EDL-Lista6

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SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS - LISTA 2
1. Determine a solução geral de cada sistema abaixo.
(a)

dx
dt
= x + 2y
dy
dt
= 4x + 3y
(b)

dx
dt
= 2y
dy
dt
= 8x
(c) X ′ =
 10 −5
8 −12
X
(d) X ′ =
 −6 2
−3 1
X
(e)

dx
dt
= x + y − z
dy
dt
= 2y
dz
dt
= y − z
(f)

dx
dt
= 2x− 7y
dy
dt
= 5x + 10y + 4z
dz
dt
= 5y + 2z
(g) X ′ =

−1 1 0
1 2 1
0 3 −1
X
(h) X ′ =

1 0 1
0 1 0
1 0 1
X
2. Resolva o sistema dado, sujeito às condições iniciais indicadas.
(a) X ′ =
 12 0
1 −1
2
X, X(0) =
 3
5

(b) X ′ =

1 1 4
0 2 0
1 1 1
X, X(0) =

1
3
0

3. Determine a solução geral de cada sistema abaixo.
(a)

dx
dt
= 6x− y
dy
dt
= 5x + 2y
(b)

dx
dt
= x + y
dy
dt
= −2x− y
1
(c) X ′ =
 4 −5
5 −4
X
(d) X ′ =
 1 −8
1 −3
X
(e)

dx
dt
= z
dy
dt
= −z
dz
dt
= y
(f)

dx
dt
= 2x + y + 2z
dy
dt
= 3x + 6z
dz
dt
= −4x− 3z
(g) X ′ =

1 −1 2
−1 1 0
−1 0 1
X
(h) X ′ =

4 0 1
0 6 0
−4 0 4
X
4. Resolva o sistema dado, sujeito às condições iniciais indicadas.
(a) X ′ =

1 −12 −14
1 2 −3
1 1 −2
X, X(0) =

4
6
−7

(b) X ′ =
 6 −1
5 4
X, X(0) =
 −2
8

5. Determine a solução geral de cada sistema abaixo.
(a)

dx
dt
= 3x− y
dy
dt
= 9x− 3y
(b)

dx
dt
= −6x + 5y
dy
dt
= −5x + 4y
(c)

dx
dt
= −x + 3y
dy
dt
= −3x + 5y
(d)

dx
dt
= 12x− 9y
dy
dt
= 4x
(e)

dx
dt
= 3x− y − z
dy
dt
= x + y − z
dz
dt
= x− y + z
(f)

dx
dt
= 3x + 2y + 4z
dy
dt
= 2x + 2z
dz
dt
= 4x + 2y + 3z
(g) X ′ =

5 −4 0
1 0 2
0 2 5
X
2
(h) X ′ =

1 0 0
0 3 1
0 −1 1
X
6. Resolva o sistema dado, sujeito às condições iniciais indicadas.
(a) X ′ =
 2 4
−1 6
X, X(0) =
 −1
6

(b) X ′ =

0 0 1
0 1 0
1 0 0
X, X(0) =

1
2
5

7. Se Φ(t) é uma matriz fundamental do sistema, o problema de valor inicial X ′ = AX,
X(t0) = X0, admite a solução X = Φ(t)Φ
−1(t0)X0. Nos itens abaixo, utiliza esse
resultado para resolver o sistema dado, sujeito à condição inicial indicada.
(a) X ′ =
 4 3
3 −4
X, X(0) =
 1
1

(b) X ′ =
 − 225 1502
25
− 2
25
X, X(0) =
 25
0

8. Ache uma solução do sistema, na forma X = tλK, t > 0, onde K é um vetor coluna
de constantes.
(a) tX ′ =
 1 3
−1 5
X (b) tX ′ =
 2 −2
2 7
X
3