Provas AP3 resolvidas - Métodos Determinísticos I

Métodos Determinísticos

•
CEDERJ

cederjiana RJ
13/07/2020
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Esboço da Questão 4 da AD2 de Métodos Determinísticos 1.pdf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta da letra C 
 
Resposta da letra D : Não existe pares ordenados para a questão proposta. 
 
COMPILADO 01 - APX3.pdf
MODELO 01 
Questão 1 
 
 
 
Questão 2 
 
Questão 3 
 
Questão 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 5 
 
Questão 6 
 
 
 
Questão 7 
 
MODELO 02 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ™ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 8 
 
 
 
 
COMPILADO 2 - APX3.pdf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMPILADO 03 - apx3.pdf
 
COMPILADO MD1 2020.1 APX3 
 
 
 
 
:
 
 
Resposta: 
 
 
 
 
a= 3; b=5; c=8; d=-1; e= 5 
A+B+C+D+E= 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Compilado 04 - APX3.pdf
MODELO 01 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MODELO 02 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMPILADO 05 - APX 3.pdf
 
 
Questão 2 
 
 
 
 
 
 
a=1;b=3;c=4;d=1;e=3 
Reposta 12 
 
 
 
 
 
 
 
COMPILADO MD1 2020.pdf
 
COMPILADO MD1 2020.1 APX3 
 
 
 
 
:
 
 
Resposta: 
 
 
 
 
a= 3; b=5; c=8; d=-1; e= 5 
A+B+C+D+E= 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EP1-MD1-questoes.pdf
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
EP1 – Métodos Determińısticos I
Neste EP vamos trabalhar o conteúdo estudado na Aula 1 do Caderno Didático, bem como começar a relembrar
algumas operações aritméticas e expressões algébricas.
Exerćıcio 1 Considerando o conjunto C = {a, b, p, q}, complete convenientemente as lacunas com
∈, /∈, ⊂, 6⊂ ou = .
a) q . . . C
b) {q} . . . C
c) w . . . C
d) {p, q, w} . . . C
e) {p, a, b, q} . . . C
Exerćıcio 2 Um conjunto A é um subconjunto do conjunto B se A ⊂ B, isto é, se todos os
elementos de A são elementos de B. Alguns exemplos:
• A = {1, 3} é subconjunto de B = {1, 2, 3, 4};
• A é subconjunto de A, pois A ⊂ A (todo elemento de A é elemento de A, certo?);
• os subconjuntos não vazios de X = {a, b, c} são {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} e {a, b, c}.
a) Liste todos os subconjuntos não vazios de A = {a, b}.
b) Liste todos os subconjuntos não vazios de B = {1, 2, 3, 4}.
c) Baseando-se nos itens anteriores, você consegue dizer quantos subconjuntos não vazios possui
um conjunto de 2 exatamente elementos? E se ele tiver exatamente 3 elementos? E se tiver
exatamente 4?
Métodos Determińısticos I EP1 2
Antes de resolver o próximo exerćıcio, assista a videoaula Conjunto 1, produzida pelas
professoras Magda e Anne Michelle, dispońıvel na Semana 1 da Plataforma.
Exerćıcio 3 Seja o conjunto U = {−3,−5, 1, 3, 4,−1, 0}. Explicite os elementos de cada um dos
conjuntos a seguir.
a) A = {x ∈ U | x < 0}
b) B = {x ∈ U | x2 + x− 20 = 0}
c) C = {x ∈ U | − x− 7 = 10}
d) D = {x ∈ U | x2 ≥ 0}
Exerćıcio 4 Seja o conjunto U = {3, 5,−1,−7,−5,−2}. Verifique se os conjuntos A e B, a seguir,
são iguais.
a) A =
{
x ∈ U
∣∣ x− 3
2x
= 0
}
, B =
{
x ∈ U
∣∣ x > 0}.
b) A =
{
x ∈ U
∣∣ x < −2}, B = {x ∈ U ∣∣ x2 + 12x+ 35 = 0}.
Exerćıcio 5 Pinte nos diagramas, a seguir, os conjuntos indicados.
a) A ∩ (B − A) b) (A ∩B) ∩ C
c) O complementar de C em A ∩B d) (A ∪B) ∩ C
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
http://graduacao.cederj.edu.br/ava/mod/resource/view.php?id=123527
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Métodos Determińısticos I EP1 3
Exerćıcio 6 Considere os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5} e C. Ainda, não conhecemos o
conjunto C.
a) Determine A ∪B.
b) Determine A ∩B.
c) Determine B − A.
d) Determine A−B.
e) Determine B × A.
f) Determine A×B.
g) Sabendo que C ∪ A = {1, 2, 3, 6} é posśıvel saber qual é o conjunto C?
h) Sabendo que C ∪ A = {1, 2, 3, 6} e que C ∩ A = {2, 3} é posśıvel saber qual é o conjunto C?
Exerćıcio 7 Se A = {−1, 0, 1, 2, 3} e B = {−4,−1, 0, 1, 4},
a) Determine A×B.
b) Determine o conjunto R = {(x, y) ∈ A × B|x2 = y} (isto é, o conjunto dos pares (x, y) com
x ∈ A e y ∈ B satisfazendo x2 = y).
c) Determine o conjunto S = {(x, y) ∈ A × B|x < y} (isto é, o conjunto dos pares (x, y) com
x ∈ A e y ∈ B satisfazendo x < y).
Exerćıcio 8 Sendo W um conjunto, vamos denotar por n(W), o número de elementos em W .
Sabendo que A e B são dois conjuntos em que n(A) = 15, n(B) = 11 e n(A∪B) = 23, determine:
a) n(A ∩B)
b) n(A−B).
c) n(B − A).
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Métodos Determińısticos I EP1 4
Antes de resolver o próximo exerćıcio, assista a videoaula Conjunto 2, produzida pela
professora Anne Michelle, dispońıvel na Semana 1 da Plataforma.
Exerćıcio 9 Em um grupo de 100 crianças:
• 80 são meninas.
• 50 têm menos de 10 anos.
O número ḿınimo de meninas com 10 ou mais anos nesse grupo é:
(a) 0 (b) 10 (c) 20 (d) 30 (e) 50.
Observação: Este exerćıcio é uma questão da prova para técnico em administração geral da Eletrobás em 2007. Prova
elaborada pelo CNE/UFRJ
Exerćıcio 10 Em uma pesquisa entre 3600 pessoas sobre os jornais que costumam ler, obteve-se o
seguinte resultado:
1100 lêem o JB;
1300 lêem o Estado;
1500 lêem a Folha;
300 lêem a JB e o Estado;
500 lêem a Folha e o Estado;
400 lêem a Folha e o JB;
100 lêem a Folha, o JB e o Estado;
É correto afirmar que:
(a) 600 pessoas lêem apenas o JB.
(b) 500 pessoas lêem apenas o Estado.
(c) 900 pessoas não lêem nenhum dos três jornais.
(d) 400 pessoas lêem apenas o Estado e a Folha.
(e) 1200 pessoas lêem mais de um dos três jornais.
Ao final desta EP, encontra uma sugestão para a resolução desta questão.
Observação: Este exerćıcio é uma questão retirada de um concurso para técnico em finanças e contabilidade elaborado
pela ESAF.
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http://graduacao.cederj.edu.br/ava/mod/resource/view.php?id=113157
http://graduacao.cederj.edu.br/ava/mod/resource/view.php?id=113157
Métodos Determińısticos I EP1 5
Exerćıcio 11 Numa pesquisa sobre o consumo de ervilhas, milho e palmito foram entrevistadas 3000
pessoas em um supermercado, sendo constatado que:
1440 consomem ervilhas;
1350 consomem milho;
1500 consomem palmito;
540 consomem ervilhas e milho;
750 consomem milho e palmito;
450 ervilhas e palmito;
150 não consomem nenhum dos produtos selecionados;
a) Determine a quantidade de entrevistados que consomem os três produtos.
b) Determine quantos entrevistados consomem um e apenas um dos produtos selecionados.
Observação: Este exerćıcio é uma questão retirada de um concurso para técnico em finanças e contabilidade elaborado
pela ESAF.
Exerćıcio 12 Uma operadora de televisão à cabo oferece três serviços, pacote básico, Telefilme e
pay-per-view, dispońıveis segundo as seguintes regras
• Para contratar o Telefilme, é necessário contratar um pacote básico
• Se um cliente contratar pay-per-view, então ele deve contratar o Telefilme.
• Todo cliente da operadora deve contratar pelo menos um dos serviços.
A operadora possui um total de 1032 clientes, dos quais 450 possuem o pay-per-view. Sabe-se ainda
que pelo menos um cliente possui apenas o pacote básico. Qual o número máximo e ḿınimo posśıveis
de clientes que possuem o Telefilme? Justifique todas as afirmações.
Exerćıcio 13 Na figura, são representados os conjuntos R, S e T , dentro de um conjunto universo
U . Cada letra minúscula da figura representa a quantidade de elementos na região correspondente.
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Métodos Determińısticos I EP1
6
A afirmação “O número de elementos de elementos de R é o dobro do número de elementos que
pertencem, simultaneamente, a S e T”pode ser escrita, de acordo com as informações da figura,
como
a+ d+ g + f = 2 (g + e),
e a afirmação “A quantidade de elementos que pertencem a, no ḿınimo, dois conjuntos é dois terços
da quantidade dos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos”pode ser escrita, de acordo com
as informações da figura, como
d+ e+ f + g =
2
3
· (a+ b+ c+ d+ e+ f + g).
Como nos exemplos acima, escreva por meio de uma igualdade envolvendo as informações da figura,
as seguintes afirmações:
a) A quantidade de elementos que pertencem a somente um dos três conjuntos é o triplo do número
de elementos que pertencem ao conjunto T .
b) O número de elementos que pertencem a pelo menos um dos três conjuntos, mas não aos três
simultaneamente, é igual ao número de elementos que não pertencem a R, nem a S e nem a T .
c) A quantidade de elementos que pertencem a apenas um dos conjuntos é metade da que pertencem
a pelo menos dois dos conjuntos.
d) O número de elementos que pertencem pelo menos um dos três conjuntos, mas não pertencem a
T é o triplo do número de elementos que pertencem a T .
e) A quantidade de elementos que não pertencem a T é sete quintos da quantidade de elementos
que estão apenas em R.
f) O número de elementos que pertencem a, no máximo, um dos conjuntos é metade do número de
elementos que pertencem a algum deles.
Observação: Nos itens acima, a palavra “conjunto”se refere a R, S e T , não ao conjunto-universo U .
Exerćıcio 14 A operadora de telefonia móvel Chabu oferece diversas opções de pacotes de dados e
minutos de voz. As opções de pacote de dados, em gigabytes, são 0.5, 1, 2, 5, 10 e as opções de
minutos de voz são 100, 150, 200, 300, 500 e 1000.
Um plano comercializado é um par ordenado (p, v) formado por um pacote de dados p e uma
escolha de minutos de voz v, dentre os oferecidos pela empresa (listados acima) e de forma que
sejam satisfeitas, ao mesmo tempo, as desigualdades:
v ≥ 100p e v ≤ 300p.
Por exemplo, (2, 300) é um plano comercializado, pois, nele, p = 2 e v = 300, e temos 300 ≥ 100 · 2
e 300 ≤ 300 · 2, de modo que as desigualdades v ≥ 100p e v ≤ 300p são ambas satisfeitas. Por
outro lado, (0.5, 300) não é um plano comercializado, pois a desigualdade 300 ≤ 300 · 0.5 é falsa e,
com isso, não é satisfeita a segunda condição, v ≤ 300p. Da mesma forma, (10, 100) também não é
um plano comercializado, pois a desigualdade 100 ≥ 100 · 10 é falsa, não sendo portanto satisfeita a
primeira condição v ≥ 100p. Lembre-se de que, em um plano comercializado, as duas desigualdades
precisam ser satisfeitas.
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Métodos Determińısticos I EP1 7
a) Determine o conjunto PD de pacotes de dados.
b) Determine o conjunto MV de minutos de voz.
c) Determine o conjunto dos planos comercializados pela Chabu.
Exerćıcio 15 A empresa Vaimall S.A. deseja enviar um funcionário em uma viagem a um cliente,
para agilizar a aprovação de alguns contratos pendentes. O funcionário deve embarcar para o cliente
na semana que começa no dia 1 e termina no dia 7 e deve retornar na semana que começa no dia 8
e termina no dia 14.
Chamaremos de posśıvel viagem a cada escolha de data de ida i e de volta v nos critérios acima.
Por exemplo, ida no dia 2 e volta no dia 11 é uma posśıvel viagem, ida em 3 e volta em 9 é outra
posśıvel viagem. Ida em 1 e volta em 6 não é uma posśıvel viagem, pois a volta não está na semana
de 8 a 14.
O número de diárias de uma posśıvel viagem é a diferença entre as datas de ida e volta, isto é, v− i,
onde i é a data de ida e v a de volta. Por exemplo, a posśıvel viagem que começa no dia 2 e termina
no dia 11 tem 11− 2 = 9 diárias.
i. Explique como e por que uma posśıvel viagem pode ser representada por um par ordenado.
Este par ordenado pertence ao produto cartesiano de quais conjuntos?
ii. De acordo com sua resposta ao item acima, determine o conjunto V de todas as posśıveis
viagens.
iii. Como o funcionário terá muito trabalho em sua ida ao cliente, uma posśıvel viagem é consi-
derada proveitosa se tiver a duração de, no ḿınimo, 9 diárias. Se P é o conjunto de todas
as viagens proveitosas, represente o conjunto P por meio de uma propriedade e diga por que
P ⊂ V .
iv. Represente o conjunto P enumerando seus elementos.
O preço da passagem de ida no dia i é representado por p(i). Assim, p(2) é, por exemplo, o preço da
passagem de ida no dia 2. Da mesma forma, o preço da passagem de volta no dia v é representado
por p′(v). Assim, p′(10) é o preço da passagem de volta no dia 10. Os preços das passagens, para
cada dia, são dados abaixo:
Viagem de ida:
Dia da viagem 1 2 3 4 5 6 7
Preço em R$ 2000,00 1500,00 1000,00 700,00 500,00 300,00 300,00
Viagem de volta:
Dia da viagem 8 9 10 11 12 13 14
Preço em R$ 500,00 500,00 600,00 700,00 800,00 900,00 1200,00
Como exemplo, temos p(3) = 1000, 00 e p′(12) = 800, 00.
O custo de uma posśıvel viagem é dado pela soma dos preços das passagens de ida e de volta,
adicionados de R$ 300,00 reais por cada diária.
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Métodos Determińısticos I EP1 8
Assim, por exemplo, a viagem com ida em 3 e volta em 12 tem custo
p(3) + p′(12) + (12− 3)× 300, 00 = 1000, 00 + 800, 00 + 9× 300, 00 = 4.500, 00.
Note que 12− 3 é o número de diárias.
O custo-benef́ıcio de uma posśıvel viagem é obtido dividindo o custo pelo número de diárias. Assim,
a viagem do exemplo acima, de 3 a 12, tem custo-benef́ıcio igual a 4500, 00/9 = 500, 00.
Como a crise obrigou a empresa a fazer cortes de gastos, uma posśıvel viagem é considerada viável,
se o custo benef́ıcio for menor do que R$ 500,00.
v. Qual é o custo de uma viagem de data de ida i e data de volta v? Qual o custo-benef́ıcio
desta viagem?
vi. Se A é o conjunto das viagens viáveis, represente o conjunto A por meio de uma propriedade.
Diga por que A ⊂ V .
vii. A empresa quer que a viagem de seu funcionário seja proveitosa e viável. Represente, por meio
de uma expressão envolvendo os conjuntos V , P e A (não necessariamente todos), bem como
as operações entre conjuntos, o conjunto das viagens que se enquadram nestes critérios.
Por razões de foro ı́ntimo, o funcionário diz que não pode voar às quintas-feiras e sextas-feiras, que
caem nos dias 5, 6, 12 e 13. As posśıveis viagens que possuem algum voo nestas datas são chamadas,
pelo funcionário, de amaldiçoadas, e o conjunto das viagens amaldiçoadas é denotado por M .
viii. Represente, por uma propriedade, o conjunto M .
ix. Represente, enumerando seus elementos, o conjunto M .
x. A empresa resolveu compreender as questões ı́ntimas de seu funcionário e não deseja sub-
metê-lo a uma viagem amaldiçoada, afinal, ele não seria nada produtivo nessas circunstâncias.
Determine, por uma expressão envolvendo os conjuntos V, P,A e M (não necessariamente
todos) e suas operações, o conjunto D das viagens que o funcionário poderá fazer.
xi. Represente o conjunto D enumerando seus elementos. [Em algum momento, você precisará
calcular o custo-benef́ıcio das viagens. Se prestar atenção ao que está sendo pedido, você não
precisará calcular o custo-benef́ıcio de todas as posśıveis viagens (que são muitas!!!)]
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EP11-Gabarito.pdf
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
EP11 � Gabarito � Métodos Determinísticos I
Neste EP vamos trabalhar o conteúdo estudado nas Aula 10 e 11 do Caderno Didático.
Exercício 1 Em cada um dos itens abaixo, represente, no plano cartesiano R2, os pontos A e B e
calcule a distância entre eles usando o Teorema de Pitágoras.
a) A = (−1, 3) e B = (2, 4)
b) A = (3, 1) e B = (2, 2)
c) A = (2,−1) e B = (−2, 2)
Solução:
a) b) c)
1 unid
3 unid
A
B
-2 -1 1 2 3 4 5
x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
1 unid
1 unid
A
B
-2 -1 1 2 3 4 5
x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
3 unid
4 unid
A
B
-2 -1 1 2 3 4 5
x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
Figura 1: Exercício 1
a) No grá�co da Figura 1 - a) estão marcados os pontos A e B. Aplicando o Teorema de Pitágoras
ao triângulo retângulo desenhado na Figura mencionada, obtemos:[
d(A,B)
]2
= (2− (−1))2 + (4− 3)2 = 32 + 12 = 9 + 1 = 10
Daí, deduzimos que d(A,B) =
√
10.
b) No grá�co da Figura 1 - b) estão marcados os pontos A e B. Aplicando o Teorema de Pitágoras
ao triângulo retângulo desenhado na Figura mencionada, obtemos:[
d(A,B)
]2
= (2− 3)2 + (2− 1)2 = (−1)2 + 12 = 1 + 1 = 2
Daí, deduzimos que d(A,B) =
√
2.
c) No grá�co da Figura 1 - c) estão marcados os pontos A e B. Aplicando o Teorema de Pitágoras
ao triângulo retângulo desenhado na Figura mencionada, obtemos:[
d(A,B)
]2
= (−2− 2)2 + (2− (−1))2 = (−4)2 + 32 = 16 + 9 = 25
Daí, deduzimos que d(A,B) =
√
25 = 5.
Métodos Determinísticos I EP10 2
Exercício 2 Represente geometricamente os conjuntos abaixo:
a) {(x, y) ∈ R2; y = 4 e − 2 ≤ x ≤ 2}
b) {(x, y) ∈ R2;x = 3 e y ∈ (0, 5]}
c) {(x, y) ∈ R2;−1 < x ≤ 2}
d) {(x, y) ∈ R2;x ∈ [−1, 1] e y ∈ (1, 2)}
Solução: A solução está plotada na Figura 2.
a) b)
-2 -1 1 2 3 4 5
x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
-2 -1 1 2 3 4 5
x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
c) d)
-2 -1 1 2 3 4 5
x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
-2 -1 1 2 3 4 5
x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
Figura 2: Exercício 2
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Métodos Determinísticos I EP10 3
Exercício 3 Represente algebricamente os conjuntos A, B, C e D representados na Figura 3 - a),
b), c), d).
a) b)
A
-2 -1 1 2 3 4 5
x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
B
-2 -1 1 2 3 4 5
x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
c) d)
C
-2 -1 1 2 3 4 5
x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
D
-2 -1 1 2 3 4 5
x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
Figura 3: Exercício 3
Solução:
a) {(x, y) ∈ R2;x = 2 e 1 ≤ y < 3}.
b) {(x, y) ∈ R2; y = 1 e 1 ≤ x < 5}.
c) {(x, y) ∈ R2;x ∈ [1, 5) e y ∈ [2, 4]}.
d) {(x, y) ∈ R2;x ∈ [−2,−1] e y ∈ (1, 3]}.
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Métodos Determinísticos I EP10 4
Exercício 4 Determine a equação da circunferência de centro C e raio r em cada um dos itens a
seguir.
a) C = (1, 1) e r = 5
b) C = (0,−1) e r = 3
c) C = (0, 0) e r = 2
Solução: A circunferência é formada pelos pontos P = (x, y) que distam r do centro C = (a, b).
Então esses pontos devem satisfazer
d(P,C) = r
ou seja, √
(x− a)2 + (y − b)2 = r,
elevando cada membro da igualdade ao quadrado, obtemos(√
(x− a)2 + (y − b)2
)2
= r2 ⇐⇒ (x− a)2 + (y − b)2 = r2.
Portanto, a equação de uma circunferência de raio r e centro C = (a, b) é escrita usualmente na
forma
(x− a)2 + (y − b)2 = r2 .
a) Como C = (1, 1) e r = 5,
(x− 1)2 + (y − 1)2 = 25
⇐⇒ x2 − 2x + 1 + y2 − 2y + 1 = 25
⇐⇒ x2 + y2 − 2x− 2y = 23
b) Como C = (0,−1) e r = 3,
(x− 0)2 + (y − (−1))2 = 9
⇐⇒ x2 + (y + 1)2 = 9
⇐⇒ x2 + y2 + 2y + 1 = 9
⇐⇒ x2 + y2 + 2y = 8
c) Como C = (0, 0) e r = 2,
(x− 0)2 + (y − 0)2 = 4
⇐⇒ x2 + y2 = 4
Exercício 5 Construa as retas representadas por cada uma das equações listadas nos itens abaixo.
a) y = −2 b) y = 0 c) x = −3/2 d) −x + 2y = 4 e) y = 3x + 1
2
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Solução: Todas as equações dos itens acima são representadas gra�camente por retas. Para
determinar cada uma delas, basta determinar dois pontos pertencentes a ela.
a) Sendo (x, y) um ponto da reta y = −2, temos que a segunda coordenada deste ponto deve ser
−2. Quanto a primeira coordenada, que é x, ela pode assumir qualquer valor real. Em particular,
para x = 0 temos que o par ordenado (0,−2) é um ponto da reta. E, para x = 2, temos o par
ordenado (2,−2) da reta. Unindo estes dois pontos temos a reta desenhada na Figura 4-a) que
é paralela ao eixo x.
a) b) c)
1 2
x
-2
-1
y
1
x
1
y
-2
-
3
2
-1
x
1
y
d) e)
-4 -3 -2 -1
x
1
2
y
-1
x
1
2
1
y
Figura 4: Exercício 5
b) A reta deste item está sobre o eixo x, já que a segunda coordenada do ponto (x, y) desta reta é
y = 0 para qualquer valor da primeira coordenada x. Ela está plotada na Figura 4-b).
c) Note que nos pares ordenados (x, y) da reta dada, a primeira coordenada x é igual a −3/2 e a
segunda coordenada y pode assumir qualquer valor real. Assim, essa reta é paralela ao eixo y.
Veja que, em particular, os pontos (−3/2, 0) e (−3/2, 1) pertencem à reta. Ela está plotada na
Figura 4-c).
d) Vamos determinar dois pontos da reta −x + 2y = 4.
• para x = 0, temos −(0) + 2y = 4⇐⇒ y = 2. Logo, o ponto (0, 2) pertence à reta.
• para y = 0, temos −x + 2(0) = 4⇐⇒ x = −4. Logo, o ponto (−4, 0) pertence à reta.
Note que os pontos encontrados são os pontos de interseção da reta com os eixos coordenados.
Unindo os dois pontos encontrados acima, determinamos a reta plotada na Figura 4-d).
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e) Vamos determinar dois pontos da reta −x + 2y = 4.
• para x = 0, temos y = 3(0) + 1
2
⇐⇒ y = 1
2
. Logo, o ponto
(
0,
1
2
)
pertence à reta.
• para y = 0, temos 0 = 3x + 1
2
⇐⇒ x = −1
6
. Logo, o ponto
(
−1
6
, 0
)
pertence à reta.
Note que os pontos encontrados são os pontos de interseção da reta com os eixos coordenados.
Unindo os dois pontos encontrados acima, determinamos a reta plotada na Figura 4-e).
Exercício 6 Um operário tem seu salário representado pela equação y = 2000 +
15x
4
, onde y
representa o valor do salário e x, com x ≥ 0, representa o tempo de horas extras trabalhadas em um
mês.
a) Represente gra�camente a equação do salário do operário.
b) Quando o salário é igual a R$ 2030,00 qual a quantidade de horas extras trabalhadas naquele
mês?
c) Quando a quantidade de horas extras trabalhadas é igual a 12 h, qual o valor do salário?
Solução:
a) A equação que forma o salário do operário é representada gra�camente por uma reta, temos de
determinar dois pontos pertencentes à reta.
Temos que:
• para x = 0, y = 2000 + 15(0)
4
= 2000. Logo, o ponto (0, 2000) pertence à reta.
• para y = 0, 2000 + 15x
4
= 0. Ou seja,
15x
4
= −2000⇐⇒ x = −2000 · 4
15
⇐⇒ x = −1600
3
.
Logo, o ponto
(
−1600
3
, 0
)
pertence à reta.
Unindo os dois pontos encontrados acima, determinamos a reta plotada na Figura 5.
b) Quando y = 2030, temos que 2000 +
15x
4
= 2030. Ou seja,
2000 +
15x
4
= 2030⇐⇒ 15x
4
= 2030− 2000⇐⇒ 15x
4
= 30⇐⇒ x = 30 · 4
15
⇐⇒ x = 8.
Portanto, quando o sálario é igual R$ 2030,00, a quantidade de horas extras trabalhadas naquele
mês é igual a 8 h.
c) Quando x = 12, temos que y = 2000 +
15(12)
4
= 2045.
Portanto, quando a quantidade de horas extras trabalhadas é igual a 12 h, o valor do salário é
igual a R$ 2045,00.
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-
1600
3
x HhorasL
2000
y HreaisL
Figura 5: Grá�co de y = 2000 +
15
4
x
Exercício 7 Construa, no R2, a parábola representada por cada equação a seguir e, quando possível,
fatore-a.
a) y = x2 − 2x− 3 b) y = −3x2 + 6x− 3
c) y = 3x2 − 4x + 2 d) y = −x
2
2
− x− 3
2
Solução: Para construir o grá�co da equação y = ax2 + bx + c que é representada gra�camente
por uma parábola, vamos seguir o seguinte roteiro:
• determinar onde a parábola intercepta o eixo x, o que signi�ca que y = 0. Ou seja, devemos
resolver a equação ax2 + bx + c = 0.
• determinar onde a parábola intercepta o eixo y, o que signi�ca que x = 0. Ou seja, devemos
substituir x = 0 na equação y = ax2 + bx + c para determinar o valor de y.
• determinar o vértice (xv, yv) da parábola, a partir da fórmula (xv, yv) =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
.
E, �nalmente, lembramos a fatoração ax2 + bx + c = a(x− x1)(x− x2), onde x1 e x2 são soluções
de ax2 + bx + c = 0.
a) Temos que
• y = 0⇐⇒ x2 − 2x− 3 = 0.
Usando a fórmula de Baskara para determinar a solução da equação acima, com a = 1,
b = −2 e c = −3, temos
∆ = b2 − 4ac = (−2)2 − 4(1)(−3) = 4 + 12 = 16 > 0,
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Métodos Determinísticos I EP10 8
e
x =
−b±
√
∆
2a
=
−(−2)±
√
16
2
=
2± 4
2
.
Logo, os valores
que satisfazem x2 − 2x− 3 = 0, são
x1 =
2 + 4
2
= 3, x2 =
2− 4
2
= −1.
E, portanto, a parábola intercepta o eixo x nos pontos (−1, 0) e (3, 0).
• x = 0 ⇐⇒ y = (0)2 − 2(0) − 3 = −3. Portanto, a parábola intercepta o eixo y no ponto
(0,−3).
• (xv, yv) =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
−−2
2
,−16
4
)
= (1,−4)
Como a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.
Seu grá�co está plotado na Figura 6-a).
Além disso, temos que y = x2 − 2x− 3 = (x− 3)(x + 1).
b) Temos que
• y = 0⇐⇒ −3x2 + 6x− 3 = 0.
Notemos que esta equação é equivalente a equação −x2 + 2x − 1 = 0, cujas raízes deter-
minamos usando a fórmula de Baskara, com a = −1, b = 2 e c = −1, temos
∆ = b2 − 4ac = (2)2 − 4(−1)(−1) = 4− 4 = 0,
e
x =
−b±
√
∆
2a
=
−(2)±
√
0
−2
=
−2
−2
= 1.
Logo, temos que x1 = x2 = 1 satisfazem a equação −x2+2x−1 = 0, bem como a equação
−3x2 + 6x− 3 = 0.
Portanto, a parábola dada por −3x2 + 6x− 3 = 0 intercepta o eixo x no ponto (1, 0).
• x = 0⇐⇒ y = −3(0)2 + 6(0)− 3 = −3.
Portanto, a parábola intercepta o eixo y no ponto (0,−3).
• (xv, yv) =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
− 2
−2
,− 0
−4
)
= (1, 0)
Como em y = −3x2 + 6x − 3, a = −3 < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
Seu grá�co está plotado na Figura 6-b).
Além disso, temos que y = −3x2 + 6x− 3 = −3(x− 1)(x− 1) = −3(x− 1)2.
Observe que as parábola dadas pelas equações y = −3x2 + 6x − 3 e y = −x2 + 2x − 1 são
diferentes, apesar de ambas interceptarem o eixo x nos mesmos pontos e terem o mesmo vértice.
c) Temos que
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a) b)
V
-4 -3 -2 -1 1 2 3
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
y
V
-4 -3 -2 -1 1 2 3
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
y
c) d)
V
-4 -3 -2 -1 1 2 3
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
y
V
-4 -3 -2 -1 1 2 3
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
y
Figura 6: Exercício 7
• y = 0⇐⇒ 3x2 − 4x + 2 = 0.
Usando a fórmula de Baskara, com a = 3, b = −4 e c = 2, temos
∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4(3)(2) = 16− 24 = −8 < 0.
Logo, a equação 3x2 − 4x + 2 = 0 não tem raízes reais.
Ou seja, a parábola não intercepta o eixo x.
• x = 0⇐⇒ y = 3(0)2 − 4(0) + 2 = 2.
Portanto, a parábola intercepta o eixo y no ponto (0, 2).
• (xv, yv) =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
−(−4)
2(3)
,−(−8)
2(3)
)
=
(
2
3
,
4
3
)
Como a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.
Seu grá�co está plotado na Figura 6-c).
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Métodos Determinísticos I EP10 10
Neste caso, não temos como fatorar y = 3x2 − 4x + 2.
d) Temos que
• y = 0⇐⇒ −x
2
2
− x− 3
2
= 0.
A última equação é equivalente a x2 + 2x + 3 = 0.
Usando a fórmula de Baskara nesta equação, com a = 1, b = 2 e c = 3, temos
∆ = b2 − 4ac = (2)2 − 4(1)(3) = 4− 12 = 8 < 0.
Logo, temos que x2+2x+3 = 0 não tem raízes reais, assim como a equação−x
2
2
−x−3
2
= 0.
Ou seja, a parábola y = −x
2
2
− x− 3
2
= 0 não intercepta o eixo x.
• x = 0⇐⇒ y = −(0)
2
2
− 0− 3
2
= −3
2
.
Portanto, a parábola intercepta o eixo y no ponto
(
0,−3
2
)
.
• (xv, yv)
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
−(2)
2
,−(−8)
4
)
= (−1,−2)
Como em y = −x
2
2
− x − 3
2
, a = −1
2
< 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
Seu grá�co está plotado na Figura 6-d).
Observe que as parábolas dadas pelas equações y = −x
2
2
−x− 3
2
e y = x2+2x+3 são diferentes,
apesar de ambas não interceptarem o eixo x e terem o mesmo vértice.
Exercício 8 Em uma certa plantação, a produção, P, de tomate depende da quantidade, q, de
fertilizante utilizada, e tal dependência pode ser expressa pela equação
P = −q2 + 28 q + 60,
onde a produção é medida em kg e a quantidade de fertilizante em g/m2.
a) Determine em que ponto(s) o grá�co da equação corta o eixo q e em que ponto(s) corta o eixo
P . Faça um esboço do grá�co no plano cartesiano.
b) Determine o valor da produção, quando o fertilizante não é utilizado.
c) Determine a quantidade de fertilizante que deve ser usado para que a produção seja máxima, bem
como o valor da produção máxima.
d) Determine a partir de que quantidade de fertilizante utilizada, a planta é prejudicada e impedida
de produzir.
Solução:
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a) Notemos que a equação P = −q2 + 28 q + 60 que representa a produção de tomate em termos
da quantidade de fertilizante é uma equação quadrática. Logo, seu grá�co é uma parábola.
Como o coe�ciente de q2 é negativo, a concavidade da parábola é voltada para baixo.
A parábola corta o eixo q quando P = 0, o que nos leva a
−q2 + 28 q + 60 = 0
cujas raízes, se existirem, são obtidas pela fórmula de Báskara
q =
−28±
√
(28)2 − 4(−1)(60)
−2
=
−28±
√
1024
−2
=
−28±
√
210
−2
=
−28± 32
−2
.
Assim, temos duas raízes reais e distintas
q1 =
−28 + 32
−2
= −2 e q2 =
−28− 32
−2
= 30.
O que signi�ca que a parábola corta o eixo q nos pontos q1 = −2 e q2 = 30.
A parábola intercepta o eixo P quando q = 0. Isto é,
P (0) = −02 + 28(0) + 60 = 60.
Ou seja, a parábola corta o eixo P no ponto P = 60.
Na Figura 7, plotamos o grá�co da parábola.
-2 14 30
q
60
256
P
Figura 7: Exercício 8-a)
b) Quando o fertilizante não é utilizado, isso signi�ca que q = 0. Logo, substituindo esse valor na
equação dada, vem que:
P = −(0)2 + 28(0) + 60 = 60,
Nesse caso, o valor da produção será de 60 kg.
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Métodos Determinísticos I EP10 12
c) Como o grá�co da equação é uma parábola, a produção máxima Pv ocorrerá em qv, primeira
coordenada do vértice V =
(
qv, Pv
)
=
(
− b
2a
,−∆
4a
)
da parábola. Ou seja,
V =
(
− (28)
2(−1)
,− 1024
4(−1)
)
= (14, 256).
Portanto, deverá ser usado 14 g/m2 de fertilizante para que a produção seja máxima. O valor
dessa produção será de 256 kg.
d) Os pontos em que a curva corta o eixo q indicam quantidades que fazem a produção se anular
(P = 0) sendo que q1 = −2 não apresenta signi�cado prático neste contexto e q2 = 30 g/m2
representa uma quantidade tão grande de fertilizante a ponto de prejudicar a planta, impedindo-a
de produzir.
Exercício 9 Represente, no plano cartesiano, o conjunto descrito por
a) (x− 1)2 + (y − 2)2 < 9 b) (x− 2)2 + (y + 1)2 6 25
c) (x− 4)2 + (y + 1)2 > 4 d) x2 + y2 + 4x− 2y > 4
Solução:
a) Como
(x− 1)2 + (y − 2)2 < 9⇔ (x− 1)2 + (y − 2)2 < 32,
a desigualdade representa os pontos no interior do círculo de centro (1, 2) e raio 3. Esta região
está esboçada abaixo:
b) Como
(x− 2)2 + (y + 1)2 6 25⇔ (x− 2)2 + (y − (−1))2 6 52,
a desigualdade representa os pontos no interior do círculo de centro (2,−1) e raio 5 ou sobre a
circunferência. Esta região está esboçada abaixo:
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c) Como
(x− 4)2 + (y + 1)2 > 4⇔ (x− 4)2 + (y − (−1))2 > 22,
a desigualdade representa os pontos exteriores ao círculo de centro (4,−1) e raio 2. Esta região
está esboçada abaixo:
d) A inequação dada, em princípio, não se parece com as que descrevem regiões limitadas por
circunferências. Mas vamos completar os quadrados para estudá-la:
x2 + y2 + 4x− 2y > 4⇔ x2 + 4x + y2 − 2y > 4⇔ x2 + 4x+4− 4 + y2 − 2y+1− 1 > 4⇔
⇔ (x2+4x+4)−4+(y2−2y+1)−1 > 4⇔ (x2+4x+4)+(y2−2y+1) > 4+4+1⇔ (x+2)2+(y−1)2 > 9⇔ (x−(−2))2+(y−1)2 > 32.
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Assim, a desigualdade representa os pontos exteriores ao círculo de centro (−2, 1) e raio 3 ou
sobre a circunferência. Esta região está esboçada abaixo:
Exercício 10 Represente, no plano cartesiano, os conjuntos abaixo:
a) {(x, y) ∈ R2; (x− 1)2 + (y − 2)2 < 9 e x ∈ (1, 5]}
b) {(x, y) ∈ R2; (x− 1)2 + (y − 2)2 = 9 e y ∈ [2, 5)}
c) {(x, y) ∈ R2;x ∈ [1, 4] e y ∈ (2, 5] e x + y = 5}
d) {(x, y) ∈ R2; (x− 3)2 + (y − 3)2 6 4 e x− y = 0}
Solução:
a) Temos duas condições a serem satisfeitas por um ponto para que esteja no conjunto:
• (x− 1)2 + (y − 2)2 < 9:
Esta condição pode ser reescrita como
(x− 1)2 + (y − 2)2 < 9⇔ (x− 1)2 + (y − 2)2 < 32,
que representa os pontos interiores ao círculo de centro (1, 2) e raio 3, esboçados abaixo
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• x ∈ (1, 5]:
Os pontos que atendem a esta condição são aqueles cuja coordenadas horizontal satisfaz
1 < x 6 5, abaixo esboçados
Os pontos do conjunto dado estão na interseção das regiões acima, esboçada abaixo
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b) São duas as condições para que um ponto esteja no conjunto dado:
• (x− 1)2 + (y − 2)2 = 9:
Esta condição pode ser reescrita como
(x− 1)2 + (y − 2)2 = 9⇔ (x− 1)2 + (y − 2)2 = 32,
que representa os pontos sobre a circunferência de centro (1, 2) e raio 3, esboçados abaixo
• y ∈ [2, 5):
Os pontos que atendem a esta condição são aqueles cuja coordenadas vertical satisfaz
2 6 y < 5, abaixo esboçados
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Os pontos do conjunto dado estão na interseção das regiões acima, esboçada abaixo
Observe que o ponto (1, 5) não está na região estudada, pois, nele, a condição y ∈ [2, 5) não
é satisfeita (pois 5 /∈ [2, 5]). Os dois pontos destacados acima foram obtidos observando que a
reta que limita inferiormente a região dada pela condição y ∈ [2, 5) passa pelo centro (1, 2) do
círculo. portanto estes pontos distam 3 (pois 3 é o raio do círculo) horizontalmente do centro
(1, 2). Assim, os pontos são (1− 3, 2) = (−2, 2) e (1 + 3, 2) = (4, 2).
c) São três as condições para que um ponto esteja no conjunto dado:
• x ∈ [1, 4]:
Os pontos que atendem a esta condição são aqueles cuja coordenadas horizontal satisfaz
1 6 y 6 4, abaixo esboçados
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• y ∈ (2, 5]:
Os pontos que atendem a esta condição são aqueles cuja coordenadas vertical satisfaz
2 < y 6 5, abaixo esboçados
• x + y = 5:
Os pontos (x, y) que satisfazem a esta condição estão sobre uma reta à qual pertencem os
pontos (0, 5) e (5, 0). Esta reta está esboçada abaixo:
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Métodos Determinísticos I EP10 19
Os pontos do conjunto dado estão na interseção das três regiões acima, esboçada abaixo
d) Temos duas condições a serem satisfeitas por um ponto para que esteja no conjunto:
• (x− 3)2 + (y − 3)2 6 4:
Esta condição pode ser reescrita como
(x− 3)2 + (y − 3)2 6 4⇔ (x− 3)2 + (y − 3)2 6 22,
que representa os pontos interiores ao círculo de centro (3, 3) e raio 2 e os pontos sobre a
circunferência. Abaixo, um esboço da região:
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Métodos Determinísticos I EP10 20
• x− y = 0:
Podemos reescrever a equação como y = x e perceber que os pontos que atendem a esta
condição são aqueles que pertencem à reta que passa por (0, 0) e (1, 1). O ponto (3, 3),
centro do círculo, é, inclusive, um ponto desta reta. Abaixo, um esboço:
Os pontos do conjunto dado são aqueles interiores ao círculo ou na circunferência, e que estão
na reta. Abaixo, um esboço:
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Métodos Determinísticos I EP10 21
Para obter os pontos da interseção entre a reta e a circunferência, marcados no esboço acima,
repare que os pontos da reta são da forma (x, x), pois, sobre a reta, y = x. Se queremos o ponto
(x, x) da reta que também esteja na circunferência (x− 3)2 + (y − 3)2 = 4, basta substituirmos
y = x e resolvermos
(x−3)2+(x−3)2 = 4⇔ x2−6x+9+x2−6x+9 = 4⇔ 2x2−12x+14 = 0⇔ x2−6x+7 = 0⇔
⇔ x =
6±
√
(−6)2 − 4 · 1 · 7
2
=
6±
√
8
2
=
6± 2
√
2
2
= 3±
√
2.
Com isso, lembrando que y = x sobre a reta, temos os pontos (3−
√
2, 3−
√
2) e (3+
√
2, 3+
√
2).
Exercício 11 Uma empresa fará investimentos nas áreas de produção e publicidade. Na reunião em
que se iria decidir como o dinheiro seria investido,
• o diretor de produção disse que investir R$6.000,00 na área seria a opção mais adequada em
termos de custo-benefício, mas que também pode-se trabalhar com a margem de R$2.000,00,
para mais ou menos, a depender das escolhas estratégicas a serem adotadas;
• o diretor de marketing disse que pesquisas apontam o valor de R$5.000,00 como o ideal a ser
investido em publicidade. Ele acredita, porém, que seja razoável considerar uma margem de
erro, para mais ou para menos, de R$1.000,00 neste número;
• e o diretor �nanceiro lembrou que a soma do investimento nas duas áreas deve ser R$10.000,00.
Podemos representar o investimento a ser feito como um ponto no plano cartesiano, com o investi-
mento em produção representando coordenada horizontal x e o investimento em publicidade repre-
sentando a coordenada vertical y. Um investimento, que chamaremos de I1, de R$2.000 em produção
e R$7.000,00 em publicidade, por exemplo, seria representado pelo ponto I1 = (2.000, 7.000). Um
investimento I2, de R$1.000 em produção e R$5.000,00 em publicidade, por exemplo, seria repre-
sentado pelo ponto I2 = (1.000, 5.000). Estes pontos estão representados no plano abaixo.
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Um investimento que se adequasse à proposta do diretor de produção satisfaria à inequação modular
|x− 6.000| 6 2.000
e estaria na região do plano representada abaixo:
Note que a região acima é o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que 4.000 6 x 6 8.000, isto
é, o investimento em produção (coordenada horizontal) esteja dentro da margem de R$2.000,00 do
proposto pelo diretor da área. Repare ainda que, na região acima, y > 0, pois não se cogita fazer
um investimento negativo!
A partir disso,
(a) Dê a inequação modular satisfeita por todos os investimentos (x, y) que satisfazem à condição
imposta pelo diretor de marketing.
Solução: O investimento em marketing é representado pela coordenada y. Assim, se o inves-
timento em marketing deve estar próximo a R$5.000,00, não distando deste valor mais do que
R$1.000,00, temos
|y − 5.000| 6 1.000.
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(b) Represente a região do plano onde podem estar os investimentos (x, y), de acordo com o diretor
de marketing.
Solução: Como a inequação |y − 5.000| 6 1.000, obtida no item anterior, corresponde a
4.000 6 y 6 6.000,
a região dos pontos (x, y) que estão de acordo com a proposta do diretor de marketing é dada
por
(c) Expresse, por meio de uma equação em x e y, a condição lembrada pelo diretor �nanceiro e
represente os pontos correspondentes no sistema de coordenadas.
Solução: Segundo o diretor �nanceiro, a soma dos investimentos deve ser de R$10.000,00.
Assim,
x + y = 10.000.
Estes representam uma reta. Para obtermos dois pontos desta reta, vamos fazer x = 0 e depois
y = 0.
• Fazendo x = 0, temos y = 10.000 e, portanto, o ponto (0, 10000).
• Fazendo y = 0, temos x = 10.000 e, portanto, o ponto (10000, 0).
Esboçando esta reta, temos
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Convém, porém, observar que os investimentos não podem ser negativo, isto é, devemos ter
x > 0 e y > 0. Com isso, a reta acima �ca restrita ao segmento esboçado abaixo:
(d) Esboce o conjunto dos pontos do plano que cumprem, simultaneamente, com as três condições
lembradas pelos diretores.
Solução: Vamos, inicialmente, esboçar as três condições no mesmo sistema de coordenadas.
A interseção do segmento de reta com as regiões dadas pelas desigualdades é o segmento
esboçado abaixo.
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(e) Quase ao �nal da reunião, o dono da empresa chegou e alertou que a distância, no sistema de
coordenadas, entre o ponto (4.000, 6.000) e o investimento a ser feito não poderia ser maior
do que 10.000. Dê a inequação satisfeita pelo conjuntos dos investimentos (isto é, dos pontos
(x, y)) que cumprem a condição imposta pelo dono, e esboce a região correspondente no plano.
Solução: A condição imposta pelo dono é dada por√
(x− 4000)2 + (y − 6000)2 6 10000,
ou ainda
(x− 4000)2 + (y − 6000)2 6 100002.
Esta condição representa os pontos interiores ao círculo de centro (4.000, 6.000) e raio 10.000,
bem como os pontos da circunferência. Esta região está esboçada abaixo:
Mais uma vez podemos considerar que os investimentos x e y não podem ser negativos, obtendo
a região esboçada abaixo.
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(f) Represente o conjunto dos investimentos (pontos (x, y)) que cumprem todas as condições im-
postas pelos diretores e pelo dono.
Solução: Todos os investimentos que atendem aos diretores de produção, marketing e �nan-
ceiros estão dentro das condições impostas pelo dono. Realmente, veja que os extremos do
segmento obtido no item (d) tem seus extremos dentro do círculo. O extremo (4.000, 6.000) é
o próprio centro, logo está dentro do círculo. Já para o extremo (6.000, 4.000), temos
d ((4.000, 6.000), (6.000, 4.000)) =
√
(4.000− 6.000)2 + (6.000− 4.000)2 =
=
√
2.0002 + 2.0002 = 2.000
√
2 6 10.000,
pois
√
2 < 2. Assim, o esboço da interseção das quatro regiões, será o próprio esboço obtido
no item (d).
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