UD1 Cinemática de la Partícula II

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Ing. Angel Sorni Moreno
asorni@usat.edu.pe
CINEMÁTICA DE LA 
PARTÍCULA Y 
MOVIMIENTO 
RELATIVO
Parte 2. Movimiento 
curvilíneo
Dinámica y vibraciones
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 El alumno calcula, con rigurosidad, la velocidad, la
aceleración, componentes intrínsecas de la aceleración
de un punto móvil en diversos sistemas de
coordenadas. Determina la velocidad y la aceleración de
una partícula que se mueve con respecto a un sistema
de coordenadas móvil.
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Objetivos
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1. Introducción a la dinámica
2. Movimiento rectilíneo de partículas
1. Posición, velocidad y aceleración
2. Determinación del movimiento de una partícula
3. Movimiento rectilíneo uniforme
4. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
5. Movimiento de varias partículas
6. Solución gráfica de problemas de movimiento rectilíneo
7. Otros métodos gráficos
3. Movimiento curvilíneo de partículas
1. Vector de posición, velocidad y aceleración.
2. Derivadas de funciones vectoriales
3. Componentes rectangulares de la velocidad y la aceleración
4. Movimiento relativo a un sistema de referencia en traslación
5. Componentes tangencial y normal
6. Componentes radial y transversal
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA Y 
MOVIMIENTO RELATIVO
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• La dinámica incluye:
- Cinemática: estudio de la geometría del movimiento. La cinemática
relaciona el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, y el tiempo
sin hacer referencia a la causa que produce el movimiento.
- Cinética: estudio de las relaciones existentes entre las fuerzas que
actúan en un sólido, la masa del sólido, y el movimiento del sólido. La
cinética predice el movimiento causado por las fuerzas dadas o
determina las fuerzas requeridas que producen un determinado
movimiento.
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1. INTRODUCCIÓN
• Movimiento rectilíneo: posición, velocidad, y aceleración de una partícula
cuando esta se desplaza a lo largo de una línea recta.
• Movimiento curvilíneo: posición, velocidad, y aceleración de una partícula
cuando esta se desplaza a lo largo de una línea curva en dos o tres
dimensiones.
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• El movimiento de la partícula a lo largo de una curva
se denomina movimiento curvilíneo.
• El vector de posición de una partícula en el instante t
se define por el vector entre el origen O de un
sistema de referencia fijo y la posición ocupada por
la partícula.
• Considere la partícula que ocupa la posición P
definida por ҧ𝑟 en el instante t y P’ definida por ഥ𝑟′ en
el instante t + Δt,
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3.1. MOVIMIENTO CURVILÍNEO: POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
ҧ𝑣 = lim
∆𝑡→0
∆ ҧ𝑟
∆𝑡
=
𝑑 ҧ𝑟
𝑑𝑡
= 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡á𝑛𝑒𝑎 (𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟)
𝑣 = lim
∆𝑡→0
∆𝑠
∆𝑡
=
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡á𝑛𝑒𝑎 (𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟)
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• Considere la velocidad ҧ𝑣 de una partícula en el
instante t y la velocidad ഥ𝑣′ en el instante t + Δt,
• En general, el vector aceleración no es tangente a la
trayectoria de la partícula ni al vector velocidad.
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3.1. MOVIMIENTO CURVILÍNEO: POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
ത𝑎 = lim
∆𝑡→0
∆ ҧ𝑣
∆𝑡
=
𝑑 ҧ𝑣
𝑑𝑡
= 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡á𝑛𝑒𝑎 (𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟)
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• Sea ത𝑃 𝑢 una función vectorial de una variable escalar u,
• La derivada del vector suma,
• La derivada del producto de un escalar por la función
vectorial,
• La derivada del producto escalar y del producto vectorial,
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3.2. DERIVADAS DE FUNCIONES VECTORIALES
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• Cuando el vector posición de una partícula P, se expresa
en sus componentes rectangulares,
• El vector velocidad,
• El vector aceleración,
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3.3. COMPONENTES RECTANCULARES DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN
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• Las componentes rectangulares son particularmente
efectivas cuando las componentes de la aceleración
pueden ser integradas independientemente, p.e., el
movimiento de un proyectil,
con las condiciones iniciales,
Integrando dos veces
• El movimiento en la dirección horizontal es
uniforme.
• El movimiento en la dirección vertical es
uniformemente acelerado.
• El movimiento del proyectil puede ser reemplazado
por dos movimientos rectilíneos independientes.
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3.3. COMPONENTES RECTANCULARES DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN
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• Cualquier sistema de referencia puede designarse como
fijo; todos los demás sistemas de referencia que no se
unan rígidamente a este sistema de referencia se
describirían en ese caso como móviles.
• Los vectores posición de las partículas A y B respecto el
sistema de referencia fijo Oxyz son ഥ𝑟𝐴 𝑦 𝑟𝐵.
• El vector ҧ𝑟𝐵/𝐴 que une A y B define la posición de B
respecto del sistema de referencia móvil Ax’y’z’ y
• Derivando dos veces,
• El movimiento absoluto de B puede obtenerse
combinando el movimiento de A con el movimiento
relativo de B respecto el sistema de referencia móvil
unido a A.
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3.4. MOVIMIENTO RELATIVO A UN SISTEMA DE REFERENCIA EN TRASLACIÓN
velocidad relativa de B respecto de A
aceleración relativa de B respecto de A
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• La velocidad de una partícula es un vector tangente a la
trayectoria de la misma pero, en general, la aceleración no
es tangente a la trayectoria. En ocasiones resulta
conveniente descomponer la aceleración en componentes
dirigidas, respectivamente, a lo largo de la tangente y la
normal de la trayectoria de la partícula.
• ഥ𝑒𝑡 𝑦 𝑒𝑡′ son vectores unitarios tangentes a la trayectoria
que describe la partícula en P y P’. Si los dibujamos
respecto el mismo origen, Δ ҧ𝑒𝑡 =𝑒𝑡′ − ഥ𝑒𝑡 y Δθ es el ángulo
entre ellos.
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3.5. COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL
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• Si expresamos el vector velocidad como ҧ𝑣 = 𝑣 ഥ𝑒𝑡 la
aceleración de la partícula puede escribirse como,
pero
sustituyendo
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3.5. COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL
• Las relaciones obtenidas expresan que la magnitud de la 
componente tangencial de la aceleración es igual a la razón 
de cambio de la velocidad de la partícula, en tanto que la 
magnitud de la componente normal es igual al cuadrado de 
la velocidad dividida entre el radio de curvatura de la 
trayectoria en P. Si aumenta la velocidad de la partícula, at
es positiva y la componente vectorial at apunta en 
dirección al movimiento. La componente vectorial an por 
otro lado, siempre se dirige hacia el centro de curvatura C 
de la trayectoria.
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• Las relaciones de aceleración tangencial y normal también
se cumplen para una partícula que se mueve a lo largo de
una curva en el espacio
• El plano que contiene a los vectores unitarios tangencial y
normal se denomina el plano osculador.
• La normal al plano osculador se halla,
• La aceleración no tiene componente sobre la binormal.
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3.5. COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL
𝑒𝑏 = 𝑒𝑡𝑥𝑒𝑛
𝑒𝑛 = 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙
𝑒𝑏 = 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙
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• Cuando la posición de la partícula se da en coordenadas
polares, es conveniente expresar la velocidad la
aceleración en componentes paralelas y perpendiculares a
OP.
• El vector de velocidad de la partícula es
• De forma similar, el vector de aceleración de la partícula es
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3.5. COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL
r
r e
d
ed
e
d
ed 







dt
d
e
dt
d
d
ed
dt
ed rr 





dt
d
e
dt
d
d
ed
dt
ed
r


 


rerr


 




erer
e
dt
d
re
dt
dr
dt
ed
re
dt
dr
er
dt
d
v
r
r
r
rr






    






errerr
dt
ed
dt
d
re
dt
d
re
dt
d
dt
dr
dt
ed
dt
dr
e
dt
rd
e
dt
d
re
dt
dr
dt
d
a
r
r
r
r







22
2
2
2
2









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• Cuando la posición de la partícula se da en coordenadas
cilíndricas, es conveniente expresar los vectores de
velocidad y la aceleración usando los vectores unitarios
𝑒𝑅 , 𝑒𝜃 , 𝑦 𝑘.
• El vector de posición
• El vector velocidad
• El vector aceleración
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3.6. COMPONENTES RADIAL Y TRANSVERSAL
kzeRr R


kzeReR
dtrd
v R





 
    kzeRReRR
dt
vd
a R





  2
2