Avaliação Final - Estruturas Algebricas

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Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada 
1. Estudamos as relações binárias e suas propriedades, em particular, as relações 
simétricas. A seguir, temos quatro relações definidas sobre o conjunto A = {1, 3, 5}, 
sendo que apenas uma delas é simétrica. Assinale a alternativa CORRETA que 
indica esta relação: 
 
 a) Somente a opção IV está correta. 
 b) Somente a opção I está correta. 
 c) Somente a opção II está correta. 
 d) Somente a opção III está correta. 
 
2. Em meio à infinidade de nosso sistema numérico, temos diversos números com suas 
peculiaridades: entre eles, os números irracionais. O surgimento do conjunto dos 
números irracionais é proveniente de uma discussão acerca do cálculo da diagonal de 
um quadrado de lado 1, o que hoje nos parece elementar. Baseado nisto, sejam a e b 
números irracionais quaisquer, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para 
as falsas: 
 
( ) a·b é um número irracional. 
( ) a + b é um número irracional. 
( ) a * b pode ser um número irracional. 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) F - F - F. 
 b) V - F - V. 
 c) F - F - V. 
 d) V - V - F. 
 
3. Para desenvolver a matemática hoje estudada, inúmeras mudanças na organização de 
todos os conceitos matemáticos foram necessárias. A concepção dos conjuntos 
numéricos recebeu maior rigor em sua construção com Georg Cantor, que pesquisou 
a respeito do número infinito. Cantor iniciou diversos estudos sobre os conjuntos 
numéricos, constituindo, assim, a teoria dos conjuntos. Em especial, os conjuntos dos 
números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. Sobre estes conjuntos, 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas e assinale a alternativa 
que apresenta a sequência CORRETA: 
 
 a) V - V - F - F - F. 
 b) V - V - F - V - V. 
 c) V - F - F - F - V. 
 d) F - V - V - F - V. 
 
4. A teoria do resto é uma proposição matemática que generaliza o resto, ou a quantia 
restante depois de um processo de divisão, apresentando uma relação entre os valores 
do divisor e do dividendo. Considerando o Teorema do Resto, quanto aos possíveis 
restos da divisão de P(x) por D(x), analise as sentenças a seguir e assinale a 
alternativa CORRETA: 
 
 a) Somente a sentença II está correta. 
 b) Somente a sentença IV está correta. 
 c) Somente a sentença III está correta. 
 d) Somente a sentença I está correta. 
 
5. Conjunto pode ser definido como o agrupamento de elementos que possuem 
características semelhantes e, quando esses elementos são números, tais conjuntos 
são chamados de conjuntos numéricos. Agora, considere o conjunto numérico a 
seguir e assinale a alternativa CORRETA: 
 
 a) Quatro destes números são racionais. 
 b) Todos os números deste conjunto são números reais. 
 c) Há dois números naturais neste conjunto. 
 d) Apenas um número deste conjunto é irracional. 
 
6. Assim como os números reais, podemos dividir dois polinômios quaisquer, 
encontrando um quociente Q(x) e um resto R(x), nulo ou não. Dividindo-se o 
polinômio M(x) = (2x - 1)(x² + 9) pelo polinômio N(x) = x² - 3x + 1, obtém-se 
quociente Q(x) e resto R(x). Sendo assim, analise as sentenças a seguir: 
 
I) Q(1) = 8. 
II) R(2) = 40. 
III) R(-2) = -70. 
IV) Q(-1) = 3. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Somente a opção II está correta. 
 b) Somente a opção IV está correta. 
 c) Somente a opção I está correta. 
 d) Somente a opção III está correta. 
 
7. O conjunto dos polinômios de grau n possui estrutura de anel, ou seja, existem duas 
operações binárias definidas sobre ele que obedecem a certas propriedades. Neste 
contexto, analise as sentenças a seguir e assinale a alternativa que corresponde a P(x) 
+ Q(x), onde: 
 
 a) Somente a opção III está correta. 
 b) Somente a opção IV está correta. 
 c) Somente a opção I está correta. 
 d) Somente a opção II está correta. 
 
8. Ao trabalhar com números naturais, podemos administrar o processo de cálculo 
mediante certas propriedades. Em particular, a operação de multiplicação possui uma 
propriedade chamada distributiva. Sobre a propriedade distributiva da multiplicação 
em relação à adição, com m, n e p reais, assinale a alternativa CORRETA: 
 a) m·(n + p) = m·n + m·p. 
 b) m+ (n·p) = (m+ n)·p. 
 c) (m·n) + p = m·p + n·p. 
 d) m+ (n·p) = (m+ n)·(m + p). 
 
9. O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer polinômio pode ser reescrito 
como um produto de polinômios de grau 1, onde suas raízes ocupam um lugar de 
destaque. O polinômio P(x) = 2x³ - 6x² + 8x - 24, possui -2i, 2i e 3 como raízes. 
Então, pelo Teorema da Decomposição, podemos escrever P(x) como: 
 a) 2·(x² + 4)·(x + 3). 
 b) 2·(x² + 4)·(x - 3). 
 c) 2·(x² - 4)·(x + 3). 
 d) 2·(x² - 4)·(x - 3). 
 
10. Durante o ensino dos números inteiros no 7º ano do Ensino Fundamental, um dos 
principais problemas é a introdução de um novo conceito nunca antes visto no 
conjunto dos números naturais. O docente, neste momento, antes de apresentar os 
valores propriamente ditos, deve elencar uma série de situações em que observamos 
a necessidade de se obter valores "abaixo de zero". Sobre aqueles que podem 
apresentar valores negativos, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as 
falsas: 
 
( ) Temperatura. 
( ) Aceleração. 
( ) Tempo. 
( ) Altitude. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) V - V - F - F. 
 b) V - F - F - F. 
 c) F - F - V - V. 
 d) V - V - F - V.