Listas de Exercícios-20200702

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Lista EDO/Lista 1 EDO 20182.pdf
Universidade Federal da Bahia
MATA04 Cálculo C 2018.2
Lista de Exerćıcios 1- (EDO)
(1) Nos itens abaixo, determine a ordem da equação diferencial e classifique em linear ou não-linear.
(a) t2
d2y
dt2
+ t
dy
dt
+ 2y = sen t.
(b) (1 + y2)
d2y
dt2
+ t
dy
dt
+ y = et.
(c)
d4y
dt4
+
d3y
dt3
+
d2y
dt2
+
dy
dt
+ y = 1.
(d)
dy
dt
+ ty2 = 0.
(e)
d2y
dt2
+ sen(t+ y) = sen t.
(f)
d3y
dt3
+ t
dy
dt
+ (cos2 t)y = t3.
(2) Nos itens abaixo, verique que a função (ou funções) dada(s) é (são) solução (soluções) da equação diferencial.
(a) y′′ − y = 0; y1(t) = et y2 = cosh t.
(b) y′′ + 2y′ − 3y = 0; y1(t) = e−3t y2(t) = et.
(c) ty′ − t = t2; y = 3t+ t2.
(d) y′′′′ + 4y′′′ + 3y = t; y1(t) =
t
3
y2(t) = e
−t +
t
3
.
(e) 2t2y′′ + 3ty′ − y = 0, t > 0; y1(t) = t1/2 y2(t) = t−1.
(f) t2y′′ + 5ty′ + 4y = 0, t > 0; y1(t) = t
−2 y2(t) = t
2 ln t.
(g) y′′ + y = sec t, 0 < t < π2 ; y = (cos t) ln cos t+ t sen t.
(h) y′ − 2ty = 1; y = et2
∫ t
0
e−s
2
ds+ et
2
.
(3) Encontre a solução da EDO linear de 1a ordem com condição inicial.
(a) y′ − y = 2te2t, y(0) = 1.
(b) y′ + 2y = te−2t, y(1) = 0.
(c) ty′ + 2y = t2 − t+ 1, t > 0, y(1) = 1/2.
(d) y′ +
2
t
y =
cos(t)
t2
, t > 0, y(π) = 0.
(e) y′ − 2y = e2t, y(0) = 2.
(f) ty′ + 2y = sen(t), t > 0, y(π/2) = 1.
(g) t3y′ + 4t2y = e−t, t > 0, y(−1) = 0.
(h) ty′ + (t+ 1)y = t, t > 0, y(ln(2)) = 1.
(4) Um pequeno lago contém, inicialmente, 1.000.000 de galões (aproximadamente 4.550.000 litros) de água e
uma quantidade desconhecida de um produto qúımico indesejável. O lago recebe água contendo 0,01 grama
dessa mesma substância por galão a uma taxa de 300 galões por minuto. A mistura sai a mesma taxa,
de modo que a quantidade de água no lago permanece constante. Suponha que o produto qúımico está
distribúıdo uniformemente no lago.
(a) Escreva uma equação diferencial cuja solução é a quantidade de produto qúımico no lago em um
instante qualquer.
(b) Determine a solução geral para a equação diferencial.
(5) Mostre que a EDO é separável e encontre a solução.
(a) y′ =
x2
y
.
(b) y′ + y2sen(x) = 0.
(c) y′ = (cos2(x))(cos2(2y)).
(d)
dy
dx
=
x− e−x
y + ey
.
(e) y′ = (1− 2x)y2, y(0) = −1/6.
(f)
dr
dθ
=
r2
θ
, r(1) = 2.
1
2
(g) y′ =
2x
1 + 2y
, y(2) = 0. (h) y′ =
e−x − ex
3 + 4y
, y(0) = 1.
(6) Mostre que a EDO é homogênea e encontre a solução.
(a)
dy
dx
=
x2 + xy + y2
x2
.
(b)
dy
dx
=
x2 + 3y2
2xy
.
(c)
dy
dx
=
4y − 3x
2x− y
.
(d)
dy
dx
= −4x+ 3y
2x+ y
.
(e)
dy
dx
=
x+ 3y
x− y
.
(f) (x2 + 3xy + y2) dx− x2 dy = 0.
(g)
dy
dx
=
x2 − 3y2
2xy
.
(h)
dy
dx
=
3y2 − x2
2xy
.
(7) Mostre que a EDO é exata e encontre a solução.
(a) 2x+ 3 + (2y − 2)y′ = 0.
(b) 3x2 − 2xy + 2 + (6y2 − x2 + 3)dy
dx
= 0.
(c) 2xy2 + 2y + (2x2y + 2x)y′ = 0.
(d)
dy
dx
= −ax+ by
bx+ cy
(e) (ex sen(y)− 2y sen(x))dx+ (ex cos(y) + 2 cos(x))dy = 0.
(f) (yexy cos(2x)− 2exysen(2x) + 2x)dx+ (xexy cos(2x)− 3)dy = 0
(g)
(y
x
+ 6x
)
dx = (2− ln(x))dy, x > 0.
(h)
x
(x2 + y2)3/2
dx+
y
(x2 + y2)3/2
dy = 0.
(8) Encontre um fator integrante que torne a EDO exata e depois encontre a solução.
(a) (3x2y + 2xy + y3)dx+ (x2 + y2)dy = 0.
(b) y′ = e2x + y − 1.
(c) dx+ (x/y − sen(y)) dy = 0.
(d) y + (2xy − e−2y)y′ = 0.
(9) Encontre a solução da EDO de Bernoulli.
(a) x
dy
dx
+ y = y−2, x 6= 0.
(b)
dy
dx
= y(xy3 − 1), x 6= 0.
(c) t2
dy
dt
+ y2 = ty, t 6= 0.
(d) t2y′ + 2ty − y3 = 0, t > 0.
3
Respostas
(1) (a) segunda ordem, linear
(b) segunda ordem, não-linear
(c) quarta ordem, linear
(d) primeira ordem, não-linear
(e) segunda ordem, não-linear
(f) terceira ordem, linear
(2) (a) sim e sim
(b) sim e sim
(c) não
(d) sim e sim
(e) sim e sim
(f) sim e não
(g) sim
(h) sim
(3) (a) y = 3et + 2(t− 1)e2t
(b) y = (t2 − 1)e−2t/2
(c) y = (3t4 − 4t3 + 6t2 + 1)/12t2
(d) y = (sen(t))/t2
(e) y = (t+ 2)e2t
(f) y = t−2
[
(π2/4)− 1− t cos(t) + sen(t)
]
(g) y = −(1 + t)e−t/t4
(h) y = (t− 1 + 2e−t)/t
(4) (a)
dq
dt
= 300(10−2 − q10−6)
(b) q(t) = Ce−3·10
−4t
(5) (a) 3y2 − 2x3 = c, y 6= 0
(b) y = 0 ou y−1 + cos(x) = c se y 6= 0
(c) y = ±(2n+ 1)π/4 ou 2 tg(2y)− 2x− sen(2x) = c se cos(2y) = 0
(d) y2 − x2 + 2(ey − e−x) = c; para y + ey 6= 0
(e) y = 1/(x2 − x− 6)
(f) r = 2/ [1− 2 ln(θ)]
(g) y = − 12 +
1
2
√
4x2 − 15
(h) y = − 34 +
1
4
√
65− 8ex − 8e−x
(6) (a) arctg(y/x)− ln |x| = C
(b) x2 + y2 − cx3 = 0
(c) |y − x| = c|y + 3x|5 ou y = −3x
(d) |y + x|(y + 4x)2 = c
(e) y = −x ou 2x/(x+ y) + ln |x+ y| = c
(f) y = −x ou x/(x+ y) + ln |x| = c
(g) |x3||x2 − 5y2| = c
(h) c|x3| = |y2 − x2|
(7) (a) x2 + 3x+ y2 − 2y = c
(b) x3 − x2y + 2x+ 2y3 + 3y = c
(c) x2y2 + 2xy = c
(d) ax2 + 2bxy + cy2 = k
(e) y = 0 ou ex sen(y) + 2y cos(x) = c
(f) exy cos(2x) + x2 − 3y = c
(g) y ln(x) + 3x2 − 2y = c
(h) x2 + y2 = c
(8) (a) µ(x) = e3x; (3x2y + y3)e3x = c
(b) µ(x) = e−x; y = cex + e2x + 1
(c) ν(y) = y; xy + y cos(y)− sen(y) = c
(d) ν(y) = e
2y
y ; y = 0 e xe
2y − ln |y| = c
(9) (a) y = 3
√
1 + cx−3
(b) y−3 = x+ 13 + ce
3x
(c) et/y = ct
(d) y = ±
[
5t/(2 + 5ct5)
]1/2
Lista EDO/Lista 2 EDO 20182.pdf
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MATA04 Cálculo C 2018.2
Lista de Exerćıcios 2- (EDO de 2a ordem)
(1) Encontre a solução da EDO.
(a) y′′ + 2y′ − 3y = 0
(b) 6y′′ − y′ − y = 0
(c) y′′ + 5y′ = 0
(d) y′′ − 9y′ + 9y = 0
(2) Encontre a solução da EDO com condições iniciais
(a) y′′ + y′ − 2y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 1
(b) 6y′′ − 5y′ + y = 0, y(0) = 4, y′(0) = 0
(c) y′′ + 5y′ + 3y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0
(d) y′′ + 8y′ − 9y = 0, y(1) = 1, y′(1) = 0
(3) Encontre a solução da EDO.
(a) y′′ − 2y′ + y = 0
(b) 9y′′ + 6y′ + y = 0
(c) 4y′′ + 12y′ + 9y = 0
(d) y′′ − 6y′ + 9y = 0
(4) Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
(a) 9y′′ − 12y′ + 4y = 0, y(0) = 2, y′(0) = −1
(b) y′′ − 6y′ + 9y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 2
(c) y′′ + 4y′ + 4y = 0, y(−1) = 2, y′(−1) = 1
(d) 4y′′ + 12y′ + 9y = 0, y(0) = 1, y′(0) = −4
(5) Encontre a solução da EDO.
(a) y′′ − 2y′ + 2y = 0
(b) y′′ − 2y′ + 6y = 0
(c) y′′ + 2y′ + 2y = 0
(d) 4y′′ + 9y = 0
(6) Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
(a) y′′ + 4y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 0
(b) y′′ + 4y′ + 5y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0
(c) y′′ − 2y′ + 5y = 0, y(π/2) = 0, y′(π/2) = 0
(d) y′′ + y = 0, y(π/3) = 2, y′(π/3) = −4
(7) Encontre a solução geral das EDO’s.
(a) y′′ + 4y′ + 4y = x−2e−2x, x > 0
(b) y′′ + 4y = 3 cossec(2x), 0 < x < π/2
(c) y′′ − 2y′ + y = e
x
1 + x2
(8) Para as EDO’s abaixo, mostre que as funções y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções da
equação homogênea associada. Após, encontre a solução geral.
(a) y′′ − 2
x2
y = 3− 1
x2
, x > 0; y1 = x
2 y2 = x
−1.
(b) y′′ − 1 + t
t
y′ +
1
t
y = te2t, t > 0; y1 = 1 + t y2 = e
t.
(c) y′′ +
t
1− t
y′ +
1
t− 1
= 2(t− 1)e−t, 0 < t < 1; y1 = et y2 = t.
(d) y′′ +
1
x
y′ +
x2 − 0, 25
x2
y = 3x1/2 sen(x), x > 0; y1 = x
−1/2 sen(x) y2 = x
−1/2 cos(x).
(9) Encontre a solução geral das EDO’s.
1
2
(a) y′′ − 2y′ − 3y = 3e2x.
(b) y′′ − 2y′ − 3y = −3xe−x.
(c) y′′ + 9y = x2e3x + 6.
(d) 2y′′ + 3y′ + y = x2 + 3 sen(x).
(e) y′′ + y′ + 4y = 2 senh(x). (Lembre-se que senh(x) = (ex − e−x) /2
(10) Encontre a soluçãos das EDO’s com condições iniciais.
(a) y′′ + y′ − 2y = 2x; y(0) = 0, y′(0) = 1.
(b) y′′ − 2y′ + y = tet + 4; y(0) = 1, y′(0) = 1.
(c) y′′ + 4y = 3 sen(2x); y(0) = 2, y′(0) = −1.
3
Respostas
(1) (a) y = c1e
x + c2e
−3x
(b) y = c1e
x/2 + c2e
−x/3
(c) y = c1 + c2e
−5x
(d) y = c1 exp (9 + 3
√
5x)/2 + c2 exp (9− 3
√
5x)/2
(2) (a) y = ex
(b) y = 12ex/3 − 8ex/2
(c) y = 126 (13 + 5
√
13 exp
[
(−5 +
√
13)x/2)
]
+ 126 (13− 5
√
13 exp
[
(−5−
√
13)x/2)
]
(d) y = 110e
−9(x−1) + 910e
x−1
(3) (a) y = c1e
x + c2xe
x
(b) y = c1e
−x/3 + c2xe
−x/3
(c) y = c1e
−3x/2 + c2xe
−3x/2
(d) y = c1e
3x + c2xe
3x
(4) (a) y
= 2e2x/3 − 73xe
2x/3
(b) y = 2xe3x
(c) y = 7e−2(x+1) + 5xe−2(x+1)
(d) y = e−3x/2 − 52xe
−3x/2
(5) (a) y = c1e
x cos(x) + c2e
x sen(x)
(b) y = c1e
x cos(
√
5x) + c2e
x sen(
√
5x)
(c) y = c1e
−x cos(x) + c2e
−x sen(x)
(d) y = c1e
x cos(3x/2) + c2e
x sen(3x/2)
(6) (a) y = 12 sen(2x)
(b) y = e−2t cos(x) + 2e−2x sen(x)
(c) y = −ex−π/2 sen(2x)
(d) y = (1 + 2
√
3) cos(x)− (2−
√
3) sen(x)
(7) (a) y = c1e
−2x + c2xe
−2x − e−2x ln(x)
(b) y = c1 cos(2x) + c2 sen(2x) +
3
4 sen(2x) ln(sen(2x))−
3
2x cos(2x)
(c) y = c1e
x + c2xe
x − 12e
x ln(1 + x2) + xexarctg(x)
(8) (a) y = c1x
2 + c2x
−1 + 12 + x
2 ln(x)
(b) y = c1(1 + t) + c2e
t + 12 (t− 1)e
2t
(c) y = c1e
t + c2t− 12 (2t− 1)e
−t
(d) y = c1x
−1/2 sen(x) + c2x
−1/2 cos(x)− 32x
1/2 cos(x)
(9) (a) y = c1e
3x + c2e
−x − e2x
(b) y = c1e
3x + c2e
−x + 316xe
−x + 38x
2e−x
(c) y = c1 cos(3x) + c2 sen(3x) +
1
162 (9x
2 − 6x+ 1)e3x + 23
(d) y = c1e
−x + c2e
−x/2 + x2 − 6x+ 14− 310 sen(x)−
9
10 cos(x)
(e) y = c1e
−x/2 cos(
√
15x/2) + c2e
−x/2 sen(
√
15x/2) + 16e
x − 14e
−x
(10) (a) y = ex − 12e
−2x − x− 12
(b) y = 4tet − 3et + 16 t
3et + 4
(c) y = 2 cos(2x)− 18 sen(2x)−
3
4x cos(2x)
Sequências e Séries/Lista 1 2018.2 sequencias.pdf
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MATA04 Cálculo C 2018.2
Lista de Exerćıcios 1- (Sequências)
(1) Liste os cinco primeiros termos da sequência.
(a) an = 1− (0, 2)n.
(b) an =
3(−1)n
n!
.
(c) a1 = 3, an+1 = 2an − 1.
(d) an =
4n
n2 − 7
(e) an =
(−1)n+1
2n + (−3)n
(2) Encontre uma fórmula para o termo geral da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos
continua.
(a)
{
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
, . . .
}
.
(b) {2, 7, 12, 17, . . .}.
(c)
{
1,−2
3
,
4
9
,− 8
27
, . . .
}
.
(3) Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
(a) an = n(n− 1).
(b) an =
3 + 5n2
n + n2
.
(c) an =
2n
3n+1
.
(d) an =
(−1)n−1n
n2 + 1
.
(e) an = cos
(n
2
)
.
(f)
{
(2n− 1)!
(2n + 1)!
}
.
(g) an =
en − e−n
e2n + 1
.
(h) an = n
2e−n.
(i) an =
cos2 n
2n
.
(j) an = n sen
(
1
n
)
.
(k) an =
(
1 +
2
n
)1/n
.
(l) an = {0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, . . .}.
(m) an =
n!
2n
.
(n) an = (−1)n
(
n + 1
n
)
.
(o)
{
arctg
(
2n
2n + 1
)}
.
(p) an =
n3
n!
.
(q) an =
1× 3× 5× · · · × (2n− 1)
(2n)n
.
(4) Determine se a sequência dada é crescente, decrescente, não monótona, limitada inferiormente, limitada
superiormente e/ou limitada. Usando o Teorema da Seqência Monótona, verifique se a mesma é convergente.
(a) an = (−2)n+1
(b) an =
1
2n+3
(c) an =
n
n2+1
(d) an =
1
4n
(e) an =
2n2 − 1
n
(f) an =
4− n
2n + 3
(5) Para quais valores de r a sequência {nrn} é convergente?
(6) Calcule o limite da sequência {
√
2,
√
2
√
2,
√
2
√
2
√
2, . . .
}
.
Observação: por causa da conclusão deste exerćıcio, escrevemos
√
2
√
2
√
2 · · · = 2.
1
2
(7) Mostre que a sequência definida recursivamente por
a1 = 1 an+1 = 3−
1
an
é crescente e an < 3 para todo n. Deduza que {an} é convergente e calcule o seu limite.
3
Respostas
(1) (a) 0, 8; 0, 96; 0, 992; 0, 9984; 0, 99968.
(b) −3, 32 , −
1
2 ,
1
8 , −
1
40 .
(c) 3, 5, 9, 17, 33.
(d) 0, − 23 , −
8
3 , 6,
16
9 .
(e) − 113 , −
1
21 , −
1
89 , −
1
233 , −
1
741 .
(2) (a) an =
1
2n .
(b) an = 5n− 3.
(c) an =
(
− 23
)n−1
.
(3) (a) D.
(b) C, 5.
(c) C, 0.
(d) C, 0.
(e) D
(f) C, 0.
(g) C, 0.
(h) C, 0.
(i) C, 0.
(j) C, 1.
(k) C, 1.
(l) D.
(m) D.
(n) D.
(o) C, π4 .
(p) C, 0.
(q) C, 0.
(4) (a) não monótona
(b) decrescente, 0
(c) decrescente, 0
(d) limitada inferiormente, superiormente (limitada), decrescente
(e) limitada inferiormente, crescente
(f) limitada superiormente, inferiormente (limitada), decrescente
(5) −1 < r < 1.
(6) (3 +
√
5)/2.
Sistemas de EDOs/Lista sistemas de EDO 20182.pdf
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MATA04 Cálculo C 2018.2
Lista de Exerćıcios - (Sistemas de EDO’s)
(1) Escreva o sistema de EDO na forma matricial.
(a)
dx1
dt
= 3x1 − 5x2
dx2
dt
= 4x1 + 8x2.
(b)
dx1
dt
= −3x1 + 4x2 − 9x3
dx2
dt
= 6x1 − x2
dx3
dt
= 10x1 + 4x2 + 3x3.
(c)
dx
dt
= x− y + z + t− 1
dy
dt
= 2x + y − z − 3t2
dz
dt
= x + y + z + t2 − t + 2.
(2) Escreva o sistema de EDO sem usar matrizes.
(a) X ′ =
(
4 2
−1 3
)
X +
(
1
−1
)
et.
(b) X ′ =
 1 −1 23 −4 1
−2 5 6
X +
 12
2
 e−t −
 3−1
1
 t.
(3) Verifique que o vetor dado satisfaz o sistema de EDO’s.
(a) X ′ =
(
3 −2
2 −2
)
X, X1 =
(
4
2
)
e2t.
(b) X ′ =
(
2 −1
3 −2
)
X +
(
1
−1
)
et, X1 =
(
1
0
)
et + 2
(
1
1
)
tet.
(c) X ′ =
 1 1 12 1 −1
0 −1 1
X, X1 =
 6−8
−4
 e−t + 2
 01
−1
 e2t.
(4) Dado o sistema de EDO’s
X ′ =
 0 6 01 0 1
1 1 0
X,
mostre que os vetores
X1 =
 6−1
−5
 e−t X2 =
 −31
1
 e−2t X3 =
 21
1
 e3t
formam um conjunto fundamental de soluções.
(5) Encontre a solução geral do sistema de EDO’s e esboce o retrato de fase.
(a) X ′ =
(
3 −2
2 −2
)
X.
(b) X ′ =
(
2 −1
3 −2
)
X.
(c) X ′ =
(
−2 1
1 −2
)
X.
1
2
(d)
dx
dt
= 4x− 3y
dx
dt
= 8x− 6y.
(6) Encontre a solução geral do sistema de EDO’s.
(a) X ′ =
 1 1 21 2 1
2 1 1
X.
(b) X ′ =
 3 2 42 0 2
4 2 3
X.
(c)
dx
dt
= x + y + z
dy
dt
= 2x + y − z
dz
dt
= −8x− 5y − 3z.
(7) Encontre a solução do sistema de EDO’s com condições iniciais.
(a) X ′ =
(
5 −1
3 1
)
X, X(0) =
(
2
−1
)
(b) X ′ =
 1 1 20 2 2
−1 1 3
X, X(0) =
 20
−1

(8) Encontre a solução do sistema de EDO’s e esboce o retrato de fase.
(a) X ′ =
(
3 −4
1 −1
)
X.
(b) X ′ =
(
4 −2
8 −4
)
X.
(c) X ′ =
(
−32 1
−14 −
1
2
)
X.
(d)
dx
dt
= −3x + 5
2
y
dy
dt
= −5
2
x + 2y.
(9) Encontre a solução do sistema de EDO’s com condições iniciais.
(a)
dx
dt
= x− 4y, x(0) = 3
dy
dt
= 4x− 7y, y(0) = 2.
(b) X ′ =
(
3 9
−1 −3
)
X, X(0) =
(
2
4
)
.
(10) Encontre a solução do sistema de EDO’s e esboce o retrato de fase.
(a) X ′ =
(
3 −2
4 −1
)
X.
(b) X ′ =
(
−1 −4
1 −1
)
X.
(c) X ′ =
(
2 −5
1 −2
)
X.
(d)
dx
dt
= 2x− 5
2
y
dy
dt
=
9
5
x− y.
(11) Encontre a solução do sistema de EDO’s com condições iniciais.
(a)
dx
dt
= x− 5y, x(0) = 1
dy
dt
= x− 3y, y(0) = 1.
3
(b) X ′ =
(
−3 2
−1 −1
)
X, X(0) =
(
1
−2
)
.
Respostas
(1) (a) X ′ =
(
3 −5
4 8
)
X
(b) X ′ =
 −3 4 96 −1 0
10 4 3
X
(c) X ′ =
 1 −1 12 1 −1
1 1 1
X +
 t− 1−3t2
t2 − t + 2

(2) (a)
dx
dt
= 4x + 2y + et
dy
dt
= −x + 3y − et.
(b)
dx
dt
= x− y + 2z + e−t − 3t
dy
dt
= 3x− 4y + z + 2e−t + t
dz
dt
= −2x + 5y + 6z + 2e−t − t.
(3)
(4)
(5) (a) X = c1
(
1
2
)
e−t + c2
(
2
1
)
e2t
(b) X = c1
(
1
1
)
et + c2
(
1
3
)
e−t
(c) X = c1
(
1
−1
)
e−3t + c2
(
1
1
)
e−t
(d) x = 3c1 + c2e
−2t, y = 4c1 + 2c2e
−2t
(6) (a) X = c1
 11
1
 e4t + c2
 1−2
1
 et + c3
 10
−1
 e−t
(b) X = c1
 1−4
1
 e−t + c2
 10
−1
 e−t + c3
 21
2
 e8t
(c) x = 4c1e
−2t + 3c2e
−t
y = −5c1e−2t − 4c2e−t + c3e2t
z = −7c1e−2t − 2c2e−t − c3e2t
(7) (a) X = −3
2
(
1
3
)
e2t +
7
2
(
1
1
)
e4t
(b) X =
 0−2
1
 et + 2
 11
0
 e2t
(8) (a) X = c1
(
2
1
)
et + c2
[(
2
1
)
tet +
(
1
0
)
et
]
(b) X = c1
(
1
2
)
+ c2
[(
1
2
)
t−
(
0
1
2
)]
(c) X = c1
(
2
1
)
e−t + c2
[(
2
1
)
te−t +
(
0
2
)
e−t
]
(d) x = c1e
−t/2 + c2te
−t/2
y = c1e
−t/2 + c2
(
te−t/2 + 25e
−t/2)
4
(9) (a) x = (3 + 4t)e−3t
y = (2 + 4t)e−3t
(b) X = 2
(
1
2
)
+ 14
(
3
−1
)
t
(10) (a) X = c1
(
cos(2t)
cos(2t) + sen(2t)
)
et + c2
(
sen(2t)
− cos(2t) + sen(2t)
)
et
(b) X = c1
(
2 cos(2t)
sen(2t)
)
e−t + c2
(
−2 sen(2t)
cos(2t)
)
e−t
(c)
X = c1
(
5 cos(t)
2 cos(t) + sen(t)
)
+ c2
(
sen(t)
− cos(t) + 2 sen(t)
)
(d) x = 5c1e
t/2 cos
(
3
2 t
)
+ 5c2e
t/2 sen
(
3
2 t
)
y = 3c1e
t/2
(
cos
(
3
2 t
)
+ sen
(
3
2 t
))
+ 3c2e
t/2
(
− cos
(
3
2 t
)
+ sen
(
3
2 t
))
(11) (a) x = (cos(t) − 3 sen(t))e−t
y = (cos(t) − sen(t))e−t
(b) x = (cos(t) − 5 sen(t))e−2t
y = (−2 cos(t) − 3 sen(t))e−2t
Transformada de Laplace e Sistemas de EDO/Lista 1 Transf. de Laplace 20182.pdf
Universidade Federal da Bahia
MATA04 Cálculo C 2018.2
Lista de Exerćıcios 1- (Transformada de Laplace)
(1) Encontre a transformada de Laplace da função dada, sendo a e b constantes ambas diferentes de zero.
Lembre-se que cosh(x) =
ex + e−x
2
e senh(x) =
ex − e−x
2
.
(a) f(t) = cosh(bt).
(b) f(t) = senh(bt).
(c) f(t) = eat cosh(bt).
(d) f(t) = eat senh(bt).
(e) f(t) = teat.
(f) f(t) = t sen(at).
(g) f(t) = t cosh(at).
(h) f(t) = tneat, n inteiro positivo.
(i) f(t) = t2 sen(at).
(j) f(t) = t2 senh(at).
(2) Encontre a transformada de Laplace inversa.
(a) F (s) =
3
s2 + 4
.
(b) F (s) =
4
(s− 1)3
.
(c) F (s) =
2
s2 + 3s− 4
.
(d) F (s) =
3s
s2 − s− 6
.
(e) F (s) =
2s+ 2
s2 + 2s+ 5
.
(f) F (s) =
2s− 3
s2 − 4
.
(g) F (s) =
2s+ 1
s2 − 2s+ 2
.
(h) F (s) =
8s2 − 4s+ 12
s(s2 + 4)
.
(i) F (s) =
1− 2s
s2 + 4s+ 5
.
(j) F (s) =
2s− 3
s2 + 2s+ 10
.
(3) Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
(a) y′′′′ − 4y′′′ + 6y′′ − 4y′ + y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1, y′′(0) = 0, y′′′(0) = 1.
(b) y′′′′ − y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0, y′′(0) = 1, y′′′(0) = 0.
(c) y′′′′ − 4y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0, y′′(0) = −2, y′′′(0) = 0.
(4) Esboce o gráfico da função dada no intervalo [0,∞].
(a) f(t) = u1(t) + 2u3(t)− 6u4(t).
(b) f(t) = (t− 3)u2(t)− (t− 2)u3(t).
(c) f(t) = (t− π)2uπ(t).
(d) f(t) = sen(t− 3)u3(t).
(e) f(t) = 2(t− 1)u2(t).
(f) f(t) = (t− 1)u1(t)− 2(t− 2)u2(t) + (t− 3)u3(t).
1
2
(5) Encontre a transformada de Laplace da função.
(a) f(t) =
{
0, t < 2
(t− 2)2, t ≥ 2.
(b) f(t) =
{
0, t < 1
t2 − 2t+ 2, t ≥ 1.
(c) f(t) =

0, t < π
t− π, π ≤ t < 2π
0, t ≥ 2π.
(d) f(t) = u1(t) + 2u3(t)− 6u4(t).
(e) f(t) = (t− 3)u2(t)− (t− 2)u3(t).
(f) f(t) = t− u1(t)(t− 1).
(6) Calcule a transformada de Laplace inversa da função.
(a) F (s) =
3!
(s− 2)4
.
(b) F (s) =
e−2s
s2 + s− 2
.
(c) F (s) =
2(s− 1)e−2s
s2 − 2s+ 2
.
(d) F (s) =
2e−2s
s2 − 4
.
(e) F (s) =
(s− 2)e−s
s2 − 4s+ 3
.
(f) F (s) =
e−s + e−2s − e−3s − e−4s
s
.
(7) Seja f = f(t), t ≥ 0, uma função e suponha que F (s) = L{f(t)} existe para s > a ≥ 0.
(a) Mostre que, se c > 0 é uma constante, então
L{f(ct)} = 1
c
F
(s
c
)
, s > ca.
(b) Mostre que, se k > 0 é uma constante, então
L−1{F (ks)} = 1
k
f
(
t
k
)
.
(c) Mostre que, se a e b são constantes com a > 0, então
L−1{F (as+ b)} = 1
a
e−bt/af
(
t
a
)
.
(8) Use os resultados do exerćıcio anterior para calcular a transformada de Laplace inversa da função.
(a) F (s) =
2n+1
n!
.
(b) F (s) =
2s+ 1
4s2 + 4s+ 5
.
(c) F (s) =
1
9s2 − 12s+ 3
.
(d) F (s) =
e2e−4s
2s− 1
.
(9) Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
(a) y′′ + y = f(t); y(0) = 0, y′(0) = 1; f(t) =
{
1, 0 ≤ t < π/2
0, t ≥ π/2.
(b) y′′ + 2y′ + 2y = h(t); y(0) = 0, y′(0) = 1; h(t) =

0, 0 ≤ t < π
1, π ≤ t < 2π
0, t ≥ 2π.
(c) y′′ + 4y = sen(t)− u2π(t) sen(t− 2π); y(0) = 0; y′(0) = 0.
(d) y′′ + 4y = sen(t)− uπ(t) sen(t− π); y(0) = 0; y′(0) = 0.
(e) y′′ + 3y′ + 2y = f(t); y(0) = 0, y′(0) = 0; f(t) =
{
1, 0 ≤ t < 10
0, t ≥ 10.
(f) y′′ + 3y′ + 2y = u2(t); y(0) = 0, y
′(0) = 1.
(g) y′′ + y = u3π(t); y(0) = 1, y
′(0) = 0.
(h) y′′ + y′ + 54y = t− uπ/2(t)(t− π/2); y(0) = 0, y
′(0) = 0.
3
(i) y′′ + y = g(t); y(0) = 0, y′(0) = 1; g(t) =
{
t/2, 0 ≤ t < 6
3, t ≥ 6.
(j) y′′ + y′ + 54y = g(t); y(0) = 0, y
′(0) = 0; g(t) =
{
sen(t), 0 ≤ t < π
0, t ≥ π.
(k) y′′ + 4y = uπ(t)− u3π(t); y(0) = 0, y′(0) = 0.
(l) yiv − y = u1(t)− u2(t); y(0) = 0, y′(0) = 0, y′′(0) = 0, y′′′(0) = 0.
(m) yiv + 5y′′ + 4y = 1− uπ(t); y(0) = 0, y′(0) = 0, y′′(0) = 0, y′′′(0) = 0.
(10) Encontre a transformada de Laplace da função1.
(a) f(t) =
∫ t
0
(t− u)2 cos(2u) du.
(b) f(t) =
∫ t
0
e−(t−u) sen(u) du.
(c) f(t) =
∫ t
0
(t− u)eu du.
(d) f(t) =
∫ t
0
sen(t− u) cos(u) du.
(11) Encontre a transformada de Laplace inversa da função.
(a) F (s) =
1
s4(s2 + 1)
.
(b) F (s) =
s
(s+ 1)(s2 + 4)
.
(c) F (s) =
1
(s+ 1)2(s2 + 4)
.
(d) F (s) =
G(s)
s2 + 1
.
(12) Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
(a) y′′ + ω2y = g(t); y(0) = 0, y′(0) = 1, ω constante não nula.
(b) 4y′′ + 4y′ + 17y = g(t); y(0) = 0, y′(0) = 0.
(c) y′′ + 4y′ + 4y = g(t); y(0) = 2, y′(0) = −3.
(d) yiv + 5y′′ + 4y = g(t); y(0) = 1, y′(0) = 0, y′′(0) = 0, y′′′(0) = 0.
1Lembre-se que
∫ t
0 h(t− τ)g(τ)d = (h ∗ g)(t) e L{(h ∗ g)(t)} = L{h(t)}L{g(t)}
4
Respostas
(1) (a) L{cosh(bt)} = s
s2 − b2
, s > |b|
(b) L{ senh(bt)} = b
s2 − b2
, s > |b|
(c) L{eat cosh(bt)} = s− a
(s− a)2 − b2
, s− a > |b|
(d) L{eat senh(bt)} = b
(s− a)2 − b2
, s− a > |b|
(e) L{teat} = 1
s− a
, s > a
(f) L{t sen(at)} = 2as
(s2 + a2)2
, s > 0
(g) L{t cosh(at)} = s
2 + a2
(s− a)2(s+ a)2
, s > |a|
(h) L{tneat} = n!
(s− a)n+1
, s > a
(i) L{t2 sen(at)} = 2a(3s
3 − a2)
(s2 + a2)3
, s > 0
(j) L{t2 senh(at)} = 2a(3s
2 + a2)
(s2 − a2)3
, s > |a|
(2) (a) f(t) = 32 sen(t)
(b) f(t) = 2t2et
(c) f(t) = 25e
t − 25e
−4t
(d) f(t) = 95e
3t + 65e
−2t
(e) f(t) = 2e−t cos(2t)
(f) f(t) = 2 cosh(2t)− 32 (2t)
(g) f(t) = 2et cos(t) + 3et sen(t)
(h) f(t) = 3− 2 sen(2t) + 5 cos(2t)
(i) f(t) = −2e−2t cos(t) + 5e−2t sen(t)
(j) f(t) = 2e−t cos(3t)− 53e
−t sen(3t)
(3) (a) y = tet − t2et + 23 t
3et (b) y = cosh(t) (c) y = cos(
√
2t)
(4)
(5) (a) F (s) = e−s/s3
(b) F (s) = e−s(s2 + 2)/s3
(c) F (s) =
e−πs
s2
− e
−2πs
s2
(1 + πs)
(d) F (s) =
1
s
(e−s + 2e−3s − 6e−4s)
(e) F (s) = s−2
[
(1− s) e−2s − (1 + s)e−3s
]
(f) F (s) = (1− e−s)/s2
(6) (a) f(t) = t3e2t
(b) f(t) = 13u2(t)
[
et−2 − e−2(t−2)
]
(c) f(t) = 2u2(t)e
t−2 cos(t− 2)
(d) f(t) = u2(t) senh[2(t− 2)]
(e) f(t) = u1(t)e
2(t−1) cosh(t− 1)
(f) f(t) = u1(t) + u2(t)− u3(t)− u4(t)
(7)
(8) (a) f(t) = 2(2t)n
(b) f(t) = 12e
−t/2 cos(t)
(c) f(t) = 16e
t/3(e2t/3 − 1)
(d) f(t) = 12e
t/2u2(t/2)
(9) (a) y = 1− cos(t) + sen(t)− uπ/2(t)(1− sen(t))
(b) y = e−t sen(t) + 12uπ(t)
(
1 + e−(t−π) cos(t) + e−(t−π) sen(t)
)
− 12u2π(t)
(
1 + e−(t−2π) cos(t)− e−(t−2π) sen(t)
)
(c) y = 16 (1− u2π(t))(2 sen(t)− sen(2t))
(d) y = 16 (2 sen(t)− sen(2t))−
1
6uπ(t)(2 sen(t)− sen(2t))
(e) y = 12 +
1
2e
−t − e−t − u10(t)
(
1
2 +
1
2e
−2(t−10) − e−(t−10)
)
(f) y = e−t − e−2t + u2(t)
(
1
2 − e
−(t−2) + 12e
−2(t−2))
(g) y = cos(t) + u3π(t) (1− cos(t− 3π))
(h) y = h(t)− uπ/2(t)h(t− π/2), h(t) = 425
(
−4 + 5t+ 4e−t/2 cos(t)− 3e−t/2 sen(t)
)
(i) y = 12 sen(t) +
1
2 t−
1
6u6(t) (t− 6− sen(t− 6))
(j) y = h(t)− uπ(t)h(t− π), h(t) = 417
(
−4 cos(t) + sen(t) + 4e−t/2 cos(t) + e−t/2 sen(t)
)
(k) y = uπ(t)
(
1
4 −
1
4 cos(2t− 2π)
)
− u3π(t)
(
1
4 −
1
4 cos(2t− 6π)
)
5
(l) y = u1(t)h(t− 1)− u2(t)h(t− 2), h(t) = −1 + (cos(t) + cosh(t))/2
(m) y = h(t)− uπ(t)h(t− π), h(t) = (3− 4 cos(t) + cos(2t))/12
(10) (a) F (s) =
2
s2(s2 + 4)
(b) F (s) =
1
(s+ 1)(s2 + 1)
(c) F (s) =
1
s2(s− 1)
(d) F (s) =
s
(s2 + 1)2
(11) (a) f(t) = 16
∫ t
0
(t− u)3 sen(u) du ou
f(t) = t3 ∗ sen(t)
(b) f(t) =
∫ t
0
e−(t−u) cos(u) du ou
f(t) = e−t ∗ cos(t)
(c) f(t) = 12
∫ t
0
(t− u)e−(t−u) sen(2u) du ou
te−t ∗ sen(2t)
(d) f(t) =
∫ t
0
sen(t− u)g(u) du ou
sen(t) ∗ g(t)
(12) (a) y =
1
ω
sen(ωt) +
1
ω
(sen(ωt) ∗ g(t))
(b) y =
1
8
(e−t sen(2t) ∗ g(t))
(c) y = 2e−2t + te−2t + (te−2t ∗ g(t))
(d) y =
4
3
cos(t)− 1
3
cos(2t) +
1
6
((2 sen(t)− sen(2t)) ∗ g(t))