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Notícias e Conteúdos para Concursos Públicos – Material de Estudo 
 
 
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Ex: Qual é a probabilidade de conseguirmos um número menor 
que 4 no lançamento de um dado, sabendo que o resultado é um 
número ímpar? 
Solução: 
Espaço amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ n(S) = 6 
Evento A: (Ocorrer número ímpar) = {1, 3, 5} ⇒ P(A) = 3/6 
Evento B: (resultado menor que 4) = {1, 2, 3 } 
A ∩ B = {1, 3} ⇒ P(A ∩ B) = 2/6 
P(B/A) = P(A ∩ B) = (2/6)_ = 2/3 
 P(A) (3/6) 
 
5.7. EVENTOS INDEPENDENTES (e) 
 Dados dois eventos A e B de um mesmo espaço 
amostral, então A ∩∩∩∩ B (lê-se “A interseção B” ou ainda “A e 
B”) também será um evento, chamado de evento interseção, e 
ocorrerá se, e somente se: 
A e B ocorrerem simultaneamente. 
Se a probabilidade de ocorrência de um evento A não é 
alterada pela ocorrência do outro evento B, dizemos que A e B 
são eventos independentes. 
A probabilidade de que ocorram A e B é igual a: 
P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A) 
P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B) ⇔ A e B são independentes 
 
 
 
 
 Esta última igualdade também é usada para 
verificarmos a independência de dois eventos. 
 
Exemplos: 
a) Considere o espaço amostral S = {1, 2, 3, 4,} e os eventos 
A = {2, 3} e B = {3, 4}. Mostre que os eventos são 
independentes. 
Solução: Se A e B são independentes, então: 
P(A ∩ B) = P(A) . P(B) 
1/4 = 2/4 . 2/4 ⇒ 1/4 = 4/16 ⇒ 1/4 = 1/4 
Como a igualdade foi satisfeita, A e B são independentes. 
 
b) Em uma urna temos 6 bolas brancas e 4 bolas pretas. São 
retiradas duas bolas, uma após a outra, com reposição. Qual 
é a probabilidade de as duas retiradas resultarem em bolas 
brancas? 
Solução: 
A = {a 1ª bola branca}, P(A) = 6/10 = 3/5 
B = {a 2ª bola é branca} 
Como houve a reposição da primeira bola retirada da urna, a 
probabilidade de que a 2ª bola seja branca, após a retirada da 1ª 
bola, não será afetada pela ocorrência de A. 
P(B/A) = P(B) = 6/10 = 3/5 
 
Isso significa que os eventos A e B são independentes. Portanto 
teremos: 
(A ∩ B) = {as duas bolas são brancas} 
P(A ∩ B) = P(A) . P(B) = 3 . 3 = 9_ 
 5 5 25 
 
TESTES – PROBABILIDADE 
 
1. Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. 
Sorteando-se uma delas, a probabilidade de que o número dela 
seja um múltiplo de 8 é: 
a) 3/25 b) 7/50 c) 1/10 d) 4/25 e) 9/50 
Espaço amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6,..., 50} 
Evento: Múltiplo de 8 ⇒ A = {8, 16, 24, 32, 40, 48} 
P(A) = nº casos favoráveis = 6 = 3_ (A) 
 nº casos possíveis 50 25 
 
2. Uma urna contém 20 bolinhas numeradas de 1 a 20. 
Sorteando-se uma bolinha desta urna, a probabilidade de que o 
número da bolinha sorteada seja múltiplo de 2 ou de 5 é: 
a) 13/20 b) 4/5 c) 7/10 d) 3/5 e) 3/4 
Espaço amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6,..., 20} 
Evento A: Múltiplo de 2 ⇒ A = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20} 
Evento B: Múltiplo de 5 ⇒ B = {5, 10, 15, 20} 
P(A) = 10/20 = 1/2 
P(B) = 4/20 = 1/5 
P(A ∩ B) = 2/20 = 1/10 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 1/2 + 1/5 – 1/10 
P(A ∪ B) = 5 + 2 – 1 = 6 = 3/5 (D) 
 10 10 
 
Para as questões de 3 a 13 considere o lançamento ao 
mesmo tempo de dois dados honestos com observação 
da soma dos números das faces superiores. 
Espaço Amostral: S = {36 elementos} 
 1 2 3 4 5 6 
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 
 
3. A probabilidade da soma ser 2 é: 
a) 1/9 b) 1/12 c) 1/18 d) 1/36 e) 1/6 
Evento A: Soma 2. A = {(1,1)} 
P(A) = 1/36 (D) 
 
 
4. A probabilidade da soma ser 3 é: 
a) 1/9 b) 1/12 c) 1/18 d) 1/36 e) 1/6 
Evento A: Soma 3. A = {(1,2); (2,1)} 
P(A) = 2/36 = 1/18 (C) 
 
5. A probabilidade da soma ser 4 é: 
a) 1/9 b) 1/12 c) 1/18 d) 1/36 e) 1/6 
Evento A: Soma 4. A = {(1,3); (2,2); (3,1)} 
P(A) = 3/36 = 1/12 (B) 
 
6. A probabilidade da soma ser 5 é: 
a) 1/9 b) 1/12 c) 1/18 d) 1/36 e) 1/6 
Evento A: Soma 5. A = {(1,4);(2,3);(3,2);(4,1)} 
P(A) = 4/36 = 1/9 (A) 
 
7. A probabilidade da soma ser 6 é: 
a) 4/9 b) 5/12 c) 4/18 d) 5/36 e) 1/2 
Evento A: Soma 6. A = {(1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1)} 
P(A) = 5/36 (D) 
 
8. A probabilidade da soma ser 7 é: 
a) 1/9 b) 1/12 c) 1/18 d) 1/36 e) 1/6 
Evento A: Soma 7. A = {(1,6);(2,5);(3,4);(4,3);(5,2);(6,1)} 
P(A) = 6/36 = 1/6 (E) 
 
9. A probabilidade da soma ser 8 é: 
a) 4/9 b) 5/12 c) 4/18 d) 5/36 e) 1/2 
Evento A: Soma 8. A = {(2,6); (3,5); (4,4); (5,3); (6,2)} 
P(A) = 5/36 (D) 
 
10. A probabilidade da soma ser 9 é: 
a) 1/9 b) 1/12 c) 1/18 d) 1/36 e) 1/6 
Evento A: Soma 9. A = {(3,6); (4,5); (5,4); (6,3)} 
P(A) = 4/36 = 1/9 (A) 
 
11. A probabilidade da soma ser 10 é: 
a) 1/9 b) 1/12 c) 1/18 d) 1/36 e) 1/6 
 P(A ∩∩∩∩ B) = P(A) . P(B)