ANALISE COMBINATÓRIA - COMBINAÇÃO

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COMBINAÇÃO 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
 
 
https://youtu.be/cFDtH6PbZds 
 
 
 
https://youtu.be/yg89xQPpmTU 
 
1. (FEEVALE) Em certo bairro, houve um “troca-
troca” de livros usados. João levou 10 livros de ro-
mance. Pedro levou 15 de poesia, e Marcelo, 7 de 
ficção. Marcelo quer levar para casa, em troca de 
seus livros, 4 de romance e 3 de poesia. Assinale 
a alternativa que representa o número de formas 
diferentes com que essa escolha pode ser feita. 
 10,4 15,3C C 
 10,4 15,3C C+ 
 10,4 15,3A A 
 10,3 15,4A A 
 10,4 15,3A A+ 
 
2. (ITA) Com os elementos 1, 2, , 10K são formadas 
todas as sequências 1 2 7(a , a , , a ).K Escolhendo-se 
aleatoriamente uma dessas sequências, a probabi-
lidade de a sequência escolhida não conter ele-
mentos repetidos é 
 
7
7!
.
10 3!
 
 
7
10!
.
10 3!
 
 
7
3!
.
10 7!
 
 
3
10!
.
10 7!
 
7
10!
.
10
 
 
3. (UNIGRANRIO - MEDICINA) Resolvendo a adi-
ção 8,2 8,3 8,4 8,5 8,6 8,7 8,8C C C C C C C+ + + + + + encon-
tramos como resultado: 
 64 260 
 247 264 
 256 
 
 
 
4. (G1 - IFAL) Um aluno do Instituto Federal de Ala-
goas (IFAL), deseja praticar dois esportes, durante 
o ano letivo de 2017. Sabendo que o IFAL oferece 
os esportes: futebol de campo, futsal, voleibol de 
quadra, voleibol de praia, handebol, basquete e 
judô, de quantas maneiras esse aluno pode fazer 
sua escolha? 
 14. 49. 
 21. 128. 
 42. 
 
5. (ENEM) O tênis é um esporte em que a estraté-
gia de jogo a ser adotada depende, entre outros fa-
tores, de o adversário ser canhoto ou destro. 
Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 
4 são canhotos e 6 são destros. O técnico do 
clube deseja realizar uma partida de exibição entre 
dois desses jogadores, porém, não poderão ser 
ambos canhotos. 
Qual o número de possibilidades de escolha dos 
tenistas para a partida de exibição? 
 
10! 4!
2! 8! 2! 2!
−
 
 
 
10! 4!
8! 2!
− 
 
10!
2
2! 8 !
−

 
 
6!
4 4
4!
+  
 
6!
6 4
4!
+  
 
6. (ESPM) Em uma competição de vôlei de praia 
participaram n duplas. Ao final, todos os adversá-
rios se cumprimentaram uma única vez com aper-
tos de mãos. Sabendo-se que foram contados 180 
apertos de mãos, podemos concluir que n é igual 
a: 
 8 
 10 
 12 
 9 
 11 
 
7. (G1 – IFPE) O coordenador de Matemática do 
campus Recife conta com 7 professores para leci-
onar aulas em um programa do PROIFPE. São au-
las semanais e a cada semana um novo trio de pro-
fessores é selecionado para ministrá-las. 
Considerando um mês equivalente a 4 semanas, 
em quanto tempo esse programa estará finalizado 
 6 meses. 
 4 meses e 1 semana. 
 1 ano, 8 meses e 2 semanas. 
 2 anos e 3 meses. 
 8 meses e 3 semanas. 
 
8. (ENEM) Como não são adeptos da prática de es-
portes, um grupo de amigos resolveu fazer um tor-
neio de futebol utilizando videogame. Decidiram 
que cada jogador joga uma única vez com cada um 
dos outros jogadores. O campeão será aquele que 
conseguir o maior número de pontos. Observaram 
que o número de partidas jogadas depende do nú-
mero de jogadores, como mostra o quadro: 
Quantidade de 
jogadores 
2 3 4 5 6 7 
Número de parti-
das 
1 3 6 10 15 21 
Se a quantidade de jogadores for 8, quantas parti-
das serão realizadas? 
 64 
 56 
 49 
 36 
 28 
 
9. (UNIGRANRIO - MEDICINA) Considere 5 pon-
tos distintos sobre uma reta r e 4 pontos distintos 
sobre uma reta s, de forma que r seja paralela a s. 
O número de triângulos com vértices nesses pon-
tos é igual a: 
 10 
 12 
 20 
 50 
 70 
 
10. (G1 - IFAL) Cinco cursos do IFAL CAMPUS-
MACEIÓ resolveram fazer um torneio de futebol, 
onde cada time de cada curso joga contra os de-
mais times apenas uma vez. Quantos serão os jo-
gos nesse torneio? 
 5 
 6 
 8 
 9 
 10 
 
11. (UECE) O número de cordas determinadas por 
12 pontos distintos colocados sobre uma circunfe-
rência é 
 54 
 66 
 72 
 78 
 
12. (UPE-SSA) Nos jogos escolares do sertão, dez 
equipes disputam um campeonato de queimado. 
Cada equipe enfrenta as demais uma única vez. 
Quantos jogos compõem esse campeonato de 
queimado? 
 10 45 10 
 20 50 
 
 
 
 
13. (EEAR) Em um campeonato de tênis estão ins-
critos 10 militares. Para disputar o campeonato, es-
ses militares podem formar _____ duplas diferen-
tes. 
 34 44
 35 45 
 
14. (UPF) Um jogo consiste em um prisma triangu-
lar reto com uma lâmpada em cada vértice e um 
quadro de interruptores para acender essas lâmpa-
das. Sabendo que quaisquer três lâmpadas podem 
ser acesas por um único interruptor e que cada in-
terruptor acende precisamente três lâmpadas, o 
número de interruptores que existem no quadro é 
 4 
 20 
 24 
 120 
 720 
 
16. (PUCRJ) O técnico da seleção brasileira de fu-
tebol precisa convocar mais 4 jogadores, dentre os 
quais exatamente um deve ser goleiro. 
Sabendo que na sua lista de possibilidades para 
essa convocação existem 15 nomes, dos quais 3 
são goleiros, qual é o número de maneiras possí-
veis de ele escolher os 4 jogadores? 
 220 
 660 
 1.980 
 3.960 
 7.920 
 
15. (G1 – IFPE) Oito amigos decidiram brincar de 
telefone. Para isso, dispuseram-se em um terreno 
de modo que cada um estivesse no vértice de um 
octógono regular de lado medindo 20 metros, con-
forme figura 1. 
 
Decidiram montar os telefones utilizando barbante 
e copos descartáveis, conforme figura 2. 
 
 
Cada telefone, que é intransferível, liga apenas 
dois dos amigos e é formado por dois copos, que 
não podem estar em dois telefones simultanea-
mente, e um barbante. Para que todos possam fa-
lar com todos através de um telefone desses, inclu-
indo os amigos em vértices consecutivos, quantos 
telefones eles precisarão confeccionar? 
 20 
 28 
 12 
 10 
 8 
 
17. (ENEM) Um brinquedo infantil caminhão-cego-
nha é formado por uma carreta e dez carrinhos nela 
transportados, conforme a figura. 
 
No setor de produção da empresa que fabrica esse 
brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos 
para que o aspecto do brinquedo fique mais atra-
ente. São utilizadas as cores amarelo, branco, la-
ranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas 
com uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor 
fixa. A empresa determinou que em todo caminhão-
cegonha deve haver pelo menos um carrinho de 
cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança 
de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha 
não gera um novo modelo do brinquedo. 
 
Com base nessas informações, quantos são os 
modelos distintos do brinquedo caminhão-cegonha 
que essa empresa poderá produzir? 
 6, 4C 
 9, 3C 
 10, 4C 
 46 
 64 
 
18. (EBMSP) Cada uma das 12 pessoas inscritas 
para participar de um trabalho voluntário recebeu 
um crachá com um número de identificação distinto 
– de 1 a 12 – de acordo com a ordem de inscrição. 
Desejando-se organizar grupos formados por três 
pessoas que não estejam identificadas por três nú-
meros consecutivos, o número máximo possível de 
grupos distintos que se pode formar é 
230 
 225 
 220 
 215 
 210 
 
 
19. (G1 - IFAL) No Instituto Federal de Alagoas, há 
7 professores de Matemática para serem distribuí-
dos em 4 turmas. De quantas maneiras distintas 
se poderá fazer a distribuição dos professores nas 
turmas, independente da ordem? 
 28 70 210 
 35 140 
 
20. (UECE) Uma urna contém 50 cartelas das quais 
20 são azuis, numeradas de 1 a 20, e 30 são ver-
melhas, numeradas de 21 a 50. De quantas formas 
diferentes é possível retirar três cartelas (por exem-
plo, duas vermelhas e uma azul, três azuis,...) 
dessa urna? 
 19600. 
 19060. 
 16900. 
 16090. 
 
21. (G1 – IFPE) O auditório do IFPE, campus Vito-
ria de Santo Antão, tem formatoretangular e dispõe 
de quatro aparelhos de ar-condicionado, sendo um 
ar-condicionado instalado em cada uma das suas 
quatro paredes. Em todos os eventos, pelo menos 
um aparelho deve estar ligado para a refrigeração 
do ambiente. 
De quantos modos diferentes este auditório pode 
ser refrigerado? 
 4 
 16 
 8 
 64 
 15 
 
22. (UDESC) A Câmara de Vereadores de uma ci-
dade é composta por 13 vereadores, sendo que 6 
destes são de partidos políticos da situação (alia-
dos ao governo municipal) e os 7 restantes são de 
partidos da oposição (contrários ao governo muni-
cipal). É necessário compor uma comissão espe-
cial a ser formada por exatamente 5 vereadores, 
de forma que haja pelo menos dois representantes 
de cada um destes blocos políticos. Além disso, foi 
definido que o líder da situação e o líder da oposi-
ção não poderão fazer parte da mesma comissão. 
Sob essas condições, a quantidade de comissões 
distintas que pode ser constituída é igual a: 
 945 
 500 
 620 
 810 
 310 
 
23. (EFOMM) Um decorador contemporâneo vai 
usar quatro “objetos” perfilados lado a lado como 
decoração de um ambiente. Ele dispõe de 4 copos 
transparentes azuis, 4 copos transparentes verme-
lhos, duas bolas amarelas e 3 bolas verdes. Cada 
“objeto” da decoração pode ser um copo vazio ou 
com uma bola dentro. Considerando que a cor al-
tera a opção do “objeto”, quantas maneiras distin-
tas há de perfilar esses quatro “objetos”, levando-
se em conta que a posição em que ele se encontra 
altera a decoração? 
 1.296 
 1.248 
 1.152 
 1.136 
 1.008 
 
24. (ESC. NAVAL) Calcule o número de soluções 
inteiras não negativas de 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 +
𝑥6 = 20, nas quais pelo menos 3 incógnitas são nu-
las, e assinale a opção correta. 
 3.332 
 3.420 
 3.543 
 3.678 
 3.711 
 
 
 
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Resposta da questão 1: [A] 
Como os grupos de livros diferenciam-se apenas pela natura de elementos (a ordem dos livros 
escolhidos não importa), trata-se de combinação. Como Marcelo quer levar 4 livros de romance e 3 li-
vros de poesia, logo deve-se fazer uma multiplicação entre duas combinações, a fim de encontrar o nú-
mero total de formas diferentes de escolha. Logo, a alternativa correta é a letra [A]. 
 
Resposta da questão 2: [B] 
Calculando: 
7
7 7 7
Casos Possíveis (CP) 10
10
Casos Favoráveis (CF) : arranjo 10, 7 a 7 CF 7!
7
10 10!
7! 7!
7CF 10!7! 3!
Prob Prob
CP 10 10 10 3!
=
 
 =  
 
 
  
 
= = =  =

 
 
Resposta da questão 3: [B] 
Calculando: 
8,2 8,3 8,4 8,5 8,6 8,7 8,8
8,2 8,6
8,3 8,5
8,7
8,8
8,4
C C C C C C C
C C 28
C C 56
C 8
C 1
8!
C 70
4! 4!
S 28 56 70 56 28 8 1 247
+ + + + + +
= =
= =
=
=
= =

= + + + + + + =
 
 
Resposta da questão 4: [B] 
Basta aplicar a combinação de sete esportes agrupados dois a dois, logo: 
7,2
7,2
7,2
7!
C
2!(7 2)!
7 6 5!
C
2!5!
7 6 5!
C 21
2!5!
=
−
 
=
 
= =
 
 
Resposta da questão 5: [A] 
Desde que o número de maneiras de escolher dois tenistas quaisquer é 
10 10!
,
2 2! 8!
 
= 
 
 e o nú-
mero de modos de escolher dois tenistas canhotos é 
4 4!
,
2 2! 2!
 
= 
 
 tem-se que o resultado é dado por 
10! 4!
.
2! 8! 2! 2!
−
 
 
 
Resposta da questão 6: [C] 
Se todos os atletas se cumprimentassem, então o número de apertos de mãos seria igual a 
2n
.
2
 
 
 
 Mas, 
como apenas adversários se cumprimentam, devemos descontar desse total o número de apertos de 
mãos trocados entre atletas de uma mesma dupla, qual seja n. 
 
 
 
 
Portanto, segue que o resultado é tal que 
2
2n (2n)!
n 180 n 180
2 2!(2n 2)!
n n 90 0
n 10.
 
− =  − = 
− 
 − − =
 =
 
 
Resposta da questão 7: [E] 
 
Como o campus possui sete professores e a cada aula três lecionam, basta aplicar a combina-
ção de sete, três a três. 
7,3
7! 7 6 5 4!
C 35 semanas.
3!(7 3)! 3!4!
  
= = =
−
 
 
Calculando em meses, basta dividir por quatro. 
35
8 meses e 3 semanas.
4
= 
 
Resposta da questão 8: [E] 
 
O número de partidas pode ser calculado pelo número de combinações de jogadores, 2 a 2. 
Assim: 
8,2
8! 8 7 6!
C 28 partidas
2! 6! 2 6!
 
= = =
 
 
 
Resposta da questão 9: [E] 
 
Calculando: 
1) 2 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑚 𝑟,  1 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑚 𝑠: 
   𝐶5,2 =
5!
2!   ⋅ (5 − 2)!
= 10 
   𝑇𝛥 = 10 ⋅ 4 = 40 
 
2) 1 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑚 𝑟,  2 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑚 𝑠: 
   𝐶4,2 =
4!
2!   ⋅ (4 − 2)!
= 6 
   𝑇𝛥 = 6 ⋅ 5 = 30 
 
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙𝛥 = 40 + 30 = 70 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 
 
Resposta da questão 10: [E] 
 
Para saber o número de jogos realizados basta aplicar uma combinação simples de cinco times agrupa-
dos dois a dois. Logo, 
5,2
5! 5 4 3! 20
C 10 jogos.
2!(5 2)! 2!3! 2
 
= = = =
−
 
 
Resposta da questão 11: [B] 
O resultado é dado por 
12 12!
66.
2 2! 10!
 
= = 
 
 
Resposta da questão 12: [C] 
 
Basta determinar o número de combinações simples de 10 elementos tomados dois a dois. 
10,2
10!
C 45
2! 8!
= =

 
 
 
 
Resposta da questão 13: [D] 
 
O resultado corresponde ao número de combinações simples de 10 militares tomados 2 a 2, ou seja, 
10 10!
45.
2 2! 8!
 
= = 
 
 
 
Resposta da questão 14: [B] 
 
O número de interruptores será igual ao número de combinações de 6 elementos (lâmpadas) tomados 
de 3 em 3. 
6,3
6!
C 20
3! 3!
= =

 
 
Resposta da questão 15: [B] 
 
Do enunciado, temos: 
Há 3 possibilidades para a escolha do goleiro. 
O total de maneiras de escolher os outros três jogadores, após a escolha do goleiro é dado por: 
( )
12,3
12,3
12,3
12,3
12!
C
3! 12 3 !
12!
C
3! 9!
12 11 10 9!
C
3 2 1 9!
C 220
=
 −
=

  
=
  
=
 
 
Assim, o total de maneiras de escolher os quatro jogadores, pelo princípio fundamental da conta-
gem é: 
3 220 660 = 
 
Resposta da questão 16: [B] 
Basta obter a combinação de 8 dois a dois. Logo temos: 
8,2
8! 8 7 6!
C 28
2!(8 2)! 2!6!
 
= = =
−
 
 
Resposta da questão 17: [B] 
Sabendo-se que cada caminhão cegonha possui 10 carros e que é preciso ao menos um carrinho de 
cada cor, então restam 6 carrinhos nos quais as cores podem ser permutadas. 
Sendo a, b, c e d a quantidade de carrinhos brancos, laranjas, amarelos e verdes, além dos 4 já pinta-
dos (um de cada cor), tem-se: 
a b c d 6+ + + = 
 
A quantidade de soluções inteiras não negativas dessa equação de quatro variáveis será: 
9,3
6 4 1 9
C
4 1 3
+ −   
= =   
−   
 
 
Resposta da questão 18: [E] 
De 1 até 12, temos 10 números consecutivos, pois o primeiro deles não pode ser o 11 e nem o 
12. 
Total de grupos formados por 3 pessoas: 
12,3
12!
C 220
3! 9!
= =

 
Portanto, o número máximo de grupos que se pode formar de modo que os crachás nãos sejam 
identificados por três números consecutivos será: 
 
 
220 10 210.− = 
Resposta da questão 19: [B] 
7
4
7! 7 6 5 4!
C 7 5 35
4! (7 4)! 4! 3 2 1
  
= = =  =
 −   
 
Resposta da questão 20: [A] 
 
Sendo a bola azul e v bola vermelha, as possibilidades são: {a, a, a}, {a, a, v}, {a, v, v} e {v, v, v}. 
Logo, é possível retirar 3 bolas azuis de 
20 20!
1140
3 3! 17!
 
= = 
 
 modos; 2 bolas azuis e 1 vermelha de 
20 30 20!
30 5700
2 1 2! 18!
   
 =  =   
   
 maneiras; 1 bola azul e 2 vermelhas de 
20 30 30!
20 8700
1 2 2! 28!
   
 =  =   
   
 mo-
dos; e 3 bolas vermelhas de 
30 30!
4060
3 3! 27!
 
= = 
 
 maneiras. 
 
Portanto, pelo Princípio Aditivo, segue que a resposta é 
 
1140 5700 8700 4060 19600.+ + + = 
 
Resposta da questão 21: [E] 
 
4,1 4,2 4,3 4,4
4! 4! 4! 4!
c c c c 4 6 4 1 15
1! 3! 2! 2! 3! 1! 4! 0!
+ + + = + + + = + + + =
   
 
 
Resposta da questão 22: [D] 
 
Existem 
6 7 6! 7!
525
2 3 2! 4! 3! 4!
  
 =  =   
    
, modos de formar uma comissão com 2 vereadores da situ-
ação e 3 da oposição. Dentre essas possibilidades, 
5 6 6!
5 75
1 2 2! 4!
   
 =  =   
   
 
apresentam os dois líderes. Logo, há 525 75 450− = maneiras para esse caso. 
 
Por outro lado, há 
6 7 6! 7!
420
3 2 3! 3! 2! 5!
   
 =  =   
    
maneiras de formar uma comissão com 3 vereado-
res da situação e 2 da oposição. 
Porém, nessas comissões estão incluídas 
5 6 5!
6 60
2 1 2! 3!
   
 =  =   
   
possibilidades nas quais os dois 
líderes figuram. Em consequência, há 420 60 360− = comissões possíveis. 
Portanto, pelo Princípio Aditivo, segue que a resposta é 450 360 810.+ = 
 
Resposta da questão 23: [D] 
 
Cada um dos quatro copos escolhidos pode ser azul ou verde, logo, pelo princípio da multiplica-
ção há 2 2 2 2 16   = maneiras de organizar os copos. 
Agora vamos organizar as bolas. 
 
Primeira situação: 4 bolas 
3 verdes e 1 amarela 
3
4
4!
P 4
3!
= = 
ou 
2 verdes e 2 amarelas 
2,2
4
4! 4 3 2!
P 6
2! 2! 2 2!
 
= = =
 
 
 
 
 
Segunda situação: 3 bolas 
3 verdes 
Devemos escolher 3 copos e permutar as 3 bolas entre esses copos escolhidos. 
3
4,3 3
4!
C P 1 4
3! 1!
 =  =

 
ou 
2 verdes e 1 amarela 
Devemos escolher 3 copos e permutar as 3 bolas entre esses copos escolhidos. 
2
4,3 3
4! 3!
C P 4 3 12
3! 1! 2!
 =  =  =

 
ou 
1 verde e 2 amarelas 
Devemos escolher 3 copos e permutar as 3 bolas entre esses copos escolhidos. 
2
4,3 3
4! 3!
C P 4 3 12
3! 1! 2!
 =  =  =

 
 
Terceira situação: 2 bolas 
2 verdes 
Devemos escolher 2 copos e permutar as 2 bolas entre esses copos escolhidos. 
2
4,2 2
4! 4 3 2!
C P 1 6
2! 2! 2 2!
 
 =  = =
 
 
ou 
1 verde e 1 amarela 
Devemos escolher 2 copos e permutar as 2 bolas entre esses copos escolhidos. 
4,2 2
4!
C P 2! 12
2! 2!
 =  =

 
ou 
2 amarelas 
Devemos escolher 2 copos e permutar as 2 bolas entre esses copos escolhidos. 
2
4,2 2
4! 4 3 2!
C P 1 6
2! 2! 2 2!
 
 =  = =
 
 
Quarta situação: 1 bola 
1 verde 
Devemos escolher 1 copo. 
4,1C 4= 
ou 
1 amarela 
Devemos escolher 1 copo. 
4,1C 4= 
Quinta situação: 0 bolas 
Só há 1 possibilidade. 
Dessa forma, nas condições dadas, o total de maneiras de perfilar os quatro “objetos” é: 
( )16 4 6 4 12 12 6 12 6 12 6 4 4 1
16 71
1136
 + + + + + + + + + + + +
 
 
Resposta da questão 24: [E] 
Do enunciado, devemos ter as seguintes situações: 
3 incógnitas nulas ou 4 incógnitas nulas ou 5 incógnitas nulas. 
 
Com 3 incógnitas nulas 
6,3
6!
C 20
3! 3!
= =

 é o total de maneiras de escolher as três incógnitas nulas. 
 
 
 
Analisemos o caso em que 1 2 3x x x 0.= = = Assim, queremos encontrar o total de soluções intei-
ras não negativas e não nulas da equação 4 5 6x x x 20.+ + = 
Assim, podemos escrever: 
4 5 6x a 1, x b 1 e x c 1.= + = + = + 
Então, 
a 1 b 1 c 1 20
a b c 17
+ + + + + =
+ + =
 
 
O total de soluções inteiras não negativas da equação a b c 17,+ + = é: 
2,17
19
19! 19 18 17!
P 171
2! 17! 2 17!
 
= = =
 
 
Logo, pelo princípio da multiplicação, há 20 171 3420 = soluções para a equação 
1 2 3 4 5 6x x x x x x 20+ + + + + = na qual 3 incógnitas são nulas. 
 
Com 4 incógnitas nulas 
6,4
6!
C 15
4! 2!
= =

 é o total de maneiras de escolher as quatro incógnitas nulas. 
Analisemos o caso em que 1 2 3 4x x x x 0.= = = = Assim, queremos encontrar o total de soluções 
inteiras não negativas e não nulas da equação 5 6x x 20.+ = 
Assim, podemos escrever: 
5x d 1= + e 6x e 1.= + 
 
Então, 
d 1 e 1 20
d e 18
+ + + =
+ =
 
O total de soluções inteiras não negativas da equação d e 18,+ = é: 
18
19
19! 19 18!
P 19
18! 18!

= = = 
Logo, pelo princípio da multiplicação, há 15 19 285 = soluções para a equação 
1 2 3 4 5 6x x x x x x 20+ + + + + = na qual 4 incógnitas são nulas. 
 
Com 5 incógnitas nulas 
6,5
6!
C 6
5! 1!
= =

 é o total de maneiras de escolher as quatro incógnitas nulas. 
Analisemos o caso em que 1 2 3 4 5x x x x x 0.= = = = = Assim, queremos encontrar o total de solu-
ções inteiras não negativas e não nulas da equação 6x 20.= 
Só há uma solução para esse caso. 
Logo, pelo princípio da multiplicação, há 6 1 6 = soluções para a equação 
1 2 3 4 5 6x x x x x x 20+ + + + + = na qual 5 incógnitas são nulas. 
Portanto, o total de soluções inteiras não negativas de 1 2 3 4 5 6x x x x x x 20,+ + + + + = nas quais 
pelo menos 3 incógnitas são nulas é 3420 285 6 3711.+ + = 
 
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