ANALISE COMBINATORIA

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ANÁLISE COMBINATÓRIA 
1. (Efomm 2018) Um decorador contemporâneo 
vai usar quatro “objetos” perfilados lado a lado 
como decoração de um ambiente. Ele dispõe de 4 
copos transparentes azuis, 4 copos transparentes 
vermelhos, duas bolas amarelas e 3 bolas verdes. 
Cada “objeto” da decoração pode ser um copo va-
zio ou com uma bola dentro. Considerando que a 
cor altera a opção do “objeto”, quantas maneiras 
distintas há de perfilar esses quatro “objetos”, le-
vando-se em conta que a posição em que ele se 
encontra altera a decoração? 
a) 1.296 
b) 1.248 
c) 1.152 
d) 1.136 
e) 1.008 
 
2. (Ita 2017) Com os elementos 1, 2, , 10 são for-
madas todas as sequências 1 2 7(a , a , , a ). Esco-
lhendo-se aleatoriamente uma dessas sequências, 
a probabilidade de a sequência escolhida não con-
ter elementos repetidos é 
a) 
7
7!
.
10 3!
 
b) 
7
10!
.
10 3!
 
c) 
7
3!
.
10 7!
 
d) 
3
10!
.
10 7!
 
e) 
7
10!
.
10
 
 
3. (Unigranrio - Medicina 2017) Resolvendo a adi-
ção 8,2 8,3 8,4 8,5 8,6 8,7 8,8C C C C C C C+ + + + + + encon-
tramos como resultado: 
a) 64 
b) 247 
c) 256 
d) 260 
e) 264 
 
4. (G1 - ifal 2017) Um aluno do Instituto Federal de 
Alagoas (IFAL), deseja praticar dois esportes, du-
rante o ano letivo de 2017. Sabendo que o IFAL 
oferece os esportes: futebol de campo, futsal, vo-
leibol de quadra, voleibol de praia, handebol, bas-
quete e judô, de quantas maneiras esse aluno pode 
fazer sua escolha? 
a) 14. 
b) 21. 
c) 42. 
d) 49. 
e) 128. 
 
5. (Esc. Naval 2017) Calcule o número de soluções 
inteiras não negativas de 
1 2 3 4 5 6x x x x x x 20,+ + + + + = 
nas quais pelo menos 3 incógnitas são nulas, e as-
sinale a opção correta. 
a) 3.332 
b) 3.420 
c) 3.543 
d) 3.678 
e) 3.711 
 
6. (Espm 2017) Em uma competição de vôlei de 
praia participaram n duplas. Ao final, todos os ad-
versários se cumprimentaram uma única vez com 
apertos de mãos. Sabendo-se que foram contados 
180 apertos de mãos, podemos concluir que n é 
igual a: 
a) 8 
b) 9 
c) 10 
d) 11 
e) 12 
 
7. (G1 - ifpe 2017) O coordenador de Matemática 
do campus Recife conta com 7 professores para 
lecionar aulas em um programa do PROIFPE. São 
aulas semanais e a cada semana um novo trio de 
professores é selecionado para ministrá-las. 
Considerando um mês equivalente a 4 semanas, 
em quanto tempo esse programa estará finalizado 
a) 6 meses. 
b) 4 meses e 1 semana. 
c) 1 ano, 8 meses e 2 semanas. 
d) 2 anos e 3 meses. 
e) 8 meses e 3 semanas. 
 
 
 
8. (Enem 2017) Como não são adeptos da prática 
de esportes, um grupo de amigos resolveu fazer 
um torneio de futebol utilizando videogame. Decidi-
ram que cada jogador joga uma única vez com 
cada um dos outros jogadores. O campeão será 
aquele que conseguir o maior número de pontos. 
Observaram que o número de partidas jogadas de-
pende do número de jogadores, como mostra o 
quadro: 
 
Quantidade 
de jogadores 
2 3 4 5 6 7 
Número de 
partidas 
1 3 6 10 15 21 
 
Se a quantidade de jogadores for 8, quantas parti-
das serão realizadas? 
a) 64 b) 56 c) 49 d) 36 e) 28 
 
9. (Unigranrio - Medicina 2017) Considere 5 pon-
tos distintos sobre uma reta r e 4 pontos distintos 
sobre uma reta s, de forma que r seja paralela a s. 
O número de triângulos com vértices nesses pon-
tos é igual a: 
a) 10 b) 12 c) 20 d) 50 e) 70 
 
10. (G1 - ifal 2017) Cinco cursos do IFAL CAM-
PUS-MACEIÓ resolveram fazer um torneio de fute-
bol, onde cada time de cada curso joga contra os 
demais times apenas uma vez. Quantos serão os 
jogos nesse torneio? 
a) 5. b) 6. c) 8. d) 9. e) 10. 
 
11. (Uece 2017) O número de cordas determinadas 
por 12 pontos distintos colocados sobre uma cir-
cunferência é 
a) 54. b) 66. c) 72. d) 78. 
 
12. (Upe-ssa 2 2017) Nos jogos escolares do ser-
tão, dez equipes disputam um campeonato de quei-
mado. Cada equipe enfrenta as demais uma única 
vez. 
Quantos jogos compõem esse campeonato de 
queimado? 
a) 10 
b) 20 
c) 45 
d) 50 
e) 100 
 
13. (Eear 2017) Em um campeonato de tênis estão 
inscritos 10 militares. Para disputar o campeonato, 
esses militares podem formar _____ duplas dife-
rentes. 
a) 34 
b) 35 
c) 44 
d) 45 
14. (Upf 2017) Um jogo consiste em um prisma tri-
angular reto com uma lâmpada em cada vértice e 
um quadro de interruptores para acender essas 
lâmpadas. Sabendo que quaisquer três lâmpadas 
podem ser acesas por um único interruptor e que 
cada interruptor acende precisamente três lâmpa-
das, o número de interruptores que existem no qua-
dro é 
a) 4 
b) 20 
c) 24 
d) 120 
e) 720 
 
15. (G1 - ifpe 2017) Oito amigos decidiram brincar 
de telefone. Para isso, dispuseram-se em um ter-
reno de modo que cada um estivesse no vértice de 
um octógono regular de lado medindo 20 metros, 
conforme figura 1. 
 
 
 
Decidiram montar os telefones utilizando barbante 
e copos descartáveis, conforme figura 2. 
 
 
 
Disponível em: <http://www.beaba.com.br/brinca-
deira-infantil-telefone-sem-fio/>. Acesso: 05 de out. 
2016. 
Cada telefone, que é intransferível, liga apenas 
dois dos amigos e é formado por dois copos, que 
não podem estar em dois telefones simultanea-
mente, e um barbante. Para que todos possam fa-
lar com todos através de um telefone desses, inclu-
indo os amigos em vértices consecutivos, quantos 
telefones eles precisarão confeccionar? 
a) 20 
b) 28 
c) 12 
d) 10 
e) 8 
 
 
16. (Pucrj 2017) O técnico da seleção brasileira de 
futebol precisa convocar mais 4 jogadores, dentre 
os quais exatamente um deve ser goleiro. 
Sabendo que na sua lista de possibilidades para 
essa convocação existem 15 nomes, dos quais 3 
são goleiros, qual é o número de maneiras possí-
veis de ele escolher os 4 jogadores? 
a) 220 
b) 660 
c) 1.980 
d) 3.960 
e) 7.920 
 
17. (Enem 2017) Um brinquedo infantil caminhão-
cegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos 
nela transportados, conforme a figura. 
 
 
No setor de produção da empresa que fabrica esse 
brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos 
para que o aspecto do brinquedo fique mais atra-
ente. São utilizadas as cores amarelo, branco, la-
ranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas 
com uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor 
fixa. A empresa determinou que em todo caminhão-
cegonha deve haver pelo menos um carrinho de 
cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança 
de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha 
não gera um novo modelo do brinquedo. 
Com base nessas informações, quantos são os 
modelos distintos do brinquedo caminhão-cegonha 
que essa empresa poderá produzir? 
a) 6, 4C 
b) 9, 3C 
c) 10, 4C 
d) 46 
e) 64 
 
18. (Ebmsp 2017) Cada uma das 12 pessoas ins-
critas para participar de um trabalho voluntário re-
cebeu um crachá com um número de identificação 
distinto – de 1 a 12 – de acordo com a ordem de 
inscrição. 
Desejando-se organizar grupos formados por três 
pessoas que não estejam identificadas por três nú-
meros consecutivos, o número máximo possível de 
grupos distintos que se pode formar é 
a) 230 
b) 225 
c) 220 
d) 215 
e) 210 
19. (G1 - ifal 2016) No Instituto Federal de Alagoas, 
há 7 professores de Matemática para serem distri-
buídos em 4 turmas. De quantas maneiras distin-
tas se poderá fazer a distribuição dos professores 
nas turmas, independente da ordem? 
a) 28. 
b) 35. 
c) 70. 
d) 140. 
e) 210. 
 
20. (Uece 2016) Uma urna contém 50 cartelas das 
quais 20 são azuis, numeradas de 1 a 20, e 30 são 
vermelhas, numeradas de 21 a 50. De quantasfor-
mas diferentes é possível retirar três cartelas (por 
exemplo, duas vermelhas e uma azul, três azuis,...) 
dessa urna? 
a) 19600. 
b) 19060. 
c) 16900. 
d) 16090. 
 
21. (G1 - ifpe 2016) O auditório do IFPE, campus 
Vitoria de Santo Antão, tem formato retangular e 
dispõe de quatro aparelhos de ar-condicionado, 
sendo um ar-condicionado instalado em cada uma 
das suas quatro paredes. Em todos os eventos, 
pelo menos um aparelho deve estar ligado para a 
refrigeração do ambiente. 
 
De quantos modos diferentes este auditório pode 
ser refrigerado? 
a) 4 
b) 16 
c) 8 
d) 64 
e) 15 
 
22. (Udesc 2016) A Câmara de Vereadores de 
uma cidade é composta por 13 vereadores, sendo 
que 6 destes são de partidos políticos da situação 
(aliados ao governo municipal) e os 7 restantes 
são de partidos da oposição (contrários ao governo 
municipal). É necessário compor uma comissão es-
pecial a ser formada por exatamente 5 vereadores, 
de forma que haja pelo menos dois representantes 
de cada um destes blocos políticos. Além disso, foi 
definido que o líder da situação e o líder da oposi-
ção não poderão fazer parte da mesma comissão. 
Sob essas condições, a quantidade de comissões 
distintas que pode ser constituída é igual a: 
a) 945 
b) 500 
c) 620 
d) 810 
e) 310 
 
23. (Uefs 2016) Em uma turma de n alunos (n 3), 
 
 
o número de maneiras de se montar uma equipe de 
3 alunos é dado pelo polinômio 
a) 
2
3n 15n
10
2 2
− + 
b) 
2
13n 45n
10
2 2
− + 
c) 3 2n 3n 2n− + 
d) 
3 2
n n n
6 2 3
− + 
e) 
3 2
n 3n
n
2 2
− + 
 
24. (Feevale 2016) Em certo bairro, houve um 
“troca-troca” de livros usados. João levou 10 livros 
de romance. Pedro levou 15 de poesia, e Marcelo, 
7 de ficção. Marcelo quer levar para casa, em troca 
de seus livros, 4 de romance e 3 de poesia. Assi-
nale a alternativa que representa o número de for-
mas diferentes com que essa escolha pode ser 
feita. 
a) 10,4 15,3C C 
b) 10,4 15,3C C+ 
c) 10,4 15,3A A 
d) 10,3 15,4A A 
e) 10,4 15,3A A+ 
 
25. (Enem 2016) O tênis é um esporte em que a 
estratégia de jogo a ser adotada depende, entre ou-
tros fatores, de o adversário ser canhoto ou destro. 
Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 
4 são canhotos e 6 são destros. O técnico do 
clube deseja realizar uma partida de exibição entre 
dois desses jogadores, porém, não poderão ser 
ambos canhotos. 
 
Qual o número de possibilidades de escolha dos 
tenistas para a partida de exibição? 
a) 
10! 4!
2! 8! 2! 2!
−
 
 
b) 
10! 4!
8! 2!
− 
c) 
10!
2
2! 8 !
−

 
d) 
6!
4 4
4!
+  
e) 
6!
6 4
4!
+  
 
26. (Pucrs 2016) O número de triângulos que po-
dem ser formados unindo o vértice A a dois dos 
demais vértices do paralelepípedo é 
 
 
a) 15 
b) 18 
c) 21 
d) 24 
e) 27 
 
27. (Pucrj 2016) Uma escola quer fazer um sorteio 
com as crianças. Então, distribui cartelas que têm 
cada uma 3 números distintos de 1 a 20. No dia 
da festa, trarão uma urna com 20 bolas numeradas 
de 1 a 20 e serão retiradas (simultaneamente) três 
bolas. A criança que tiver a cartela com os três nú-
meros ganhará uma viagem. 
 
Quantas cartelas diferentes são possíveis? 
a) 1.140 
b) 2.000 
c) 6.840 
d) 8.000 
e) 4.400 
 
28. (Uerj 2016) Um painel de iluminação possui 
nove seções distintas, e cada uma delas acende 
uma luz de cor vermelha ou azul. A cada segundo, 
são acesas, ao acaso, duas seções de uma mesma 
cor e uma terceira de outra cor, enquanto as seis 
demais permanecem apagadas. 
Observe quatro diferentes possibilidades de ilumi-
nação do painel: 
 
 
 
O tempo mínimo necessário para a ocorrência de 
todas as possibilidades distintas de iluminação do 
painel, após seu acionamento, é igual a x minutos 
e y segundos, sendo y 60. 
Os valores respectivos de x e y são: 
 
a) 4 e 12 
b) 8 e 24 
c) 25 e 12 
d) 50 e 24 
 
 
 
 
29. (Insper 2016) O número de pares ordenados 
(x, y) tais que x e y pertençam ao conjunto 
{1, 3, 5, 7, , 1999}, com x y, é igual a 
a) 999000. 
b) 499450. 
c) 499500. 
d) 249750. 
e) 249724. 
 
30. (Ucs 2016) Um supermercado está selecio-
nando, entre 15 candidatos que se apresentaram, 
3 funcionários para desempenhar a função de 
“caixa”. 
 
De quantas maneiras diferentes pode ser feita essa 
escolha? 
a) 5 
b) 45 
c) 215 
d) 360 
e) 455 
 
31. (Pucrs 2016) Em cada uma das retas paralelas 
r e s, são marcados 4 pontos representados pelos 
sinais # e ,• como na figura. Na escolha de 3 des-
ses pontos como vértices de um triângulo, sendo 
um deles representado por um sinal diferente, o nú-
mero de triângulos que podem ser determinados é 
 
 
a) 48 
b) 46 
c) 44 
d) 42 
e) 40 
 
32. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2016) Suponha 
que nos Jogos Olímpicos de 2016 apenas um re-
presentante do Brasil faça parte do grupo de atletas 
que disputarão a final da prova de natação dos 100 
metros livres. Considerando que todos os oito atle-
tas participantes têm a mesma chance de vencer, 
a probabilidade de que o brasileiro receba uma das 
medalhas (ouro, prata ou bronze) é de: 
a) 12,75% 
b) 25,50% 
c) 37,50% 
d) 42,25% 
 
33. (Ime 2016) O valor da soma abaixo é: 
 
2016 2017 2018 2019 2020 2016
5 5 5 5 5 6
           
+ + + + +           
           
 
a) 
2020
6
 
 
 
 
b) 
2020
7
 
 
 
 
c) 
2021
5
 
 
 
 
d) 
2021
6
 
 
 
 
e) 
2022
5
 
 
 
 
 
34. (Uern 2015) Considere a seguinte equação: 
 
x 2 3x 1
2 1
+ +   
=   
   
 
 
A partir dessa equação, conclui-se que o número 
binomial 
2x 1
2
− 
 
 
 equivale a 
a) 3. 
b) 10. 
c) 21. 
d) 60. 
 
35. (Pucpr 2015) Dado o conjunto 
A {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10},= quantos subconjuntos 
com 3 elementos podem ser formados de maneira 
que a soma dos três elementos seja um número 
par? 
a) 60. 
b) 120. 
c) 10. 
d) 40. 
e) 125. 
 
36. (Uece 2015) Um conjunto X é formado por 
exatamente seis números reais positivos e seis nú-
meros reais negativos. De quantas formas diferen-
tes podemos escolher quatro elementos de X, de 
modo que o produto destes elementos seja um nú-
mero positivo? 
a) 245. 
b) 225. 
c) 235. 
d) 255. 
 
37. (Uece 2015) A turma K do Curso de Adminis-
tração da UECE é formada por 36 alunos, sendo 
22 mulheres e 14 homens. O número de comis-
sões que podem ser formadas com alunos desta 
turma, tendo cada comissão três componentes e 
 
 
sendo assegurada a participação de representan-
tes dos dois sexos em cada comissão, é 
a) 5236. 
b) 6532. 
c) 3562. 
d) 2635. 
 
38. (Insper 2015) No jogo da multiplicação unitária 
deve-se preencher cada um dos círculos sombrea-
dos na figura com um dos números 1 ou 1.− Em 
seguida, deve-se multiplicar os números dois a 
dois, obtendo um resultado para cada linha que liga 
dois círculos. Por último, deve-se somar os resulta-
dos de todas essas multiplicações, obtendo o resul-
tado do jogo. 
 
 
 
O menor resultado que esse jogo pode ter é 
a) 0. 
b) −1. 
c) −2. 
d) −4. 
e) −6. 
 
39. (Mackenzie 2015) O número de polígonos con-
vexos distintos que podemos formar, com vértices 
nos pontos de coordenadas (0, 0), (0, 1), (0, 2), 
(0, 3), (2, 0), (2, 1), (2, 2) e (2, 3), do plano, é 
a) 101 
b) 84 
c) 98 
d) 100 
e) 48 
 
40. (Fgv 2015) Em uma sala estão presentes n 
pessoas, com n 3. Pelo menos uma pessoa da 
sala não trocou aperto de mão com todos os pre-
sentes na sala, e os demais presentes trocaram 
apertos de mão entre si, e um único aperto por du-
pla de pessoas.Nessas condições, o número má-
ximo de apertos trocados pelas n pessoas é igual 
a 
a) 
2
n 3n 2
2
+ −
 
b) 
2
n n 2
2
− +
 
c) 
2
n 2n 2
2
+ −
 
d) 
2
n 3n 2
2
− +
 
e) 
2
n n 2
2
− −
 
 
41. (Cefet MG 2015) Como prêmio pela vitória em 
uma competição, serão distribuídas 12 moedas de 
ouro idênticas entre as três pessoas da equipe ven-
cedora, e cada uma deverá receber, pelo menos, 
duas moedas. O número de maneiras distintas de 
efetuarmos essa distribuição é 
a) 12. 
b) 28. 
c) 38. 
d) 40. 
e) 120. 
 
42. (Ufrgs 2015) Considere o padrão de constru-
ção representado pelos desenhos abaixo. 
 
 
 
Na etapa 1, há um único triângulo equilátero. Na 
etapa 2, é traçado um segmento a partir dos pontos 
médios de dois lados do triângulo da etapa 1, for-
mando dois triângulos equiláteros. Na etapa 3, é 
traçado um segmento a partir dos pontos médios 
de dois lados do triângulo menor da etapa 2, for-
mando três triângulos equiláteros. Na etapa 4 e nas 
etapas seguintes, o mesmo processo é repetido em 
cada um dos triângulos menores da etapa anterior. 
 
O número de trapézios na 6ª etapa de construção 
é 
a) 14. 
b) 15. 
c) 16. 
d) 17. 
e) 18. 
 
43. (Uern 2015) Em uma sorveteria, há x sabores 
de sorvete e y sabores de cobertura. Combinando 
um sabor de sorvete com dois ou três sabores de 
cobertura tem-se, respectivamente, 150 ou 200 di-
ferentes opções de escolha. 
 
Assim, conclui-se que o número de sabores de co-
bertura disponível é 
a) 4. 
b) 5. 
c) 6. 
d) 7. 
 
 
44. (Insper 2015) Certa comunidade mística consi-
dera 2015 um ano de sorte. Para tal comunidade, 
um ano é considerado de sorte se, e somente se, é 
formado por 4 algarismos distintos, sendo 2 pares 
e 2 ímpares. No período que vai do ano 1000 até 
o ano 9999, o número total de anos de sorte é igual 
a 
a) 1680. 
b) 1840. 
c) 1920. 
d) 2160. 
e) 2400. 
 
45. (Uemg 2015) Observe a tirinha abaixo: 
 
 
Passando por uma sorveteria, Magali resolve parar 
e pedir uma casquinha. Na sorveteria, há 6 sabo-
res diferentes de sorvete e 3 é o número máximo 
de bolas por casquinha, sendo sempre uma de 
cada sabor. 
 
O número de formas diferentes com que Magali po-
derá pedir essa casquinha é igual a 
a) 20. 
b) 41. 
c) 120. 
d) 35. 
 
46. (Epcar (Afa) 2015) Um turista queria conhecer 
três estádios da Copa do Mundo no Brasil não im-
portando a ordem de escolha. Estava em dúvida 
em relação às seguintes situações: 
 
I. obrigatoriamente, conhecer o Estádio do Mara-
canã. 
II. se conhecesse o Estádio do Mineirão, também 
teria que conhecer a Arena Pantanal, caso con-
trário, não conheceria nenhum dos dois. 
 
Sabendo que a Copa de 2014 se realizaria em 12 
estádios brasileiros, a razão entre o número de mo-
dos distintos de escolher a situação I e o número 
de maneiras diferentes de escolha para a situação 
II, nessa ordem, é 
a) 
11
26
 
b) 
13
25
 
c) 
13
24
 
d) 
11
24
 
 
47. (Uepa 2015) Atual tendência alimentar base-
ada no maior consumo de legumes, verduras e fru-
tas impulsiona o mercado de produtos naturais e 
frescos sem agrotóxicos e uma diminuição no con-
sumo de produtos que levam glúten, lactose e açú-
car. Uma empresa especializada no preparo de re-
feições, visando a esse novo mercado de consumi-
dores, disponibiliza aos seus clientes uma “quenti-
nha executiva” que pode ser entregue no local de 
trabalho na hora do almoço. O cliente pode compor 
o seu almoço escolhendo entradas, pratos princi-
pais e sobremesas. Se essa empresa oferece 8 ti-
pos de entradas, 10 tipos de pratos principais e 5 
tipos de sobremesas, o número de possiblidades 
com que um cliente pode compor seu almoço, es-
colhendo, dentre os tipos ofertados, duas entradas, 
um prato principal e uma sobremesa é: 
a) 400 
b) 600 
c) 800 
d) 1.200 
e) 1.400 
 
48. (Espm 2014) Os binomiais 
11
4x
 
 
 
 e 
x 3y
y
+ 
 
 
são 
complementares e, por isso, são iguais. Seu valor 
é: 
a) 165 
b) 330 
c) 55 
d) 462 
e) 11 
 
49. (Unesp 2014) Um professor, ao elaborar uma 
prova composta de 10 questões de múltipla esco-
lha, com 5 alternativas cada e apenas uma correta, 
deseja que haja um equilíbrio no número de alter-
nativas corretas, a serem assinaladas com X na fo-
lha de respostas. Isto é, ele deseja que duas ques-
tões sejam assinaladas com a alternativa A, duas 
com a B, e assim por diante, como mostra o mo-
delo. 
Modelo de folha de resposta (gabarito) 
 A B C D E 
 01 X 
 02 X 
 03 X 
 04 X 
 05 X 
 06 X 
 07 X 
 08 X 
 09 X 
 10 X 
 
 
 
Nessas condições, a quantidade de folha de res-
postas diferentes, com a letra X disposta nas alter-
nativas corretas, será 
a) 302 400. 
b) 113 400. 
c) 226 800. 
d) 181 440. 
e) 604 800. 
 
50. (Uemg 2014) Na Copa das Confederações de 
2013, no Brasil, onde a seleção brasileira foi cam-
peã, o técnico Luiz Felipe Scolari tinha à sua dispo-
sição 23 jogadores de várias posições, sendo: 3 go-
leiros, 8 defensores, 6 meio-campistas e 6 atacan-
tes. Para formar seu time, com 11 jogadores, o téc-
nico utiliza 1 goleiro , 4 defensores , 3 meio-cam-
pistas e 3 atacantes. Tendo sempre Júlio César 
como goleiro e Fred como atacante, o número de 
times distintos que o técnico poderá formar é 
a) 14 000. 
b) 480. 
c) 8! + 4! 
d) 72 000. 
 
51. (Insper 2014) Um dirigente sugeriu a criação 
de um torneio de futebol chamado Copa dos Cam-
peões, disputado apenas pelos oito países que já 
foram campeões mundiais: os três sul-americanos 
(Uruguai, Brasil e Argentina) e os cinco europeus 
(Itália, Alemanha, Inglaterra, França e Espanha). 
As oito seleções seriam divididas em dois grupos 
de quatro, sendo os jogos do grupo A disputados 
no Rio de Janeiro e os do grupo B em São Paulo. 
Considerando os integrantes de cada grupo e as 
cidades onde serão realizados os jogos, o número 
de maneiras diferentes de dividir as oito seleções 
de modo que as três sul-americanas não fiquem no 
mesmo grupo é 
a) 140. 
b) 120. 
c) 70. 
d) 60. 
e) 40. 
 
52. (Uece 2014) Sejam r e s duas retas distintas e 
paralelas. 
Se fixarmos 10 pontos em r e 6 pontos em s, todos 
distintos, ao unirmos, com segmentos de reta, três 
quaisquer destes pontos não colineares, formam-
se triângulos. Assinale a opção correspondente ao 
número de triângulos que podem ser formados. 
a) 360 
b) 380 
c) 400 
d) 420 
 
53. (Esc. Naval 2014) Qual a quantidade de núme-
ros inteiros de 4 algarismos distintos, sendo dois 
algarismos pares e dois ímpares que podemos for-
mar, usando algarismos de 1 a 9 ? 
a) 2400 
b) 2000 
c) 1840 
d) 1440 
e) 1200 
 
54. (Epcar (Afa) 2014) Sr. José deseja guardar 4 
bolas – uma azul, uma branca, uma vermelha e 
uma preta – em 4 caixas numeradas: 
 
 
 
O número de maneiras de Sr. José guardar todas 
as 4 bolas de forma que uma mesma caixa NÃO 
contenha mais do que duas bolas, é igual a 
a) 24 
b) 36 
c) 144 
d) 204 
 
55. (Esc. Naval 2014) Há 10 postos de gasolina 
em uma cidade. Desses 10, exatamente dois ven-
dem gasolina adulterada. Foram sorteados aleato-
riamente dois desses 10 postos para serem fisca-
lizados. Qual é a probabilidade de que os dois pos-
tos infratores sejam sorteados? 
a) 
1
45
 
b) 
1
90
 
c) 
1
15
 
d) 
2
45
 
e) 
1
30
 
 
56. (Ibmecrj 2013) Uma tradicional competição en-
tre 24 times sempre foi organizada em três fases. 
Na primeira fase, os times são divididos em seis 
grupos de quatro times, em que cada time joga uma 
vez contra cada time do mesmo grupo. O último co-
locado de cada grupo é eliminado. Os times restan-
tes vão para a segunda fase, na qual não há divisão 
em grupos e todos os times se enfrentam,cada par 
uma única vez. Os dois times com maior pontuação 
na segunda fase se enfrentam, na terceira fase, em 
uma partida final que define o campeão. No pró-
ximo ano, os times passarão a ser divididos em 
quatro grupos de seis times e os dois últimos 
 
 
colocados de cada grupo serão eliminados ao final 
da primeira fase. O restante da competição conti-
nuará como antes. Nessa nova organização, 
a) o número de partidas da primeira fase diminuirá. 
b) o número de partidas da segunda fase aumen-
tará. 
c) o número total de partidas da competição dimi-
nuirá. 
d) o número de partidas que um time precisa dispu-
tar para sagrar-se campeão aumentará. 
e) o número de times eliminados na primeira fase 
diminuirá. 
 
57. (Pucrs 2013) Para a escolha de um júri popular 
formado por 21 pessoas, o juiz-presidente de uma 
determinada Comarca dispõe de uma listagem com 
nomes de trinta homens e de vinte mulheres. O nú-
mero de possibilidades de formar um júri popular 
composto por exatamente 15 homens é 
a) 15 630 20C C 
b) 15 630 20A A 
c) 15 630 20C C+ 
d) 15 630 20A A+ 
e) 2150C 
 
58. (Pucrj 2013) Em uma sorveteria há sorvetes 
nos sabores morango, chocolate, creme e flocos. 
De quantas maneiras podemos montar uma cas-
quinha com duas bolas nessa sorveteria? 
a) 10 maneiras 
b) 9 maneiras 
c) 8 maneiras 
d) 7 maneiras 
e) 6 maneiras 
 
59. (Enem 2013) Considere o seguinte jogo de 
apostas: 
 
Numa cartela com 60 números disponíveis, um 
apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os 
números disponíveis, serão sorteados apenas 6. O 
apostador será premiado caso os 6 números sorte-
ados estejam entre os números escolhidos por ele 
numa mesma cartela. 
O quadro apresenta o preço de cada cartela, de 
acordo com a quantidade de números escolhidos. 
 
Quantidade de núme-
ros escolhidos em uma 
cartela 
Preço da cartela 
(R$) 
6 2,00 
7 12,00 
8 40,00 
9 125,00 
10 250,00 
 
Cinco apostadores, cada um com R$500,00 para 
apostar, fizeram as seguintes opções: 
- Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos; 
- Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 
cartelas com 6 números escolhidos; 
- Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 
cartelas com 6 números escolhidos; 
- Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos; 
- Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos. 
 
Os dois apostadores com maiores probabilidades 
de serem premiados são 
a) Caio e Eduardo. 
b) Arthur e Eduardo. 
c) Bruno e Caio. 
d) Arthur e Bruno. 
e) Douglas e Eduardo. 
 
60. (Upe 2013) Em uma turma de um curso de es-
panhol, três pessoas pretendem fazer intercâmbio 
no Chile, e sete na Espanha. Dentre essas dez pes-
soas, foram escolhidas duas para uma entrevista 
que sorteará bolsas de estudo no exterior. A proba-
bilidade de essas duas pessoas escolhidas perten-
cerem ao grupo das que pretendem fazer intercâm-
bio no Chile é 
a) 1/5 
b) 1/15 
c) 1/45 
d) 3/10 
e) 3/7 
 
61. (Uern 2013) Numa lanchonete são vendidos 
sucos de 8 sabores diferentes, sendo que 3 são de 
frutas cítricas e os demais de frutas silvestres. De 
quantas maneiras pode-se escolher 3 sucos de sa-
bores diferentes, sendo que pelo menos 2 deles se-
jam de frutas silvestres? 
a) 40 
b) 55 
c) 72 
d) 85 
 
62. (Ufsm 2013) As doenças cardiovasculares apa-
recem em primeiro lugar entre as causas de morte 
no Brasil. As cirurgias cardíacas são alternativas 
bastante eficazes no tratamento dessas doenças. 
Supõe-se que um hospital dispõe de 5 médicos car-
diologistas, 2 médicos anestesistas e 6 instrumen-
tadores que fazem parte do grupo de profissionais 
habilitados para realizar cirurgias cardíacas. 
Quantas equipes diferentes podem ser formadas 
com 3 cardiologistas, 1 anestesista e 4 instrumen-
tadores? 
a) 200. 
b) 300. 
c) 600. 
d) 720. 
e) 1.200. 
 
 
 
63. (Uemg 2013) O jogo da Mega Sena consiste 
no sorteio de 6 números distintos de 1 a 60. Um 
apostador, depois de vários anos de análise, dedu-
ziu que, no próximo sorteio, os 6 números sortea-
dos estariam entre os 10 números que tinha esco-
lhido. 
Sendo assim, com a intenção de garantir seu prê-
mio na Sena, ele resolveu fazer todos os possíveis 
jogos com 6 números entre os 10 números escolhi-
dos. 
 
Quantos reais ele gastará para fazê-los, sabendo 
que cada jogo com 6 números custa R$ 2,00? 
a) R$ 540,00. 
b) R$ 302.400,00. 
c) R$ 420,00. 
d) R$ 5.040,00. 
 
64. (Mackenzie 2013) Uma faculdade possui 11 
professores titulares, dos quais 7 são homens e 4, 
mulheres. O número de bancas distintas de avalia-
ção que podem ser formadas, contendo cada uma 
apenas 3 homens e 3 mulheres é 
a) 4 
b) 70 
c) 80 
d) 140 
e) 180 
 
65. (Epcar (Afa) 2013) Num acampamento militar, 
serão instaladas três barracas: I, II e III. Nelas, se-
rão alojados 10 soldados, dentre eles o soldado A 
e o soldado B, de tal maneira que fiquem 4 solda-
dos na barraca I, 3 na barraca II e 3 na barraca III. 
Se o soldado A deve ficar na barraca I e o soldado 
B NÃO deve ficar na barraca III, então o número de 
maneiras distintas de distribuí-los é igual a 
a) 560 
b) 1120 
c) 1680 
d) 2240 
 
66. (Udesc 2013) Uma turma de 25 alunos precisa 
escolher 6 representantes. Sabe-se que 28% dos 
alunos desta turma são mulheres, e que os repre-
sentantes escolhidos devem ser 3 homens e 3 mu-
lheres. Assim, o número de possibilidades para 
esta escolha é: 
a) 28560 
b) 851 
c) 13800 
d) 1028160 
e) 5106 
 
67. (Pucrj 2013) Em uma sorveteria, há sorvetes 
nos sabores morango, chocolate, creme e flocos. 
De quantas maneiras podemos montar uma cas-
quinha, com dois sabores diferentes, nessa sorve-
teria? 
a) 6 maneiras 
b) 7 maneiras 
c) 8 maneiras 
d) 9 maneiras 
e) 10 maneiras 
 
68. (Ifsp 2013) Dispõe-se de cinco cores para co-
lorir o retângulo que está dividido em quatro outros 
retângulos menores, R1, R2, R3 e R4, de maneira 
que retângulos com um lado comum não devem ser 
coloridos com a mesma cor. O número de modos 
diferentes de colorir os quatro retângulos com ape-
nas duas cores é 
 
R1 R2 
R3 R4 
 
a) 8. 
b) 12. 
c) 15. 
d) 18. 
e) 20. 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: [D] 
 
Cada um dos quatro copos escolhidos pode ser 
azul ou verde, logo, pelo princípio da multiplicação 
há 2 2 2 2 16   = maneiras de organizar os copos. 
Agora vamos organizar as bolas. 
 
Primeira situação: 4 bolas 
3 verdes e 1 amarela 
3
4
4!
P 4
3!
= = 
ou 
2 verdes e 2 amarelas 
2,2
4
4! 4 3 2!
P 6
2! 2! 2 2!
 
= = =
 
 
 
Segunda situação: 3 bolas 
3 verdes 
Devemos escolher 3 copos e permutar as 3 bolas 
entre esses copos escolhidos. 
3
4,3 3
4!
C P 1 4
3! 1!
 =  =

 
ou 
2 verdes e 1 amarela 
Devemos escolher 3 copos e permutar as 3 bolas 
entre esses copos escolhidos. 
2
4,3 3
4! 3!
C P 4 3 12
3! 1! 2!
 =  =  =

 
ou 
1 verde e 2 amarelas 
Devemos escolher 3 copos e permutar as 3 bolas 
entre esses copos escolhidos. 
2
4,3 3
4! 3!
C P 4 3 12
3! 1! 2!
 =  =  =

 
 
Terceira situação: 2 bolas 
2 verdes 
Devemos escolher 2 copos e permutar as 2 bolas 
entre esses copos escolhidos. 
2
4,2 2
4! 4 3 2!
C P 1 6
2! 2! 2 2!
 
 =  = =
 
 
ou 
1 verde e 1 amarela 
Devemos escolher 2 copos e permutar as 2 bolas 
entre esses copos escolhidos. 
4,2 2
4!
C P 2! 12
2! 2!
 =  =

 
ou 
2 amarelas 
Devemos escolher 2 copos e permutar as 2 bolas 
entre esses copos escolhidos. 
2
4,2 2
4! 4 3 2!
C P 1 6
2! 2! 2 2!
 
 =  = =
 
 
 
Quarta situação: 1 bola 
1 verde 
Devemos escolher 1 copo. 
4,1C 4= 
ou 
1 amarela 
Devemos escolher 1 copo. 
4,1C 4= 
 
Quinta situação: 0 bolas 
Só há 1 possibilidade. 
Dessa forma, nas condições dadas, o total de ma-
neiras de perfilar os quatro “objetos” é: 
( )16 4 6 4 12 12 6 12 6 12 6 4 4 1
16 71
1136
 + + + + + + + + + + + +
 
 
Resposta da questão 2: [B]Calculando: 
7
7 7 7
Casos Possíveis (CP) 10
10
Casos Favoráveis (CF) : arranjo 10, 7 a 7 CF 7!
7
10 10!
7! 7!
7CF 10!7! 3!
Prob Prob
CP 10 10 10 3!
=
 
 =  
 
 
  
 
= = =  =

 
 
Resposta da questão 3: [B] 
 
Calculando: 
8,2 8,3 8,4 8,5 8,6 8,7 8,8
8,2 8,6
8,3 8,5
8,7
8,8
8,4
C C C C C C C
C C 28
C C 56
C 8
C 1
8!
C 70
4! 4!
S 28 56 70 56 28 8 1 247
+ + + + + +
= =
= =
=
=
= =

= + + + + + + =
 
 
Resposta da questão 4: [B] 
 
Basta aplicar a combinação de sete esportes agru-
pados dois a dois, logo: 
7,2
7,2
7,2
7!
C
2!(7 2)!
7 6 5!
C
2!5!
7 6 5!
C 21
2!5!
=
−
 
=
 
= =
 
 
Resposta da questão 5: [E] 
 
Do enunciado, devemos ter as seguintes situações: 
3 incógnitas nulas ou 4 incógnitas nulas ou 5 in-
cógnitas nulas. 
 
 
 
Com 3 incógnitas nulas 
6,3
6!
C 20
3! 3!
= =

 é o total de maneiras de escolher 
as três incógnitas nulas. 
 
Analisemos o caso em que 1 2 3x x x 0.= = = Assim, 
queremos encontrar o total de soluções inteiras não 
negativas e não nulas da equação 4 5 6x x x 20.+ + = 
Assim, podemos escrever: 
4 5 6x a 1, x b 1 e x c 1.= + = + = + 
 
Então, 
a 1 b 1 c 1 20
a b c 17
+ + + + + =
+ + =
 
 
O total de soluções inteiras não negativas da equa-
ção a b c 17,+ + = é: 
2,17
19
19! 19 18 17!
P 171
2! 17! 2 17!
 
= = =
 
 
 
Logo, pelo princípio da multiplicação, há 
20 171 3420 = soluções para a equação 
1 2 3 4 5 6x x x x x x 20+ + + + + = na qual 3 incógnitas 
são nulas. 
 
Com 4 incógnitas nulas 
6,4
6!
C 15
4! 2!
= =

 é o total de maneiras de escolher 
as quatro incógnitas nulas. 
Analisemos o caso em que 1 2 3 4x x x x 0.= = = = 
Assim, queremos encontrar o total de soluções in-
teiras não negativas e não nulas da equação 
5 6x x 20.+ = 
Assim, podemos escrever: 
5x d 1= + e 6x e 1.= + 
 
Então, 
d 1 e 1 20
d e 18
+ + + =
+ =
 
 
O total de soluções inteiras não negativas da equa-
ção d e 18,+ = é: 
18
19
19! 19 18!
P 19
18! 18!

= = = 
 
Logo, pelo princípio da multiplicação, há 
15 19 285 = soluções para a equação 
1 2 3 4 5 6x x x x x x 20+ + + + + = na qual 4 incógnitas 
são nulas. 
 
Com 5 incógnitas nulas 
6,5
6!
C 6
5! 1!
= =

 é o total de maneiras de escolher as 
quatro incógnitas nulas. 
Analisemos o caso em que 
1 2 3 4 5x x x x x 0.= = = = = Assim, queremos encon-
trar o total de soluções inteiras não negativas e não 
nulas da equação 6x 20.= 
Só há uma solução para esse caso. 
Logo, pelo princípio da multiplicação, há 6 1 6 = so-
luções para a equação 
1 2 3 4 5 6x x x x x x 20+ + + + + = na qual 5 incógnitas 
são nulas. 
 
Portanto, o total de soluções inteiras não negativas 
de 1 2 3 4 5 6x x x x x x 20,+ + + + + = nas quais pelo 
menos 3 incógnitas são nulas é 
3420 285 6 3711.+ + = 
 
Resposta da questão 6: [C] 
 
Se todos os atletas se cumprimentassem, então o 
número de apertos de mãos seria igual a 
2n
.
2
 
 
 
 
Mas, como apenas adversários se cumprimentam, 
devemos descontar desse total o número de aper-
tos de mãos trocados entre atletas de uma mesma 
dupla, qual seja n. 
 
Portanto, segue que o resultado é tal que 
2
2n (2n)!
n 180 n 180
2 2!(2n 2)!
n n 90 0
n 10.
 
− =  − = 
− 
 − − =
 =
 
 
Resposta da questão 7: [E] 
 
Como o campus possui sete professores e a cada 
aula três lecionam, basta aplicar a combinação de 
sete, três a três. 
7,3
7! 7 6 5 4!
C 35 semanas.
3!(7 3)! 3!4!
  
= = =
−
 
 
Calculando em meses, basta dividir por quatro. 
35
8 meses e 3 semanas.
4
= 
 
Resposta da questão 8: [E] 
 
O número de partidas pode ser calculado pelo nú-
mero de combinações de jogadores, 2 a 2. Assim: 
8,2
8! 8 7 6!
C 28 partidas
2! 6! 2 6!
 
= = =
 
 
 
Resposta da questão 9: [E] 
 
Calculando: 
 
 
5,2
4,2
1) 2 pontos em r, 1 ponto em s :
5!
C 10
2! (5 2)!
T 10 4 40
2) 1 ponto em r, 2 pontos em s :
4!
C 6
2! (4 2)!
T 6 5 30
Total 40 30 70 triângulos


= =
 −
=  =
= =
 −
=  =
 = + =
 
 
Resposta da questão 10: [E] 
 
Para saber o número de jogos realizados basta 
aplicar uma combinação simples de cinco times 
agrupados dois a dois. Logo, 
5,2
5! 5 4 3! 20
C 10 jogos.
2!(5 2)! 2!3! 2
 
= = = =
−
 
 
Resposta da questão 11: [B] 
 
O resultado é dado por 
12 12!
66.
2 2! 10!
 
= = 
 
 
 
Resposta da questão 12: [C] 
 
Basta determinar o número de combinações sim-
ples de 10 elementos tomados dois a dois. 
10,2
10!
C 45
2! 8!
= =

 
 
Resposta da questão 13: [D] 
 
O resultado corresponde ao número de combina-
ções simples de 10 militares tomados 2 a 2, ou 
seja, 
10 10!
45.
2 2! 8!
 
= = 
 
 
 
Resposta da questão 14: [B] 
 
O número de interruptores será igual ao número de 
combinações de 6 elementos (lâmpadas) tomados 
de 3 em 3. 
6,3
6!
C 20
3! 3!
= =

 
 
Resposta da questão 15: [B] 
 
Basta obter a combinação de 8 dois a dois. Logo 
temos: 
8,2
8! 8 7 6!
C 28
2!(8 2)! 2!6!
 
= = =
−
 
 
Resposta da questão 16: [B] 
 
Do enunciado, temos: 
Há 3 possibilidades para a escolha do goleiro. 
O total de maneiras de escolher os outros três jo-
gadores, após a escolha do goleiro é dado por: 
( )
12,3
12,3
12,3
12,3
12!
C
3! 12 3 !
12!
C
3! 9!
12 11 10 9!
C
3 2 1 9!
C 220
=
 −
=

  
=
  
=
 
 
Assim, o total de maneiras de escolher os quatro 
jogadores, pelo princípio fundamental da contagem 
é: 
3 220 660 = 
 
Resposta da questão 17: [B] 
 
Sabendo-se que cada caminhão cegonha possui 
10 carros e que é preciso ao menos um carrinho 
de cada cor, então restam 6 carrinhos nos quais as 
cores podem ser permutadas. 
Sendo a, b, c e d a quantidade de carrinhos bran-
cos, laranjas, amarelos e verdes, além dos 4 já pin-
tados (um de cada cor), tem-se: 
a b c d 6+ + + = 
 
A quantidade de soluções inteiras não negativas 
dessa equação de quatro variáveis será: 
9,3
6 4 1 9
C
4 1 3
+ −   
= =   
−   
 
 
Resposta da questão 18: [E] 
 
De 1 até 12, temos 10 números consecutivos, pois 
o primeiro deles não pode ser o 11 e nem o 12. 
Total de grupos formados por 3 pessoas: 
12,3
12!
C 220
3! 9!
= =

 
 
Portanto, o número máximo de grupos que se pode 
formar de modo que os crachás nãos sejam identi-
ficados por três números consecutivos será: 
220 10 210.− = 
 
Resposta da questão 19: [B] 
 
7
4
7! 7 6 5 4!
C 7 5 35
4! (7 4)! 4! 3 2 1
  
= = =  =
 −   
 
 
Resposta da questão 20: [A] 
 
Sendo a bola azul e v bola vermelha, as 
 
 
possibilidades são: {a, a, a}, {a, a, v}, {a, v, v} e 
{v, v, v}. Logo, é possível retirar 3 bolas azuis de 
20 20!
1140
3 3! 17!
 
= = 
 
 modos; 2 bolas azuis e 1 ver-
melha de 
20 30 20!
30 5700
2 1 2! 18!
   
 =  =   
   
 maneiras; 1 
bola azul e 2 vermelhas de 
20 30 30!
20 8700
1 2 2! 28!
   
 =  =   
   
 modos; e 3 bolas 
vermelhas de 
30 30!
4060
3 3! 27!
 
= = 
 
 maneiras. 
 
Portanto, pelo Princípio Aditivo, segue que a res-
posta é 
 
1140 5700 8700 4060 19600.+ + + = 
 
Resposta da questão 21: [E] 
 
4,1 4,2 4,3 4,4
4! 4! 4! 4!
c c c c 4 6 4 1 15
1! 3! 2! 2! 3! 1! 4! 0!
+ + + = + + + = + + + =
   
 
 
Resposta da questão 22: [D] 
 
Existem 
 
6 7 6! 7!
525
2 3 2! 4! 3! 4!
   
 =  =   
    
 
 
modos de formar uma comissão com 2 vereadores 
da situação e 3 da oposição. Dentre essas possi-
bilidades, 
 
5 6 6!
5 75
1 2 2! 4!
   
 =  =   
   
 
 
apresentam os dois líderes. Logo, há 
525 75 450− = maneiras para esse caso. 
 
Por outro lado, há 
 
6 7 6! 7!
420
3 2 3! 3! 2! 5!
   
 =  =   
    
 
 
maneiras de formar uma comissão com 3 vereado-
res da situação e 2 da oposição. Porém, nessas 
comissões estão incluídas 
 
5 6 5!
6 60
2 1 2! 3!
   
 =  =   
   
 
 
possibilidades nas quais os dois líderesfiguram. 
Em consequência, há 420 60 360− = comissões 
possíveis. 
Portanto, pelo Princípio Aditivo, segue que a res-
posta é 450 360 810.+ = 
 
Resposta da questão 23: [D] 
 
Gabarito Oficial: ANULADA 
Gabarito SuperPro®: [D] 
 
Onde se lê: “ n alunos (n 3), ” lia-se: “ n alunos 
(n 3),= ” na prova aplicada. Com base nessa altera-
ção, temos a seguinte solução: 
 
A resposta corresponde ao número de combina-
ções simples de n alunos tomados 3 a 3, isto é, 
 
3 2
n n!
3 3! (n 3)!
n(n 1)(n 2)
6
n n n
.
6 2 3
 
= 
 − 
− −
=
= − +
 
 
Resposta da questão 24: [A] 
 
Como os grupos de livros diferenciam-se apenas 
pela natura de elementos (a ordem dos livros esco-
lhidos não importa), trata-se de combinação. Como 
Marcelo quer levar 4 livros de romance e 3 livros de 
poesia, logo deve-se fazer uma multiplicação entre 
duas combinações, a fim de encontrar o número to-
tal de formas diferentes de escolha. Logo, a alter-
nativa correta é a letra [A]. 
 
Resposta da questão 25: 
 [A] 
 
Desde que o número de maneiras de escolher dois 
tenistas quaisquer é 
10 10!
,
2 2! 8!
 
= 
 
 e o número de 
modos de escolher dois tenistas canhotos é 
4 4!
,
2 2! 2!
 
= 
 
 tem-se que o resultado é dado por 
10! 4!
.
2! 8! 2! 2!
−
 
 
 
Resposta da questão 26: [C] 
 
O resultado corresponde ao número de combina-
ções simples de 7 vértices tomados 2 a 2, isto é, 
7 7!
21.
2 2! 5!
 
= = 
 
 
 
Resposta da questão 27: [A] 
 
 
 
O número de cartelas possíveis é dado por 
20 20!
1.140.
3 3!17!
 
= = 
 
 
 
Resposta da questão 28: [B] 
 
Duas vermelhas e uma azul: 9,2C 7 36 7 252 =  = 
 
Duas azuis e uma vermelha: 9,2C 7 36 7 252 =  = 
 
Portanto, o tempo total será de 252 252 504+ = se-
gundos. 
 
Como, 504 8 60 24,=  + temos: x 8= e u 24.= 
 
Resposta da questão 29: [C] 
 
Note que o conjunto  1, 3, 5, 7, , 999 é formado pe-
los números inteiros positivos, de 1 até 999, inclu-
sive. 
Se o conjunto fosse formado pelos números natu-
rais positivos, de 1 até 1000, inclusive, tal conjunto 
teria 1000 elementos, no entanto, teriam sido 
acrescentados todos os pares, de 1 até 1000, inclu-
sive. 
Como no conjunto  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, , 999, 1000 , há 
o mesmo número de números pares e ímpares, o 
total de elementos do conjunto  1, 3, 5, 7, , 999 é 
1000
500.
2
= 
Com isso, o total de pares ordenados (x, y), tais 
que x e y pertençam ao conjunto 1, 3, 5, 7, , 999 , 
com x y, é dado por: 
( )
500, 2
500, 2
500, 2
500, 2
500, 2
500!
C
2! 500 2
500!
C
2! 498!
500 499 498!
C
2 1 498!
500 499
C
2
C 499500
=
 −
=

 
=
 

=
=
 
 
Resposta da questão 30: [E] 
 
A resposta corresponde ao número de combina-
ções simples de 15 objetos tomados 3 a 3, ou 
seja, 
15 15!
455.
3 3! 12!
 
= = 
 
 
 
Resposta da questão 31: [E] 
 
Número de escolhas possíveis de 3 pontos: 
8,3
8!
C 56
3! 5!
= =

 
Número de escolhas com 3 pontos alinhados: 
4,3
4!
2 C 8
3! 1!
 = =

 
Número de escolhas com 3 símbolos iguais: 
4,3
4!
2 C 8
3! 1!
 = =

 
 
Portanto, o número de triângulos formados com 
símbolos diferentes será dado por: 
56 8 8 40.− − = 
 
Resposta da questão 32: [C] 
 
Número de maneiras de se escolher três nadado-
res medalhistas num total de 8. 
8,3
8!
C 56
3! 5!
= =

 
 
Número de maneiras de se escolher três medalhis-
tas de modo que um deles seja o brasileiro. 
7,2
7!
C 21
2! 5!
= =

 
 
Portanto, a probabilidade pedida será dada por: 
21 3
P 37,50%
56 8
= = = 
 
Resposta da questão 33: [D] 
 
Utilizando a Relação de Stifel, pode-se escrever: 
n n n 1
Re lação de Stifel
p p 1 p 1
+     
→ + =     
+ +     
 
 
(
2016
5
) + (
2017
5
) + (
2018
5
) + (
2019
5
) + (
2020
5
)
+ (
2016
6
) = 
(
2016
5
) + (
2016
6
) + (
2017
5
) + (
2018
5
) + (
2019
5
)
+ (
2020
5
) = 
(
2017
6
) + (
2017
5
) + (
2018
5
) + (
2019
5
) + (
2020
5
) = 
(
2018
6
) + (
2018
5
) + (
2019
5
) + (
2020
5
) = (
2019
6
) +
(
2019
5
) + (
2020
5
) = (
2020
6
) + (
2020
5
) = (
2021
6
) 
 
 
Resposta da questão 34: [B] 
 
Desenvolvendo a equação dada: 
 
 
(
𝑥 + 2
2
) = (
3𝑥 + 1
1
) →
(𝑥 + 2)!
2!   ⋅ ((𝑥 + 2) − 2)!
=
(3𝑥 + 1)!
1!   ⋅ ((3𝑥 + 1) − 1)!
→
(𝑥 + 2) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ 𝑥!
2!   ⋅ 𝑥!
=
(3𝑥 + 1) ⋅ (3𝑥)!
1!   ⋅ (3𝑥)!
 
(𝑥 + 2) ⋅ (𝑥 + 1) = 2 ⋅ (3𝑥 + 1) → 𝑥2 + 3𝑥 + 2
= 6𝑥 + 2 → 𝑥2 − 3𝑥 = 0
→ 𝑥 ⋅ (𝑥 − 3) = 0 
𝑥 = 3   𝑜𝑢   𝑥 = 0 
 
Desenvolvendo o número binomial dado: 
(
2𝑥 − 1
2
) =
(2𝑥 − 1)!
2!   ⋅ ((2𝑥 − 1) − 2)!
=
(2𝑥 − 1) ⋅ (2𝑥 − 2) ⋅ (2𝑥 − 3)!
2!   ⋅ (2𝑥 − 3)!
=
(2𝑥 − 1) ⋅ (2𝑥 − 2)
2
 
 
Assim, se x 0= o número dado seria também igual 
a zero, o que não consta nas alternativas. Se x 3,= 
tem-se: 
( ) ( )2 3 1 2 3 2 5 4 20
10
2 2 2
 −   − 
= = = 
 
Resposta da questão 35: [D] 
 
Os subconjuntos considerados no enunciado po-
dem ser formados de duas maneiras diferentes: 
 
Primeira maneira (3 elementos pares): 
5 5!
10
3 2! (5 2)!
 
= = 
 − 
 
 
Segunda maneira (2 elementos ímpares e um par): 
4 4!
5 5 30
2 2! (4 2)!
 
 =  = 
 − 
 
 
Portanto, o número de subconjuntos com 3 elemen-
tos com soma par será dado por: 10 30 40.+ = 
 
Resposta da questão 36: [D] 
 
Para que o produto dos quatro números escolhidos 
seja positivo, só existem 3 possibilidades: 
1. Os quatro números escolhidos são positivos; 
2. Os quatro números escolhidos são negativos; 
3. Dois números escolhidos são positivos e dois 
são negativos. 
 
Sabendo disso, e sabendo que a ordem dos núme-
ros escolhidos não interfere no seu produto, pode-
mos calcular as combinações. Os casos 1 e 2 são 
idênticos, ou seja, sua combinação é: 
4
6
6! 6 5 4! 30
C 15
4!(6 4)! 4! 2! 2
 
= = = =
− 
 
 
Já o caso 3 pode ser calculado como sendo a com-
binação de 6 elementos 2 a 2 (para os dois núme-
ros positivos) e a combinação de 6 elementos 2 a 
2 (para os dois números negativos). Ou seja: 
2
6
2 2
6 6
6! 6 5 4! 30
C 15
2!(6 2)! 2! 4! 2
C C 15 15 225
 
= = = =
− 
 =  =
 
 
Somando-se as três possibilidades, tem-se: 
15 15 225 255+ + = formas de escolher quatro ele-
mentos de X de modo que o produto destes ele-
mentos seja um número positivo. 
 
Resposta da questão 37: [A] 
 
O número de comissões que podem ser formadas, 
independentemente do sexo de seus participantes, 
é 
36 36!
7140.
3 3! 33!
 
= =    
 Desse total, devemos des-
contar o número de comissões cujos membros são 
todos homens, e o número de comissões cujos 
membros são todos mulheres. 
 
O número de comissões formadas exclusivamente 
por mulheres é igual a 
22 22!
1540.
3 3! 19!
 
= =    
 
 
O número de comissões formadas apenas por ho-
mens é 
14 14!
364.
3 3! 11!
 
= =    
 
 
Portanto, o resultado pedido é igual a 
7140 1540 364 5236.− − = 
 
Resposta da questão 38: [C] 
 
O resultado será mínimo quando o número de pro-
dutos iguais a 1− for máximo. Tem-se que o nú-
mero de produtos possíveis é igual a 
4 4!
6.
2 2! 2!
 
= = 
 
 Ademais, se x é a quantidade de 
números iguais a 1 e y é a quantidade de números 
iguais a 1,− temos 
 
(x, y) {(4, 0), (3, 1), (2, 2), (1, 3), (0, 4)}. 
 
É imediato que as possibilidades (4, 0) e (0, 4) não 
convêm. Logo, por inspeção, concluímos que 
(x, y) (2, 2),= com os números dispostos em quais-
quer círculos. 
 
 
 
A resposta é 
 
1 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 2. + −  − +  − +  − + −  + −  = − 
 
Resposta da questão 39: [B] 
 
É possível formar apenas triângulos e quadriláte-
ros. 
 
Existem 4 maneiras de escolher um dos pontos so-
bre o eixo das ordenadas e 
4 4!
6
2 2! 2!
 
= = 
 
 modos 
de escolher dois pontos da reta x 2.= Assim, pelo 
Princípio Multiplicativo, é possível formar 
2 4 6 48  = triângulos (note que é possível escolher 
dois pontos doeixo das ordenadas e um ponto da 
reta x 2).= 
 
Para formar quadriláteros, é necessário tomar dois 
pontos sobre o eixo das ordenadas e dois pontos 
sobre a reta x 2.= Isso pode ser feito de 6 6 36 = 
maneiras. 
 
Em consequência, pelo Princípio Aditivo, a res-
posta é 48 36 84.+ = 
 
Resposta da questão 40: [E] 
 
O resultado pedido se dá quando uma das pessoas 
não troca aperto de mão com exatamente uma das 
outras n 1− pessoas presentes. 
 
Portanto, a reposta é 
 
2n n! n(n 1) 2 n n 2
1 1
2 2!(n 2)! 2 2
  − − − −
− = − = = 
− 
 
 
 
Resposta da questão 41: [B] 
 
Como cada pessoa receberá no mínimo duas mo-
edas, devemos calcular o número de maneiras de 
distribuir 6 moedas para 3 pessoas. Assim, o re-
sultado pedido corresponde ao número de solu-
ções inteiras e não negativas da equação 
x y z 6,+ + = isto é, 63
8 8!
CR 28.
6 2! 6!
 
= = = 
 
 
 
Resposta da questão 42: [B] 
 
1ª Solução: (Progressão Aritmética) 
 
Seja na o número de trapézios na etapa n. 
 
Vamos determinar uma fórmula para na em função 
de n. É fácil ver que =1a 0, =2a 1, =3a 3 e =4a 6. 
Logo, temos 
 
− −
−
− =
− =
− =
− = −
− = −
2 1
3 2
4 3
n 1 n 2
n n 1
a a 1
a a 2
a a 3
a a n 2
a a n 1
 
 
Somando, vem 
 
 + −
− =  − 
 
=  −
n 1
1 n 1
a a (n 1)
2
n
(n 1).
2
 
 
Portanto, o número de trapézios obtidos na sexta 
etapa é 
 
=  − =6
6
a (6 1) 15.
2
 
 
 
2ª Solução: (Combinações Simples) 
 
O número de trapézios formados na etapa n, com 
n 2, corresponde ao número de combinações 
simples dos n segmentos horizontais (inclusive a 
base do triângulo inicial) tomados 2 a 2, isto é, 
 
  
 
n
.
2
 Portanto, a resposta é 
 
= =    
6 6!
15.
2 2! 4!
 
 
Resposta da questão 43: [C] 
Fazendo a relação entre as combinações de 2 e 3 
sabores de cobertura, pode-se escrever: 
𝐶𝑦
3
𝐶𝑦
2 =
200
150
⇒
𝑦!
(𝑦 − 3)! ⋅ 3!
𝑦!
(𝑦 − 2)! ⋅ 2!
=
𝑦!
(𝑦 − 3)! ⋅ 3!
⋅
(𝑦 − 2)! ⋅ 2!
𝑦!
=
(𝑦 − 2) ⋅ (𝑦 − 3)! ⋅ 2!
(𝑦 − 3)! ⋅ 3 ⋅ 2!
=
(𝑦 − 2)
3
⇒
(𝑦 − 2)
3
=
200
150
 
𝑦−2
3
=
200
150
⇒ 150𝑦 − 300 = 600 ⇒ 150𝑦 = 900 ⇒
𝑦 = 6 
 
Resposta da questão 44: [D] 
 
Podemos considerar dois casos: os anos de sorte 
que iniciam por um algarismo par, e os anos de 
sorte que iniciam por um algarismo ímpar. 
No primeiro caso, temos 4 modos de escolher o 
primeiro algarismo par (2, 4, 6 ou 8), 4 modos de 
 
 
escolher o segundo algarismo par e 
5 5!
10
2 2! 3!
 
= = 
 
 modos de escolher os dois algaris-
mos ímpares. Fixado o primeiro algarismo par, po-
demos dispor os outros 3 algarismos de 3! 6= ma-
neiras. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, existem 
4 4 10 6 960   = anos de sorte que começam por 
um algarismo par. 
No segundo caso, temos 5 escolhas para o pri-
meiro algarismo ímpar, 4 escolhas para o segundo 
algarismo ímpar e 
5
10
2
 
= 
 
 escolhas para os dois 
algarismos pares. Fixado o primeiro algarismo ím-
par, podemos dispor os outros 3 algarismos de 
3! 6= maneiras. Assim, pelo Princípio Multiplica-
tivo, temos 5 4 10 6 1200   = anos de sorte que ini-
ciam por um algarismo ímpar. 
Portanto, pelo Princípio Aditivo, segue que a res-
posta é 960 1200 2160.+ = 
 
Resposta da questão 45: [B] 
 
Como uma casquinha pode ter no máximo 3 bolas 
e os sabores devem ser distintos, segue-se que o 
resultado pedido é dado por 
 
6 6 6 6! 6!
6
1 2 3 2! 4! 3! 3!
6 15 20
41.
     
+ + = + +                 
= + +
=
 
 
Resposta da questão 46: [A] 
 
Para a situação I, existem 
11 11!
55
2 2! 9!
 
= = 
 
 esco-
lhas possíveis. Para a situação II, o número de pos-
sibilidades é dado por 
10 10!
10 10 130.
3 3! 7!
 
+ = + = 
 
 
Em consequência, a resposta é 
55 11
.
130 26
= 
 
Resposta da questão 47: [E] 
 
O cliente pode escolher duas entradas de 
8 8!
28
2 2! 6!
 
= = 
 
 modos, um prato principal de 10 
maneiras e uma sobremesa de 5 modos. Portanto, 
pelo Princípio Multiplicativo, a resposta é 
28 10 5 1400.  = 
 
Resposta da questão 48: [A] 
 
Se 
11
4x
 
 
 
 e 
x 3y
y
+ 
 
 
 são complementares, então 
x 3y 11+ = e 4x y 11.+ = Em consequência, tem-se 
x 2= e y 3.= Portanto, 
11 11 11!
165.
4x 8 8! 3!
   
= = =   
   
 
 
Resposta da questão 49: [B] 
 
10,2 8,2 6,2 4,2 2,2C C C C C 45 28 15 6 1 113400    =     = 
 
Resposta da questão 50: [A] 
 
 
 
Logo, o número de times distintos é: 
1 70 20 10 14000.   = 
 
Resposta da questão 51: [D] 
 
Existem 2 maneiras de escolher o grupo que terá 
duas seleções sul-americanas, 
3
3
2
 
= 
 
 modos de 
escolher essas duas seleções, e 
5 5!
10
2 3! 2!
 
= = 
 
 
modos de escolher as duas seleções europeias 
que irão formar o grupo com as duas sul-america-
nas. Como o segundo grupo é determinado univo-
camente pelas escolhas do primeiro, segue-se que 
o resultado pedido, pelo Princípio Fundamental da 
Contagem, é 2 3 10 60.  = 
 
Resposta da questão 52: [D] 
 
Número de combinações do total de pontos três a 
três: 16,3
16!
C 560
3!(16 3)!
= =
−
 
 
Número de combinações dos 10 pontos de uma 
reta três a três: 10,3
10!
C 120
3!(10 3)!
= =
−
 
 
Número de combinações dos 6 pontos da outra reta 
três a três: 6,3
6!
C 20
3!(6 3)!
= =
−
 
 
Portanto, o total de triângulos será dado por: 
560 120 20 420.− − = 
 
Resposta da questão 53: [D] 
 
Nos algarismos de 1 a 9 tem-se 4 algarismos pares 
 
 
e 5 algarismos ímpares. Deve-se escolher 2 alga-
rismos ímpares e 2 pares, permutando-os. Assim, 
pode-se escrever: 
2 2
5 4
5 4 3! 4 3 2!
C C 4! 4! 1440
3! 2! 2! 2!
   
  =   =
 
 
 
Resposta da questão 54: [D] 
 
Se não houvesse restrições de número de bolas 
por caixa, o total de maneiras possíveis de guardar 
as 4 bolas seria de 4 4 4 4 256.   = Porém, de 
acordo com a restrição imposta no enunciado, 
deste total é preciso descontar as maneiras que 
contemplam mais de duas bolas por caixa, ou seja: 
 
1) Uma caixa com 3 bolas, outra com 1 e as outras 
duas com nenhuma: 
3 1
4 1
4!
4 C 3 C 4 3 4 4 3 48 maneiras
3!
   =   =   = 
 
2) Uma caixa com 4 bolas e as outras com ne-
nhuma: há apenas 4 possibilidades, visto que só 
existem 4 caixas e que todas as bolas serão 
guardadas na mesma caixa. 
 
Assim, o total de maneiras de Sr. José pode guar-
dar todas as 4 bolas de forma que uma mesma 
caixa não contenha mais do que duas bolas, é igual 
a 256 48 4 204.− − = 
 
Resposta da questão 55: [A] 
 
Pode-se escrever: 
Possibilidades de escolha de 2 postos 
2
10
10 9 8!
C 45
8! 2!
 
→ = =

 
Possibilidade de escolha dos 2 postos infratores 
1→ 
1
P(A )
45
= 
 
Resposta da questão 56: [C] 
 
Na 1ª fase, cada grupo de 
24
4
6
= times terá 
4 4!
6
2 2! 2!
 
= = 
 
 jogos. Logo, serão disputadas 
6 6 36 = partidas nessa fase. Se um time é elimi-
nado de cada grupo, a 2ª fase terá 24 6 18− = equi-
pes. Desse modo, serão disputados 
18 18!
153
2 16! 2!
 
= = 
 
 jogos na 2ª fase. 
 
Como apenas dois times vão para a 3ª fase, segue 
que o número total de partidas é igual a 
36 153 1 190.+ + = 
 
No outro formato, cada grupo de 
24
6
4
= times terá 
6 6!
15
2 4! 2!
 
= = 
 
 jogos. Logo, serão disputadas 
4 15 60 = partidas nessa fase. Se dois times são 
eliminados de cada grupo, a 2ª fase terá 
24 4 2 16−  = equipes. Desse modo, serão disputa-
dos 
16 16!
120
2 14! 2!
 
= = 
 
 jogos na 2ª fase, o que per-
faz um total de 60 120 1 181+ + = jogos (contando 
com a final). 
 
Finalmente, como 181 190, segue-se que o nú-
mero total de partidas da competição diminuirá. 
 
Resposta da questão 57: [A] 
 
Como o júri é formado por 21 pessoas, sendo que 
exatamente 15 delas são homens, segue-se que o 
número de mulheres nesse júri é igual a 21 15 6.− =Portanto, o resultado é dado por 
30 20
.
15 6
   
   
   
 
 
Resposta da questão 58: [A] 
 
O número de maneiras que podemos montar uma 
casquinha com duas bolas corresponde ao número 
de combinações completas de 4 sabores tomados 
2 a 2, isto é, 
 
2 2
4 4 2 1
5 5! 5 4
CR C 10.
2! 3! 22
+ −
  
= = = = =    
 
 
Resposta da questão 59: [A] 
 
Supondo que duas cartelas de um mesmo jogador 
não possuem 6 dezenas iguais, segue-se que Ar-
thur, Bruno, Caio, Douglas e Eduardo possuem, 
respectivamente, as seguintes possibilidades de 
serem premiados: 
 
250; 
7
41 4 291;
6
 
 + = 
 
 
8
12 10 346;
6
 
 + = 
 
 
9
4 336
6
 
 = 
 
 e 
10
2 420.
6
 
 = 
 
 
 
Portanto, como o número de casos possíveis para 
o resultado do sorteio é o mesmo para todos, po-
demos concluir que Caio e Eduardo são os que têm 
as maiores probabilidades de serem premiados. 
 
Resposta da questão 60: [B] 
 
 
 
Existem 
3
3
2
 
=  
 
 modos de escolher duas pessoas 
dentre aquelas que pretendem fazer intercâmbio no 
Chile, e 
10 10!
45
2! 8!2
 
= =    
 maneiras de escolher 
duas pessoas quaisquer. Logo, a probabilidade pe-
dida é 
3 1
.
45 15
= 
 
Resposta da questão 61: [A] 
 
O resultado pedido corresponde ao número de ma-
neiras que podemos escolher 1 sabor de fruta cí-
trica e 2 sabores de frutas silvestres ou 3 sabores 
de frutas silvestres, isto é, 
 
3 5 5 5!
4 40.
1 2 3 2! 3!
     
 + =  =     
     
 
 
Resposta da questão 62: [B] 
 
O resultado pedido é dado por 
 
5 2 6 5! 6!
2
3! 2! 4! 2!3 1 4
20 15
300.
     
  =                   
= 
=
 
 
Resposta da questão 63: [C] 
 
Total de combinações possíveis: 
10,6
10!
C 210.
6! 4 !
= =

 
 
Valor total dos jogos: 210 2 R$420,00. = 
 
Resposta da questão 64: [D] 
 
Maneiras distintas para a escolha de 3 homens: 
7,3
7!
C 35.
3! 4!
= =

 
Maneiras distintas para a escolha de 3 mulheres: 
43
4!
C 4.
3! 1!
= =

 
 
Total de bancas: 35.4 = 140. 
 
Resposta da questão 65: [B] 
 
1º caso: Soldados A e B na barraca I 
 
Barraca I: C8,2 = 28 
Barraca II: C6,3 = 20 
Barraca III: C3,3 = 1 
Total(1) = 28  20  1 = 560. 
 
2º caso: Soldado A na barraca I e soldado B na 
barraca II 
Barraca I: C8,3 = 56 
Baraca II CC5,2 =10 
Barraca III: C3,3 = 1 
Total(2) = 56  10  1 = 560. 
 
Então, o número de maneiras distintas de distribuí-
los é igual a 560 + 560 = 1120. 
 
Resposta da questão 66: [A] 
 
Como a turma é constituída de 0,28 25 7 = mulhe-
res e 25 7 18− = homens, existem 
 
7 18 7! 18!
3 3 3! 4! 3! 15!
7 6 5 18 17 16
3 2 3 2
35 3 17 16
28560
   
 =    
    
   
= 
 
=   
=
 
 
modos de escolher 6 representantes, sendo 3 ho-
mens e 3 mulheres. 
 
Resposta da questão 67: [A] 
 
O número de maneiras possíveis de montar uma 
casquinha, com dois sabores distintos, sabendo 
que existem quatro sabores disponíveis, é dado por 
 
 
4 4!
6.
2 2! 2!
 
= = 
 
 
 
Resposta da questão 68: [E] 
 
Existem apenas duas maneiras de colorir os retân-
gulos usando as cores A e B: 
 
 
 
Escolhendo duas entre as 5 cotes disponíveis. 
5,2
5!
C 10
2!.3!
= = 
Número de maneiras para se pintar os retângulos: 
2 10 20 =