ÁLGEBRA LINEAR - APOL 2

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Questão 1/10 - Álgebra Linear 
Analise se o conjunto R² com a operação usual de adição, mas com a operação de produto por escalar definida como a seguir, é ou não 
um espaço vetorial: 
Produto escalar: k.(x,y) = (k.x,0) 
Após essa análise, escolha a alternativa que apresenta a resposta correta: 
Nota: 10.0 
 
A R² com a operação de produto por escalar tal como indicado no enunciado é um espaço vetorial pois atende ao axioma 10 da definição de espaços vetoriais: 
(axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = (1.x,0) = (x,0) o que é verdade quando y for não-nulo. 
 
B R² com a operação de produto por escalar tal como indicado no enunciado é um espaço vetorial pois atende ao axioma 10 da definição de espaços vetoriais: 
(axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = (1.x,0) = (x,0) o que não é verdade quando y for nulo. 
 
C R² com a operação de produto por escalar tal como indicado no enunciado não é um espaço vetorial pois não atende ao axioma 10 da definição de espaços vetoriais: 
(axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = (1.x,0) = (x,0) o que não é verdade quando y for não-nulo. 
Você acertou! 
alternativa “c” 
 
D R² com a operação de produto por escalar tal como indicado no enunciado não é um espaço vetorial pois não atende ao axioma 10 da definição de espaços vetoriais: 
(axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = (1.x,0) = (x,0) o que é verdade quando y for não-nulo. 
 
Questão 2/10 - Álgebra Linear 
Analise as 4 alternativas a seguir e marque a que apresenta uma explicação errada em relação à espaço vetorial: 
Nota: 10.0 
 
A O conjunto de todas as matrizes reais de duas linhas e uma coluna, M2x1, é um subespaço vetorial do conjunto de todas as matrizes reais de “m” linhas e “1” coluna, Mmx1, sendo “m” um número inteiro maior do 
que 2. 
 
B O conjunto de todos os polinômios reais de grau 3 é um espaço vetorial real. 
 
 
C O conjunto de todos os polinômios reais de grau 3 é um subespaço vetorial do conjunto de todos os polinômios reais de grau 4. 
 
 
D O conjunto de todos os polinômios reais de grau 2 é um espaço vetorial, mas o mesmo não se pode dizer do conjunto de todos os polinômios reais de grau 3. 
Você acertou! 
Resolução: 
A alternativa “d” é falsa, pois, o conjunto de todos os polinômios reais de grau 3 é um espaço vetorial. 
 
Questão 3/10 - Álgebra Linear 
Considere o conjunto S = {(1,2),(0,1)} que é uma base de R². Encontre as coordenadas de v = (23,18) em relação a esta base. 
Nota: 10.0 
 
A (v)s = (23; 28) 
 
B (v)s = (-23; 28) 
 
C (v)s = (23; -28) 
Você acertou! 
 
 
D (v)s = (-23; -28) 
 
Questão 4/10 - Álgebra Linear 
Analise as proposições a seguir e marque V para as verdadeiras ou F para as falsas, depois assinale alternativa correta: 
 
 
( ) Pela analogia existente entre vetores de duas componentes e polinômios de primeiro grau, a expressão (2, 3) + (1, 4) = (3, 7) pode ser 
entendida como (2 + 3x) + (1 + 4x) = 3 + 7x. 
( ) Pela analogia existente entre vetores de duas componentes e matrizes com duas linhas e uma coluna, a expressão (2, 3) + (1, 4) = (3, 
7) pode ser entendida como: 
( ) A expressão (2, 3) + (1, 4) = (3, 7) evidencia o fato de que o vetor (3, 7) pode ser escrito como combinação linear dos vetores (2, 3) e (1, 
4). 
Nota: 10.0 
 
A V F V 
 
B F F V 
 
 
C V V F 
 
 
D V V V 
Você acertou! 
Todas as proposições estão corretas... 
 
Questão 5/10 - Álgebra Linear 
Seja T a transformação linear de R² em R³ tal que T(0,2) = (1,1,2) e T(2,5) = (1,0,1) e w o vetor tal que w = T(4,10). Neste caso, a soma das 
coordenadas de w é igual a: 
Nota: 10.0 
 
A 4 
 
 
Você acertou! 
 
 
B 5 
 
C 6 
 
D 7 
 
Questão 6/10 - Álgebra Linear 
Dado um conjunto “V”, deseja-se verificar se “V” é ou não um espaço vetorial. Qual alternativa a seguir descreve como esta verificação 
pode ser feita, levando-se em conta a definição de espaço vetorial. 
Nota: 10.0 
 
A De acordo com a definição de espaço vetorial, V deve ser um conjunto não vazio, portanto, deve-se verificar se V atende a esta condição. Em seguida, deve-se verificar se os dez axiomas listados na definição 
de espaço vetorial são verdadeiros para V – esta verificação deve ser realizada genericamente. 
Você acertou! 
alternativa “a” 
 
B De acordo com a definição de espaço vetorial, V deve ser um conjunto vazio, portanto, deve-se verificar se V atende a esta condição. Em seguida, deve-se verificar se os dez axiomas listados na definição de 
espaço vetorial são verdadeiros para V – esta verificação deve ser realizada globalmente. 
 
C De acordo com a definição de espaço vetorial, V deve ser um conjunto não vazio, portanto, deve-se verificar se V atende a esta condição. Em seguida, deve-se verificar se alguns dos dez axiomas listados na 
definição de espaço vetorial são verdadeiros para V – esta verificação deve ser realizada genericamente. 
 
D De acordo com a definição de espaço vetorial, V deve ser um conjunto vazio, portanto, deve-se verificar se V atende a esta condição. Em seguida, deve-se verificar se alguns dos dez axiomas listados na 
definição de espaço vetorial são verdadeiros para V – esta verificação deve ser realizada globalmente. 
 
Questão 7/10 - Álgebra Linear 
Marque a alternativa correta quanto ao conjunto A = {(1,0,2);(0,1,1)}: 
Nota: 10.0 
 
A A é linearmente independente. 
Você acertou! 
Resolução: 
Como A é linearmente independente e não gera R³ e, além disso, não faz sentido falar em base de R², são falsas as alternativas b, c, d. 
 
B ger(A) = R³. 
 
C A não é base de R³, mas é uma base de R². 
 
 
D A é base de R³, mas não é uma base de R². 
 
Questão 8/10 - Álgebra Linear 
Dados os sistemas de equações lineares S1 e S2 a seguir, avalie as proposições e marque V para as verdadeiras ou F para as falsas, depois 
assinale a alternativa correta: 
 
 
 
( ) O conjunto das soluções de S1 é um subespaço vetorial de R³. 
( ) O conjunto das soluções de S2 é um subespaço vetorial de R³. 
( ) S1 é um sistema de equações lineares homogêneo. 
( ) S2 é um sistema de equações lineares homogêneo. 
Nota: 0.0 
 
A V F V F 
 
B V V F F 
 
 
C F V F V 
 
 
S1 é um sistema não-homogêneo e o conjunto de suas soluções não é um espaço vetorial de R³. 
S2 é um sistema homogêneo e o conjunto de suas soluções é um espaço vetorial de R³. 
Sendo assim, são verdadeiras apenas as proposições 2 e 4. 
 
D F F V V 
 
Questão 9/10 - Álgebra Linear 
Sobre a transformação linear T(x,y) = (2x,3y), avalie as afirmativas (FALSO OU VERDADEIRO) a seguir e marque a alternativa correta: 
( ) T é um operador linear de R². 
( ) é a matriz canônica de T. 
( ) T(1,2) = (3,4). 
( ) Nuc(T) = {(0,0)} e Im(T) = R². 
Nota: 10.0 
 
A V F V F 
 
 
B V F F V 
 
 
Você acertou! 
Resolução: 
Item i) Verdadeiro: T é uma transformação linear de R² em R², portanto, é um operador linear de R². 
Item ii) Falso: matriz canônica de T é igual a . 
Item iii) Falso: T(1,2) = (2,6). 
Item iv) Verdadeiro: Nuc(T) = {(0,0)}, já que somente o vetor (0,0) tem por resultado da aplicação de T o vetor (0,0); e Im(T) = R², pois todo vetor de R² é imagem por T. 
 
C F V V F 
 
 
D F F F V 
 
 
Questão 10/10 - Álgebra Linear 
Em relação ao conjunto {(1,2,3),(0,1,2),(2,5,7)} pode-se afirmar: 
Nota: 10.0 
 
A não é uma base de R³. 
 
B é uma base de R³. 
 
 
Você acertou! 
 
 
C é um conjunto linearmente dependente. 
 
 
D é um conjunto linearmente independente, mas não é base de R³.