EDL-Lista3

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM - LISTA 1
1. Nos problemas abaixo, determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.
(a) 4y′′ + y′ = 0
(b) y′′ − 36y = 0
(c) y′′ − y′ − 6y = 0
(d) y′′ − 3y′ = 2y = 0
(e) y′′ + 8y′ + 16y = 0
(f) y′′ − 10y′ + 25y = 0
(g) 12y′′ − 5y′ − 2y = 0
(h) y′′ + 4y′ − y = 0
(i) y′′ + 9y = 0
(j) 3y′′ + y = 0
(k) y′′ − 4y′ + 5y = 0
(l) 2y′′ + 2y′ + y = 0
(m) 3y′′ + 2y′ + y = 0
(n) 2y′′ − 3y′ + 4y = 0
(o) y′′ + 2y′ − 3y = 0
(p) y′′ − 2y′ − 2y = 0
(q) y′′ + y′ + 1, 25y = 0
(r) y′′ − 2y′ + 2y = 0
(s) 9y′′ + 6y′ + y = 0
(t) 16y′′ + 24y′ + 9y = 0
2. Nos problemas abaixo, resolva o problema de valor inicial.
(a) y′′ + 16y = 0, y(0) = 2, y′(0) = −2
(b) 4y′′ − 4y′ − 3y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 5
(c) 4y′′ − y = 0, y(−2) = 1, y′(−2) = −1
(d) y′′ − 2y′ + 5y = 0, y(π/2) = 0, y′(π/2) = 2
(e) y′′ − 6y′ + 9y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 2
3. Encontre a solução do problema de valor inicial
y′′ − y = 0, y(0) = 5
4
, y′(0) = −3
4
.
Faça o gráfico da solução para x ∈ [0, 2] e determine seu valor mı́nimo.
4. Resolva o problema de valor inicial 4y′′ − y = 0, y(0) = 2, y′(0) = β. Depois encontre β
de modo que a solução tende a zero quando x→∞.
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5. Em cada um dos itens abaixo, determine o maior intervalo no qual o problema de valor
inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não precisa
encontrar a solução.
(a) xy′′ + 3y = x, y(1) = 1, y′(1) = 2
(b) (x− 1)y′′ − 3xy′ + 4y = senx, y(−2) = 2, y′(−2) = 1
(c) x(x− 4)y′′ + 3xy′ + 4y = 2, y(3) = 0, y′(3) = −2
(d) y′′ + (cosx)y′ + 3(ln |x|)y = 0, y(2) = 3, y′(2) = 1
6. Encontre o Wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada sem resolver a
equação.
(a) x2y′′ − x(x+ 2)y′ + (x+ 2)y = 0
(b) (cosx)y′′ + (senx)y′ − xy = 0
(c) x2y′′ + xy′ + (x2 − ν2)y = 0 (Equação de Bessel)
(d) (1− x2)y′′ − 2xy′ + α(α+ 1)y = 0 (Equação de Legendre)
7. Mostre que, se p é diferenciável e p(x) > 0, então o Wronskiano W (x) de duas soluções de
[p(x)y′]′ + q(x)y = 0 é W (x) = c/p(x), em que c é uma constante.
8. Suponha que p e q são cont́ınuas e que as funções y1 e y2 são soluções da equação diferencial
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 em um intervalo aberto I.
(a) Prove que, se y1 e y2 se anulam em um mesmo ponto em I, então não podem formar
um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.
(b) Prove que, se y1 e y2 atingem um máximo ou mı́nimo em um mesmo ponto em I,
então não podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.
(c) Prove que, se y1 e y2 têm um ponto de inflexão em comum em x0 ∈ I, então não
podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo, a menos que
ambas as funções p e q se anulem em x0.
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