Apostila de Estruturas Especiais_2020

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Estruturas Especiais – Professor Paulo Barreto 
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CAPÍTULO I –ESCADAS 
1- INTRODUÇÃO 
 As escadas de edificações podem ser projetadas nas mais variadas 
formas e dimensões, dependendo do espaço disponível, do uso da edificação e 
do trafego de pessoas. A figura a seguir apresenta alguns formatos usuais de 
escadas. 
 
Figura 1- Formatos usuais de escadas: a- escada em único lance; b- escada em L;c- 
escada em U; d- escada caracol; e- escada U com degraus tipo leque. 
 As escadas são normalmente apoiadas em vigas nas extremidades ou 
longitudinalmente. Dependendo da localização dos apoios, elas podem ser 
classificadas como armadas transversalmente, escadas armadas 
longitudinalmente ou armadas em cruz. Essas três situações são apresentadas 
na figura a seguir. 
 
 Figura 2- Classificação quanto a direção das armaduras principais. 
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 A largura das escadas pode variar muito em função dos seguintes 
fatores: quantidade de usuários; tipo de edificação; finalidade da escada 
(acesso restrito ou acesso ao público); legislação municipal. De maneira geral, 
essas larguras variam da ordem de 0,80 m, 1,20 m, até 2,0 m. 
 A relação entre a altura dos degraus (espelho) e a dimensão do piso 
pode variar muito, mas deve garantir comodidade ao usuário. No projeto de 
escadas a relação mas usual é a fórmula de Blondel,que é apresentada a 
seguir: 
a + 2e = 64cm 
 As variáveis “a” e “e” são apresentadas na figura a seguir: 
 
Figura 3- Dimensões dos degraus de uma escada. 
 A altura e dos degraus deve situar-se entre 16 a 19 cm e a largura a 
deve ficar compreendida entre 26 e 32 cm. O ângulo  de inclinação da escada 
pode ser obtido me função das dimensões dos degraus e do comprimento total 
da escada. 
 Usualmente, a espessura h da laje sob os degraus varia entre 7 e 12 cm, 
dependendo dos vãos e das cargas, bem como do tipo de apoio da escada. 
 
2- CARGAS NAS ESCADAS 
 As cargas atuantes em uma escada são agrupadas em duas classes: 
cargas permanentes e cargas acidentais. As cargas permanentes englobam o 
revestimento, o peso próprio da estrutura e o peso dos parapeitos. As cargas 
acidentais são uniformemente distribuídas sobre a superfície da escada. Serão 
tratadas a seguir as cargas atuantes em uma escada. 
 
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A) Peso próprio 
 O peso próprio de uma escada é avaliado por metro quadrado de 
projeção horizontal, ou seja, ele é uma carga vertical tanto para o patamar, 
quanto para os trechos inclinados. Assim o peso próprio do patamar é dado 
por: 
Peso do patamar = 25 hp (em kN/m²) 
No trecho inclinado, deve-se levar em conta o peso dos degraus. Se h é 
a espessura da laje situada abaixo dos degraus, sua espessura h1, medida na 
vertical será dada por: 
h1 = h / cos  ( é o ângulo de inclinação da escada) 
A espessura hm, medida na vertical é dada por: 
hm = h1 + e / 2 
O peso próprio do trecho inclinado será dado por: 
25 hm (em kN/m²) 
B) Revestimento 
 O peso do revestimento depende basicamente do material empregado, 
sendo considerado também, como uma carga vertical por metro quadrado. 
Quando não há conhecimento do material a ser empregado no revestimento da 
escada ou do patamar, utiliza-se um valor de 1,0 kN/m². 
C) Parapeitos 
 Quando a escada apóia-se em vigas laterais inclinadas, o parapeito se 
apóia nessas vigas, não entrando na composição do carregamento da escada. 
Se a escada possui vigas laterais ou é uma escada em balanço o parapeito se 
apóia na própria escada (figura 4). 
 
Figura 4- Detalhe do parapeito de uma escada. 
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 Para os parapeitos de alvenaria, o peso específico de 1m de parapeito é 
dado por: 
Peso de parapeito/ m = aHt (kN/m²) 
Sendo: 
a - o peso específico da alvenaria ( 13kN/m³ para tijolos cerâmicos furados e 18 
kN/m³ para tijolos cerâmicos maciços); 
H- é a altura da alvenaria; 
t- é a espessura da alvenaria; 
 A maneira como a carga do parapeito entra no cálculo dos esforços 
solicitantes depende do tipo de escada. Para as escadas com um bordo 
engastado e o outro livre, o parapeito entrará no cálculo como carga linear, 
distribuída ao longo da extremidade em balanço. Neste caso, o valor é dado 
pela equação acima. 
 Para as escadas armadas longitudinalmente, a carga linear deverá ser 
transformada em uma carga distribuída por área de escada. Essa carga será: 
Peso de parapeito/ m² = aHt / L (kN/m²), onde L é a largura da escada. 
D) Carga acidental nos Parapeitos 
 De acordo com a NBR-6120, ao longo de parapeitos e balcões devem 
ser considerados os carregamentos indicados na figura a seguir. 
 
Figura 5- Cargas acidentais no parapeito de uma escada. 
 
 
 
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3-ESFORÇOS NAS ESCADAS 
 Considere-se uma escada armada longitudinalmente sob a ação de uma 
carga vertical p, uniformemente distribuída. O modelo para cálculo de esforços 
é o de uma barra inclinada, conforme indicado na figura a seguir. 
 
Figura 6- Modelo de cálculo em barras inclinadas. 
 Em uma seção s, situada a uma distância x do apoio inferior, as força 
atuantes serão: 
 
 
Considerando que a barra apresentada é inclinada, apenas a força 
vertical Q(x) não representa o esforço cortante na seção. Para encontrar os 
esforços solicitantes, é necessário decompor a força Q(x) em uma componente 
normal N(x), e uma componente V(x) transversal ao eixo da barra. As 
expressões do cortante e do esforço normal, considerando a inclinação  da 
escada 
 
 
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 Na figura abaixo estão representados os diagramas de esforços 
solicitantes na barra inclinada. Observa-se que as solicitações são de flexão 
composta (flexão onde ocorre força normal  0). Entretanto, na seção onde o 
momento fletor é máximo, o esforço normal eo cortante são nulos. Assim, para 
simplificar o projeto da escada, dimensiona-se a armadura em flexão simples. 
 
Figura 7- Diagramas de esforços solicitantes. 
4-MODELOS SIMPLIFICADOS DE CÁLCULO PARA ESCADAS 
4.1- Escada de um lance, armada transversalmente, com vigas laterais 
 Esse tipo de escada apóia-se em vigas laterais, conforme a figura a 
seguir. As cargas devidas aos parapeitos são aplicadas diretamente sobre as 
vigas, não tendo influencia no cálculo da escada. 
 
Figura 8- Escada apoiada em vigas laterais. 
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 Essas escadas podem ser calculadas como uma laje armada na direção 
transversal. Considerando-se que o vão l de é pequeno, eese tipo de escada 
exige um pequeno valor para a espessura da laje sobre os degraus ( utiliza-se 
comumente h  5cm). 
 A figura a seguir indica o modelo de calculo adotado e os diagramas de 
esforços solicitantes na direção transversal. 
 
Figura 9- Modelo de cálculo e esforços solicitantes. 
 A carga p (kN/m²) é a soma do peso próprio, do revestimento e da carga 
acidental uniformemente distribuída na escada. O momento fletor máximo e o 
esforço cortante serão dados por: 
M = pl²/8 (kN.m/m) 
V= PL/2 (kN/m) 
 Como o momento fletor é positivo, os degraus da escada estão 
comprimidos, logo, a zona comprimida terá formato triangular. Para simplificar 
o cálculo, pode-se fazer o dimensionamento considerando umaseção 
retangular equivalente, com altura média hm da seção, conforme a figura a 
seguir. 
 
Figura 10- Seção retangular equivalente para dimensionamento. 
 
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 A armadura principal, de área As, é disposta na direção transversal e 
deve ser ancorada nas vigas laterais. Em geral, o comprimento de ancoragem 
é pequeno, bastando prolongar as barras até as extremidades das vigas e 
fazer dobradura em formato de gancho. Na direção longitudinal deve-se dispor 
uma armadura de distribuição conforme o esquematizado na figura abaixo. 
 
Figura 11- Disposição das armaduras. 
 
4.2- Escada de um lance, armada longitudinalmente 
 Na figura abaixo é apresentada uma escada de um lance, apoiada nas 
vigas V1 e V2, situadas nos níveis dos pisos. Neste caso a escada é calculada 
como uma viga inclinada, conforme mostrado na mesma figura. 
 
Figura 12- Escada armada longitudinalmente. 
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 A carga p (kN/m²) para o dimensionamento incluirá o peso próprio, o 
revestimento e a carga acidental distribuída sobre a superfície da escada. 
Quando houver parapeito, é necessário acrescentar o seu peso acrescido de 
uma carga acidental de 2,0 kN/m. A carga total do parapeito deve ser dividida 
pela largura da escada para serem expressas em kN/m². 
 Esse tipo de escada pode exigir valores mais elevados para a espessura 
h da laje, pois o maior momento solicitante se dará no sentido longitudinal da 
escada. A seção a ser utilizada no dimensionamento será a indicada na figura 
a seguir. 
 
Figura 13 Seção para dimensionamento para armadura. 
 O momento fletor de serviço é M = pl²/8 e o esforço cortante máximo é V 
= (PL/2) cos .Na ligação da escada com os pisos há um pequeno 
engastamento, devendo-se adotar uma armadura negativa mínima, visando 
limitar a fissuração, conforme a figura a seguir. 
 
Figura 14- Disposição das armaduras. 
 
 
 
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4.3- Escada em balanço, engastada em viga lateral. 
 Esse tipo de escada é apresentado na figura a seguir, onde também é 
indicado o modelo de cálculo. 
 
Figura 15- Detalhe da escada e modelo de cálculo. 
 A escada é calculada como uma laje em balanço, engastada na viga 
lateral V1. As cargas são compostas pelas seguintes parcelas: 
p (kN/m²) = peso próprio acrescido do revestimento e da carga acidental 
uniformemente distribuída sobre a escada; 
F (kN/m) = carga acidental de 0,8 kN/m, atuando no topo do parapeito; 
Q (kN/m) = peso próprio do parapeito acrescido da carga acidental vertical de 
2,0 kN/m. 
 Com o carregamento indicado na figura acima, calculam-se o momento 
fletor e esforço cortante máximos que ocorrem na seção do engaste. Os 
valores característicos desses esforços são apresentados nas expressões a 
seguir: 
M = - (pl²/2 + Ql + Fh) (kN.m/m) 
V = PL + Q (kN/m) 
 
 A seção para o dimensionamento deste modelo de escada é indicada na 
figura a seguir, onde se observa que a parte superior dos degraus está 
tracionada (devido ao momento fletor negativo). A armadura a ser colocada em 
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cada degrau é igual a As (cm²), onde a é a largura do degrau em metros e As é 
a área de aço obtida no dimensionamento. 
 
Figura 16- Seção retangular para dimensionamento 
 Na figura a seguir, indica-se o detalhe da armadura principal que deve 
ser ancorada na viga lateral. Na direção longitudinal é colocada uma armadura 
de montagem que serve para melhor distribuição dos esforços. 
 
Figura 17- Disposição das armaduras 
 No cálculo da viga de apoio devem ser considerados o carregamento 
vertical e os momentos fletores e torçores. O cálculo é análogo ao que se faz 
para vigas de sustentação de marquises. 
 Para o carregamento vertical, pode-se admitir que a viga seja 
simplesmente apoiada nos pilares. A carga atuante é composta pela ação 
vertical da escada (força V da equação da página anterior), pelo peso próprio 
da viga e pelo peso da alvenaria sobre a mesma. 
 A escada também transmite à viga o momento M por unidade de 
comprimento, dado na equação da página anterior. Uma vez que o plano de 
flexão da escada é vertical e o eixo da viga é inclinado, M não representa um 
momento torçor por unidade de comprimento (como ocorre nas vigas de 
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marquises). Para encontrar o momento torçor, é necessário fazer uma 
decomposição desse momento, como indicado na figura a seguir: 
 
Figura 18- Decomposição do momento transmitido pela escada 
 O momento M e decomposto em um momento torçor mt e em um 
momento fletor lateral ml, ambos por unidade de comprimento. Esses 
momentos são dados por: 
mt = M cos α 
ml = M sen α 
(onde α é a inclinação da escada) 
 Na figura a seguir representa-se o eixo da viga submetido ao momento 
torçor mt, agindo ao longo do comprimento inclinado li. O momento T torçor 
máximo nos extremos da viga é dado pela expressão a seguir: 
T = mt (li / 2) 
 Substituindo a expressão de mt, dada na equação acima, e observando-
se que li = lv / cos α, obtém-se: 
T = Mlv / 2 
 O comprimento lv é apresentado na figura a seguir: 
 
Figura 19- Momento torçor na viga inclinada de apoio da escada. 
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4.4- Escada de dois lances com um patamar intermediário. 
 Na figura abaixo, apresenta-se uma escada com dois lances armados 
longitudinalmente, possuindo um patamar intermediário. A escada está apoiada 
nas vigas V1, situadas nos níveis dos pisos, e na viga intermediaria V2, situada 
no nível do patamar. Se a viga intermediaria não for projetada, a escada deverá 
ser calculada como uma estrutura espacial e hiperestática. 
 
Figura 20- Escada de dois lances com patamar intermediário. 
 Para grandes vão pode ser conveniente projetar uma viga no início do 
trecho inclinado. Neste caso, a laje do patamar com vão l1, será calculada 
separadamente da escada. Na figura a seguir indicam-se o modelo de cálculo e 
o diagrama de momentos fletores na escada. A carga p1(kN/m²) inclui o peso 
próprio das lajes, o revestimento e carga acidental. Na carga p2 (kN/m²) 
também é levado em conta o peso dos degraus e carga do parapeito. 
 
Figura 21- Carregamento e momentos fletores. 
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 Com o momento fletor máximo M, dimensiona-se uma seção retangular 
com largura b = 1m e altura h. Se hp < h, também será preciso dimensionar os 
patamares para os momentos M1 e M2. Adota-se a maior armadura As obtida 
nos três dimensionamentos. A armadura principal é colocada na direção 
longitudinal. Na direção transversal coloca-se a armadura de distribuição. A 
armadura principal deverá ser ancorada nas vigas de apoio das extremidades. 
 Na figura abaixo, indicam-se os detalhes das armaduras de uma escada 
de dois lances. Deve-se observar o posicionamento correto das armaduras, de 
maneira a evitar o fenômeno conhecido como “empuxo ao vazio”, onde o aço 
tende à expulsar o cobrimento. 
 
 Figura 22- Armaduras e detalhes. 
 
4.5- Escada de dois lances em L. 
 Na figura a seguir (figura 28) é apresentada uma escada em formato de 
“L”, apoiada nas vigas V1 e V2,situadas nos pisos. Essa escada apoia-se, 
também, em uma viga V3 no nível do patamar. O ponto o indicado na figura 
representa o centro do patamar. 
 
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 Essa escada pode ser calculada admitindo-se que o patamar é um apoio 
indireto para o trecho L1, de forma análoga ao que é feito para vigas. Esse 
trecho está apoiado na viga V2 e no centro do patamar. A reação Ro obtida do 
cálculo desse trecho é considerada como uma carga adicional para o trecho L2, 
conforme o indicado na figura 23. Como todas as cargas são expressas por 
unidade de área e a reação Ro é dada por unidade de comprimento, é preciso 
dividi-la pela largura L da escada, antes de ser superposta às cargas do trecho 
L2. 
 
Figura 23- Aspecto de escada em L. 
 
Figura 24- Modelo de cálculo de escada em L. 
 
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4.6- Escada de três lances em L. 
 Na figura a seguir (figura 25), encontra-se representada uma escada de 
três lances armados longitudinalmente. A escada é apoiada nas vigas V1 e V2, 
nos níveis dos pisos, e na viga intermediaria V3, acompanhando o trecho L2. A 
viga V3 pode possuir desvio em seu eixo ou ter uma altura suficiente para 
apoiar todo o trecho L2, inclusive os patamares. 
 
Figura 25- Aspecto de escada de três lances. 
 O trecho pode ser calculado como uma viga apoiada nos centros o e o’ 
dos dois patamares. Para levar em conta a influencia da viga V3, esse trecho 
pode ser calculado considerando-se a metade das cargas, conforme figura 26. 
 
Figura 26- Modelo de cálculo do trecho L2. 
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 Os trechos L1 e L3 são apoiados nas vigas de piso e na viga 
intermediaria V3 e recebem as cargas Ro /L e Ro’/L, provenientes do trecho L2, 
de forma idêntica ao procedimento do modelo anterior de escada. 
 Se o trecho L2 for grande, pode ser conveniente projetar duas vigas 
intermediarias no lugar da viga V3. Neste caso, o trecho L2 deve ser calculado 
considerando as cargas totais, pois o lance inclinado não se apoia nas vigas 
intermediárias. 
 No caso de vãos maiores, pode-se apoiar a escada em todo o contorno 
externo, conforme o mostrado na figura 27. Com esse procedimento, obtém 
uma redução significativa nos momentos fletores positivos atuantes na escada. 
 
 Figura 27- Escada de três lances apoiada em todo o contorno externo. 
 Nesse caso, a escada pode ser dividida em três lajes com um bordo 
livre, como está indicado na figura a seguir . Observa-se que os patamares são 
computados duas vezes, o que ocasionará uma solução a favor da segurança. 
 
Figura 28- Cálculo de escadas como lajes com bordo livre. 
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CAPÍTULO II –RESERVATÓRIOS EM CONCRETO 
ARMADO 
1- INTRODUÇÃO 
 Os reservatórios usuais de edifícios são formados por um conjunto de 
placas, podendo ter uma ou mais células. A divisão do reservatório em células 
tem a finalidade de permitir a limpeza do mesmo, sem que ocorra uma 
interrupção no abastecimento de água. 
 Usualmente, são projetados dos reservatórios: um reservatório inferior 
(usualmente enterrado), abastecido diretamente pela rede publica; e um 
reservatório superior (normalmente elevado), abastecido por bobas de recalque 
instaladas no próprio edifício. 
 Normalmente, o reservatório elevado apoia-se nos pilares da caixa de 
escadas do edifício. A altura desses reservatórios não deve ultrapassar cerca 
de 2,5 m, para evitar esforços exagerados nas paredes, fundos e tampas. 
 As lajes que compõe as tampas dos reservatórios devem possuir uma 
abertura com dimensões mínimas de 60x60 cm, permitindo a inspeção de cada 
uma das células do reservatório. Na figura a seguir, indicam-se alguns detalhes 
típicos de reservatórios de edifícios (figura 29). 
 
Figura 29- Detalhes típicos dos reservatorios. 
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 No reservatório da figura 29, a parede 4, que separa as duas células, 
está apoiada nas paredes 1 e 2. Estas últimas estão apoiadas em pilares e 
recebem as cargas provenientes da parede 5 nas extremidades em balanço. A 
parede 3 é biapoiada. 
 As ligações entre as paredes e entre estas e o fundo devem possuir 
mísulas (detalhe da figura 29), para aumentar o engastamento entre as placas, 
reduzindo os riscos de fissuração. 
As paredes possuem, usualmente, uma espessura mínima h3 = 12 cm, 
para facilitar a armação e a concretagem. A laje de fundo também deve possuir 
uma espessura mínima h2 = 12 cm, por ser a laje mais solicitada. A espessura 
mínima da tampa, h1, é de aproximadamente 7 cm. Com os atuais cobrimentos 
exigidos pela NBR – 6118, em geral, deve se adotar h2  15 cm e h3  15 cm. 
2- CARGAS NOS RESERVATÓRIOS 
 As lajes que compõe o reservatório estão submetidas a carga 
perpendiculares a seu plano médio, bem como cargas atuando no próprio 
plano da laje. Tem-se, desse modo, um funcionamento simultâneo como placa 
(para as cargas normais ao plano da laje) e como viga – parede (para as 
cargas aplicadas no plano da laje). Na figura a seguir (figura 30) indicam-se as 
cargas perpendiculares ao plano médio das lajes e paredes em um corte 
vertical. 
 
Figura 30- Cargas para funcionamento como placas. 
 As seguintes cargas devem ser consideradas para o cálculo das placas: 
A) Tampa (carga uniforme p1) 
- peso próprio: 25 x h1 (kN/m²) 
 - revestimento: 1,0 kN/m² 
 - acidental: 0,5 kN/m² 
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 B) Fundo (carga uniforme p2) 
- peso próprio: 25 x h2 (kN/m²) 
 - revestimento: 1,0 kN/m² 
 - pressão de água: 10h kN/m², onde h é a altura máxima de água 
máxima de água no reservatório, em metros. 
 C) Paredes (carga triangular p3) 
 - ordenada máxima de carga: 10h kN/m2. 
 Do cálculo como placas, obtêm-se momentos fletores nos diversos 
pontos das lajes do reservatório, bem como as reações de apoio. Uma vez que 
cada laje se apoia nas lajes vizinhas, como cargas aplicadas no plano médio 
das mesmas. Desse modo, as lajes estarão submetidas à flexo – tração. 
 As reações de apoio não são uniformemente distribuídas, porem, por 
uma simplificação, pode-se considerar que as cargas aplicadas no plano das 
lajes são uniformes. Essas cargas são representadas na figura 31, para um 
reservatório de uma célula. 
Conforme se observa, as lajes da tampa e do fundo, bem como as 
paredes estão submetidas à flexo-tração. O peso próprio deve ser acrescido 
dos revestimentos interno e externo das paredes, podendo considerar-se um 
valor total de 1,0 kN/m² de revestimento. 
 
 
Figura 31- Cargas atuando no plano das lajes. 
 
 
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 Se o reservatório possuir duas células, a parede intermediaria terá 
armadura dupla simétrica, pois se deve considerar que uma célula pode estar 
cheia, enquanto a outra estiver vazia. Geralmente, essa parede se apoia naas 
paredes a ela perpendiculares. 
3 – CONSIDERAÇÕES PARA O CÁLCULO COMO PLACAS 
 Para o cálculo correto dos esforços nos reservatórios, deve-se 
considerar o funcionamento conjunto de todas as lajes que o compõe. Essa 
análise de toda a estrutura tridimensional é bastante complexa e, geralmente, 
exige o emprego de métodos numéricos, como o método dos elementos finitos.Para facilitar o projeto estrutural, é necessário introduzir uma serie de 
simplificações que permitam um cálculo rápido e seguro. Assim é usual a 
separação das lajes que compõe o reservatório em diversas lajes isoladas, 
engastadas ou simplesmente apoiadas em suas bordas. Essas condições de 
contorno são definidas em função da tendência de giro relativo das diversas 
placas, como é mostrado na figura 32. 
 
Figura 32- Definição das condições de contorno das placas. 
 Quando as placas tendem a girar no mesmo sentido, pode-se admitir 
que a aresta é um apoio simples, pois os momentos negativos que surgem 
nessa ligação são pequenos. Desse modo, a tampa pode ser calculada como 
uma laje simplesmente apoiada nas quatro bordas. Se a tampa for uma laje 
continua, em reservatórios de duas ou mais células, o bordo comum deve ser 
considerado engastado. 
 Por outro lado, considera-se que a aresta é um engaste perfeito quando 
as placas tendem a girar em sentidos opostos. Assim, o fundo é considerado 
como uma laje engastada nos quatro lados. Nos encontros entre as paredes 
deve-se considerar um engaste perfeito. 
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 Na figura 33, encontram-se representadas as diferentes lajes com suas 
condições de contorno. 
 
Figura 33- Condições de contorno das lajes. 
 Uma vez que as placas são calculadas isoladamente, resultam dos 
valores distintos para os momentos negativos em uma aresta engastada. O 
valor correto do momento negativo pode ser obtido em função da rigidez das 
placas, porém ele é razoavelmente próximo do valor médio encontrado para as 
placas isoladas. 
 Na figura 34, são indicados os momentos fletores positivos e negativos 
obtidos considerando-se as lajes isoladas, para um reservatório de uma célula. 
 
Figura 34- Momentos fletores resultantes do cálculo da lajes isoladas. 
 
 
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 Os momentos negativos para o dimensionamento das armaduras de 
ligação das lajes podem ser considerados com os seguintes valores: 
- ligação parede-parede: Xp = (X1 + X2)/2 
- ligação fundo-parede 1 e fundo parede 2: Y = (Yf + Y1)/2 
- ligação fundo-parede 3 e fundo parede 4: X = (Xf + Y2)/2 
 Em reservatórios de pequena altura, as paredes são calculadas como 
lajes armadas na direção vertical. Os momentos negativos Y1 e Y2 nas paredes 
são muito menores que Yf e Xf. Nesses casos deve-se garantir que Y  0,8Yf 
e X  0,8Xf nas ligações fundo-paredes para evitar a adoção de valores muito 
baixos para momentos negativos nessas ligações. 
 Em virtude da alteração dos momentos negativos deve-se fazer uma 
correção nos valores dos momentos positivos no centro das placas. Em geral 
os momentos negativos X e Y, adotados para as ligações do fundo com as 
paredes, são menores, em valores absolutos, que os momentos Xf e Yf obtidos 
no cálculo do fundo como laje isolada. 
 Para corrigir os momentos positivos na laje de fundo, deve-se aplicar em 
cada borda da mesma um momento igual a diferença entre o momento de 
engastamento perfeito e o momento final adotado. Esse carregamento é 
apresentado na figura 35. 
 Admitindo-se que os momentos aplicados tem uma variação senoidal ao 
longo das bordas, pode-se utilizar a tabela a seguir para calcular os 
incrementos Mx e My nos momentos positivos no centro da laje. 
 
 
 
 
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Figura 35- Momentos aplicados nas bordas da laje de fundo para a correção dos 
momentos positivo 
 Os momentos positivos finais na laje de fundo são dados por: 
 
 Na página a seguir será apresentada a tabela para dimensionamento 
simplificado de reservatórios. 
 
 
 
 
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CAPÍTULO III –LAJES NERVURADAS 
1- INTRODUÇÃO 
 
 De maneira geral as lajes constituem elemento fundamental em um 
projeto estrutural. Elas servem não somente como elemento de cobertura e 
piso, mas também, como elemento de contraventamento entre os componentes 
da estrutura. 
 Para alguns tipos de edificações, há uma maior necessidade da criação 
de projetos estruturais onde os pilares se encontrem mais distantes, 
objetivando a criação de espaços mais versáteis. Com isso tem havido um 
aumento do vão livre, o que faz com que os calculistas façam a opção por tipos 
de lajes que permitam ao mesmo tempo vencer estes vãos e possuir o menor 
peso próprio possível. 
 Neste sentido, as lajes nervuradas constituem uma opção à utilização de 
pavimentos compostos por lajes maciças, pois neste tipo de laje a maior seção 
de concreto encontra-se justamente na área comprimida. Ou seja, só há 
concreto onde este é estritamente necessário. 
 De acordo com Araújo (2012), embora este modelo de laje exija uma 
espessura h cerca de 50% superior à que seria necessária para uma laje 
maciça, a mesma possui um peso próprio (e o consumo de concreto) inferior ao 
da laje maciça, tornando-se uma solução mais econômica. 
 Segundo NBR-6118 (2007), lajes nervuradas são definidas como lajes 
onde a zona de tração é constituída por nervuras entre as quais podem ser 
colocados materiais inertes (blocos cerâmicos, blocos de concreto celular, 
isopor,etc) com a finalidade de tornar plana a superfície. 
 De acordo com Souza e Cunha (1998), as lajes nervuradas possuem a 
seguintes vantagens: 
 Obtenção de estruturas mais leves para lajes que vencem 
grandes vãos; 
 O material de enchimento, quando existe, normalmente é 
melhor isolante térmico que o concreto; em alguns casos, é 
também incombustível; 
 O isolamento acústico oferecido pelo material de 
enchimento, quando existe é superior ao do concreto; 
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 A estrutura para grandes vãos, é normalmente mais 
econômica que as lajes maciças e que as lajes cogumelo. 
 
Como desvantagens, Souza e Cunha (1998), citam as seguintes: 
 Quando são utilizados tijolos, se os mesmos não forem 
suficientemente molhados antes da concretagem, há absorção 
da água do concreto, tornando mais difícil o adensamento; 
 A colocação de eletrodutos, ou quaisquer outros dutos 
embutidos deve ser feita na região das nervuras, pois se 
efetuada por cima dos blocos, reduzirá a já pequena 
espessura da mesa comprimida, com consequente diminuição 
da resistência da laje; 
 A distribuição de cargas concentradas não é feita de forma tão 
eficiente quanto nas lajes maciças; 
 Em virtude da laje nervurada ser uma estrutura menos 
monolítica que a laje maciça, certas reservas de segurança 
existentes nesta última (embora não computadas no cálculo) 
ocorrem com menor intensidade na laje nervurada. 
 
2- PRESCRIÇÕES NORMATIVAS SOBRE LAJES NERVURADAS 
 
2.1-Prescrições da NBR-6118 – 2007 
 
Segundo a NBR-6118 (2007), nas lajes nervuradas que podem ter 
nervuras moldadas no local ou pré-moldadas, onde a zona de tração é 
constituída por nervuras entre as quais pode ser colocado material inerte, de 
modo a tornar plana a superfície externa. 
 A referida norma no item13.2.4.2 faz, ainda, as seguintes considerações 
a respeito das lajes nervuradas: 
 A espessura da mesa, quando não houver tubulações horizontais 
embutidas, deve ser maior ou igual a 1/15 da distancia entre as 
nervuras e não menor que 3cm; 
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 O valor mínimo absoluto deve ser de 4cm quando existirem 
tubulações embutidas de diâmetro máximo 12,5mm; 
 A espessura das nervuras não deve ser inferior a 5cm; 
 Nervuras com espessuras menores que 8cm não devem conter 
armadura de compressão. 
Para o projeto de lajes nervuradas devem ser obedecidas as seguintes 
condições: 
 Para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou 
igual a 60cm, pode ser dispensada a verificação de flexão da 
mesa e para a verificação do cisalhamento da região das 
nervuras, permite-se a consideração dos critérios de laje; 
 Para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras de 60 a 
110cm, exige-se a verificação da flexão da mesa e as nervuras 
devem ser verificadas ao cisalhamento como vigas; permite-se 
essa verificação como laje se o espaçamento entre eixos de 
nervuras for menor que 90cm e a espessura média das nervuras 
for maior que 12cm; 
 Para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras 
maior que 110cm, a mesa deve ser projetada como laje maciça, 
apoiada em grelha de vigas, respeitando-se os seus limites 
mínimos de espessura. 
Na figura 36, uma ilustração das dimensões mínimas de uma seção 
típica de laje nervurada especificada pela NBR-6118 (2007): 
 
Figura 36 – Dimensões a observar na seção transversal de uma laje nervurada (Carvalho 
e Pinheiro, 2009) 
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Os estribos, quando necessários, não devem ter espaçamento superior 
à 20cm. 
Os critérios de projeto dependem do espaçamento entre os eixos das 
nervuras. De acordo com a NBR-6118 (2007), em lajes com espaçamento 
entre eixos de nervuras menor ou igual a 65 cm, pode ser dispensada a 
verificação da flexão da mesa e, para a verificação do cisalhamento da região 
das nervuras. 
Se o espaçamento entre eixos de nervuras for de 65 a 110 cm a NBR-
6118 (2007) exige a verificação da flexão da mesa, e as nervuras devem ser 
verificadas ao cisalhamento como vigas. Deve-se, neste caso, ser colocada 
uma armadura perpendicular à nervura, na mesa, por toda sua largura útil, com 
área mínima de 1,5 cm2/m. 
A norma NBR-6118 (2007) apresenta também, outras recomendações 
que serão transcritas a seguir: 
 A verificação da flexão da mesa também deve ser feita se 
existirem cargas concentradas entre nervuras; 
 Permite-se a verificação ao cisalhamento das nervuras como lajes 
se o espaçamento entre eixos de nervuras for até 90 cm e a 
largura média das nervuras for maior que 12 cm; 
 Para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras 
maiores que 110 cm, a mesa deve ser projetada como laje 
maciça, apoiada na grelha de vigas, respeitando-se os seus 
limites mínimos de espessura; 
 Para a determinação dos esforços resistentes das seções de 
lajes, no estado limite último, submetidas a esforços normais e 
momentos fletores, devem ser usados os mesmos princípios 
estabelecidos para seções de vigas, pilares e tirantes em 17.2.1 a 
17.2.3. 
 
 
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2.2-Recomendações do EUROCODE (2004) 
 
 A norma EUROCODE (2004) utilizada em vários países da Europa, para 
simplificar o cálculo, propõe que as lajes nervuradas não precisem ser 
dimensionadas a partir da discretização dos seus elementos (mesa e nervura), 
desde que o conjunto possua rigidez torsional. 
Assim, o EUROCODE (2004) permite que as lajes nervuradas sejam 
dimensionadas com uma analogia ao modelo de lajes maciças de inércia 
equivalente, desde que sejam atendidas as seguintes condições: 
 O espaçamento entre nervuras a (figura 1) não deve exceder a 
1500mm; 
 A altura h (figura 1) não deve exceder a 4 vezes bw; 
 A espessura da mesa hf deve ser igual a pelo menos 1/10 da 
distância entre as nervuras ou 50mm ( neste caso, o que for 
maior), podendo este valor ser reduzido para 40mm quando forem 
utilizados blocos de enchimento que não forem retirados da 
estrutura; 
 No caso de lajes nervuradas unidirecionais, devem ser previstas 
nervuras transversais, espaçadas de no máximo, 10 vezes a 
altura da laje. 
 
 
 
2.3-Recomendações do ACI-318-08 
 A norma americana ACI-318 (2008) não traz nenhuma recomendação 
específica para o sistema nervurado. Na realidade, o ACI prevê que os 
princípios fundamentais de projeto contidos em seus itens são aplicáveis a 
todos os sistemas estruturais planos, submetidos à cargas transversais. Esses 
sistemas incluem lajes planas, lajes armadas em duas direções e lajes 
nervuradas. 
 Pode-se entender que a norma americana, de forma implícita, prevê que 
o cálculo do sistema nervurado seja feito baseando-se em uma analogia às 
lajes maciças de inércia equivalente. Constata-se, assim, que as normas 
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internacionais anteriormente citadas, utilizam-se do modelo simplificado de 
cálculo por analogia à laje maciça. Este modelo será melhor detalhado no item 
a seguir. 
3-TIPOS DE MOLDES PARA LAJES NERVURADAS 
 Existem vários arranjos possíveis para lajes nervuradas, com diversos 
materiais de enchimento (blocos de isopor, blocos cerâmicos, blocos celulares 
– figura 2). Alem disso, atualmente as lajes nervuradas com formas de cubas 
reaproveitáveis vem sendo bastante utilizadas. As figuras abaixo (figuras 37, 38 
e 39) apresentam dois modelos de lajes nervuradas com formas em cubas 
reaproveitáveis (sistema ATEX e sistema REDUZCON) 
 
 
Figura 37- material de enchimento composto por blocos celulares e EPS ( isopor). 
 
Figura 38- Formas e laje nervurada no sistema ATEX 
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Figura 39- Formas e laje nervurada no sistema REDUZCON 
4- AÇÕES A SEREM CONSIDERADAS EM LAJES NERVURADAS 
 As ações devidas às cargas acidentais nas lajes nervuradas devem ser 
consideradas de forma semelhante ao processo utilizado para lajes maciças, 
conforme o uso a que se destina a edificação da qual a laje faz parte. A norma 
brasileira NBR-6120/80 prevê as seguintes cargas acidentais para edificações: 
 
 O peso próprio nas lajes nervuradas pode ser calculado por metro 
quadrado de área. Uma forma de cálculo consiste em separar uma área da 
laje, cujo o centro coincide com o cruzamento de duas nervuras, com lados de 
dimensões iguais à distância entre os eixos das nervuras. 
 Na figura a seguir está mostrada uma área de uma laje com nervuras 
nas duas direções, igualmente espaçadas. Considerando que a altura total da 
laje seja de 24 cm e a altura da capa seja de 4 cm. O procedimento consiste 
em determinar os volumes de concreto e as espessuras médias de concreto e 
de enchimento, correspondentes a área delimitada da laje. 
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5- DIMENSIONAMENTO 
 No caso das lajes nervuradas armadas em duas direções, os momentos 
fletores determinados de acordo com a teoria das placas (com o auxilio de 
tabelas), são momentos atuantes em faixas de largura unitária. É necessário 
determinar o valor atuante em cada nervura, bastando multiplicar o momento 
fletor atuante na faixa unitária por bf (a + bw), em cada direção. 
 Os momentos fletores positivos e negativos para dimensionamento das 
lajes nervuradas à flexão são calculados com o auxilio dos coeficientes Mx, My, 
Xx e Xy. 
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 A metodologia de cálculo para uma laje nervurada pode ser resumida 
em: 
a) Cálculos das cargas e determinação dos parâmetros geométricos que 
definem a estrutura; 
b) Determinação do parâmetro  = ly/lx, para cálculo dos quinhões de carga 
na laje; 
c) Determinação dos momentos fletores e reações de apoio por metro de 
laje; 
d) Determinação dos momentos fletores e reações de apoio por nervura. 
e) Cálculo das armaduras em ambos os sentidos 
Será apresentado a segui um exemplo de dimensionamento de laje nervurada. 
 
 
 
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EXERCÍCIO PROPOSTO 
Projetar a laje nervurada indicada na figura abaixo, com os espaçamentos 
entre as nervuras preenchidos por blocos de isopor. A laje é o piso de um 
conjunto de salas de escritório e sobre a mesma há uma carga correspondente 
ao peso de paredes divisórias de 1,0 kN/m². As vigas laterais tem 20cm de 
largura. O concreto possui resistência de 25 MPa. 
 
Detalhe dos vãos 
 
Detalhe das nervuras 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS UTILIZADAS 
 
ARAUJO, J. M. Curso de Concreto Armado, v. 02. Ed. Dunas, Rio Grande do Sul, 2016. 
ARAUJO, J. M. Curso de Concreto Armado, v. 04. Ed. Dunas, Rio Grande do Sul, 2016. 
CARVALHO, R.C; FIGUEIREDO, J.R. Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de 
Concreto Armado- Segundo a NBR-6118, Ed.EdufsCar, São Paulo, 2015. 
PINHEIRO, L.M. Cálculo e Detalhamento de Estruturas de Concreto Armado- Notas de 
Aula, Ed.EdufsCar, São Paulo, 2008. 
NBR 6118. Projeto de Estruturas de Concreto. ABNT, Rio de Janeiro, 2014.