Aula - Parábola

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Geometria Analítica – Prof. Eduardo F. DEaD-UFVJM 
 
AULA 2 
 
Cônicas – A Parábola 
 
 
 
 
A final desta aula, você deverá ser capaz de: 
 Descrever a parábola como um lugar geométrico determinando 
a sua equação reduzida nos sistemas de coordenadas com o eixo x 
paralelo à diretriz d e a origem no vértice V. 
 Reconhecer a equação de uma parábola e identificar seus 
elementos. 
 Determinar as coordenadas do foco F, do vértice V e a equação 
da diretriz d. 
 Esboçar o gráfico da parábola, a partir de sua equação. 
 Determinar a equação de uma parábola em diferentes 
situações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o
b
je
ti
v
o
s 
 
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Conteúdo da Aula: 
Parábola: equação reduzida, foco, vértice, diretriz e 
gráfico. 
 
 
 
 
 
Parábola 
Consideremos, em um plano  , uma reta d e um ponto F que não 
pertence à reta d. 
 
Definição 2.1: Um conjunto que consiste em todos os pontos equidistantes do 
ponto fixo F e da reta d no plano  é uma parábola. Em outras palavras, 
parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano  que equidistam de d e F. 
 
 
A curva da figura 2.1 descreve uma parábola. O 
ponto F é o foco da parábola e a reta d é a sua 
diretriz. O ponto P é um ponto qualquer da 
parábola, e, por definição, a distância de P a F é 
igual a distância de P a r, não importando a 
localização de P sobre a parábola. A reta r 
perpendicular à diretriz d que passa pelo foco F é 
o eixo da parábola, também denominado de 
reta focal da parábola. O vértice da parábola é 
o ponto V da reta focal que equidista de F e d, é 
a interseção da parábola com seu eixo. 
 
 
Agora, com o objetivo de obtermos uma equação que descreva a 
parábola, selecionemos um sistema de coordenadas cartesianas ortogonal no 
Plano. A parábola tem sua equação mais simples quando o foco está em um 
dos eixos coordenados e a diretriz é paralela ao outro eixo. Desta maneira, 
 
Figura 2.1 - Parábola 
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considerando que o vértice da parábola é a origem e que a reta focal é um dos 
eixos coordenados, vamos descrever a equação da parábola a partir de sua 
definição. Vamos representar a distância entre F e d por 2p, que é denominado 
parâmetro da parábola. 
 
1º Caso: Equação da parábola com vértice na origem, reta focal coincidente 
com o eixo das ordenadas e foco acima da reta diretriz. Neste caso, tomemos 
para foco o ponto ),0( pF e a reta py  como diretriz, em que 0p . 
Figura 2.2 – Parábola com F(0,p) e diretriz y=-p. 
Seja ),( yxP um ponto qualquer da parábola. Lembramos que, por 
definição, ),(),( dPdFPd  . Sendo Q o ponto de interseção da reta d com a 
perpendicular a d passando por P (Q o pé da perpendicular a d por P), temos 
que,     pypyxxQPddPd  22),(),( . 
Desta maneira, 
   
    .422
0),(),(),(
222222222
22
pyxppyyppyyxpypyx
pypyxpyFPddPdFPd


 
Portanto, a equação reduzida da parábola neste caso é dada por: 
 
 
 
.42 pyx  
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2º Caso: Equação da parábola com vértice na origem, reta focal coincidente 
com o eixo das ordenadas e foco abaixo reta diretriz. Neste caso, tomemos 
para foco o ponto ),0( pF  e a reta py  como diretriz, em que 0p . 
 
Figura 2.3 – Parábola com F(0,-p) e diretriz y=p. 
Sendo ),( yxP um ponto qualquer da parábola, de maneira análoga ao 
1º caso, pela definição sabemos que, ),(),( dPdFPd  . Logo, 
        .40),(),( 22222 pyxpyxxpyxdPdFPd 
 
Portanto, a equação reduzida da parábola neste caso é dada por: 
 
 
 
3º Caso: Equação da parábola com vértice na origem, reta focal coincidente 
com o eixo das abscissas e foco à direita da reta diretriz. Neste caso, tomemos 
para foco o ponto )0,(pF e a reta px  como diretriz, em que 0p . 
 
 
.42 pyx  
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Sendo ),( yxP um ponto qualquer da 
parábola, por definição,  ),(),( dPdFPd 
        .40 22222 pxyyypxypx 
 
Portanto, a equação reduzida da parábola 
neste caso é dada por: 
 
 
 
 
4º Caso: Equação da parábola com vértice na origem, reta focal coincidente 
com o eixo das abscissas e foco à esquerda da reta diretriz. Neste caso, 
tomemos para foco o ponto )0,( pF  e a reta px  como diretriz, em que 
0p . 
 
Sendo ),( yxP um ponto qualquer da 
parábola, por definição,  ),(),( dPdFPd 
        .40 22222 pxyyypxypx 
 
Portanto, a equação reduzida da parábola 
neste caso é dada por: 
 
 
 
 
Figura 2.5 – Parábola com F(p,0) e 
diretriz x=-p 
.42 pxy  
 
Figura 2.5 – Parábola com F(-p,0) e 
diretriz x=p 
.42 pxy  
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1- Encontre a equação da parábola com vértice na origem, cujo foco é o 
ponto )2,0( F . 
Solução: Se o vértice está na origem e o foco está sobre o eixo dos y na 
parte negativa, então a parábola tem equação na forma pyx 4
2  . 
Neste caso o foco tem coordenadas ),0( pF  e como )2,0( F , temos 
que o parâmetro é 2p . Portanto a equação da parábola é yx 8
2  . 
2- Determine o foco e a diretriz da parábola xy 14
2  e faça seu gráfico. 
Solução: A parábola xy 14
2  é do tipo 
pxy 42  (3º caso). Assim, sua concavidade 
será voltada para a direita, seu foco está na 
parte positiva do eixo x, com coordenadas 
)0,(pF e sua diretriz a equação px  . 
Agora, basta descobrirmos o valor do 
parâmetro. Como xy 14
2  , então 
2
7
144  pp . Portanto, seu foco é 






0,
2
7
F e sua diretriz é a reta 
2
7
x . 
 
 
 
1) Determine o foco, o vértice, o parâmetro, a diretriz da parábola e faça 
seu esboço. 
(a) 062  yx (b) xy 85 2  (c) yx 85 2  
2) Obtenha uma equação da parábola de vértice na origem sabendo que 
p=1 e o foco está no semi-eixo negativo das abscissas. 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
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3) Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da parábola de vértice 
na origem, sabendo que: 
(a) A diretriz tem equação y=2. 
(b) O eixo é Ox e o ponto  10,5 pertence à parábola. 
(c) O foco pertence ao semi-eixo positivo das abscissas e a amplitude 
focal é 8. 
 
Respostas: 
1) (a) .2/3:,2/3),0,0();2/3,0(  yrp 
(b) .5/2:,5/2),0,0();0,5/2(  xrp 
(c) .5/2:,5/2),0,0();5/2,0(  yrp 
2) xy 42  
3) (a) yx 82  (b) xy 202  (c) xy 82 