quadricas

Prévia do material em texto

Profª Drª Ana Paula Marins Chiaradia
NOTAS DE AULA DE ALCV
• A equação geral do 2º grau nas três variáveis x, y e z:
ax2 + by2 + cz2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + mx + ny + pz + q= 0
com pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e ou f  0,
representa uma superfície quádrica ou simplesmente uma
quádrica.
• Desta equação pode derivar:
Uma cônica, quando a superfície quádrica for 
cortada por um plano. 
Ex: plano xy (z=0)
ax2 + by2 + 2dxy + mx + ny + q =0
• A interseção de uma superfície com um plano é 
chamado traço da superfície no plano. 
• a) Elipsoides
• b) Hiperboloides 
• c) Cones
• d) Paraboloides
• e) Cilindro
Hiperboloides de uma folha
Hiperboloides de duas folhas
elíptico
hiperbólico
• Se nenhum dos coeficientes for nulo, a equação padrão de 
uma superfícies quádrica centrada é: 
• Desta equação podem ser originadas três superfícies, de 
acordo com a variação dos sinais (+,+,+), (+,+,-) e (+,-,-):
– Elipsoide (+,+,+)
– Hiperboloide (+,+,-) 
– Hiperboloide de duas folhas (+,-,-) 
1
2
2
2
2
2
2

c
z
b
y
a
x
• Todos os coeficientes 
na equação são 
positivos e a, b e c são 
positivos:
 1
2
2
2
2
2
2

c
z
b
y
a
x
Denomina-se Elipsoide, já que seus traços são elipses:
elipse 1 0 x 
2
2
2
2

c
z
b
y
Se
elipse 1 0 y 
2
2
2
2

c
z
a
x
Se
elipse 1 0 z 
2
2
2
2

b
y
a
x
Se
Características:
• Simetria em relação aos eixos 
coordenados e à origem;
• Sua intersecção com qualquer 
plano paralelo aos planos 
coordenados é uma elipse, um 
ponto ou vazio.
Elipsoide de revolução 
quando pelo menos dois 
dos valores de a, b ou c
são iguais.
Ex: a = c = 2, b = 4 e 
C (0,0,0)
1
4
2
16
2
4
2

zyx
Quando a = b= c: neste caso a equação tem a forma:
x2 + y2 + z2 = a2,
isto é, uma superfície esférica de C(0,0,0) e raio a.
Se a = b = c e centro (h,k,l),
(x-h)2 + (y-k)2 + (z-l)2 = a2
1
9
2
16
2
4
2

zyx
Elipsoide de revolução :
Superfície usada para definir o formato da Terra, geoide.
A partir da equação 
inicial:
deriva-se o hiperbolóide 
de uma folha, com dois 
coeficientes positivos e 
um negativo.
1
2
2
2
2
2
2

c
z
b
y
a
x
 1
2
2
2
2
2
2

c
z
b
y
a
x
Sinal negativo em z: figura no eixo z. Analogamente, para sinal (-) em x e y.
Denomina-se Hiperboloide de uma folha:
hipérbole 1 0 x 
2
2
2
2

c
z
b
y
Se
hipérbole 1 0 y 
2
2
2
2

c
z
a
x
Se
elipse 1 0 z 
2
2
2
2

b
y
a
x
Se
1
2
2
2
2
2
2

c
z
b
y
a
x
Características:
• Simetria em relação aos 
eixos coordenados e à 
origem.
• Sua intersecão com um 
plano paralelo a xOy é uma 
elipse;
• Sua intersecão com um 
plano paralelo a yOz ou xOz é 
uma hipérbole;
Se a=b: hiperbolóide de 
revolução em torno de 
Oz.
1
4
2
22 
z
yx
A partir da equação 
inicial:
deriva-se o hiperbolóide 
de duas folhas, com dois 
coeficientes negativos e 
um positivo.
1
2
2
2
2
2
2

c
z
b
y
a
x
Sinal positivo em x: figura no eixo x. Analogamente, para sinal (+) em y e z.
1
2
2
2
2
2
2

c
z
b
y
a
x
Denomina-se Hiperbolóide de duas folhas:
hipérbole 1
c
z
 0 x 
2
2
2
2

b
y
Se
hipérbole 1
c
z
 0 y 
2
2
2
2

a
x
Se
gráfico.existeNão!!!!impossível1
a
x
0z
2
2
2
2

b
y
Se
1
2
2
2
2
2
2

c
z
b
y
a
x
Características:
• É simétrica relativamente a 
cada um dos planos 
coordenados e relativamente 
à origem;
• A sua intersecção com o 
plano paralelo a xOy é uma 
elipse, um ponto ou o 
conjunto vazio; 
• A sua intersecção com um 
plano paralelo ao plano yOz 
ou xOz é uma hipérbole;
Se a=b na equação 
apresentada, o hiperbolóide é 
de revolução, gerado pela 
rotação de uma hipérbole em 
torno do eixo Oz.
1
4
2
22 
y
xz
• É uma superfície gerada por uma reta que se 
move apoiada numa curva plana qualquer e 
passando sempre por um ponto não situado 
no plano desta curva.
• Reta: geratriz
• Curva plana: diretriz
• Ponto Fixo: vértice da superfície cônica.
• A superfície quádrica 
que tem por equação:
0
2
2
2
2
2
2

c
z
b
y
a
x
• Características:
– Traço no plano xOz é 
constituído por duas 
retas que passam pela 
origem; 
– Os traços nos planos 
z=k são elipses;
– Se a = b, são 
circunferências, 
obtendo-se a superfície 
cônica circular reta.
Denomina-se Cone:
retas Duas 
c
b
 y 
2
2
2
2
 0 xSe z
c
z
b
y

retas Duas 
c
a
 x 
2
2
2
2
 0y Se z
c
z
a
x

(0,0,0) ponto0 0z Se
2
2
2
2

b
y
a
x
ncia)circunferê b, a (Se Elipse k z Se
2
2
2
2
2
2

c
k
b
y
a
x
OBS: Os traços
nos planos x = k
e y = k são
hipérboles.
4
2
22 yxz 
• Podem ser representadas pelas equações:
Ax2 +By2 +Rz = 0
Ax2 +Ry + Cz2 = 0
Rx +By2 + Cz2 = 0
Derivadas das equações acima onde nenhum dos
coeficientes é nulo, são denominadas forma canônica ou
padrão de uma superfície quádrica não centrada.
• São elas:
0
2
2
2
2

b
y
a
x
z
0
2
2
2
2

b
y
a
x
z
• A superfície quádrica 
com a equação:
cz
b
y
a
x

2
2
2
2
by
c
z
a
x

2
2
2
2
ax
c
z
b
y

2
2
2
2
ao longo do eixo z
ao longo do eixo y
ao longo do eixo x
• Denominam-se Parabolóides elípticos. Seus traços 
são:
parábola 0 x 22
2
2
zcbycz
b
y
Se 
parábola 0y 22
2
2
zcaxcz
a
x
Se 
(0,0,0) 00z 
2
2
2
2
ponto
b
y
a
x
Se 
ncia)circunferê b,a (se Elipsekz 
2
2
2
2
 ck
b
y
a
x
Se
OBS: Se c > 0, a
superfície situa-se
inteiramente acima do
plano xOy.
Se c < 0, a superfície
está inteiramente
abaixo deste plano.
• Características:
– É simétrica relativamente 
aos planos coordenados 
xOz e yOz;
– A sua interseção com o 
plano paralelo a xOy é uma 
elipse;
– A sua interseção com o 
plano paralelo a xOz ou 
yOz é uma parábola;
Se a = b, o parabolóide é de revolução em torno do eixo Oz.
z
yx

94
22
• A superfície quádrica 
com a equação:
cz
a
x
b
y

2
2
2
2 ao longo do eixo z
ao longo do eixo y
ao longo do eixo x
by
a
x
c
z

2
2
2
2
ax
b
y
c
z

2
2
2
2
• Denominam-se Parabolóides hiperbólico. Seus 
traços são:
OBS: Se c > 0, a
superfície está voltada
para cima do plano
xOy. Se c < 0, a
superfície está voltada
para baixo deste
plano.
cima para côncava parábola 0 x 22
2
2
zcbycz
b
y
Se 
baixo para côncava parábola 0y 22
2
2
zcaxcz
a
x
Se 
esconcorrent retas depar 00z 
2
2
2
2

b
y
a
x
Se
 
y eixo 0,k Se
 xeixo 0,k Se
hipérbolekz 
2
2
2
2





 ck
b
y
a
x
Se
• Características:
– As Parábolas tem o eixo z 
como eixo de simetria. E 
concavidade para baixo e para 
cima, respectivamente;
– Traço no plano z = k é uma 
hipérbole cujo eixo real é 
paralelo ao eixo dos y se k > 0 
e paralelo ao eixo dos x se 
k < 0. 
z
xy

94
22
• Seja C uma curva plana e f uma reta fixa não 
contida nesse plano.
• Superfície cilíndrica é a superfície gerada por uma 
reta r que se move paralelamente à reta fixa f em 
contato permanente com a curva plana C.
• A reta r que se move é denominada geratriz e a 
curva C é a diretriz da superfície cilíndrica.
• Ex:
– Diretriz: Parábola
– Equação da superfície cilíndrica parabólica:
– Geratriz: paralela ao eixo z
yx 22 
yx 22 
De modo geral:
Diretriz: circunferência, elipse, hipérbole ou 
parábola.
Superfície: circular, elíptica, hiperbólica ou 
parabólica.
Circular ou elíptica Hiperbólica Parabólica