Nota 90

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Nota 90.
Questão 1/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre base de um espaço vetorial e os vetores:
u=(1,−1,−2),v=(2,1,1) e w=(k,0,3)u=(1,−1,−2),v=(2,1,1) e w=(k,0,3).
Assinale a alternativa com o valor de kk para que os vetores u,v e wu,v e w formem uma base do R3.R3. 
Nota: 10.0
	
	A
	k≠8k≠8
	
	B
	k≠−7k≠−7
	
	C
	k≠5k≠5
	
	D
	k≠−9k≠−9
Você acertou!
Determine o valor de kk para que os vetores u,v e wu,v e w formem uma base do R3.R3. 
Montamos o sistema linear 
⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+kc=0−a+b=0−2a+b+3c=0{a+2b+kc=0−a+b=0−2a+b+3c=0
Efetuamos o escalonamento
⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+kc=03b+kc=05b+(2k+3)c=0⎧⎪
⎪⎨⎪
⎪⎩a+2b+kc=03b+kc=0(k+9)3c=0k≠−9{a+2b+kc=03b+kc=05b+(2k+3)c=0{a+2b+kc=03b+kc=0(k+9)3c=0k≠−9
(Livro-base p. 95-100)
	
	E
	k≠6k≠6
Questão 2/10 - Álgebra Linear
Leia as informações abaixo:
Na fabricação de três misturas de bolos, sabores chocolate, canela e baunilha, são usados três ingredientes: farinha de trigo, leite em pó e gordura vegetal. A quantidade de ingredientes para cada mistura, isto é, para cada embalagem, é dada pela tabela: 
ChocolateCanelaBaunilhaFarinha(g)230250240Leite(ml)605040Gordura vegetal(g)302524ChocolateCanelaBaunilhaFarinha(g)230250240Leite(ml)605040Gordura vegetal(g)302524
O número de misturas produzidas, de cada sabor, nos meses de maio e junho, é dado pela tabela:
MaioJunhoChocolate1000500Canela400200Baunillha600400MaioJunhoChocolate1000500Canela400200Baunillha600400
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, sobre produto de matrizes, assinale a alternativa que apresenta o total de cada ingrediente usado nos meses de maio e junho:
Nota: 10.0
	
	A
	⎡⎢⎣640000161000204000560005440029600⎤⎥⎦[640000161000204000560005440029600]
	
	B
	⎡⎢⎣53000062100014000580003440026000⎤⎥⎦[53000062100014000580003440026000]
	
	C
	⎡⎢⎣474000261000104000560005440029600⎤⎥⎦[474000261000104000560005440029600]
Você acertou!
O problema se resume na multiplicação de matrizes:
⎡⎢⎣230250240605040302524⎤⎥⎦[230250240605040302524].⎡⎢⎣1000500400200600400⎤⎥⎦[1000500400200600400] = ⎡⎢⎣474000261000104000560005440029600⎤⎥⎦[474000261000104000560005440029600] 
(Livro-base p. 36-39).
	
	D
	⎡⎢⎣2300001250000240005100001800010000⎤⎥⎦[2300001250000240005100001800010000]
	
	E
	⎡⎢⎣640000305000541000560001240039600⎤⎥⎦[640000305000541000560001240039600]
Questão 3/10 - Álgebra Linear
De acordo com os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre sistemas de equações lineares, as matrizes A=(aij)∈M2×3A=(aij)∈M2×3 e B=(bij)∈M3×3B=(bij)∈M3×3  são definidas por aij=2i+3j−2 e bij={2i+j, se i=j2j−i, se i≠jaij=2i+3j−2 e bij={2i+j, se i=j2j−i, se i≠j. O produto AB é a matriz:
Nota: 0.0
	
	A
		[054120474156][054120474156]
Construção das matrizes A e B.
A=[a11a12a13a21a22a23]=[3695811]A=[a11a12a13a21a22a23]=[3695811]  e B=⎡⎢⎣a11a12a13a21a22a23a31a22a33⎤⎥⎦=⎡⎢⎣335064−119⎤⎥⎦=[a11a12a13a21a22a23a31a22a33]=[335064−119].  O produto AB=[3695811][3695811]⎡⎢⎣335064−119⎤⎥⎦[335064−119]=[3695811][3695811]. 
(Livro-base p. 40-52)
	
	B
	⎡⎢⎣7294729284102⎤⎥⎦[7294729284102]
	
	C
	[72941207292156][72941207292156]
	
	D
	[05484472156][05484472156]
	
	E
	⎡⎢⎣7294729284102⎤⎥⎦[7294729284102]
Questão 4/10 - Álgebra Linear
Seja o espaço vetorial V=R2V=R2  e W={(x,y)∈R2/y=3x}W={(x,y)∈R2/y=3x}.  
De acordo com o espaço vetorial dado acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa cuja afirmativa é correta com relação ao conjunto WW.
Nota: 10.0
	
	A
	(3x,x)∈W(3x,x)∈W
	
	B
	Para todos vetores u,v∈W,u,v∈W, temos u+v∉Wu+v∉W.
	
	C
	Para todos vetores u,v∈W,u,v∈W, temos u.v∉Wu.v∉W
	
	D
	 WW  não é um subespaço vetorial de V.V.
	
	E
	 WW  é um subespaço vetorial de V.V.
Você acertou!
Considere os vetores u=(x1,y1)u=(x1,y1)  e v=(x2,y2)v=(x2,y2) de V=R2.V=R2.   
Deve-se verificar se são satisfeitas as seguintes condições:
1. Se u,v∈Wu,v∈W então, u+v∈Wu+v∈W.   
u+v=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1,3x1)+(x2,3x2)==(x1+x2,3(x1+x2))∈W.u+v=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1,3x1)+(x2,3x2)==(x1+x2,3(x1+x2))∈W.
2. Se u∈W,então,αu∈W,u∈W,então,αu∈W,  para todo α∈R.α∈R.
αu=α(x1,y1)=(αx1,αy1)=(αx1,3αx1)∈W.αu=α(x1,y1)=(αx1,αy1)=(αx1,3αx1)∈W.
Logo, pode-se afirmar que WW é um subespaço de V.V.
(Livro-base p. 82-88).
Questão 5/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre sistemas de equações lineares, resolva o problema: 
Usando escalonamento, assinale a alternativa com valor de kk de modo que o sistema linear: 
⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=35x−3y=22x−2y=k{x+2y=35x−3y=22x−2y=k
admita solução única.  
Nota: 10.0
	
	A
	k=1k=1
	
	B
	k=−1k=−1
	
	C
	k=0k=0
Você acertou!
Faça os escalonamentos:
−5L1+L2→L2−2L1+L3→L3−5L1+L2→L2−2L1+L3→L3
⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=35x−3y=22x−2y=k{x+2y=35x−3y=22x−2y=k
⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=3−13y=−13−6y=k−6{x+2y=3−13y=−13−6y=k−6
k−6=−6k=0k−6=−6k=0
(Livro-base p. 96)
	
	D
	k=−2k=−2
	
	E
	k=2k=2
Questão 6/10 - Álgebra Linear
Analise as matrizes A=[2002]A=[2002] e B=[3003]B=[3003].
De acordo com as matrizes acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, determine a matriz XX, tal que X=A.Bt+B.X=A.Bt+B.
Nota: 10.0
	
	A
	X=[120012]X=[120012]
	
	B
	X=[180018]X=[180018]
	
	C
	X=[9009]X=[9009]
Você acertou!
X=A.Bt+B=X=A.Bt+B= [2002][2002].[3003][3003]+ [3003][3003]=
=[6006][6006] +[3003][3003] =[9009][9009]
(Livro-base p. 26-38)
	
	D
	X=[8448]X=[8448]
	
	E
	X=[101110]X=[101110]
Questão 7/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre transformações lineares,  e  T:R2→R3T:R2→R3  uma transformação linear tal que 
T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4),T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4),
assinale a alternativa com as coordenadas do vetor u∈R2u∈R2, de modo que T(u)=(3,2,1)T(u)=(3,2,1).
Nota: 10.0
	
	A
	u=(−4,2).u=(−4,2).
	
	B
	u=(−3,3).u=(−3,3).
	
	C
	u=(4,2).u=(4,2).
	
	D
	u=(−1,2).u=(−1,2).
	
	E
	u=(1,2).u=(1,2).
Você acertou!
T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)=(3,2,1)32y=3⇒y=2x+12y=2⇒x=1u=(1,2).T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)=(3,2,1)32y=3⇒y=2x+12y=2⇒x=1u=(1,2).
(Livro-base p. 119-122)
Questão 8/10 - Álgebra Linear
Considere os vetores u=(−4,10,5), v1=(1,1,−2), v2=(2,0,3) e v3=(−1,2,3).u=(−4,10,5), v1=(1,1,−2), v2=(2,0,3) e v3=(−1,2,3). 
De acordo com os vetores dados acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa que descreve o vetor uu como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3:v1, v2 e v3:
Nota: 10.0
	
	A
	u=v1−2v2+3v3u=v1−2v2+3v3.
	
	B
	u=2v1−v2+4v3.u=2v1−v2+4v3.
Você acertou!
Queremos encontrar α,β,γ∈Rα,β,γ∈R tais que u=αv1+βv2+γv3u=αv1+βv2+γv3, isto é, (−4,10,5)=(α+2β−γ,α+2γ,−2α+3β+3γ)⟹⎧⎨⎩α+2β−γ=−4,α+2γ=10,−2α+3β+3γ=5.(−4,10,5)=(α+2β−γ,α+2γ,−2α+3β+3γ)⟹{α+2β−γ=−4,α+2γ=10,−2α+3β+3γ=5.Resolvendo o sistema linear anterior, obtemos α=2, β=−1 e γ=4.α=2, β=−1 e γ=4. Portanto, u=2v1−v2+4v3u=2v1−v2+4v3    (livro-base p. 89-93).
	
	C
	u=−2v1+v2+4v3.u=−2v1+v2+4v3.
	
	D
	u=10v1−7v2+4v3.u=10v1−7v2+4v3.
	
	E
	u=2v1−v2−4v3.u=2v1−v2−4v3.
Questão 9/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre transformações lineares,  e  T:R2→R3T:R2→R3  uma transformação linear tal que 
T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4)T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4),
assinale a alternativa cuja função é a transformação linear T(u).T(u).
Nota: 10.0
	
	A
	T(u)=(−3,2,2)T(u)=(−3,2,2)
	
	B
	T(u)=12(2x+y,x+y,2x−y)T(u)=12(2x+y,x+y,2x−y)
	
	C
	T(u)=(52y,2x+32y,2x−12y)T(u)=(52y,2x+32y,2x−12y)
	
	D
	T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)
Você acertou!
Como {(1,2),(3,4)}{(1,2),(3,4)}  é uma base de R2R2,  existe uma única TL tal que T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4)T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4).  Dado u=(x,y)u=(x,y), temos que:
u=r(1,2)+s(3,4)u=r(1,2)+s(3,4)
{r+3s=x2r+4s=y{r+3s=x2r+4s=y
Escalonando o sistema, temos:
{r+3s=x−2s=y−2x{r+3s=x−2s=y−2x
Logo, 
r=12(−4x+3y) e s=12(2x−y).r=12(−4x+3y) e s=12(2x−y).
Portanto,  T(u)=rT(1,2)+sT(3,4)T(u)=12(−4x+3y).(3,2,1)+12(2x−y).(6,5,4)T(u)=(32y,x+12y,2x−12y).T(u)=rT(1,2)+sT(3,4)T(u)=12(−4x+3y).(3,2,1)+12(2x−y).(6,5,4)T(u)=(32y,x+12y,2x−12y).
T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)=(3,2,1)32y=3⇒y=2x+12y=2⇒x=1u=(1,2).T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)=(3,2,1)32y=3⇒y=2x+12y=2⇒x=1u=(1,2).(Livro-base p. 119-122)
	
	E
	T(u)=12(y,x+2y,2x−4y)T(u)=12(y,x+2y,2x−4y)
Questão 10/10 - Álgebra Linear
Leia as informações abaixo:
Um sistema de equações lineares pode ter uma única solução, nenhuma solução ou infinitas soluções. Sendo assim, podemos classificá-lo em possível e determinado, impossível, ou possível e indeterminado, respectivamente.
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, determine a solução do seguinte sistema:
⎧⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪⎩x+y=2y+z=4x+y=5x+y+z=0{x+y=2y+z=4x+y=5x+y+z=0
Assinale a alternativa correta:
Nota: 10.0
	
	A
	Este sistema é indeterminado.
	
	B
	Este sistema é possível e sua solução é (0,0,0).     
	
	C
	Este sistema é possível e sua solução é (0,1,1).
	
	D
	Este sistema é impossível.
Você acertou!
Comentário: Podemos somar as três primeiras equações e obter 2x + 2y + 3z = 11. Dividindo por 2 teremos: x + y + z = 11/2. Como a quarta equação é x + y + z = 0, temos que o sistema é impossível.
(Livro-base p. 56-58)
	
	E
	Este sistema é possível e sua solução é (1,2,3