrado é: 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
Feedback da resposta: 
Resposta correta. 
 
 
 Pergunta 5 
1 em 1 pontos 
 
Um avião levanta vôo, formando um ângulo de 30º com o chão. Mantendo essa inclinação, 
ele estará a uma distância x, em km, do ponto de partida, quando atingir 4,5 km de altura. 
Nessas condições, o valor de x, é: 
 
Resposta Selecionada: 
9. 
Resposta Correta: 
9. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. No triângulo retângulo o x é a hipotenusa, 
assim, sen30 =4,5/x. Logo, x=4,5/0,5=9. 
 
 
 Pergunta 6 
1 em 1 pontos 
 
Uma partícula move-se em uma linha reta, segundo a equação horária do 
movimento em metros, em segundos, velocidade instantânea e 
aceleração . Conhecendo-se a função velocidade, é possível determinar as funções 
espaço-tempo (s) e a função aceleração por meio do cálculo diferencial e integral. Nesse 
contexto, considere a função e seu gráfico como suporte (figura a seguir) e analise 
as afirmativas a seguir. 
 
Fonte: Elaborada pela autora. 
 
I. Sabendo que e quando , a equação de s em função do tempo é 
dada por . 
II. O deslocamento da partícula é igual entre o tempo e , se, para , é 
igual a integral 
III. A função aceleração da partícula no instante inicial é igual a . 
.IV. A distância percorrida pela partícula é igual ao seu deslocamento entre os 
instantes e , em que . 
 
É correto o que se afirma em: 
 
 
Resposta Selecionada: 
II, III e IV, apenas. 
Resposta Correta: 
II, III e IV, apenas. 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. A resposta está correta, pois a alternativa I é 
verdadeira, uma vez que, por mudança de variável, fazendo 
 
, temos: 
, substituindo , . A alternativa II é verdadeira, pois o 
deslocamento é dado por É fácil ver que a aceleração é 
igual à derivada da função velocidade . Por fim, a alternativa 
é verdadeira, pois o deslocamento quando a função é toda 
positiva e a posição inicial é igual a zero, coincide com a 
distância percorrida. 
 
 Pergunta 7 
1 em 1 pontos 
 
Em relação ao estudo de máximo e mínimos de funções, pontos críticos, pontos de inflexão 
e de assíntotas é necessário utilizar como ferramenta a primeira e a segunda derivada da 
função. Nesse contexto, considere a função , em que e e analise o 
gráfico da , na Figura a seguir. 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora. 
Após levantamento dos dados e análise gráfica, avalie as alternativas a seguir. 
 
I. possui valor mínimo local em . 
II. Existe ponto de inflexão em . 
III. Existe assíntota vertical em porque . 
IV. Existe assíntota vertical em porque . 
 
É correto o que se afirma apenas em: 
 
 
Resposta Selecionada: 
I e IV apenas. 
Resposta Correta: 
I e IV apenas. 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a alternativa I é 
verdadeira, porque e . A alternativa II é falsa, 
porque . A alternativa III é falsa, porque existe assíntota 
vertical em porque E por fim, a alternativa IV é 
verdadeira, porque existe assíntota vertical em porque . 
 
 
 Pergunta 8 
1 em 1 pontos 
 
Um homem, está andando numa rua horizontal, e para a uma distância x de um poste de 
12 metros de altura. Nesse momento ele olha para um passáro que se encontra no topo do 
poste sob um ângulo de 30º. Considerando que a distância do chão até os olhos do 
homem é de 1,50 metros, encontre a distância x, aproximada por uma casa decimal e em 
seguida assinale o valor encontrado (considere: tg30º =0,58) . 
 
Resposta Selecionada: 
18,1 m 
Resposta Correta: 
18,1 m 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. Justifica-se através dos cálculos: Faça a figura 
do triângulo retângulo, em que o cateto oposto ao ângulo de 30 
graus mede 12,00-1,50=10,50 m, correspondente à altura da 
torre menos a altura do chão até os olhos do homem, e x 
(distância entre o observador e a torre, o cateto adjacente. 
Portanto: 
 
 
 
 Pergunta 9 
1 em 1 pontos 
 
Dois trens deixam a mesma direção num mesmo instante. Um deles em direção norte à 
razão de 80 km/h. O outro trem vai em direção leste à razão de 60 km/h, como mostra a 
Figura. Verifique que as três grandezas, x, y e z variam com o tempo à medida que os trens 
se afastam. 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora. 
A respeito da situação-problema apresentada, analise as afirmativas a seguir: 
 
I. Por Pitágoras, é possível relacionar as variáveis x, y e z. 
II. Os valores de x, y e z 1 hora depois que os trens deixaram a estação são iguais a 80, 60 
e 120, respectivamente. 
III. Para encontrar a taxa de variação dz/dt é necessário derivar a equaçãoda relação entre 
as variáveis implicitamente. 
IV. A velocidade com que os dois trens se afastam 1 hora depois de terem deixado a 
estação é igual a 100 km/h. 
 
É correto o que se afirma apenas em: 
 
Resposta Selecionada: 
I, III e IV apenas. 
Resposta Correta: 
I, III e IV apenas. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. A sequência está correta, pois por 
Pitágoras, 
= . 
 
 
 Pergunta 10 
0 em 1 pontos 
 
É possível, por meio a análise gráfica, identificar pontos importantes para determinar a lei 
que rege a função do gráfico em estudo. Para tanto, é necessário identificar o tipo de 
 
função elementar. Além disso, é possível identificar ferramentas de suporte para o cálculo 
da área de regiões planas limitadas pelo gráfico da função e pelos eixos coordenados. 
 
Fonte: Elaborada pela autora. 
 
Considerando o contexto apresentado e utilizando como suporte a figura anterior, analise 
as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s) 
 
I. ( ) A equação da parábola é dada por . 
II. ( ) A área da região hachurada é igual a 
III. ( ) a área da região interna da parábola é igual a 
IV. ( ) A área hachurada no primeiro quadrante é igual a 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
 
 
Resposta Selecionada: 
F, V, F, V. 
Resposta Correta: 
V, F, V, F. 
Feedback 
da 
resposta: 
Sua resposta está incorreta, pois a alternativa I é verdadeira, 
desde quando ao substituir os ponto visualizados no 
gráfico na lei genérica da parábola , ; portanto, a lei 
da função é dada por . A alternativa II é falsa já que a área 
hachurada é dada por . A alternativa III é verdadeira, e a 
conta pode ser feita rapidamente diminuindo-se a área do 
retângulo menos a área hachurada determinada no item II; 
portanto, a área solicitada é Finalmente, a alternativa IV é 
falsa pois a área hachurada do primeiro quadrante é igual a .