2 CÔNICAS (aulas)[Modo de Compatibilidade]

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CÔNICASCÔNICAS
CônicasCônicas 22
CLASSIFICAÇÃO CLASSIFICAÇÃO 
DE CÔNICASDE CÔNICAS
CÔNICAS NÃO CÔNICAS NÃO 
DEGENERADASDEGENERADAS
CônicasCônicas 33
•• EstudaremosEstudaremos asas
(seções)(seções) cônicas,cônicas,
curvascurvas planasplanas queque
sãosão obtidasobtidas dada
intersecçãointersecção dede umum
conecone circularcircular comcom
umum planoplano..
CônicasCônicas 44
CÔNICAS
CônicasCônicas 55
CônicasCônicas 66
CônicasCônicas 77
•• VamosVamos definídefiní--laslas comocomo conjuntoconjunto dede pontospontos
queque satisfazemsatisfazem certascertas propriedadespropriedades ee
determinardeterminar asas equaçõesequações nana formaforma maismais
simplessimples..
CônicasCônicas 88
ELIPSEELIPSE
CônicasCônicas 99
DEFINIÇÃO
•• DadosDados doisdois pontospontos FF11 ee FF22 chamamoschamamos
elipseelipse oo conjuntoconjunto dosdos pontospontos PP dodo planoplano
taistais queque d(P,Fd(P,F11)+d(P,F)+d(P,F22)=)=22aa..
CônicasCônicas 1010
ELIPSEELIPSE
CônicasCônicas 1111
Elipse é o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que d(P, F1) + d(P, F2) = 2a
CônicasCônicas 1212
ELIPSEELIPSE
•• FocosFocos:: sãosão osos pontospontos FF11 ee FF22,,
•• DistânciaDistância FocalFocal:: éé aa distânciadistância 22cc entreentre
osos focos,focos,
•• CentroCentro:: éé oo pontoponto médiomédio CC dodo
segmentosegmento FF11FF22,,
•• VérticesVértices:: sãosão osos pontospontos AA11,, AA22,, BB11 ee BB22,,
•• EixoEixo maiormaior:: éé oo segmentosegmento AA11AA22 dede
comprimentocomprimento 22aa (( oo segmentosegmento AA11AA22
contémcontém osos focosfocos ee osos seusseus extremosextremos
pertencempertencem aa elipse),elipse),
•• EixoEixo menormenor:: éé oo segmentosegmento BB11BB22 dede
comprimentocomprimento 22bb (B(B11BB22 ḻḻ AA11AA22 nono seuseu
pontoponto médio)médio)..
•• ExcentricidadeExcentricidade:: éé oo númeronúmero ee dadodado
porpor e=c/ae=c/a.. ComoComo c<a,c<a, temostemos 00<e<<e<11..
CônicasCônicas 1313
Elementos da ElipseElementos da Elipse
CônicasCônicas 1414
Equação Reduzida da Elipse
•• Eixo maior sobre o eixo dos x:Eixo maior sobre o eixo dos x:
•• Eixo maior sobre o eixo dos yEixo maior sobre o eixo dos y
•• Relação fundamental:Relação fundamental:
1
b
y
a
x
2
2
2
2

a b c2 2 2 
1
a
y
b
x
2
2
2
2

Equação da Elipse com Centro na Origem e Equação da Elipse com Centro na Origem e 
Eixo Maior Sobre o Eixo dos x:Eixo Maior Sobre o Eixo dos x:
ProposiçãoProposição 11.. (a)(a) AA equaçãoequação dede umauma elipseelipse
cujoscujos focosfocos sãosão FF11 == (( -- c,c, 00)) ee FF22 == (c,(c, 00)) éé
CônicasCônicas 1515
1
b
y
a
x
2
2
2
2

CônicasCônicas 1616
Equação da Elipse com Centro na Origem e Equação da Elipse com Centro na Origem e 
Eixo Maior Sobre o Eixo dos x:Eixo Maior Sobre o Eixo dos x:
a
c
•• ProposiçãoProposição 11.. (b)(b) AA equaçãoequação dede umauma elipseelipse
cujoscujos focosfocos sãosão FF11 == ((00,, -- c)c) ee FF22 == ((00,, c)c) éé
CônicasCônicas 1717
Equação da Elipse com Centro na Origem e Equação da Elipse com Centro na Origem e 
Eixo Maior Sobre o Eixo dos y:Eixo Maior Sobre o Eixo dos y:
1
a
y
b
x
2
2
2
2

CônicasCônicas 1818
Equação da Elipse com Centro na Origem e Equação da Elipse com Centro na Origem e 
Eixo maior sobre o eixo dos y:Eixo maior sobre o eixo dos y:
a
c
OBSERVAÇÕESOBSERVAÇÕES
•• Como temos que .Como temos que .
•• Então,Então, sempresempre oo maiormaior dosdos denominadoresdenominadores dada
equaçãoequação reduzidareduzida representarepresenta oo númeronúmero ondeonde
aa éé aa medidamedida dodo semisemi--eixoeixo maiormaior..
•• EE mais,mais, sese nana equaçãoequação dada elipseelipse oo númeronúmero éé
denominadordenominador dede ,, aa elipseelipse temtem seuseu eixoeixo maiormaior
sobresobre oo eixoeixo xx..
CônicasCônicas 1919
a b c2 2 2  ba  22 ba
2a
2a
2x
EXEMPLOSEXEMPLOS
1.1. DeterminarDeterminar:: aa medidamedida dosdos semisemi--eixos,eixos, umum
esboçoesboço dodo gráfico,gráfico, osos focosfocos ee aa excentricidadeexcentricidade::
(a) (a) 
(b)(b)
CônicasCônicas 2020
225259  22 yx
1
100
y
36
x 22

22.. DeduzaDeduza umauma equaçãoequação dada elipseelipse dede focosfocos
FF11 == ((--33,, 00)) ee FF22 == ((00,, 44)) ee eixoeixo maiormaior 77..
33.. DetermineDetermine aa equaçãoequação dada elipseelipse queque temtem centrocentro
C(C(00,,00),), umum focofoco F(F(33//44,,00)) ee umum vérticevértice A(A(11,,00))..
CônicasCônicas 2121
EXEMPLOSEXEMPLOS
APLICAÇÕESAPLICAÇÕES
2222
A figura mostra os planetas girando em torno do Sol. Foi o astrônomo e
matemático Johannes Kepler (1571-1630) que formulou 3 leis que regem o
movimento planetário. Uma delas diz que um planeta gira em torno do Sol
em uma órbita elíptica com o Sol em um dos focos.
CônicasCônicas 2323
APLICAÇÕESAPLICAÇÕES
No caso da Terra os semi-eixos são a =
153.493.000km e b = 153.454.000 km. Donde
podemos obter a excentricidade da órbita da Terra:
(quase uma circunferência)
•• ArcosArcos emem formaforma dede semisemi--elipseelipse sãosão muitomuito
empregadosempregados nana construçãoconstrução dede pontespontes dede concretoconcreto ee
dede pedraspedras (desde(desde osos antigosantigos romanos)romanos)
CônicasCônicas 2424
APLICAÇÕESAPLICAÇÕES
•• EngenhariaEngenharia ElétricaElétrica:: conjuntosconjuntos dede elipseselipses
homofocaishomofocais (elipses(elipses dede mesmomesmo foco)foco) sãosão utilizadasutilizadas
nana teoriateoria dede correntescorrentes elétricaselétricas estacionáriasestacionárias..
•• EngenhariaEngenharia MecânicaMecânica:: sãosão usadasusadas engrenagensengrenagens
elípticaselípticas (excêntricos)(excêntricos)..
CônicasCônicas 2525
APLICAÇÕESAPLICAÇÕES
HIPÉRBOLEHIPÉRBOLE
CônicasCônicas 2626
CônicasCônicas 2727
• Dados dois pontos F1 e F2 chamamos hipérbole o
conjunto dos pontos P do plano tais que
|d(P,F1) - d(P,F2)|=2a (0<2a<2c, 2c= d(F1,F2) ).
DEFINIÇÃO
Elementos da Hipérbole
•• FocosFocos:: sãosão osos pontospontos FF11 ee FF22,,
•• DistânciaDistância FocalFocal:: éé aa distânciadistância 22cc
entreentre osos focos,focos,
•• CentroCentro:: éé oo pontoponto médiomédio CC dodo
segmentosegmento FF11FF22,,
•• VérticesVértices:: sãosão osos pontospontos AA11 ee AA22,,
•• EixoEixo RealReal ouou transversotransverso:: éé oo
segmentosegmento AA11AA22 dede comprimentocomprimento 22a,a,
•• EixoEixo imaginárioimaginário ouou conjugadoconjugado:: éé oo
segmentosegmento BB11BB22 dede comprimentocomprimento 22b,b,
•• ExcentricidadeExcentricidade:: éé oo númeronúmero ee
dadodado porpor e=c/ae=c/a.. ComoComo c>a,c>a,
temostemos e>e>11..
CônicasCônicas 2828
222 bac 
•• Eixo real sobre o eixo dos x:Eixo real sobre o eixo dos x:
•• Eixo real sobre o eixo dos y:Eixo real sobre o eixo dos y:
CônicasCônicas 2929
Equação Reduzida da Hipérbole
1
b
y
a
x
2
2
2
2

1
b
x
a
y
2
2
2
2

• Proposição 1. (a) A equação de uma
Hipérbole cujos focos são F1 = (- c, 0) e
F2 = (c, 0) é
CônicasCônicas 3030
Equação da Hipérbole com Centro na 
Origem e Eixo Real sobre o eixo dos x:
1
b
y
a
x
2
2
2
2

CônicasCônicas 3131
Equação da Hipérbole com Centro na 
Origem e Eixo Real sobre o eixo dos x:
• Proposição 1. (b) A equação de uma
hipérbole cujos focos são F1 = (0, - c) e
F2 = (0, c) é
CônicasCônicas 3232
Equação da Hipérbole com Centro na 
Origem e Eixo Real sobre o eixo dos y:
1
b
x
a
y
2
2
2
2

CônicasCônicas 3333
Equação da Hipérbole com Centro na 
Origem e Eixo Real sobre o eixo dos y:
CônicasCônicas 3434
Assíntotas
• As retas são chamadas assíntotas da hipérbole.
• São retas das quais a hipérbole se aproxima cada vez
mais à medida que os pontos se afastam dos focos.
x
a
by 
EXEMPLOEXEMPLO
• 1. Determinar na hipérbole
a) A medida dos semi-eixos
b) Um esboço gráfico
c) Os vértices
d) Os focos
e) A excentricidade
f) As equações das assínotas
CônicasCônicas 3535
06379  22 yxCônicasCônicas 3636
EXEMPLOEXEMPLO
• 2. Determinar na hipérbole
a) A medida dos semi-eixos
b) Um esboço gráfico
c) Os vértices
d) Os focos
e) A excentricidade
f) As equações das assínotas
1
64
x
100
y 22

• 3. Encontre uma equação da hipérbole de focos 
F1(0,-5) e F2(0,5) e eixo real de medida 6.
• R: 
• 4. Encontre uma equação da hipérbole de focos 
F1(-2,1) e F2(1,3) e eixo real 2.
• R:
CônicasCônicas 3737
EXEMPLOEXEMPLO
1
16
x
9
y 22

07924764820 2  yxxyx
• Recentemente, experimentos físicos mostraram que
partículas carregadas atiradas em núcleos de átomos se
espalham ao longo de trajetórias hiperbólicas.
• Mecânica Celeste: dependendo de sua velocidade, um
cometa tem uma órbita elíptica, parabólica ou
hiperbólica (o foco coincide com o Sol).
• Em Mecânica dos Fluidos e em alguns problemas
referentes ao fluxo estacionário de eletricidade são
utilizadas hipérboles homofocais (de mesmo foco).
CônicasCônicas 3838
APLICAÇÕESAPLICAÇÕES
•• OO sistema LORAN (long range navigation) e o sistema
DECCA de navegação aérea usam a hipérbole.
• Igualmente na navegação marítima utilizam-se sistemas
hiperbólicos: O sistema RADUX (de baixíssima
freqüência) e o sistema LORAC (de ondas contínuas para
observações de grande precisão).
CônicasCônicas 3939
APLICAÇÕESAPLICAÇÕES
CônicasCônicas 4040
APLICAÇÕESAPLICAÇÕES
PARÁBOLAPARÁBOLA
CônicasCônicas 4141
CônicasCônicas 4242
Parábola
•• Dados um ponto F e uma reta d,
com , seja p = d(F,d). Chamamos parábola o
conjunto dos pontos P do plano que são
equidistantes de F e d, i. é., d(P,F)= d(P,d).
dF 
CônicasCônicas 4343
Parábola
CônicasCônicas 4444
Elementos da Parábola
•• FocoFoco:: éé oo pontoponto F,F,
•• DiretrizDiretriz:: éé aa retareta dd,,
•• EixoEixo:: éé aa retareta queque passapassa pelopelo focofoco ee éé
perpendicularperpendicular àà diretriz,diretriz,
•• VérticeVértice:: éé oo pontoponto VV dede interseçãointerseção dada parábolaparábola
comcom seuseu eixo,eixo,
•• d(V,F)=d(V,A)d(V,F)=d(V,A)
CônicasCônicas 4545
Equação Reduzida da Parábola
• O eixo da parábola é o eixo dos y:
• Se p>0 a parábola tem concavidade voltada
para cima e se p<0 a parábola tem concavidade
voltada para baixo.
py2x 2 
CônicasCônicas 4646
Equação Reduzida da Parábola
• O eixo da parábola é o eixo dos x:
• Se p>0 a parábola tem concavidade voltada para a
direita e se p<0 a parábola tem concavidade voltada para a
esquerda.
px2y 2 
• 1. Achar as coordenadas do foco e a equação 
da diretriz das parábolas
a) 
b) 
CônicasCônicas 4747
EXEMPLOEXEMPLO
xy 82 
yx 82 
• 2. Determine a equação da parábola sabendo 
que:
a) Vértice V(0,0) e foco F(-1,0)
b) Vértice V(0,0), passa pelo ponto P(-2,5) e 
concavidade voltada para cima.
CônicasCônicas 4848
EXEMPLOEXEMPLO
• (a) A secção de um farol de automóvel tem o
formato de uma parábola (a superfície espelhada é
um parabolóide). A lâmpada situada no foco,
quando acesa, emite raios luminosos que após
incidirem sobre a parábola serão refletidos numa
mesma direção segundo retas paralelas ao eixo da
parábola.
CônicasCônicas 4949
APLICAÇÕESAPLICAÇÕES
CônicasCônicas 5050
APLICAÇÕESAPLICAÇÕES
• (b) Se um espelho parabólico é apontado para o
Sol, os raios da luz (paralelos ao eixo da
parábola) serão refletidos para o mesmo ponto
(foco). Pela grande quantidade de calor
produzido nesta fonte, procede o nome foco
(em latim focus significa fogo).
• Aplica-se o mesmo princípio na construção de
espelhos para telescópios, antenas de radar e
antenas parabólicas (as ondas paralelas ao eixo
da parábola, se refletem na antena e confluem
para o retransmissor).
• (c) Em balística, quando se lança um projétil
sobre o qual atua somente a força da gravidade,
a trajetória é uma parábola.
CônicasCônicas 5151
APLICAÇÕESAPLICAÇÕES
TRANSLAÇÃO DE EIXOSTRANSLAÇÃO DE EIXOS
CônicasCônicas 5252
Translação de Eixos
Consideremos no plano
cartesiano xoy um ponto
o’(h,k), arbitrário.
Vamos introduzir m
novo sistema x’o’y’ tal que os
eixos o’x’ o’y’ tenham a
mesma unidade de medida, a
mesma direção e o mesmo
sentido dos eixos ox e oy.
Nestas condições, um
sistema pode ser obtido do
outro, através de uma
translação de eixos.
CônicasCônicas 5353
• Seja um ponto P qualquer do plano tal que suas
coordenadas são:
x e y em relação ao sistema xoy,
x’ e y’ em relação ao sistema x’o’y’.
Pela figura anterior, obtemos:
x=x’+h e y=y’+k
Ou
x’=x-h e y’=y-k
que são as fórmulas de translação e que
permitem transformar coordenadas de um sistema
para outro.
CônicasCônicas 5454
Translação de Eixos
CônicasCônicas 5555
Translação de Eixos
CônicasCônicas 5656
Translação de Eixos
CônicasCônicas 5757
Translação de Eixos
CônicasCônicas 5858
Translação de Eixos
• 1º Caso: O eixo da parábola é paralelo ao eixo 
dos y.
A equação da parábola de vértice V(h,k) é:
• 2º Caso: O eixo da parábola é paralelo ao eixo 
dos x.
CônicasCônicas 5959
Equação da Parábola de Vértice Fora da 
Origem do Sistema
)(2)( 2 kyphx 
)(2)( 2 hxpky 
• Sabemos que a equação da parábola de vértice
V(h,k) e eixo paralelo ao eixo dos y tem a forma
padrão:
• Uma equação nessa forma pode ser escrita como:
que é chamada forma explícita da equação da
parábola cujo eixo é paralelo ao eixo dos y.
• Se a parábola tem eixo paralelo ao eixo dos x, sua
equação na forma explícita é
correspondente à forma padrão .
CônicasCônicas 6060
Equação da Parábola na Forma Explícita
)(2)( 2 kyphx 
cbxaxy  2
cbyayx  2
)(2)( 2 hxpky 
ExemploExemplo
• 1. Determine a equação da parábola de foco em
F(1,2) e diretriz d:x=5
• Observação: Para completar o quadrado da
expressão: somamos o quadrado da
metade do coeficiente de y, isto é, .
• 2. Determinar o vértice, um esboço gráfico, o
foco e a equação da diretriz da parábola
CônicasCônicas 6161
qyy 2
2
2





 q
01862  xyy
• 1º Caso: O eixo maior é paralelo ao eixo x.
A equação da elipse de centro C(h,k) é:
• 2º Caso: O eixo maior é paralelo ao eixo y.
CônicasCônicas 6262
Equação da Elipse de Centro Fora da Origem 
do Sistema
1
b
k)-(y
a
h)-(x
2
2
2
2

1
a
k)-(y
b
h)-(x
2
2
2
2

• 1. Determinar o centro, os vértices, os focos e a 
excentricidade da elipse de equação
CônicasCônicas 6363
ExemploExemplo
0436894 22  yxyx
• 1º Caso: O eixo real é paralelo ao eixo dos x.
A equação da hipérbole de centro C(h,k) é:
• 2º Caso: O eixo maior é paralelo ao eixo y.
CônicasCônicas 6464
Equação da Hipérbole de Centro Fora da 
Origem do Sistema
1
b
k)-(y
a
h)-(x
2
2
2
2

1
b
h)-(x
a
k)-(y
2
2
2
2

• 1. Determinar o centro, um esboço do gráfico,os
vértices e os focos da hipérbole de equação:
CônicasCônicas 6565
ExemploExemplo
043161849 22  yxyx
CônicasCônicas 6666
ExemploExemplo
• 2. Obter a equação reduzida resultante de uma
translação de eixos, classificar, dar os elementos
e esboçar o gráfico da equação.
•• A)A)
•• B)B)
•• C)C)
0362444 22  yxyx
0114822  yxyx
017682  yxy
CônicasCônicas 6767
Equação Geral do Segundo GrauEquação Geral do Segundo Grau
CônicasCônicas 6868
Equação Geral do Segundo GrauEquação Geral do Segundo Grau
CônicasCônicas 6969
Equação Geral do Segundo GrauEquação Geral do Segundo Grau
+
CônicasCônicas 7070
Equação Geral do Segundo GrauEquação Geral do Segundo Grau
CônicasCônicas 7171
Equação Geral do Segundo GrauEquação Geral do Segundo Grau
CônicasCônicas 7272
Equação Geral do Segundo GrauEquação Geral do Segundo Grau
Portanto o gráfico de uma equação do segundo grau
pode ser:
1.Uma elipse
2.Uma hipérbole
3.Uma parábola
4.Um par de retas
5.Uma única reta
6.Um ponto ou
7.Conjunto vazio
De 1 a 6 chamamos cônicas e de 4 a 6 cônicas
degeneradas.
CônicasCônicas 7373
ProposiçãoProposição
• Proposição: O gráfico de uma equação do 2º
grau, isto é, o gráfico de uma equação da forma
ax2 + by2 +cxy + dx + ey + f = 0, 
a, b ou c não nulo é uma cônica.
CônicasCônicas 7474
Sessões CônicasSessões Cônicas
CônicasCônicas7575
Sessões CônicasSessões Cônicas
CônicasCônicas 7676
Sessões CônicasSessões Cônicas
CônicasCônicas 7777
Sessões CônicasSessões Cônicas
CônicasCônicas 7878
FIMFIM