Estruturas Algébricas - Prova final-convertido

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1. O conjunto dos polinômios de grau n possui estrutura de anel, ou seja, existem duas 
operações binárias definidas sobre ele que obedecem a certas propriedades. Neste 
contexto, analise as sentenças a seguir e assinale a alternativa que corresponde a P(x) 
+ Q(x), onde: 
 
 a) Somente a opção II está correta. 
 b) Somente a opção IV está correta. 
 c) Somente a opção III está correta. 
 d) Somente a opção I está correta. 
 
2. Ao trabalhar com números naturais, podemos administrar o processo de cálculo 
mediante certas propriedades. Em particular, a operação de multiplicação possui uma 
propriedade chamada distributiva. Sobre a propriedade distributiva da multiplicação 
em relação à adição, com m, n e p reais, assinale a alternativa CORRETA: 
 a) m·(n + p) = m·n + m·p. 
 b) m+ (n·p) = (m+ n)·(m + p). 
 c) m+ (n·p) = (m+ n)·p. 
 d) (m·n) + p = m·p + n·p. 
 
3. Em matemática, especialmente em teoria dos conjuntos e em teoria das relações, 
uma relação de ordem é uma relação binária que pretende captar o sentido intuitivo 
de relações como o maior e o menor, o anterior e o posterior. Nesse sentido, 
considere os intervalos fechados A = [3, 5] e B = [4, 6] e classifique V para as 
sentenças verdadeiras e F paras as falsas. Feito isso, assinale a alternativa que 
apresenta a sequência CORRETA: 
 
 a) F - V - F - V. 
 b) V - V - F - V. 
 c) F - F - V - F. 
 d) V - F - V - F. 
 
4. Em meio à infinidade de nosso sistema numérico, temos diversos números com suas 
peculiaridades: entre eles, os números irracionais. O surgimento do conjunto dos 
números irracionais é proveniente de uma discussão acerca do cálculo da diagonal de 
um quadrado de lado 1, o que hoje nos parece elementar. Baseado nisto, sejam a e b 
números irracionais quaisquer, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para 
as falsas: 
 
( ) a·b é um número irracional. 
( ) a + b é um número irracional. 
( ) a * b pode ser um número irracional. 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) V - F - V. 
 b) V - V - F. 
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 c) F - F - F. 
 d) F - F - V. 
 
5. Na matemática e na lógica, uma relação binária é uma relação entre dois elementos, 
sendo um conjunto de pares ordenados. Baseado nisto, considerando a relação R a 
seguir, analise as sentenças e assinale a alternativa CORRETA que apresenta a 
representação descritiva desta relação: 
 
 a) Somente a sentença II está correta. 
 b) Somente a sentença III está correta. 
 c) Somente a sentença IV está correta. 
 d) Somente a sentença I está correta. 
 
6. Em matemática, muitas vezes nos deparamos com problemas envolvendo polinômios 
de grau 3. Uma das formas de resolvê-los é diminuindo o seu grau, fatorando-o por 
meio de divisões de polinômios. Baseado nisto, dividindo x³ - 4x² + 7x - 3 por um 
certo polinômio D(x), obtemos quociente Q(x) = x - 1 e resto R(x) = 2x - 1. Quanto 
ao valor do polinômio D(x), analise as opções a seguir: 
 
I) 2x² - 3x + 2 
II) x² - 3x + 2 
III) x² - x + 1 
IV) 3x² - 4x + 1 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Somente a opção IV está correta. 
 b) Somente a opção II está correta. 
 c) Somente a opção I está correta. 
 d) Somente a opção III está correta. 
 
7. Achar as soluções de equações polinomiais foi um dos grandes desafios da Álgebra 
Clássica. As primeiras contribuições vieram com o matemático árabe AL-
Khowarizmi no século IX, com importantes conclusões sobre a resolução de 
equações de 1º e 2º graus. Mais tarde, soube-se que as soluções de uma equação 
algébrica nem sempre se encontra totalmente dentro do conjunto dos números reais. 
Sendo assim, o conjunto solução da equação algébrica x³ + x = 0 é: 
 a) S = {0, -i, i}. 
 b) S = {-i, i, 1}. 
 c) S = {1, -1, i}. 
 d) S = {0, 1, i}. 
 
8. Pode-se representar o conjunto dos números reais associando cada número x 
pertencente aos reais a um ponto de uma reta r. A partir daí, pode-se criar uma 
notação no formato de intervalos representados por sua lei de formação. Sendo 
assim, com base no conjunto a seguir, assinale a alternativa CORRETA: 
 
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 a) Existe um maior elemento neste conjunto que é x = 1,25. 
 b) Só haveria elemento máximo em A se x fosse menor ou igual a 1,25. 
 c) O maior elemento neste conjunto é x = 1. 
 d) Não existe um elemento máximo neste conjunto, pois A é infinito. 
 
9. Na Tecnologia para a Matemática, há programas computacionais nos quais os alunos 
podem explorar e construir diferentes conceitos matemáticos, referidos como 
programas de expressão. A esse respeito, analise as sentenças a seguir: 
 
I- Oferecer representações iguais para um mesmo objeto matemático: numérica, 
algébrica e geométrica. 
II- Possibilitar a expansão de sua base de conhecimento por meio de macro 
construções. 
III- Permitir a manipulação dos objetos que estão na tela. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) As sentenças II e III estão corretas. 
 b) Somente a sentença I está correta. 
 c) As sentenças I e II estão corretas. 
 d) Somente a sentença II está correta. 
 
10. Uma relação binária trata-se de um conjunto formado por pares retirados do produto 
cartesiano entre dois conjuntos, segundo uma "regra" que varia de relação para 
relação. Em especial, consideremos, no conjunto dos inteiros positivos, a relação 
binária * definida por a * b = c, onde c é máximo divisor comum entre a e b. 
Classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) * é comutativa. 
( ) * é associativa. 
( ) 1 é o elemento neutro. 
( ) a * a = a, para todo a. 
( ) Para cada a, existe b tal que a * b = 1. 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) F - V - F - F - F. 
 b) V - F - V - V - V. 
 c) V - V - V - V - F. 
 d) F - V - F - F - V. 
 
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