Atividade_3_Aula1_Aula2

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APLICAÇÕES DE INTEGRAIS 
MÚLTIPLAS
VIVIANA COCCO MARIANI
MASSA ESPECÍFICA (DENSIDADE)
Porque o peso de diferentes materiais, ocupando a mesma
área/volume, é diferente?
Porque cada material possui uma propriedade termofísica chamada
massa específica ou densidade (kg/m3) então apesar de ocupar a
mesma área ou volume eles terão massa (peso) diferenciado.
Por exemplo, uma placa de mesmas dimensões feita de diferentes
materiais como inox, alumínio, cobre, plástico, cortiça tem massa
(peso) diferente.
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APLICAÇÕES DE INTEGRAL 
DUPLA
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DENSIDADE E MASSA DE UMA LÂMINA
Calculamos momentos e centro de massa de placas finas ou
lâminas de densidade (massa específica) constante usando as
integrais unidimensionais.
Agora, com auxílio das integrais duplas, temos condições de
considerar as lâminas com densidade variável.
Suponha que uma lâmina ocupe uma região D do plano xy e
que sua densidade (em unidades de massa por unidade de
área) no ponto (x, y) em D é dada por (x, y), onde  é uma
função contínua em D.
(x, y) = lim (m)/(A)
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DENSIDADE E MASSA DE UMA LÂMINA
Onde Δm é a massa, ΔA é a área de um pequeno retângulo
que contém (x, y) tomamos o limite quando as dimensões do
retângulo se aproximam de zero.
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DENSIDADE E MASSA DE UMA LÂMINA
Para determinarmos a massa total m da lâmina, dividimos o
retângulo R contendo D em sub-retângulos Rij, todos do mesmo
tamanho. Se somarmos todas essas massas, obteremos uma
aproximação do valor da massa total
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DENSIDADE E MASSA DE UMA LÂMINA
Aumentando o número de sub-retângulos, obtemos a massa
total (peso) m da lâmina como o valor-limite das aproximações
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DENSIDADE E MASSA DE UMA LÂMINA
Se uma carga elétrica está distribuída sobre uma região D e a
densidade de carga (em unidades de carga por unidade de
área) é dada por σ(x, y) em um ponto (x, y) em D, então a
carga total Q é dada por
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EXEMPLO 1
Uma carga está distribuída na região triangular D de modo
que a densidade de carga em (x, y) é σ(x, y) = xy, medida
em Coulombs por metro quadrado (C/m2). Determine a carga
total.
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MOMENTOS 
Suponha que a lâmina ocupe uma região D, o momento de uma
partícula em relação a um eixo é o produto de sua massa
específica pela distância (perpendicular) ao eixo.
Se somarmos essas quantidades e tomarmos o limite quando o
número de sub-retângulos cresce obteremos o Momento da
lâmina em relação ao eixo x:
Momento da lâmina em relação ao eixo y:
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CENTROS DE MASSA (OU GRAVIDADE)
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CENTRÓIDE DE UMA REGIÃO
Considerando uma lâmina homogênea, isto é, com densidade constante, 
tem-se:
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MOMENTO DE INÉRCIA
O momento de inércia (também chamado segundo momento)
de uma partícula de massa m em relação a um eixo é
definido como mr2, onde r é a distância ao quadrado da
partícula ao eixo.
Estendemos o conceito a uma lâmina com função densidade
(x, y) e que ocupa uma região D pelo mesmo processo que
fizemos para os momentos normais.
Dividimos D em pequenos retângulos, aproximamos o
momento de inércia de cada sub-retângulo em relação ao
eixo x e tomamos o limite da soma quando o número de sub-
retângulos aumenta indefinidamente.
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MOMENTOS DE INÉRCIA
O resultado é o momento de inércia da lâmina em relação ao 
eixo x:
Da mesma forma, o momento de inércia em relação ao eixo y: 
Considerar o momento de inércia em relação à origem, também 
chamado momento polar de inércia, I0 = Ix + Iy
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EXEMPLO 2 
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EXEMPLO 3
Calcule o centro de gravidade da região semicircular considerando
densidade unitária.
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APLICAÇÕES DE INTEGRAL 
TRIPLA
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CENTRO DE GRAVIDADE E CENTRÓIDE DE 
UM SÓLIDO
De forma análoga obtemos massa, centro de
massa e momentos de inércia de uma região no
espaço, isto é de um volume e não de uma área
como foi apresentado até então.
Para isto utilizamos integrais triplas.
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MASSA DE UM SÓLIDO
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CENTRO DE GRAVIDADE DE UM SÓLIDO
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CENTRÓIDE
Quando a densidade é constante (então ela pode ser colocada em 
evidência e simplifica-se), isto é o sólido é homogêneo.
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MOMENTOS DE 
INÉRCIA
A tendência de um sólido
para resistir a uma mudança
no movimento rotatório em
torno de um eixo é medida
por seu momento de inércia
em torno daquele eixo. Se um
sólido ocupa uma região G
num sistema de coordenadas
xyz e se sua função
densidade for contínua em G,
então os momentos de inércia
(momentos de segunda
ordem) em torno dos eixos x,
y e z são denotadas por
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MASSA, PRIMEIROS MOMENTOS E CENTRO 
DE GRAVIDADE
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Considerando a massa específica ou densidade como sendo (x,y,z) 
Massa: 
Primeiros momentos: ௬௭ (em relação ao plano yz)
௫௭ (em relação ao plano xz) 
௫௬ (em relação ao plano xy) 
Centro de massa: 
ெ೤೥
ெ
(em relação ao plano yz) 
ெೣ೥
ெ
(em relação ao plano xz) 
ெೣ೤
ெ
(em relação ao plano xy) 
EXEMPLO 4
Calcule a massa e o centro de massa (ou gravidade) de
um cilindro de altura h e raio a. Considere que a
densidade do sólido seja kz.
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EXEMPLO 4
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centro de gravidade (0,0, 2h/3)
EXEMPLO 5
Use integral em
coordenadas
cilíndricas para obter
o volume e o
centróide do sólido
limitado acima por z
= sqrt(25-x2-y2) e
abaixo pelo plano xy
e lateralmente pelo
cilindro x2 + y2 = 9.
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EXEMPLO 5
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EXEMPLO 5
Por simetria o centróide será (0, 0, 1107/488)
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EXERCÍCIOS
1) Uma placa fina cobre a região triangular limitada pelo eixo x e pelas 
retas x = 1 e y = 2x no primeiro quadrante. A densidade da placa no ponto 
(x,y) é 6x+6y+6. 
(a) Encontre a massa da placa. 
(b) Obtenha os primeiros momentos e o centro de massa em relação aos eixos 
coordenados x e y, respectivamente. 
S: (a) 14; (b) 11, 10, 5/7 e 11/14
2) Calcule a massa e o centro de massa de um semicírculo de raio r, sendo a 
densidade no ponto P proporcional à distância do ponto ao centro do 
semicírculo, isto é, ଶ ଶ
S: kr3/3, 0, 3r/2
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EXERCÍCIOS
3) Usando a função densidade apresentada no exemplo (1) obtenha os 
momentos de inércia. 
S: 12, 39/5
4) Encontre o centróide (com massa específica constante) da região no 
primeiro quadrante limitada acima pela reta y = x e abaixo pela 
parábola y = x2. 
S: 1/6, 1/15, 1/12, ½, 2/5.
5) Encontre o centro de massa de um sólido de densidade constante e 
limitado abaixo pelo disco R: x2+y24 no plano z = 0 e acima pelo 
paraboloide z=4-x2-y2. 
S: Mxy = 32/3, M = 8
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EXERCÍCIOS
6) Encontre os momentos de segunda ordem para o sólido retangular 
de densidade constante, tal que o sólido é limitado por: –a/2  x 
a/2; –b/2  x  b/2; –c/2  z  c/2.
S: Ix = abc(b2+c2)/12 de forma análoga os demais.
Exercícios: 
George B. Thomas (Volume 2) Páginas 377 a 378; 399 a 400
Guidorizzi (Volume 3) Páginas 103; 139 a 140
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