Aula 12 - Funções de várias variáveis

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IFVV
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Máximos e
mínimos
sobre
conjuntos
compactos
O método
dos multipli-
cadores de
Lagrange
Máximos e mínimos sobre conjuntos compactos O método dos multiplicadores de Lagrange
Máximos e mínimos para funções de várias
variáveis reais: Parte II
Antonio R. G. Garcia
Universidade Federal Rural do Semi-Árido
Departamento de Ciências Naturais, Matemática e Estatística
12 de julho de 2020
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Máximos e mínimos sobre conjuntos compactos O método dos multiplicadores de Lagrange
Definição
Seja U um subconjunto do R2; dizemos que U e um conjunto
limitado se estiver contido em alguma bola aberta de centro na
origem. Dizemos, por outro lado, que U é um conjunto
fechado se o seu complementar {(x , y) ∈ R2 : (x , y) ∈ U} for
um conjunto aberto. Pois bem, dizemos que U é um conjunto
compacto se U for fechado e limitado.
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Exemplo
Toda bola fechada U de centro (x0, y0) e raio r > 0, isto é,
U = {(x , y) ∈ R2 : ‖(x , y)− (x0, y0)‖ ≤ r}, é um conjunto
compacto, pois, é fechado e limitado. U é um conjunto
limitado e seu complementar é um conjunto aberto.
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Exemplo
A = {(x , y) ∈ R2 : y > x2} é um conjunto fechado, mas não é
limitado. Logo, A não é compacto.
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Exemplo
U = {(x , y) ∈ R2 : x2 + 4y2 = 1} é um conjunto limitado e
fechado, portanto, ele é compacto.
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Teorema (de Weierstrass)
Se f (x , y) for contínua no compacto U, então existirão pontos
(x1, y1) e (x2, y2) pertencentes a U tais que
f (x1, y1) 6 f (x, y) 6 f (x2.y2),∀(x, y) ∈ U.
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O Teorema 5 nos diz que se f for contínua num conjunto
fechado limitado, isto é, compacto então f admite ponto de
mínimo (x1, y1) e ponto de máximo (x2, y2) com valor mínimo
e máximo, respectivamente, são f (x1, y1) e f (x2, y2). Para
determiná-los observamos se f admite ponto de mínimo e de
máximo no interior do seu domínio e comparamos estes valores
com os valores obtidos pela f em pontos da fronteira.
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Exemplo
Determine os extremantes de
f (x , y) = x3 + y3 − 3x − 3y
em A = {(x , y) ∈ R2 : 0 6 x 6 2, |y | 6 2}.
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Exemplo
Determine os extremantes de f (x , y) = xy em
A = {(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 6 1}.
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Exercício
Determine os extremantes da função f (x , y) = 2x + y no
conjunto
A = {(x , y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 4, 3x + y ≤ 6}.
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Problema
Seja f (x , y) diferenciável no aberto A e seja
B = {(x , y) ∈ A : g(x , y) = 0}, onde g é suposta de classe C1
em A; suponhamos, também, que
∇g(x , y) 6= (0, 0),∀(x , y) ∈ B. Estamos interessados em
determinar uma condição necessária para que (x0, y0) ∈ B seja
um extremante local da f em B.
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Teorema
Seja f (x , y) diferenciável no aberto A e seja
B = {(x , y) ∈ A : g(x , y) = 0}, onde g é suposta de classe C1
em A, e ∇g(x , y) 6= (0, 0),∀(x , y) ∈ B. Uma condição
necessária para que (x0, y0) ∈ B seja extremante local de f em
B é que exista um escalar λ0 tal que
∇f (x0, y0) = λ0∇g(x0, y0).
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Exemplo
Determine os extremantes de f (x , y) = 3x + 2y sujeito a
restrição x2 + y2 = 1.
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Exemplo
Estude com relação a máximo e mínimo, a função
f (x , y) = y + x3 com a restrição y − x3 = 0.
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Exercício
Encontre o ponto da curva xy = 1, x > 0, y > 0, que se
encontra mais proximo da origem.
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Exercício
Determine a reta tangente à curva x2 + y
2
4 = 1, x > 0, y > 0,
que forma com os eixos triângulo de área mínima.
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Exercício
Determine o ponto do elipsóide x2 + y2 + z2 = 1 cuja soma
das coordenadas seja máxima.
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Teorema
Seja f (x , y , z) difeenciável no aberto A ⊆ R3 e seja
B = {(x , y , z) ∈ A : g(x , y , z) = 0 = h(x , y , z)}, onde
g , h ∈ C1(A) e
∇g(x , y , z)×∇h(x , y , z) 6= (0, 0, 0), ∀(x , y , z) ∈ B. Nestas
condições, uma condição necessária para que (x0, y0, z0) ∈ B
seja extremante local de f em B é que existam escalares λ1 e
λ2 tais que
∇f (x0, y0, z0) = λ1∇g(x0, y0, z0) + λ2∇h(x0, y0, z0).
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Exemplo
Determine os pontos mais afastados da origem e cujas
coordenadas são sujeitas às restrições x2 + 4y2 + z2 = 4 e
x + y + z = 1.
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