Parabola Geometria Analítica + Exercícios

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PARÁBOLA
A parábola é formada pela união de todos os pontos do plano que estão à mesma distância do ponto F (foco) e da reta vertical d.
ELEMENTOS DE UMA PARÁBOLA
FOCO
O ponto F da definição da parábola e da imagem anterior é chamado de foco e determina essa figura.
DIRETRIZ
A reta r, também presente na definição e na imagem anterior, é chamada de diretriz da parábola. Essa reta é usada junto ao foco para a definição dessa figura. A distância entre qualquer ponto da parábola e a sua diretriz é igual à distância entre esse mesmo ponto da parábola e o seu foco.
PARÂMETRO
É a distância entre o foco e a diretriz “2p”. 
VÉRTICE
O vértice da parábola é o ponto mais próximo de sua diretriz. Existe uma propriedade que afirma o seguinte:
VF = p
EIXO DE SIMETRIA
É a reta perpendicular à diretriz que passa pelo vértice da parábola. Essa reta também contém o foco da parábola. Essa reta é assim chamada porque divide a parábola em duas partes simétricas.
VÉRTICE NA ORIGEM/ V(0,0)
1ª situação: y² = 4px 2ª situação: x² = 4py
Equação da reta diretriz d : x = −p Equação da reta diretriz d : y = −p 
Foco: F(p, 0) Foco: F(0, p)
3ª situação: y² = –4px 4ª situação: x² = – 4py
Equação da reta diretriz d : x = p Equação da reta diretriz d : y = p
Foco: F(-p, 0) Foco: F(0, -p) 
VÉRTICE FORA DA ORIGEM E RETA FOCAL PARALALELA AOS EIXOS/ V(X0,Y0)
1ª situação: (y – y0)² = 4p(x – x0) 2ª situação: (x – x0)² = 4p(y – y0)
Equação da reta diretriz d: x = x0 − p Equação da reta diretriz d: y = y0 − p 
Foco: F(x0 + p, y0) Foco: F(x0, y0 + p)
3ª situação: (y – y0)² = - 4p(x – x0) 4ª situação: (x – x0)² = - 4p(y – y0)
Equação da reta diretriz d: x = x0 + p Equação da reta diretriz d: y = y0 + p 
Foco: F(x0 - p, y0) Foco: F(x0, y0 - p)
EXERCÍCIO 
1. Determine a equação da parábola cujo vértice é a origem dos eixos de coordenadas, o eixo de simetria é o eixo y e a curva passa pelo ponto P(-3, 7).
2. Determine as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola de equação x2 + 2x + 4y – 15 = 0.
3. Determine as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola de equação y2 – 4y – 8x + 28 = 0.
4. (UFPB) Uma reta tem coeficiente angular m = - 1 e passa pelo vértice da parábola 4x – y2 + 6y – 5 = 0. Sua equação cartesiana é: 
A) x + y − 2 = 0 X
B) x − y + 3 = 0
C) x − y −1 = 0
D) 2x + y −1 = 0
E) x + y −1 = 0 
5. (VUNESP) Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, y’ é a equação da parábola gerada quando a curva y = x2 – 2x + 3 é refletida pelo eixo x. Ligando-se os vértices das parábolas e o ponto O (origem do sistema), obtém-se um triângulo PQO, de área igual, em u.a. (unidade de área), a
A) 8.
B) 6.
C) 5.
D) 4.
E) 2. X
6. (ESPCEX) Considere as afirmações:
I. Uma elipse tem como focos os pontos F1(-3, 0), F2(3, 0) e a medida do eixo maior é 8. Sua equação + = 1;
II. Os focos de uma hipérbole são F1(-10, 0), F2(10, 0) e sua excentricidade é . Sua equação é 16x2 – 9y2 = 576;
III. A parábola 8x = -y2 + 6y – 9 tem como vértice o ponto V(3, 0);
Com base nessas afirmações, assinale a alternativa correta
A) Todas as afirmações são falsas;
B) Apenas as afirmações (I) e (III) são falsas;
C) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras; X
D) Todas as afirmações são verdadeiras;
E) Apenas a afirmação (III) é verdadeira.
7. (AFA) Analise as proporções abaixo e escreva V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A distância entre o vértice e o foco da parábola y2 + 4x – 4 = 0 é igual a 1 unidade de comprimento. 
II. ( ) Numa hipérbole equilátera, as assíntotas são perpendiculares entre si. 
III. ( ) A equação 2x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 representa uma elipse que tem um dos focos no ponto P (1, 4) 
A sequência correta é 
A) F - F - V 
B) V - F - V 
C) F - V - F 
D) V - V – F X
E) F – F – F
8. (EN) A equação da parábola, cujo foco é o ponto (1, 4) e cuja diretriz é a reta y = 3, é
A) y = x2 – 2x + 4
B) y = - x2 + x - 8
C) y = – x + 4 X
D) y = – + 2
E) x = y2 – y + 4