AP3_2019 01_Int_Prob_Est_Gabarito

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INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTAT́ISTICA AP3 - gabarito 1
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA – GABARITO – 2019/1
Questão 1 [2,0 pontos] Um grupo é formado por 12 professores, sendo
3
4
de professores da área
de Ciências Exatas e o restante de professores da área de Humanas. Uma comissão deve ser formada
desses professores. Determine o número máximo de comissões que podem ser formadas, sabendo
que cada comissão deve ser formada por quatro professores.
Solução.
Como são 12 professores, temos que o número máximo de comissões que podem ser formadas é
C(12, 4) =
12× 11× 10× 9
4!
= 495 .
Questão 2 [2,0 pontos] Determine a expansão de (x− 1)5, usando Binômio de Newton.
Solução.
(x− 1)5 = C(5, 0)x5(−1)0 + C(5, 1)x4(−1)1 + C(5, 2)x3(−1)2
+C(5, 3)x2(−1)3 + C(5, 4)x1(−1)4 + C(5, 5)x0(−1)5 .
Assim, (x− 1)5 = x5 − 5x4 + 10x3 − 10x2 + 5x− 1 .
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTAT́ISTICA AP3 - gabarito 2
Questão 3 [2,0 pontos] Um par de dados equilibrados é jogado e são anotados os números de
suas faces voltadas para cima. Determine a probabilidade de se ter soma maior ou igual a 6 com
os números obtidos, sabendo que em pelo menos um dos dados obteve-se o número 4 em sua face
voltada para cima.
Solução.
O espaço amostral Ω tem 36 elementos, pois são 6 × 6 possibilidades. Assim, #Ω = 36. Conside-
remos o evento A correspondente à soma dos pontos dos dados ser maior ou igual a 6. Nesse caso,
temos,
A = {(1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 4),
(3, 5), (3, 6), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1),
(5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3),
(6, 4), (6, 5), (6, 6)}.
Logo, #A = 26. Portanto, P (A) =
26
36
=
13
18
.
Consideremos o evento B correspondente a obter o número 4 em pelo menos um dos dados. Temos,
B = {(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (5, 4), (6, 4)
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (4, 6)}.
Assim, #B = 11 e P (B) =
11
36
. Queremos calcular, P (A|B) = P (A ∩B)
P (B)
.
Temos, A ∩B = {(2, 4), (3, 4), (4, 4), (5, 4), (6, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (4, 6)} .
Logo, P (A ∩B) = 9
36
=
1
4
e, portanto, P (A|B) = 1/4
11/36
=
9
11
.
Questão 4 [2,0 pontos] Em uma população, o número de homens é igual ao de mulheres. Sabe-se
ainda que 5% dos homens desta população são daltônicos e 1% das mulheres são daltônicas. Uma
pessoa desta população é selecionada ao acaso. Determine a probabilidade de a pessoa selecionada
ser daltônica?
Solução.
Neste problema, o espaço amostral é formado pelas pessoas que pertencem à população citada.
Considere então os seguintes eventos:
H: pessoas da população que são homens; M : pessoas da população que são mulheres e D: pessoas
da população que são daltônicas.
De acordo com as informações contidas no enunciado, temos que: P (H) = 0, 5, P (M) = 0, 5 ,
P (D|H) = 0, 05 e P (D|M) = 0, 01.
Usando o Teorema da Probabilidade Total, temos
P (D) = P (D|M)× P (M) + P (D|H)× P (H) = 0, 01× 0, 5 + 0, 05× 0, 5 = 0, 03 .
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTAT́ISTICA AP3 - gabarito 3
Questão 5 [2,0 pontos] Uma moeda é viciada de modo que a probabilidade de se obter cara, no
seu lançamento, é o triplo da probabilidade de se obter coroa. Considere que a moeda é lançada 5
vezes e que X é a variável aleatória correspondente ao número de caras obtidas nos lançamentos.
Determine a probabilidade de X ser igual a 3.
Solução.
Consideremos p a probabilidade de se obter coroa em um lançamento.
Assim, p + 3p = 1. Portanto, p =
1
4
.
Para que X seja igual a 3, devemos ter cara em três lançamentos, dos cinco.
A probabilidade de se obter cara, em um lançamento, é
3
4
. Assim, usando a lei binomial,
P [X = 3] = C(5, 3)(1− p)3p2 = 10
(
3
4
)3(
1
4
)2
=
135
512
.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ