Aula 02 - Funções de várias variáveis

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Aula 02 IFVV
por
Antonio R. G. Garcia
1 Funções definidas em um aberto de R a valores em Rn
1.1 Funções definidas em um aberto de R a valores em R
2
Definição 1. Uma função f definida no aberto I �R a valores em R2 é uma aplicação que a cada t2 I associa
o ponto ou o vetor posição f(t) = (x(t); y(t))2R2, onde x; y: I!R, denominamos funções coordenadas da
função ou curva f.
Com imagem em R3 temos a curva f : I �R!R que a cada t2 I associa o vetor posição f(t)= (x(t); y(t);
z(t))2R3, onde x; y; z: I �R!R são as funções coordenadas da curva f . De um modo geral, podemos
definir uma aplicação f : I �R!Rn que a cada t2 I associa o vetor posição f(t)= (x1(t); x2(t); : : : ; xn(t)),
onde cada xi: I �R!R; i=1; 2; : : : ; n são as suas funções coordenadas.
Vamos voltar para as curvas em R2 e perguntar sobre as algumas questões que fizemos a respeito de funções
escalares, ou seja, as funções f : I �R!R, I aberto:
1. Qual o domínio de uma curva, ou função vetorial em R2?
2. O que é a sua imagem em R2
3. Como calculamos o limite, a derivada e a integral de uma curva?
Respondendo a pergunta 1. podemos dizer que o domínio de uma curva em R2 é o conjunto dos pontos t2 I
tais que as funções coordenadas x e y estão definidas, isto é, o conjunto Dx\Dy. Podemos, então dizer que
Df = ft2R: t2Dx\Dyg. Veja que o domínio de uma curva, Df é um subconjunto de R. Para reponder
a segunda pergunta, podemos dizer que a imagem de uma curva ou função vetorial é o que o próprio nome
já diz, é uma curva em R2, que é o conjunto f(x(t); y(t))2R2: t2Rg que é um subconjunto de R2. Resta
saber a resposta da questão 3.
Definição 2. Seja t0 2 I, ou não, um ponto de acumulação da curva f : I �R!R2. Então dizemos que
o limite quando t! t0 de f é o vetor L= (L1; L2), se dado " > 0 existe um � > 0 tal que toda vez que
jt− t0j<�)kf(t)−Lk<".
Em outras palavras dizemos que limt!t0f(t) =L se dado "> 0 existe um � > 0 tal que sempre
que −� <t− t0<�)k(x(t); y(t))− (L1;L2)k<") (x(t)−L1)2+(y(t)−L2)2
p
<". Como a
raiz quadrada da soma de valores positivos ficar menor que " cada uma das parcelas precisam ser
menor que ", isto é, jx(t)−L1j<" e jy(t)−L2j<". Assim, podemos dizer que limt!t0f(t)=L
se dado " > 0 existe um � > 0 tal que sempre que −� + t0< t < � + t0) jx(t)− L1j< " e
jy(t)−L2j<", ou seja, −"+L1<x(t)<"+L1 e −"+L2< y(t)<"+L2 o que implica que
limt!t0x(t)=L1 e limt!t0y(t)=L2. Este e um fato sabido do limite de uma função real.
Conclusão: limt!t0f(t)=L, limt!t0x(t)=L1 e limt!t0y(t)=L2. Deste modo podemos dizer
que o símbolo do limite entra em cada função coordenada de f . Em outras palavras, temos que
lim
t!t0
f(t)= lim
t!t0
(x(t); y(t))=
�
lim
t!t0
x(t); lim
t!t0
y(t)
�
=(L1; L2):
Definição 3. Seja t02 I. Dizemos que a curva f e contínua em t0 quando o limt!t0f(t)= f(t0).
Pela definição de limite num ponto podemos dizer que para uma curva ser contínua num ponto cada uma
de suas funções coordenadas precisam ser contínua neste ponto. Então f e contínua no ponto t0 se, e
somente se,
lim
t!t0
f(t)= lim
t!t0
(x(t); y(t))= (x(t0); y(t0))= f(t0):
Definição 4. Seja t02 I. Dizemos que a curva f e diferenciável no ponto t0 se existe e e finito o limite
lim
t!t0
f(t)− f(t0)
t− t0
=
df(t0)
dt
:
Neste caso vamos dizer que a curva f e derivável em um ponto t02 I e vamos denotar por df(t0)dt se
lim
t!t0
f(t)− f(t0)
t− t0
= lim
t!t0
(x(t)−x(t0); y(t)− y(t0))
t− t0
=
�
lim
t!t0
x(t)−x(t0)
t− t0
; lim
t!t0
y(t)− y(t0)
t− t0
�
Note que do Calculo I, a primeira componente do ultimo vetor na igualdade acima, bem como sua segunda
componente, nada mais e, quando o limite existe e e finito, que dx(t0)
dt
e dy(t0)
dt
. Assim, concluimos que a curva
f e derivavel no ponto t02 I se cada uma de suas funçoes coordenadas o sao.
Assim como o símbolo de limite de uma curva entra em cada uma das coordenadas da curva o símbolo de
derivada também. Ou seja, f 0(t)= (x0(t); y 0(t)) quando a curva f for derivável em t.
Para acabar de responder a questão 3 acima, precisamos ver como fica
R
f(t)dt, onde f : I �R!R2 é uma
curva integravel.
Ora,
R
f(t)dt=
R
(x(t); y(t))dt= (
R
x(t)dt;
R
y(t)dt), ou seja, quando calculamos a integral de uma curva
assim como os símbolos de limite e derivada entram para dentro do vetor o símbolo de integral também, claro
que isto se da pelo fato que a integral nada mais e que a taxa de variaçao instantânea acumulada é a taxa de
variaçao instantânea nada mais é que a derivada de uma função.
Em resumo a questão 3 nos diz que o limite de uma curva é o limite de cada uma de suas funções coordenadas,
a derivada de uma curva é a derivada de cada uma de suas funções coordenadas e para finalizar a integral de
uma curva é a integral de cada uma de suas funções coordenadas.
	1 Funções definidas em um aberto de ℝ a valores em ℝ^n
	1.1 Funções definidas em um aberto de ℝ a valores em ℝ^\(^2\)