Lista de Exercícios 2 - Subespaço Vetorial

Prévia do material em texto

2o Lista de Exerćıcios – GEX251 - Introdução à Álgebra Linear
Exerćıcio 1 Seja V um espaço vetorial qualquer. Verifique que {O}, conjunto contendo
somente o vetor nulo, é um subespaço vetorial de V . Além disso, verifique que V é um
subespaço vetorial dele mesmo.
Exerćıcio 2 Verifique se o conjunto é subespaço vetorial de R3.
a) W = {(x, 0, 0); x ∈ R}.
b) U = {(a, 1, 1); a ∈ R}.
c) Z = {(x, x+ y, y); x, y ∈ R}.
d) V = {(a, b, c) ∈ R3; b = a+ c+ 1}.
Exerćıcio 3 Explique por que o conjunto W = {(x, y); x > 0, y > 0} ⊂ R2 não é
subespaço vetorial de R2 com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
Exerćıcio 4 Verifique se o conjunto é subespaço vetorial de Mn×n(R).
a) O conjunto de todas as matrizes A ∈Mn×n(R) tais que detA = 0.
b) O conjunto de todas as matrizes A ∈Mn×n(R) tais que Traço A = 0.
c) O conjunto de todas as matrizes simétricas de A ∈Mn×n(R), isto é, as matrizes A
tais que At = A.
d) O conjunto de todas as matrizes A ∈ Mn×n(R) tais que Ax = 0 só tem a solução
trivial.
Exerćıcio 5 O conjunto V = {f : R → R; f é uma função} é um espaço vetorial com
as operações:
f + g é a função x 7→ f(x) + g(x).
αf é a função x 7→ αf(x).
Dado um polinômio p(x) ∈ P3(R)(o conjunto de todos os polinômios reais de grau até
3), este pode ser visto como um função real p : R −→ R. Verifique que P3(R) é um
subespaço vetorial de V .
Exerćıcio 6 Em P3(R), verifique se o conjunto é subespaço vetorial.
a) Todos os polinômios da forma p(x) = a+ bx+ cx2 + dx3 tais que p(0) = 0.
b) Todos os polinômios da forma p(x) = a+ bx+ cx2 + dx3 com d 6= 0.
1
c) Todos os polinômios da forma a+ bx+ cx2. Qual conjunto é este?
Exerćıcio 7 Sejam U e V subespaços vetoriais de um espaço vetorial W . Definimos o
conjunto U + V = {u+ v; u ∈ U e v ∈ V }. Verifique que:
a) U + V ⊂ W .
b) U + V = V + U .
c) U + {O} = U .
d) U + V é subespaço vetorial de W .
e) Seja W = R3 o espaço vetorial com a soma e multiplicação por escalar usuais. Dê
exemplos de conjuntos U e V tais que U + V = R3. Além disso, de tal forma que
U ∩ V = {(0, 0, 0)}.
2