Lista 2 Subespaço Vetorial

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Instituto Federal de Santa Catarina – Campus Florianópolis
Unidade Curricular: Álgebra Linear
Professor: Luiz Arthur Dornelles Jr
Semestre: 2019/2
Lista 2 - Subespaço Vetorial
1. Verifique, em cada caso, se o conjunto 𝑊 é um subespaço vetorial de R2.
1.1. 𝑊 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑥 + 𝑦 = 0}.
1.2. 𝑊 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑥 + 𝑦 = 1}.
1.3. 𝑊 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑥2 = 𝑦}.
1.4. 𝑊 = {(𝑥, 𝑦) | 3𝑦 − 𝑥 = 0}.
2. Verifique, em cada caso, se o conjunto 𝑊 é um subespaço vetorial de R3.
2.1. 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) | 𝑥 = 0}.
2.2. 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) | 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0}.
2.3. 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) | 𝑥 ≥ 0}.
2.4. 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) | 𝑥 · 𝑦 = 0}.
3. Verifique, em cada caso, se o conjunto 𝑊 é um subespaço vetorial de 𝑀2(R).
3.1. 𝑊 =
{︃ [︃
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
]︃
| 𝑐 = 𝑎 · 𝑏 e 𝑑 = 0
}︃
3.2. 𝑊 =
{︃ [︃
𝑎 𝑎 + 𝑏
𝑎 − 𝑏 𝑏
]︃
| 𝑎, 𝑏 ∈ R
}︃
3.3. 𝑊 = {𝐴 ∈ 𝑀2(R) | 𝐴 é invertível }.
3.4. 𝑊 =
{︃ [︃
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
]︃
| 𝑎 · 𝑑 = 0
}︃
3.5. 𝑊 = {𝐴 ∈ 𝑀2(R) | 𝐴𝑃 = 𝑃𝐴}, isto é, 𝑊 consiste de todas as matrizes que comutam com uma
dada matriz 𝑃 .
4. Em cada item abaixo, determine se 𝑊 é um subespaço vetorial de 𝑉 .
4.1. 𝑉 = 𝑃2(R) e 𝑊 = {𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2 | 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0}.
4.2. 𝑉 = 𝑃3(R) e 𝑊 é o conjunto de todos os polinômios de grau 3.
4.3. 𝑉 = ℱ(R) e 𝑊 = {𝑓 ∈ ℱ(R) | 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥)}.
4.4. 𝑉 = ℱ(R) e 𝑊 = {𝑓 ∈ ℱ(R) | 𝑓(0) = 1}.
4.5. 𝑉 = ℱ(R) e 𝑊 = {𝑓 ∈ ℱ(R) | 𝑓(0) = 0}.
5. Mostre que o conjunto 𝑊 =
{︃
𝑓 ∈ 𝒞[𝑎, 𝑏] |
∫︁ 𝑏
𝑎
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 0
}︃
é um subespaço vetorial de 𝒞[𝑎, 𝑏] (sendo
𝒞[𝑎, 𝑏] o conjunto de todas as funções definidas e contínuas no intervalo [𝑎, 𝑏] com valores reais).
6. Considere o conjunto 𝑊 = {𝑓 ∈ 𝒞2[𝑎, 𝑏] | 𝑓 ′′ − 𝑓 = 0} em que 𝑓 ′′ representa a derivada de segunda
ordem de 𝑓 . Verifique que 𝑊 é um subespaço vetorial de 𝒞2[𝑎, 𝑏] (sendo 𝒞𝑛[𝑎, 𝑏] o conjunto de todas
as funções 𝑓 que tem a 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 derivada definida e contínua no intervalo [𝑎, 𝑏]).
7. Considerando o espaço vetorial do exercício 6 da lista 1, Verifique se 𝑆 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑉 | 𝑥 = −5}
é um subespaço vetorial de V.
8. Considere o espaço vetorial real R2 e os seguintes subespaços
𝑈 =
{︁
(𝑥, 𝑦) ∈ R2 | 𝑦 = 3𝑥
}︁
e 𝑊 =
{︁
(𝑥, 𝑦) ∈ R2 | 𝑦 = −2𝑥
}︁
Verifique se o subconjunto
𝑈 ∪ 𝑊 =
{︁
(𝑥, 𝑦) ∈ R2 | (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑈 ou (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑊
}︁
é um subespaço vetorial de R2.
9. Demonstre que o conjunto 𝐹1 das matrizes triangulares inferiores e o conjunto 𝐹2 das matrizes
triangulares superiores são subespaços vetoriais de 𝑀(𝑛 × 𝑛), que 𝑀(𝑛 × 𝑛) = 𝐹1 + 𝐹2 e que não se
tem 𝑀(𝑛 × 𝑛) = 𝐹1 ⊕ 𝐹2.
10. Mostrar que dada uma matriz 𝐴 ∈ 𝑀𝑛×𝑛(R). O conjunto 𝑆 ∈ R𝑛 definido por:
𝑆 = {𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, · · · , 𝑥𝑛) | 𝐴.𝑋 = 0R𝑛}
onde X que é o conjunto solução do sistema linear homogêneo 𝐴.𝑋 = 0 é um subespaço do espaço
vetorial R𝑛.
11. A união de dois subespaços vetoriais de 𝑉 é necessariamente um subespaço vetorial de 𝑉 ?
12. Sejam 𝑈 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ R3 | 𝑥 = 𝑦 = 𝑧} e 𝑊 = {(0, 𝑦, 𝑧) | 𝑦, 𝑧 ∈ R} subespaços de R3. Mostre que
R3 = 𝑈 ⊕ 𝑊 .
Lista 2 - Resultados
OBSERVAÇÃO: OS RESULTADOS AQUI APRESENTADOS
ESTÃO MUITO RESUMIDOS. A RESOLUÇÃO DOS EXER-
CÍCIOS DEVE SEGUIR AS ORIENTAÇÕES DADAS EM AULA,
CITANDO AS DEFINIÇÕES, TEOREMAS, COROLÁRIOS,
ETC. ESTUDADOS DURANTE O SEMESTRE.
1.
1.1. É Subspaço Vetorial
1.2. Não é Subspaço Vetorial
2
1.3. Não é Subspaço Vetorial.
1.4. É Subspaço Vetorial
2.
2.1. É Subspaço Vetorial
2.2. É Subspaço Vetorial
2.3. Não é Subspaço Vetorial
2.4. Não é Subspaço Vetorial.
3.
3.1. Não é Subspaço Vetorial
3.2. É Subspaço Vetorial
3.3. Não é Subspaço Vetorial
3.4. Não é Subspaço Vetorial
3.5. É Subspaço Vetorial
4.
4.1. É Subspaço Vetorial
4.2. Não é Subspaço Vetorial
4.3. É Subspaço Vetorial
4.4. Não é Subspaço Vetorial
4.5. É Subspaço Vetorial
5. Usar o Teorema 1.5
6. Usar o Teorema 1.5
7. Usar o Teorema 1.5 - 𝑆 é um subespaço de V.
7.1. Suponha que 0𝑉 = (𝑎, 𝑏), então: (𝑥, 𝑦) + (𝑎, 𝑏) = (𝑥, 𝑦) 0𝑉 = (1, 0)
7.2. O elemento simétrico do elemento (𝑥, 𝑦) é o vetor
(︂ 1
𝑥
, −𝑦
)︂
7.3.
𝛼(𝑢 + 𝑣) = 𝛼((𝑥1, 𝑦1) + (𝑥2, 𝑦2))
= 𝛼(𝑥1.𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2)
= ((𝑥1.𝑥2)𝛼, 𝛼(𝑦1 + 𝑦2))
= (𝑥𝛼1 .𝑥𝛼2 , 𝛼𝑦1 + 𝛼𝑦2)
= (𝑥𝛼1 , 𝛼𝑦1) + (𝑥𝛼2 , 𝛼𝑦2)
= 𝛼(𝑥1, 𝑦1) + 𝛼(𝑥2, 𝑦2)
= 𝛼𝑢 + 𝛼𝑣.
8. Não é um subespaço vetorial. Sejam 𝛼 ∈ R2, 𝑢 = (𝑥, 3𝑥) ∈ 𝑈 e 𝑤 = (𝑥, −2𝑥) ∈ 𝑊 .
Temos que 𝑢 ∈ 𝑈 ∪ 𝑊 e 𝑤 ∈ 𝑈 ∪ 𝑊 , mas
𝑢 + 𝑤 = (𝑥, 3𝑥) + (𝑥, −2𝑥) = (2𝑥, 𝑥) ̸∈ 𝑈 ∪ 𝑊
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9. Os Subespaços 𝐹1 e 𝐹2 são subespaços de 𝑀(𝑛 × 𝑛)
• A matriz nula pretence a 𝐹1;
• Adição: Tomando 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗], 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗], 𝐶 = [𝑐𝑖𝑗] ∈ 𝐹1, e 𝑎 + 𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 = 0 sempre que 𝑖 < 𝑗,
então
𝐶 = 𝐴 + 𝐵 = [𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗]
e para 𝑖 < 𝑗, temos 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 = 0 + 0 = 0.
Sendo assim, 𝐴 + 𝐵 ∈ 𝐹1.
Para 𝐹2 o procedimento é análogo.
• Multiplicação por escalar: Seja 𝛼 ∈ R e 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] ∈ 𝐹1. Temos que:
𝐷 = [𝑑𝑖𝑗] = 𝛼𝐴 = 𝛼[𝑎𝑖𝑗] = [𝛼𝑎𝑖𝑗]
Note, que para 𝑖 < 𝑗, 𝑑𝑖𝑗 = 𝛼×𝑎𝑖𝑗 = 𝛼×0 = 0. Sendo assi, 𝐹1 é subespaco vetorial de 𝑀(𝑛×𝑛).
Para 𝐹2 é análogo.
Para mostrar que 𝑀(𝑛 × 𝑛) = 𝐹1 + 𝐹2: Seja 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] ∈ 𝑀(𝑛 × 𝑛). Tomando 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗] ∈ 𝐹1 e
𝐶 = [𝑐𝑖𝑗] ∈ 𝐹2, tal que
𝑏𝑖𝑗 =
⎧⎪⎨⎪⎩
𝑎𝑖𝑗 se 𝑖 > 𝑗
0 se 𝑖 < 𝑗
e 𝑐𝑖𝑗 =
⎧⎪⎨⎪⎩
0 se 𝑖 > 𝑗
𝑎𝑖𝑗 se 𝑖 < 𝑗
,
então 𝐴 = 𝐵 + 𝐶, logo 𝑀(𝑛 × 𝑛) = 𝐹1 + 𝐹2.
Matrizes cujos elementos, para 𝑖 ̸= 𝑗, são nulos e para 𝑖 = 𝑗 não são todos nulos pertencem a 𝐹1 e
𝐹2, ou seja, 𝐹1 ∩ 𝐹2 tem mais elementos além da matriz nula, logo 𝑀(𝑛 × 𝑛) não é soma direta de
𝐹1 e 𝐹2.
10. Analisar as condições necessárias para que um conjunto seja um subespaço vetorial:
• Vetor nulo é a solução trivial do sistema homogêneo;
• Seja 𝑋1.𝑋2 ∈ 𝑆. 𝐴𝑋1 = 0 e 𝐴𝑋2 = 0. Como 𝐴(𝑋1 + 𝑋2) = 𝐴𝑋1 + 𝐴𝑋2 = 0 + 0 = 0, logo
𝑋1 + 𝑋2 ∈ 𝑆;
• Seja ]𝛼 ∈ R e 𝑋 ∈ 𝑆, temos 𝐴 · (𝛼 · 𝑋) = 𝛼 · 𝐴 · 𝑋 = 𝛼 · 0 = 0. Logo 𝛼 · 𝑋 ∈ 𝑆.
Então 𝐴 · 𝑋 = 0 é um subespaço do espáco vetorial R𝑛
11. Não. Por exemplo, dois subespaços vetoriais, tais que,
𝑈 =
{︁
(𝑥, 𝑦) ∈ R2 | 𝑦 = 3𝑥
}︁
e 𝑊 =
{︁
(𝑥, 𝑦) ∈ R2 | 𝑦 = −2𝑥
}︁
,
e sejam 𝑢 ∈ 𝑈 e 𝑤 ∈ 𝑊 , a soma 𝑢 + 𝑤 /∈ 𝑈 ∪ 𝑊 (não satisfaz).
12. Como 𝑥 = 𝑦 = 𝑧, ou seja, (𝑥, 𝑥, 𝑥) ∈ 𝑈 e (0, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑊 , temos que para determinar 𝑈 ∩ 𝑊 ,
consideramos que 𝑥 = 0 e como 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 0 resulta que 𝑈 ∩ 𝑊 = {0R3}, então 𝑈 + 𝑊 é soma
direta.
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