Cálculo avançado_ números complexos e equações diferenciais

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2019
1a Edição
CálCulo AvAnçAdo: 
números Complexos e 
equAções diferenCiAis
Profa. Jaqueline Luiza Horbach
Prof. Luiz Carlos Pitzer
Copyright © UNIASSELVI 2019
Elaboração:
Profa. Dra. Jaqueline Luiza Horbach
Prof. Me. Luiz Carlos Pitzer
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
H811c
 Horbach, Jaqueline Luiza
Cálculo avançado: números complexos e equações diferenciais. / Jaqueline 
Luiza Horbach; Luiz Carlos Pitzer. – Indaial: UNIASSELVI, 2019.
 217 p.; il.
 ISBN 978-85-515-0294-5
1. Cálculo avançado. – Brasil. 2. Números complexos. – Brasil. 
3. Equações diferenciais. – Brasil. I. Pitzer, Luiz Carlos II. Centro 
Universitário Leonardo Da Vinci.
CDD 515
III
ApresentAção
Prezado acadêmico! Bem-vindo à disciplina de Cálculo Avançado: 
Números Complexos e Equações Diferenciais. Neste livro iremos estender os 
assuntos que você já estudou nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral 
e Equações Diferenciais. Este campo do conhecimento tem aplicabilidade em 
diversas áreas do conhecimento como em mecânica dos fluidos, eletrostática, 
entre outras. Você deve se sentir curioso e instigado a pesquisar outros 
materiais para relembrar e completar seu aprendizado. 
Este material está dividido em três unidades, que abordam situações 
envolvendo funções complexas e equações diferenciais. Na primeira unidade 
apresentaremos os conceitos introdutórios de funções complexas, iremos 
relembrar a definição de um número complexo e estudar as principais funções 
complexas e então desenvolveremos os conceitos de limites e continuidade 
de funções de uma varável complexa. 
Na Unidade 2 iremos continuar o estudo das funções complexas, 
entendendo o conceito de derivada e integral de funções complexas e com 
o auxílio desses conceitos definir funções analíticas, funções que possuem 
características e propriedades muito interessantes. 
Já na sequência, Unidade 3, iremos apresentar três métodos de 
resolução para equações diferenciais. 
 
Sabemos, acadêmico, que a disciplina de final de curso e você já 
deve saber que existem fatores importantes para o seu bom desempenho, 
mas sempre é bom relembrar alguns deles, como a disciplina, organização e 
um horário de estudos pré-definido, que são imprescindíveis para que você 
obtenha sucesso. Em sua caminhada acadêmica, você é quem faz a diferença. 
Como todo texto matemático, por vezes denso, você necessitará de papel, 
lápis, borracha, calculadora, muita concentração e dedicação. Aproveitando 
esta motivação vamos iniciar a leitura do livro. A melhoria constante deve 
ser o objetivo de todo acadêmico.
Esperamos, que ao final do estudo, você consiga notar a evolução do 
seu entendimento matemático, e consiga aplicar os conhecimentos na sua área 
de atuação. Desta forma, a disciplina pretende oportunizar a compreensão 
da construção dos conhecimentos aqui trabalhados e servir de subsídio para 
os conhecimentos subsequentes.
Bons estudos!
Profª. Dra. Jaqueline Luiza Horbach
Prof. Me. Luiz Carlos Pitzer
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto 
para você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
V
VI
VII
UNIDADE 1 – FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS ............................................................. 1
TÓPICO 1 – NÚMEROS COMPLEXOS .............................................................................................. 3
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 3
2 HISTÓRIA DOS NÚMEROS COMPLEXOS .................................................................................. 3
3 A UNIDADE IMAGINÁRIA .............................................................................................................. 6
4 FORMA ALGÉBRICA DOS NÚMEROS COMPLEXOS .............................................................. 8
5 OPERAÇÕES NA FORMA ALGÉBRICA ........................................................................................ 9
6 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA ................................................................................................. 12
7 FORMA TRIGONOMÉTRICA OU POLAR DOS NÚMEROS COMPLEXOS ........................ 15
8 OPERAÇÕES NA FORMA TRIGONOMÉTRICA ........................................................................ 17
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 24
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 26
TÓPICO 2 – FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS ............................. 27
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 27
2 FUNÇÕES POLINOMIAIS E RACIONAIS .................................................................................... 27
3 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E TRIGONOMÉTRICAS ............................................................... 32
3.1 FUNÇÃO EXPONENCIAL ........................................................................................................... 33
3.2 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ............................................................................................... 36
4 FUNÇÕES HIPERBÓLICAS .............................................................................................................. 38
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................ 46
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 47
TÓPICO 3 – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES COMPLEXAS ................................... 49
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 49
2 LIMITE DE FUNÇÕES COMPLEXAS .............................................................................................. 49
3 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES COMPLEXAS .......................................................................... 53
LEITURA COMPLEMENTAR............................................................................................................... 55
RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................ 66
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 68
UNIDADE 2 – OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM ......................................................................... 69
TÓPICO 1 – DERIVADAS DE FUNÇÕES COMPLEXAS ............................................................... 71
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 71
2 DERIVADA DE FUNÇÕES COMPLEXAS ...................................................................................... 71
3 EQUAÇÕES DE CAUCHY-RIEMANN ............................................................................................ 77
4 FUNÇÕES ANALÍTICAS ................................................................................................................... 83
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 86
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 88
sumário
VIII
TÓPICO 2 – INTEGRAL DE FUNÇÕES ANALÍTICAS . ..............................................................91
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................91
2 PARAMETRIZAÇÃO DE CURVAS NO PLANO REAL .............................................................91
3 CURVAS NO PLANO COMPLEXO ................................................................................................95
4 INTEGRAÇÃO ....................................................................................................................................103
4.1 INTEGRAL DEFINIDA .................................................................................................................103
4.2 INTEGRAL DE CAMINHO .........................................................................................................105
5 TEOREMA DE CAUCHY-GOURSAT ............................................................................................112
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................114
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................116
TÓPICO 3 – FUNÇÕES HARMÔNICAS ..........................................................................................119
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................119
2 FÓRMULAS INTEGRAIS DE CAUCHY .......................................................................................119
3 FUNÇÕES HARMÔNICAS .............................................................................................................122
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................128
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................137
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................138
UNIDADE 3 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ...................................................................................139
TÓPICO 1 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS – RESOLUÇÕES .......................................................141
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................141
2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ...........................................................................................................142
3 SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ...................................................................144
4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM .............................................................147
5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM .......................................150
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................153
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................154
TÓPICO 2 – SÉRIE DE POTÊNCIA ...................................................................................................155
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................155
2 SÉRIE DE POTÊNCIA ......................................................................................................................155
3 SÉRIES DE TAYLOR E MACLAURIN ..........................................................................................161
4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ..........................................................................................................162
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................168
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................169
TÓPICO 3 – SÉRIE DE FOURIER.......................................................................................................171
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................171
2 SÉRIE DE FOURIER ...........................................................................................................................171
3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ..........................................................................................................182
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................189
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................190
TÓPICO 4 – TRANSFORMAÇÃO DE LAPLACE ..........................................................................193
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................193
2 TRANSFORMADA DE LAPLACE ..................................................................................................193
3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ..........................................................................................................200
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................203
RESUMO DO TÓPICO 4......................................................................................................................214
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................215
REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................217
1
UNIDADE 1
FUNÇÕES DE VARIÁVEIS 
COMPLEXAS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você será capaz de:
• definir números complexos;
• definirfunções de variáveis complexas;
• relacionar números complexos com funções trigonométricas hiperbólicas;
• definir e calcular limite de funções complexas;
• verificar a continuidade de funções complexas.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No final de cada um deles, você 
encontrará atividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – NÚMEROS COMPLEXOS
TÓPICO 2 – FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS
TÓPICO 3 – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES COMPLEXAS
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
NÚMEROS COMPLEXOS
1 INTRODUÇÃO
Neste primeiro momento queremos recordar um assunto comumente 
estudado no ensino médio e que será importante para o desenvolvimento dos 
próximos tópicos, o estudo dos números complexos. Mesmo que a existência dos 
números complexos já tenha sido provada a muito tempo, eles continuam sendo 
estranhos para nós, já que eles não têm uma relação tão óbvia com o mundo real 
como os números reais.
Iniciaremos nossos estudos dos números complexos falando da parte 
histórica do seu surgimento e daremos continuidade com o desenvolvimento 
algébrico e sua representação gráfica. Veremos que os números complexos 
surgiram de uma aplicação indireta do nosso dia a dia e iremos perceber que os 
números complexos têm uma relação muito íntima com o plano cartesiano.
Caro acadêmico! Vamos, então, dar início aos estudos deste material, que 
trará uma contribuição significativa para você, nos estudos matemáticos.
2 HISTÓRIA DOS NÚMEROS COMPLEXOS
Algumas pessoas acreditam que o surgimento dos números complexos 
se deu nos estudos das equações algébricas de segundo grau. Todavia, esta 
afirmação, segundo historiadores, está equivocada. Quando resolvida a equação 
e não encontrada solução real, simplesmente admitiam que não havia solução, 
pois sempre buscavam uma solução possível para o problema real.
O surgimento dos números complexos está vinculado à resolução de 
problemas algébricos de terceiro grau. Tudo começa com um matemático italiano 
chamado Niccolo Fontana, que também é muito conhecido como Tartaglia.
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
4
FIGURA 1 – MATEMÁTICO ITALIANO NICCOLO FONTANA 
FONTE: <https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0b/Niccol%C3%B2_Tartaglia.jpg>. 
Acesso em: 1 out. 2018
A demonstração pode ser vista em: 
<https://rrgoncalez.wordpress.com/2012/09/08/deducao-da-formula-de-tartaglia-ferro-
cardano/>.
NOTA
Tartaglia desenvolveu um método que resolvia equações do 3º grau do tipo:
x3 + px + q = 0, com p e q números reais.
A fórmula pode ser observada a seguir:
2 3 2 3
3 q q p q q px = - + + + - - +
2 4 27 2 4 27
3
TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS
5
FIGURA 2 – MATEMÁTICO GIROLAMO CARDANO E SEU LIVRO “ARS MAGNA”
FONTE: <https://en.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano#/media/File:Jer%C3%B4me_Cardan.
jpg> e <https://en.wikipedia.org/wiki/Ars_Magna_(Gerolamo_Cardano)#/media/File:ArsMagna.
jpg>. Acesso em: 1 out. 2018.
O problema é que Cardano não obteve avanço nesse assunto, pois não 
conseguia dar significado à fórmula quando encontrava uma situação como a da 
equação a seguir:
x3 - 15x -4 = 0.
Pois ao colocar os dados da equação na fórmula, obtinha: 
3 3x = 2+ -121 + 2 - -121.
Isso não fazia sentido, pois mesmo sabendo que 4 era solução, a fórmula 
se mostrava ineficiente pelas raízes quadradas negativas. Entretanto, Rafael 
Bombelli, que foi um discípulo de Cardano, conseguiu resolver este problema, 
resolvendo a equação pelo caminho inverso. Apesar do sucesso de Bombelli, o 
método inverso não era simples, pois contava com vários artifícios algébricos. 
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
6
3 A UNIDADE IMAGINÁRIA
Cerca de 200 anos depois de Bombelli e Cardano, em 1777, o suíço Leonard 
Euler contribuiu com o tratamento dos números complexos, dando uma decisiva 
definição. Ele atribuiu a letra i para representar 1- , que tem por consequência:
i2 = - 1.
A esta representação, damos o nome de unidade imaginária.
FIGURA 3 – MATEMÁTICO LEONARDO EULER 
FONTE: <https://micro.magnet.fsu.edu/optics/timeline/people/euler.html>. Acesso em: 1 out. 2018.
Como consequência das demais potências da unidade imaginária, 
podemos perceber que estas são cíclicas. Veja alguns exemplos:
( )
( ) ( )
( )
( )
0
2
 i
 i
 i
 i i.i i i
 i i i
 i i i i i
 i i i
 i i i i i
1
2
3
4 2 2
5 4
6 4 2
7 6
1
1
1
1
1 1 1
1
1 1 1
1
=
=
= -
= = - = -
= = - - =
= = =
= = - = -
= = - = -








.
. .
. .
. .
. .
 
 1
 2
 3
i
i i
i
i i
0 1
1
=
=
= -
= -
 4
 5
 6
 7
i
i i
i
i i
1
1
=
=
= -
= -
TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS
7
Perceba que os valores possuem um ciclo que se repete de 4 em 4. Desta 
forma, podemos resolver as potências da unidade imaginária com números 
inteiros, utilizando as propriedades de potenciação para números reais e do fato 
que i 2 = -1 ou de que i 4 = 1. Vejamos um exemplo:
Exemplo: qual é o valor de i357.
Resolução: para resolver esse exemplo, vamos apresentar dois métodos. 
Método 1: utilizando do fato que i 2 = -1. Perceba que 357 pode ser escrito como:
357 = 2 . 178 + 1.
Logo
i 357 = i 2.178+1
= i 2.178 .i1
= (i2)178.i
= (-1)178.i
= (+1).i
= i.
Perceba que nesta ideia devemos representar a potência como sendo o 
produto do número dois com o seu consequente, pois, cairemos sempre em uma 
potência com (-1).
Método 2: utilizando do fato que i4 = 1. Perceba que 357 pode ser escrito como:
357 = 4 .89 + 1
Logo
i 357= i4.89+1
= i 4.89. i1
= (i4)89. i
= 189. i
= i.
De uma forma resumida, basta dividir a potência por 4 e utilizar o resto da 
divisão para expressar a potência da unidade imaginária, porém vale a observação 
de que podemos resolver o mesmo problema de outras formas, mas que ambas 
recaíram em potências com os números 1 ou -1.
Com a definição da unidade imaginária, podemos determinar agora a raiz 
quadrada de um número negativo, o que até então não fazia sentido. Além disso, 
qualquer raiz com índice par e radicando negativo possui resolução. Vejamos 
dois exemplos de resoluções de equações quadráticas, que até os estudos dos 
números reais, não havia solução.
Exemplo: resolva a equação x2 + 64 = 0.
Resolução: seguindo o passo a passo a seguir: 
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
8
x2 + 64 = 0.
x2 = - 64. 
x = ± √-64.
x = ± √64.(-1).
x = ± √64 . √-1.
x = ± 8i.
Portanto, a solução deste problema é s = {8i, - 8i}.
Exemplo: resolva a equação x2 - 6x +10 = 0
Resolução: utilizando da fórmula geral para equações quadráticas, 
teremos:
( ) ( )
b b ac x
a
x
 x
 x
i x
 x i
2
2
4
2
6 6 4 1 10
2 1
6 36 40
2
6 4
2
6 4
2
3 2
- ± -
=
- - ± - -
=
± -
=
± -
=
±
=
= ±
. .
.
Portanto, a solução deste problema é s = {3 + 2i,3 - 2i}.
4 FORMA ALGÉBRICA DOS NÚMEROS COMPLEXOS
Note que, no exemplo anterior, as raízes da equação quadrática apareceram 
em um formato curioso, composto de uma parte real e outra parte um número também 
real multiplicando a unidade imaginária. A esta forma de representar números, 
chamaremos de conjunto dos números complexos e denotaremos por  este conjunto.
Utilizando a letra z para representar um número complexo, denominamos 
de forma algébrica todo número com a seguinte característica, z = a + bi, em que a, 
b ∈  e i representa a unidade imaginária. O coeficiente a é denominado de parte 
real e que pode ser denotado por R e (z), enquanto e o coeficiente b é denominado 
de parte imaginária do número complexo e que pode ser denotado por Im(z).
Perceba que como a e b podemassumir qualquer número real, o conjunto 
dos números complexos contém o conjunto dos números reais: 
⊂  .
TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS
9
O conjunto dos números reais está contido no conjunto dos números 
complexos.
UNI
Veja alguns exemplos na tabela a seguir, de números complexos separados 
pela parte real e imaginária.
TABELA 1 – EXEMPLO DE NÚMEROS COMPLEXOS COM SUA PARTE REAL E IMAGINÁRIA
Número 
Complexo
Parte Real
Parte 
Imaginária
z = 2 + 3i 2 3
w = -4 -4 0
m = -5i 0 -5
FONTE: Os autores
Para números cujo valor da parte real for zero, chamaremos de imaginário 
puro. Para que dois números complexos sejam considerados iguais, tanto a parte 
real quanto a parte imaginária devem ser iguais.
5 OPERAÇÕES NA FORMA ALGÉBRICA
O procedimento para operar com os números complexos na forma 
algébrica é igual às operações realizadas com números reais, apenas tendo o 
cuidado das potências da unidade imaginária. No caso da soma (ou subtração) 
de z = a + bi com w = c + di, o procedimento decorre da seguinte forma:
z + w = (a+c) + (b+d) i
Assim, para realizar a soma de dois números complexos, basta juntar as 
partes reais e as partes imaginárias. Todas as propriedades podem ser verificadas:
a) Comutatividade 
z + w = w + z
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
10
b) Associatividade
( z + w) + m = z + (w + m)
c) Existência de elemento neutro
z + (0 + 0i) = z
d) Existência do elemento simétrico
z + (-z) = (0 + 0i) = 0
A representação -z representa o oposto do número complexo, basta invertermos 
os seus sinais, da parte real e da parte imaginária.
NOTA
A subtração não precisa ser definida, pois basta realizar o oposto do 
número complexo para torná-la uma soma. Para a multiplicação, o procedimento 
acontece de forma análoga ao realizado em binômios multiplicados, onde 
realizamos a distributividade. Sendo z = a + bi e w = c + di, a multiplicação fica, 
então, assim definida:
z . w = (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi 2
Como i2 = -1, então:
z . w = (ac - bd) + (ad + bc) i.
Propriedades válidas:
a) Comutatividade
z.w = w.z
b) Associatividade
(z . w) . m = z .(w. m)
c) Existência de elemento neutro
z . (1 + 0i) = z
TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS
11
d) Existência de elemento inverso ou inverso multiplicativo
( )z i
z
. = + =1 1 0 1
Exemplo: Seja z = 4 - i, w = 2i e m = - 2 - 3i, determine:
a) z + w - m
b) w + z . m
Resolução a): 
z + w - m = 4 - i + 2i - (-2 - 3i)
 = 4 - i + 2i + 2 + 3i
= 6 + 4i.
Resolução b):
w + z . m = 2i + (4 - i) . (-2 -3i)
 = 2i - 8 -12i + 2i +3i2
 = 2i - 8 - 12i + 2i - 3
= -11 -8i.
Para resolver divisões entre números complexos, utilizaremos de uma 
estratégia algébrica que possui o nome de conjugado. Seja um número complexo 
z = a + bi, chamaremos e representaremos o conjugado de z por z a bi= - .
Exemplo: seja z = 4 - 2i, w = 5i e m = -2, determine o conjugado de cada um:
Resolução:
z = 4 - 2i ⇒ z = 4 + 2i
w = 5i w = -5i
m = -2 m = - 2.
⇒
⇒
É intuitivo perceber que para determinar o conjugado de um número 
complexo, basta trocar o sinal da parte imaginária.
Nas operações com conjugados, são válidas as seguintes propriedades:
a) 
( ) ( )
n
n
z w z w
z z
z w z w
z z
. .=
=
+ = +
b) 
c) 
d) 
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
12
e) Se z é real, então z z=
Como já comentado, o conjugado de um número complexo tem um papel 
importante para resolver divisões. O fato decorre, pois, sempre que multiplicamos 
um número complexo pelo seu conjugado, obtemos um número real:
( ) ( ) 2 2z . z = a + bi . a - bi = a + b .
 
Deste modo, para resolver uma divisão que apresente a parte imaginária, 
basta multiplicar o numerador e denominador da divisão pelo conjugado do 
denominador.
Exemplo: seja z = 2 - 3i e w = 1 + 2i, determine a divisão de z por w:
Resolução:
z i 
w i
i i
i i
i i i 
i 
i 
2
2 2
2 3
1 2
2 3 1 2.
1 2 1 2
2 4 3 6
1 2
4 7
5
4 7 .
5 5
-
=
+
 -   - 
=    + -   
- - +
=
+
- -
=
= - -
Para a operação de potenciação, poderíamos aplicar na forma de 
multiplicações sucessivas, porém nem sempre será conveniente, logo, para estes 
casos não convenientes e para determinação de raízes de números complexos, 
veremos um método mais eficiente no decorrer deste tópico.
6 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA
Os números complexos possuem uma representação geométrica semelhante 
ao plano cartesiano. A diferença é que em vez de termos os eixos ortogonais 
chamados de abscissa e ordenada, teremos respectivamente, um eixo real e outro 
imaginário. O nome dado ao plano complexo é Plano de Argand-Gauss.
Todo número complexo na forma z = a + bi, pode se associar a um ponto 
no Plano de Argand-Gauss pelas coordenadas z = (a,b). A este ponto chamamos 
de imagem ou afixo de z.
TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS
13
GRÁFICO 1 – PLANO DE ARGAND-GAUSS
FONTE: Os autores
Como base na representação geométrica, surgem dois importantes 
conceitos, que são o módulo e o argumento do número complexo. No caso do 
módulo, este tem uma interpretação bem simples, compreende a distância da 
origem do Plano de Argand-Gauss até o afixo do número complexo. Normalmente 
é denotado por z ou pela letra grega ρ (rô).
GRÁFICO 2 – PLANO DE ARGAND-GAUSS
FONTE: Os autores
Para determinar o módulo, basta perceber pela ilustração anterior, que 
surge um triângulo retângulo. Então, basta utilizar o Teorema de Pitágoras para 
determinar uma expressão para o módulo
a b2 2 .ρ = +
b
Re (z)
z = (a, b)
a
ρ
lm(z) 
b
Re (z)a
z = (a, b)
lm(z) 
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
14
Exemplo: determine o módulo do número complexo z = 4 - 6i.
Resolução: sendo a = 4 e b = -6
( )
 a b
 
 
 
2 2
224 6
16 36
52
2 13
ρ = +
= + -
= +
=
=
Com uma definição tão elementar quanto a do módulo, o argumento 
compreende o arco delimitado pelo eixo real positivo ao segmento que une o 
afixo à origem do plano no sentido anti-horário. Denotaremos o argumento pela 
letra grega θ (teta).
GRÁFICO 3 – PLANO DE ARGAND-GAUSS
b
θ
Re (z)
z = (a, b)
Im (z)
a
ρ
FONTE: Os autores 
Utilizando as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente, podemos 
montar as seguintes expressões:
b a bsin cos tan 
a
.θ θ θ
ρ ρ
= = =
Normalmente, o argumento está representado em radiano ou em graus. 
Cabe ao leitor, por assuntos já estudados, ser capaz de operar com as duas 
unidades angulares.
Exemplo: determine o argumento do número complexo z = - 2 + 2i.
TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS
15
FONTE: Os autores 
Resolução: como a = - 2 e b = 2 é intuitivo perceber que a localização do 
afixo de z é no 2º quadrante.
GRÁFICO 4 – PLANO DE ARGAND-GAUSS
θ
Re (z)-2
z = (-2, 2)
Im (z)
2
ρ
Para não precisar determinar o módulo, utilizaremos a razão trigonométrica 
da tangente.
b
a
2tan 1.
2
θ = = = -
-
Quais são as menores determinações de arcos, cujo valor da tangente 
corresponde a -1?
Ou é o arco de 135° ou 315°, porém como o afixo apresenta-se no 2º 
quadrante, podemos concluir que o argumento é:
rad3135 .
4
πθ = ° =
7 FORMA TRIGONOMÉTRICA OU POLAR DOS NÚMEROS 
COMPLEXOS
Uma forma muito importante para representar os números complexos 
é a trigonométrica ou polar. Para compreendermos como esta representação 
está definida, recordaremos alguns pontos considerados no item estudado 
anteriormente:
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
16
b bsin .sinθ ρ θ
ρ
= ⇒ =
e
a acos .cos .θ ρ θ
ρ
= ⇒ =
Trocando as duas considerações na forma algébrica,temos:
( )
 z a bi
z i
z i
 z cis
.cos . .sin
. cos .sin
. .
ρ θ ρ θ
ρ θ θ
ρ θ
= +
= +
= +
=
Esta representação é o que chamamos de forma trigonométrica ou 
polar. Nesta representação, as operações de multiplicação, divisão, potenciação 
e radiciação ficam mais simples de realizar. Antes de começarmos a mostrar 
como realizar tais operações, vejamos um exemplo que transforma um número 
complexo na forma algébrica para a trigonométrica.
Exemplo: determine a forma trigonométrica do número complexo 
z i1 3= - .
Resolução: para determinar a forma trigonométrica, devemos determinar 
o módulo e o argumento do número complexo. Como a = 1 e b 3= - é intuitivo 
perceber que a localização do afixo de z é no 4º quadrante. Então, utilizaremos a 
razão trigonométrica da tangente.
b
a
3tan 3.
1
θ -= = = -
Para tangente ser 3- no quarto quadrante, o argumento deve ser:
rad5300 .
3
πθ = ° =
O módulo terá valor correspondendo a:
( )
 a b
 
 
2 2
2
21 3
1 3
2.
ρ = +
= + -
= +
=
TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS
17
Portanto, a representação trigonométrica será:
z i
 z cis
5 52. cos .sin
3 3
52. .
3
π π
π
 
= + 
 
 
=  
 
Em casos em que for necessário realizar o processo contrário 
(trigonométrico para algébrico), basta determinar os valores de seno e cosseno e 
realizar a distributiva do módulo.
8 OPERAÇÕES NA FORMA TRIGONOMÉTRICA
Para realizar as operações de multiplicação, divisão, potenciação e 
radiciação, a forma trigonométrica mostra-se bem útil. A simplicidade se dá 
nas operações que devem ser feitas, transformando multiplicações em somas, 
divisões em subtrações, potenciações em multiplicações e radiciações em divisões, 
semelhante ao que acontece com as funções logarítmicas.
Utilizaremos, para as considerações a seguir, dois números complexos:
( )
( )
z i
z i
1 1 1 1
2 2 2 2
. cos .sin
. cos .sin
ρ θ θ
ρ θ θ
= +
= +
• Multiplicação:
( ) ( )
( )
( )
( )
z z i i
 i i i
 i
 i
1 2 1 1 1 2 2 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
. . cos .sin . . cos .sin
. . cos .cos cos . .sin .sin .cos .sin .sin
. . cos .cos sin .sin . sin .cos cos .sin
. . cos .s
ρ θ θ ρ θ θ
ρ ρ θ θ θ θ θ θ θ θ
ρ ρ θ θ θ θ θ θ θ θ
ρ ρ θ θ
= + +
= + + +
 = - + + 
= + + ( )1 2in .θ θ + 
Podemos generalizar a multiplicação para:
( ) ( )nz z n . n i n1 1 1 1... ... cos ... .sin ... .ρ ρ θ θ θ θ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + + + + + 
cosseno da soma de dois arcos seno da soma de dois arcos
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
18
• Divisão:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
iz
z i
i i
 
i i
i i
 
i
 
1 1 11
2 2 2 2
1 1 2 21
2 2 2 2 2
2
1 1 2 1 1 2 1 2
2 2
2 2 2
1 2 11
2
. cos .sin
. cos .sin
cos .sin cos .sin
. .
cos .sin cos .sin
cos .cos .cos .sin .cos .sin .sin
.
cos sin
cos .cos .cos .s
.
ρ θ θ
ρ θ θ
θ θ θ θρ
ρ θ θ θ θ
ρ θ θ θ θ θ θ θ
ρ θ θ
θ θ θρ
ρ
+
=
+
+ -
=
+ -
- -
=
+
-
=
( )
( ) ( )
i i
 i
2
2 1 2 1 2
2 2 2
2
1
1 2 1 2
2
in . sin .cos .sin .sin
cos sin
. cos .sin .
θ θ θ θ θ
θ θ
ρ
θ θ θ θ
ρ
+ -
+
 = - + - 
Algumas considerações importantes que podemos perceber sobre as 
operações na forma trigonométrica é que no caso da multiplicação de números 
complexos, basta multiplicar os módulos e somar os argumentos e, de forma 
análoga, na divisão, dividir os módulos e subtrair os argumentos. Em uma visão 
geométrica, a multiplicação e divisão podem ser compreendidas como a rotação 
do número complexo que está sendo operado pelo outro e a ampliação ou a 
redução do seu módulo (homotetia). Veja, no exemplo a seguir, o vetor z sendo 
multiplicado pelo vetor w.
cosseno da diferença de dois arcos | seno da diferença de dois arcos
igual a 1
GRÁFICO 5 – REPRESENTAÇÃO DA MULTIPLICAÇÃO DE DOIS NÚMEROS COMPLEXOS 
w
θ
θ
Re (z)
z . w
z
Im (z)
FONTE: Os autores
TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS
19
Perceba que z rotacionou θ (o argumento de w) e alterou o seu módulo.
DICAS
• Potenciação:
A fórmula que será apresentada é atribuída ao matemático francês 
Abraham de Moivre (1667-1754), chamada de 1ª Fórmula de Moivre. Utilizando 
recursivamente da multiplicação:
( ) ( )nz z n . n i n1 1 1 1... ... cos ... .sin ... .ρ ρ θ θ θ θ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + + + + + 
Caso todos os números complexos sejam os mesmos, teremos:
( ) ( )z z . i... ... cos ... .sin ...ρ ρ θ θ θ θ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + + + + + 
 
( ) ( )n nz . n i ncos . .sin . .ρ θ θ = + 
A demonstração pode ser feita utilizando indução matemática.
• Raízes complexas
Antes de determinarmos uma fórmula para as raízes dos números 
complexos, vamos considerar a seguinte colocação:
“para todo z ∈ , existe um w ∈ tal que zn = w com n∈ , n > 1”.
Sendo:
( )
( )
z i
w r i
. cos .sin
. cos .sin
ρ θ θ
α α
= +
= +
n vezes n vezes n vezes n vezes
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
20
Perceba que zn = w está implicando 
nz= w .
NOTA
Então:
( ) ( ) ( ). cos .sin . cos .sin .
n
n
z w
n i n r iρ θ θ α α
=
 + = + 
O que implica:
2 .2 . , .
n rr r
kn k k
n
ρ ρ
α πθ α π θ
= ⇒ =
+
= + ∈ ⇒ =
Quando atribuímos a expressão 2 .kπ , estamos considerando todos os 
arcos possíveis.
DICAS
Assim:
2 . 2 .. cos .sin .
n n
n
k
z w z w
k kz r i
n n
α π α π
= ⇒ =
  +   + 
= +    
    
Perceba que cada zk proporcionará uma raiz, porém haverá apenas n 
raízes, como pode ser notado a seguir.
Para k = 0
0
2 .0 2 .0. cos .sinnz r i
n n
α π α π  +   + 
= +    
    
TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS
21
0 . cos .sin .
nz r i
n n
α α    
= +    
    
Para k = 1
1
1
2 .1 2 .1. cos .sin
2 2. cos .sin .
n
n
z r i
n n
z r i
n n
α π α π
α π α π
  +   + 
= +    
    
  +   + 
= +    
    
Repetindo o processo n vezes. 
Para k = n
n
n
n
n
n nz r i
n n
z r i
n n
2 . 2 .. cos .sin
. cos 2 .sin 2 .
α π α π
α απ π
  +   + 
= +    
    
    
= + + +    
    
Note que em k = n, o argumento é congruente ao k = 0. Portanto, de 0 até n - 1, 
haverá n raízes. Fica então estabelecido que para um certo ( ). cos .sinz iρ θ θ= + , 
a n z fica determinado por:
{ }2 . 2 .. cos .sin , 0,1,..., 1 .n nk
k kz z i k n
n n
θ π θ πρ
  +   + 
= = + ∈ -    
    
Esta fórmula é conhecida como a 2ª Fórmula de Moivre.
Exemplo: determine a raiz quarta do número complexo:
z i16. cos .sin .
3 3
π π 
= + 
 
Resolução: utilizando da 2ª Fórmula de Moivre, temos que
{ }4 4
2 . 2 .
3 316. cos .sin , 0,1,2,3 .
4 4k
k k
z z i k
π ππ π
    
+ +    
= = + ∈    
            
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
22
Para k = 0
0
0
2 .0 2 .0
3 32. cos .sin
4 4
2 cos .sin .
12 12
z i
z i
π ππ π
π π
    
+ +    
= +    
            
    
= +    
    
Para k = 1
1
1
1
2 .1 2 .1
3 32. cos .sin
4 4
7 72 cos .sin
3 3
4 4
7 72 cos .sin .
12 12
z i
z i
z i
π ππ π
π π
π π
    
+ +    
= +    
            
    
    
= +    
            
    
= +    
   
Para k = 2
2
2
2
2 .2 2 .2
3 32. cos .sin
4 4
13 132 cos .sin
3 3
4 4
13 132 cos .sin .
12 12
z i
z i
z i
π ππ π
π π
π π
    
+ +    
= +    
            
    
    
= +    
            
    
= +    
    
TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS
23
Para k = 3
3
3
3
2 .3 2 .3
3 32. cos .sin
4 4
19 192 cos .sin
3 3
4 4
19 192 cos .sin .
12 12
z i
z i
z i
π ππ π
π π
π π
    
+ +    
= +    
            
    
    
= +    
            
    
= +    
    
Portanto, o conjunto solução na forma trigonométrica será:
2. cos .sin ,
12 12
7 72. cos .sin ,
12 12
13 132. cos .sin ,
12 12
19 192. cos .sin
12 12
i
i
s
i
i
π π
π π
π π
π π
     
+     
     
      +         =  
     +          
     
+     
     
24
Neste tópico, você estudou que:
• A unidade imaginária é definida por 1i = - e i2 = -1.
• As potências sobre a unidade imaginária acontecem de forma cíclica, variando 
entre 1, i, -1 e -i. 
• Os números complexos na forma algébrica possuem a seguinte característica, z 
= a + bi, em que a, b ∈  e i representam a unidade imaginária. O coeficiente a é 
denominado de parte real e denotado por Re(z), e o coeficiente b é denominado 
de parte imaginária e será denotado por Im(z).
• Valem as seguintes igualdades:
i0 = 1 i4 = 1
i1 = i i5 = i
i2 = -1 i6 = -1
i3 = -i i7 = -i
• As operações de soma, subtração, multiplicação e potenciação na forma 
algébrica procedem da mesma forma que a das operações entre binômios, 
cuidando apenas da potência da unidade imaginária.
• O Plano de Argand-Gauss é o plano em que representamos os números 
complexos com um eixo horizontal dos reais e vertical da parte imaginária.
• Com a representação no Plano de Argand-Gauss:
o Os afixos (pontos) representam a posição do número complexo neste espaço.
o A distância do afixo até a origem chamamos de módulo. ( )z ou ρ .
2 2a bρ = +
o O arco delimitado pelo eixo real positivo ao segmento que une o afixo à 
origem do plano no sentido anti-horário chamamos de argumento. (θ)
sin cos tanb a b 
a
θ θ θ
ρ ρ
= = =
RESUMO DO TÓPICO 1
25
• A representação trigonométrica ou polar é determinada por:
( ). cos .sin
.
z i
 z cis
ρ θ θ
ρ θ
= +
=
• As operações na forma trigonométricas ficaram assim definidas:
 o Multiplicação
( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2. . . cos .sin .z z iρ ρ θ θ θ θ = + + + 
 o Divisão
( ) ( )1 1 1 2 1 2
2 2
. cos .sin .
z
i
z
ρ
θ θ θ θ
ρ
 = - + - 
 o Potenciação
( ) ( ). cos . .sin . .n nz n i nρ θ θ = + 
 o Radiciação
{ }2 . 2 .. cos .sin , 0,1,..., 1 .n nn
k kz z i k n
n n
θ π θ πρ
  +   + 
= = + ∈ -    
    
26
Acadêmico! O processo de entendimento total do conteúdo finaliza 
aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos explorados 
neste tópico. Bom estudo!
1 Determine as raízes da função f:  ∈  definida por f (x) = x2 + 4x + 5.
2 A forma algébrica do complexo: z = 3 




 +
6
7.
6
7cos ππ seni é? 
3 O inverso do número complexo z = 2 + i é?
4 Determine o número complexo z tal que: z = 3i97 + 2i75 + 9i18.
5 A forma trigonométrica (ou polar) do número complexo ( )2
1
1
i
i
-
+
 
tem 
argumento (em graus e radinhos) igual a?
6 Se m(cos θ + i sen θ) = 1 + i, e 0 πθ 2≤≤ , então os valores respectivos de m e 
θ (em radianos) são?
7 Calcule o número complexo: i126 + i-126 + i31 - i180 .
8 Considere, z1 = – 3 + 3i e z2=4 + 2i A representação polar de 1 2z z+ é?
9 A forma algébrica do complexo, z = 2 ⋅ 




 +
6
7.
6
7cos ππ seni , é?
10 Da questão 2, determine na forma trigonométrica z20.
11 Determine a raiz cúbica do número complexo:
3 327. cos .sin .
4 4
z iπ π = + 
 
AUTOATIVIDADE
27
TÓPICO 2
FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS 
COMPLEXAS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Caro acadêmico, agora que já relembramos o que são números complexos e 
suas principais propriedades, vamos estender nosso conhecimento apresentando 
algumas funções complexas. As funções que estudaremos são funções conhecidas, 
porém o domínio dessas funções serão os números complexos e não os números 
reais, como estamos acostumados. No final desse tópico iremos introduzir 
funções novas e que só fazem sentido no contexto dos números complexos, são as 
funções trigonométricas hiperbólicas. No Tópico 3 vamos trabalhar com limites 
e continuidades de funções complexas, por isso é importante que você entenda 
muito bem todas as funções trabalhadas neste tópico, elas serão a base para o 
estudo do Tópico 3.
2 FUNÇÕES POLINOMIAIS E RACIONAIS
Neste primeiro subtópico iremos abordar funções elementares mais 
simples, funções a que já estamos acostumados, mas agora com domínio de 
definição os números complexos.
Sempre que estivermos falando de funções complexas, iremos usar a 
seguinte notação
 
f: 

 → 
z  f (z)
mesmo que a função tenha como imagem um número real. 
Como no tópico anterior aprendemos a somar, subtrair, multiplicar 
e dividir números complexos, então faz sentido operarmos com os números 
complexos, mesmo que um deles seja variável, assim temos algumas funções 
preliminares, com z ∈  a variável complexa:
 
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
28
1) Função constante: f (z) = a, a ∈  .
2) Função translação: f(z) = z + a, a ∈  .
3) Função rotação: f (z) = az, a ∈ 

.
4) Função n-ésima potência: f(z) = zn, n ∈ 

.
5) Função inversão: ( ) 1f z
z
= , com z ≠ 0.
Neste subtópico vamos estudar funções complexas que são combinações 
das anteriores.
Lembre-se de que quando começamos a estudar funções, primeiro 
aprendemos o que são funções constantes, funções afim, funções quadráticas e 
polinômios de grau n. Aqui nosso primeiro passo é entender o que é uma função 
constante no contexto dos números complexos. 
Seja a0 ∈  , dizemos que f (z) = a0 é uma função constante.
São exemplos de funções constantes:
a) f (z) = 2i 
b) f (z) = 3 - i 
Você pode observar que, independentemente do valor de z que 
considerarmos, o valor da função continua o mesmo. 
Vamos agora definir uma função polinomial de primeiro grau, dados a0 e 
a1 números complexos, dizemos que uma função polinomial complexa é da forma 
f (z) = a1z + a0
Um exemplo de função polinomial complexa do primeiro grau é f (z) =(2 
+ i)z - 7 - i . 
Vamos calcular o valor numérico da função f (z) =(2 + i)z + 7 - i em alguns 
pontos. No ponto z = 1 + i, temos que 
f (1 + i) = (2 + i)(1 + i) -7 -i
= 2 + 2i + i + i2 - 7 - i
= - 5 + 2 i + i2
= - 5 + 2i - 1 = - 6 + 2i.
No ponto z = 3 - i
f (3 - i) = (2 + i)(3 - i) - 7 - i
= 6 - 2i + 3i - i2 - 7 - i
= - 1 - i2
= - 1 + 1 = 0.
Como o valor numérico de f no ponto z = 3 - i é igual a zero, dizemos que 
z = 3 - i é raiz da função f.
TÓPICO 2 | FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS
29
Também podemos definir a parte real e parte imaginária de função 
complexa, da mesma maneira que de números complexos, no caso da função f(z) 
= (2 + i)z - 7 - i como z = x + iy podemos reescrever 
f (z) = (2 + i)(x + iy) - 7 - i
= 2x + 2yi + xi + i2y - 7 - i
= (2x - y - 7) + (2y + x - 1) i.
Portanto, a parte real da função f (z) é Re f (z) = 2x - y - 7 e a parte imaginária 
da função f(z) é Im f (z) = 2y + x -1.
Análogo ao que foi feito para polinômios reais, considere os númeroscomplexos a0, a1,..., an definimos o polinômio f:  de grau n da seguinte 
forma f (z) = anzn + an-1zn-1 + ... + a1z + a0 com z ∈  , ou seja, z = x + iy e x, y ∈ . Os 
números complexos a0,a1,...,an são chamados de coeficientes do polinômio f.
Quando estudamos funções, queremos e precisamos operar essas 
funções, usando as ideias de funções reais e as propriedades de adição, subtração, 
multiplicação e divisão de números complexos, podemos somar, subtrair, 
multiplicar e dividir funções complexas. 
Exemplo: considere os polinômios f (z) = z2 + 3iz + 4 - 3i e g(z) = 4z3 + (4 + i)
z2 + 2iz , calcule f + g, f - g e f . g.
Resolução: vamos calcular f + g
f(x) + g(x) = (z2 + 3iz + 4 - 3i) + (4z3 + (4 + i) z2 + 2iz)
= 4z3 + (1 + (4 + i)) z2 + (3i + 2i) z + 4 -3i
= 4z3 + (5 + i)z2 + 5iz + 4 -3i.
Agora, vamos calcular f - g
f(x) - g(x) = (z2 + 3iz + 4 - 3i) - (4z3 + (4 + i) z2 + 2iz)
= -4z3 + (1 - (4 + i)) z2 + (3i - 2i) z + 4 -3i
= 4z3 + (-3 + i)z2 + iz + 4 -3i.
E por último calcular f . g
f(x) . g(x) = (z2 + 3iz + 4 - 3i) . (4z3 + (4 + i) z2 + 2iz)
= z2 . 4z3 + z2.(4 + i) z2 + z2.2iz + 3iz . 4z3 + 3iz . (4 + i)z2 + 3iz . 2iz
+ 4 . 4z3 + 4 . (4 + i)z2 + 4 . 2iz - 3i . 4z3 - 3i . (4 + i)z2 - 3i . 2iz
=4z5 + (4 + i)z4 + 2iz3 + 12iz4 + (12i - 3) z3 - 6z2
+16z3 + (16 + 4i)z2 + 8iz - 12iz3 - (12i - 3) z2 + 6z 
=4z5 + (4 + i + 12i) z4 + (2i + 12i - 3 + 16 -12i)z3 + (- 6 + 16 + 4i - 12i + 3)z2 + (8i + 6)z 
=4z5 + (4 + 13i) z4 + (13 + 2i)z3 + (13 - 8i)z2 + (6 + 8i) z.
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
30
Para calcular a divisão de polinômios complexos, vamos usar o método 
da chave. 
Exemplo: considere os polinômios f(z) = 4z3 + (4 - 1) z2 + 2iz e g(x) = z2 + 2i, 
calcule f ÷ g.
Resolução: usando o método da chave, temos 
( )
( )
( ) ( )
z i z iz 
 z z 
 i z iz
 i z + i 
 iz i
3 2
3 3
2
2
4 4 2
4 4
4 8
4 2 8
6 2 8
+ - +
- -
- -
- - +
- + +
 
Com o auxílio dos polinômios complexos definidos no subtópico anterior, 
podemos agora definir o que são funções racionais complexas. Dados dois 
polinômios complexos g(z) e h(z), uma função é racional complexa é dada por 
( ) ( )( )
,
g z
f z
h z
= desde que h (z) ≠ 0.
Exemplo: calcule o valor numérico, quando z = 2 - i, da função racional
( ) .
1
z if z
z
-
=
+
Resolução: substituindo z = 2 - i na função, temos ( ) 2 2 22 .2 1 3
i i if i
i i
- - -
- = =
- + - 
Multiplicando no denominador e numerador pelo conjugado de 3 - i, 
temos que ( ) 2 2 3 6 2 6 2 8 4 42 . .
3 3 9 1 10 5
i i i i i if i
i i
- + + + + - -
- = = = =
- + +
Outra operação que podemos fazer com funções é compor duas funções. 
A mesma definição para funções reais vale para funções complexas. Dadas as 
funções complexas f: 

 → 

 e g: 

 → 

, definimos a composição de f com g 
da seguinte maneira:
f ° g (z) = f (g(z))
aqui é imprescindível que o domínio da função g seja igual à imagem de f 
para a definição ser verdadeira.
Exemplo: Calcule a f ° g e g ° f se f (z) = z2 + 3 - i e g (z) = z - i.
( )
2 2
4 4
z i
z i
+
+ -
TÓPICO 2 | FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS
31
Resolução: Note que 
f ° g (z) = f (g(z)) = f(z - i)
= (z - i)2 + 3 - i
= z2 - 2zi + 1 + 3 - i
= z2 - 2iz + 4 - i
e 
g ° f (z) = g (f(z)) = g(z2 + 3 - i)
= (z2 + 3 - i) - i
= z2 + 3 - 2i.
Você já deve ter percebido que fazer operações com funções complexas 
é igual a operar funções reais, o único cuidado que precisamos ter é com os 
números complexos que compõem a função complexa. Para as próximas funções 
complexas, podemos usar as operações de soma, subtração, multiplicação, 
divisão e composição, como já conhecemos das funções reais, quando não for 
igual, iremos apresentar a maneira de fazer.
Em relação às raízes de polinômios complexos, podemos afirmar que todo 
polinômio complexo de grau n tem no máximo n raízes complexas. E ainda mais, 
todo polinômio complexo de grau maior ou igual a 1 tem pelo menos uma raiz 
complexa, essa última afirmação é conhecida como o Teorema Fundamental da 
Álgebra, porém mostrar que essa afirmação é verdadeira não é tão simples, ela 
utiliza propriedades de funções complexas que ainda não estudamos. Você também 
irá perceber que encontrar as raízes de polinômios complexos pode ser trabalhoso.
Entendemos agora que o conjunto dos números complexos é um conjunto maior 
que os números reais e que contém todos números reais ( ⊂  ), com isso concluímos 
que os números complexos podem ser de três formas 
z = a + bi, z = bi e z = a 
 
com a e b números reais diferentes de zero.
ATENCAO
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
32
3 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E TRIGONOMÉTRICAS
Pode parecer estranho colocarmos, como título deste subtópico, funções 
exponenciais e trigonométricas, já que quando falamos de funções exponenciais 
e trigonométricas reais não encontramos relação alguma entre elas, porém 
quando trabalhamos com números reais, essas duas funções estão intimamente 
interligadas. Essa relação é chamada de Fórmula de Euler.
Leonhard Paul Euler foi um matemático e físico suíço do século XVIII, que 
contribuiu com várias áreas da matemática, como o cálculo e a teoria dos grafos.
NOTA
Iremos apresentar aqui a dedução da Fórmula de Euler, porém 
precisaremos de definições que usam séries de potência que iremos estudar 
melhor na Unidade 3. Existem definições diferentes para funções exponencial, 
seno e cosseno, uma delas é através de série de potência. Note que a série de 
potência que define a função exponencial tem todas as potências para x
2 3 4
1 ...
2! 3! 4!
x x x xe x= + + + + +
já a função cosseno só tem as potências pares
( )
2 4 6
cos 1 ...
2! 4! 6!
x x xx = - + + +
e a função seno só tem as potências ímpares
( )
3 5 7
...
3! 5! 7 !
x x xsen x x= - + + +
 
Observe que se calcularmos o valor de eix para x ∈  teremos a seguinte 
série de potência 
TÓPICO 2 | FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS
33
( ) ( ) ( )2 3 4
2 3 4 5
2 4 3 5
1 ...
2! 3! 4!
1 ...
2! 3! 4! 5!
1 ... ... .
2! 4! 3! 5!
ix
ix
ix
ix ix ix
 e ix
x x x x e ix i i
x x x xe i x
= + + + + +
= + - - + + -
   
= - + - + - + -   
   
Assim, podemos concluir a Fórmula de Euler eix = cos(x) + i sen(x).
Note que se x = π, temos cos(π) = 1 e sen (π) = 0 e a fórmula de Euler se reduz 
a eiπ = 1 + i . 0 ou eiπ = 1 ou eiπ - 1 = 0.
A última identidade é a identidade de Euler, mais conhecida, já que em uma mesma igualdade 
temos alguns dos números mais importantes da matemática 0, 1, e, π e i.
ATENCAO
Agora que já encontramos uma relação entre as funções exponencial, seno 
e cosseno, vamos estudar como elas se comportam quando trocamos a variável 
real por uma variável complexa.
3.1 FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Considere a variável z = x + iy, tal que x e y são reais. Então ez = ex eiy usando 
a Fórmula de Euler, temos que ez = ex(cos(y) + isen (y)).
Portanto a função exponencial complexa é definida por ez = ex(cos(y) + 
isen (y)) com x = Real(z) e y = Im(z).
Propriedade: o módulo de ez ez é ex com z = x + iy.
Demonstração: vamos calcular o módulo de ez
( ) ( )( ) ( ) ( )cos . cos .z x xe e y isen y e y isen y= + = +
Como ex > 0 para todo x ∈ , temos que 
x xe e= e ainda, 
( ) ( ) ( ) ( )2 2cos cos 1 1.y isen y y sen y+ = + = =
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
34
Portanto, .z xe e=
Propriedade: para todo número complexo z, temos que .z ze e=
Demonstração: para provar essa propriedade basta usar a definição 
( ) ( )( ) ( ) ( )( )cos cosz x xe e y isen y e y isen y=+ = -
e 
( ) ( )( ) ( ) ( )( )cos cosx iyz x xe e e y isen y e y isen y-= = - + - = -
pois, ( ) ( )cos cosy y- = e ( ) ( ) .sen y sen y- = -
As relações cos(y) e sen(-y) = -sen(y) seguem diretamente do fato de a função 
cosseno ser par e a função seno ser ímpar. Caso você não se lembre destas propriedades, 
reveja os livros de Cálculo Diferencial e Integral.
IMPORTANT
E
As propriedades de potenciação no caso real continuam valendo para 
variáveis complexas. 
Propriedade: Para todo z e w números complexos e n um número inteiro, 
temos que 
a) ez+w = ez ew.
b) (ez)n = enz.
c) 1z ze e
- = .
d) 
z
z w
w
e e
e
-= .
Lembre-se de que no subtópico anterior escrevemos um número complexo 
na forma trigonométrica, ou seja, se z = a + ib na forma algébrica, a forma 
trigonométrica de z é ( ) ( )( )z isencos ,ρ θ θ= + com a b2 2ρ = + o módulo de z 
e 
barctg
a
θ  =  
 
 o argumento de z. Podemos verificar que a forma trigonométrica 
de um número complexo é muito similar à fórmula de Euler, ainda mais observe 
que como θ ∈ ℝ, temos que eiθ = cis(θ) = cos(θ) + isen(θ).
TÓPICO 2 | FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS
35
E, portanto, podemos reescrever o número complexo z numa terceira 
forma, a forma exponencial iz e θρ= .
Exemplo: escreva o número complexo z = 2 - 2i na forma exponencial.
Resolução: como a = 2 e b = -2, temos que ( )222 2 8 2 2ρ = + - = =
e ( )arctg arctg ou2 3 71
2 4 4
π πθ  - = = - = 
 
como o número z está no quarto 
quadrante, concluímos que 
7 .
4
πθ =
 Portanto, a forma exponencial do número complexo z = 2 - 2i é 
i piz e 72 2 .
4
=
Agora que temos o número complexo escrito na forma exponencial, 
podemos definir a função logaritmo com variáveis complexas da seguinte maneira: 
( ) ( )ln z ln iρ θ= + desde que 0 2θ π≤ < . 
Os logaritmos com base e podem ser representados simplesmente por ln, 
chamados de logaritmos naturais ou logaritmos neperianos. No caso do logaritmo complexo 
ln(z), este pode ser definido como a função inversa de f(z) = exp(z).
NOTA
E valem as seguintes propriedades: 
a) eln(z) = z
b) ln (z . w) = ln(z) + ln(w)
c) ln(z÷w) = ln(z) - ln(w)
d) ln(zn) = nln(z)
Exemplo: dados z = 2 - 2i e w = 2i, verifique que valem as igualdades da 
propriedade acima. 
Resolução: verificaremos aqui apenas que o item b) é válido, deixamos a 
cargo do leitor verificar as demais seguindo o modelo apresentado. 
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
36
Sabemos que o modulo e o argumento de z são: 
 e 1 1
72 2
4
πρ θ= =
e o modulo e o argumento de w são: 
 e 1 22 2
πρ θ= =
e ainda que 
z w i sen
 z w i sen
 z w i sen
7 7. 2 2.2 cos
4 2 4 2
9 9. 4 2 cos
4 4
. 4 2 cos
4 4
π π π π
π π
π π
    
= + + +    
    
    
= +    
    
    
= +    
    
já que 9 2 .
4 2
π ππ= + Então vale a igualdade ln(z.w) = ln(z) + ln(w)
( ) ( ) ( )i i i7ln 4 2 ln 2 2 ln 24 4 2
π π π
+ = + + + usando as propriedades 
de logaritmos vale a igualdade, já que ( ) ( ) ( )ln 2 2 ln 2 ln 4 2+ = e 
7 9 2 .
4 2 4 2
π π π ππ+ = = +
3.2 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
Usando a Fórmula de Euler, podemos também definir as funções cosseno 
e seno e como consequência definimos as demais funções trigonométricas. 
A Fórmula de Euler nos garante que, para todo x ∈  temos que 
eix = cos(x) + isen(x) (1) 
e usando o fato de que a função cosseno é par e a função seno é ímpar, 
concluímos que 
e-ix = cos(x) - isen(x) (2)
TÓPICO 2 | FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS
37
Perceba que se somarmos a igualdade (1) com a (2) encontramos 
2 cos(x) = eix + e-ix
Portanto, podemos definir a função cosseno com variável real usando a 
função exponencial complexa da seguinte forma: 
( )
ix ixe excos
2
-+
=
Agora se subtrairmos a igualdade (2) da (1), temos 
2isen(x) = eix - e-ix
Portanto, podemos definir a função seno com variáveis reais usando a 
função exponencial complexa da seguinte forma: 
( )
ix ixe esen x
i2
--
=
Como a função exponencial está definida para todo z ∈ 

, podemos 
estender a definição das funções seno e cosseno acima para todo z ∈ 

. 
Definição: dado z ∈ ℂ definimos as funções seno e cosseno como abaixo 
( ) ( )
iz iz iz ize e e ez e sen z
i
cos
2 2
- -+ -
= =
Sabemos que as funções reais seno e cosseno têm período igual a 2π, o mesmo 
acontece com as funções complexas, como podemos ver no exemplo a seguir.
Exemplo: verifique que as funções cosseno e seno complexas têm período 
igual a 2π.
Resolução: para verificarmos que seno tem período igual a 2π, temos que 
mostrar que sen(z + 2π) = sen(z).
 
Note que 
( )
( ) ( )i z i z
iz i iz i
e esen z
i
e e 
i
2 2
2 2
2
2
2
π π
π π
π
+ - +
+ - -
-
+ =
-
=
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
38
Como z = x + iy, temos que 
( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
y i x y i x
y y
e esen z
i
e x isen x e x isen x
i
2 2
2
2
cos 2 2 cos 2 2
2
π π
π
π π π π
- + + - - +
- -
-
+ =
+ + - + - +
=
usando a propriedade de que o cosseno e o seno têm período de 2π, ou 
seja, cos (x + 2π) = cos(x) e sen (x + 2π ) = sen(x), concluímos que:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )
y y
y ix y ix
iz iz
e x isen x e x isen x
sen z
i
e e 
i
e e sen z
i
cos cos
2
2
2
2
π
- -
- + - -
-
- -
+ =
-
=
-
= =
Deixamos a cargo do leitor verificar que cosseno complexo tem período igual 
a 2π, você deve proceder igual ao exemplo anterior e mostrar que 
cos (z + 2π) = cos(z).
DICAS
4 FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 
Para definir as funções hiperbólicas, recordaremos como as funções 
trigonométricas estão representadas na circunferência. No caso do seno e cosseno, 
o valor correspondente a eles pode ser determinado, respectivamente, pela 
projeção ortogonal de um ponto na circunferência nos eixos vertical e horizontal.
Como a circunferência é definida com raio igual a um, o comprimento dos 
segmentos com origem no plano até o ponto da projeção ortogonal determina os 
valores das razões trigonométricas: seno e cosseno, para um determinado ângulo. 
Além disso, é possível determinar a principal identidade trigonométrica com 
senos e cossenos e perceber a igualdade das razões em certos arcos.
TÓPICO 2 | FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS
39
GRÁFICO 6 – REPRESENTAÇÃO DO CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
α
cos α
sin α
FONTE: Os autores
FONTE: Os autores
Desta forma, como apresentamos, devemos determinar um certo ângulo 
α para conseguir definir os senos e cossenos. Há outra forma de abordar este 
valor α. Observando a mesma ilustração feita anteriormente, podemos perceber 
que há um setor circular, delimitado pelo eixo positivo do cosseno com a reta 
que proporciona o ângulo α, como podemos observar na ilustração a seguir. Se 
calcularmos a área delimitada por este setor, teríamos:
rA
2
.
2
α= em radianos.
Trocando r = 1, A .
2
α
=
GRÁFICO 7 – REPRESENTAÇÃO DO CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO COM ÁREA
α = 2A
Área
α
cos α
sin α
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
40
Então, é como se estivéssemos determinando os senos e cossenos pelo 
dobro da área delimitada mencionada. Diante desta perspectiva geométrica, 
iniciaremos o estudo das funções hiperbólicas. O pensamento nas hiperbólicas é 
análogo, contudo, no lugar na circunferência unitária, teremos uma hipérbole na 
forma de:
x2 - y2 = 1.
Na visão geométrica, seguindo a analogia realizada na circunferência 
que utilizao princípio da área para ser estabelecida, analisaremos apenas o 
ramo direito, pois nele é possível ter todos os números reais (áreas positivas e 
negativas). Observe a ilustração a seguir:
GRÁFICO 8 – REPRESENTAÇÃO HIPERBÓLICA DO COSSENO E SENO HIPERBÓLICO
cosh α
1O
P
sinh α
α/2
Seno Hiperbólico 
senh α
Cosseno Hiperbólico
cosh α
FONTE: Os autores
O segmento OP , juntamente com a hipérbole, delimita uma área que 
está pintada na ilustração anterior. Esta área tem o mesmo princípio idealizado 
na circunferência que, ao dobrar este valor, estamos determinando os senos e 
cossenos hiperbólicos. Para o eixo horizontal, a distância do ponto O até a projeção 
do ponto P determina os cossenos hiperbólicos e analogamente temos no eixo 
vertical o seno hiperbólico.
Ainda sobre a ilustração anterior, caso o ponto P se desloque para baixo do 
eixo horizontal, teremos áreas negativas, o que implica existirem valores de senos e 
cossenos hiperbólicos para todos os números reais. Caso P estiver acima do eixo, os 
valores para seno e cosseno hiperbólicos serão positivos e quando abaixo do eixo, 
o cosseno se manterá positivo enquanto que o seno será negativo. Este fato mostra 
que o cosseno hiperbólico é uma função par e o seno, uma função ímpar. 
TÓPICO 2 | FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS
41
FONTE: Os autores
De forma algébrica, as funções hiperbólicas são obtidas pela combinação das 
funções ex e e-x. 
Definição: no caso da função seno hiperbólico, é uma função definida 
f: 

 → 

 dada por:
( ) ( )
x xe ef x senh x
2
--
= =
A representação gráfica da função seno hiperbólico pode ser obtida pela 
combinação das funções que a compõem, apresentando a seguinte característica:
GRÁFICO 9 – GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO HIPERBÓLICO 
Definição: a função cosseno hiperbólico está definida g: 

 → [1,+∞) dada 
por:
( ) ( )
x xe ef x xcosh .
2
-+
= =
A sua representação gráfica é desenvolvida de forma análoga à do seno 
hiperbólico, pela combinação das duas funções que a compõem:
f (x) = senh (x)
1
2
21-1
-1
-2
-2
( )
xeg x
2
=
( )
xeh x
2
-
= -
0
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
42
GRÁFICO 10 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO COSSENO HIPERBÓLICO
f (x) = cosh (x)
2
2
3
3
1
1
-1
-1
-2-3
( )
xeg x
2
= ( )
xeh x
2
-
= -
0
FONTE: Os autores
A partir da definição destas duas funções hiperbólicas, podemos definir 
todas as outras.
Definição: Função Tangente Hiperbólica, f: 

 →,(-1,1) dada por:
( ) ( )( )
x x
x x
senh x e ex
x e e
tanh
cosh
-
-
-
= =
+
Definição: Função Cossecante Hiperbólica, g: 

 - {0} → 

 - {0} , dada por:
( ) ( ) x x
x
senh x e e
1 2cossech .
-
= =
-
Definição: Função Secante Hiperbólica, f: 

 →,(0,1], dada por:
( ) ( ) x x
x
x e e
1 2sech .
cosh -
= =
+
Definição: Função Cotangente Hiperbólica, g: 

 - {0} →(-∞,1) u (1, + ∞), 
dada por:
( ) ( )( )
x x
x x
x e eco x
senh x e e
cosh
tanh .
-
-
+
= =
-
TÓPICO 2 | FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS
43
Exemplo: determine o valor de:
a) cosh(0)
b) senh(ln2)
Resolução: para responder aos dois itens, basta aplicar o valor na definição 
de cada função.
Item a)
( )
( )
( )
( )
x xe ex
e e
 
 
0 0
cosh
2
cosh 0
2
1 1cosh 0
2
cosh 0 1.
-
-
+
=
+
=
+
=
=
Item b)
( )
( )
( )
( )
( )
x xe e senh x
e e senh
e
e senh
 senh
 senh
ln2 ln2
ln2
ln2
2
ln 2
2
1
ln 2
2
12
2ln 2
2
3ln 2 .
4
-
-
-
=
-
=
-
=
-
=
=
Lembre-se das propriedades dos logaritmos a^(log_a(b)) = b.
ATENCAO
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
44
A seguir, exibiremos algumas identidades envolvendo as funções 
hiperbólicas:
(I) - cosh (-x) = cosh(x).
(II) - senh(-x) = - senh(x).
(III) - cosh2(x) - senh2(x) = 1.
(IV) - cosh(x) + senh(x) = ex.
(V) - cosh (x) - senh(x) = e-x.
(VI) - 1-tanh2(x) = sech2(x).
(VII) - 1 - cotanh2(x) = - cossech2(x).
(VIII) - senh(x+y) = senh(x) . cosh(y) + cosh(x) . senh(y).
(IX) - cosh(x + y) = cosh(x) . cosh(y) + senh(x) . senh(y).
A demonstração destas identidades é bem elementar, basta nas primeiras 
substituir pela definição da função e nas demais, trocar por sua correspondência 
trigonométrica ou algébrica. Veja uma destas demonstrações:
Iremos apenas mostrar o item (VI) que:
1 - tanh2(x) = sech2(x).
Como:
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x x x
x x
x x x
2 2 2
2 2
2 2 2
sinh cosh sinh 11 tanh 1 sech .
cosh cosh cosh
-
- = - = = =
Logo, a propriedade é válida.
Uma aplicação muito importante das funções hiperbólicas aparece nos 
movimentos vibratórios dentro de sólidos elásticos e em problemas nos quais 
a energia mecânica é gradualmente absorvida pelo ambiente. Um exemplo 
interessante é aplicado em um cabo (flexível e homogêneo) suspenso por dois 
pontos, como os fios elétricos ligados aos postes.
FIGURA 4 – CABO (FLEXÍVEL E HOMOGÊNEO) SUSPENSO POR DOIS PONTOS
FONTE: Os autores
TÓPICO 2 | FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS
45
Galileu Galilei propôs a conjectura de que a curva fosse uma parábola, 
porém, hoje sabemos que esta curva possui o nome de catenária e que com os 
estudos de Johann Bernoulli, em 1691, mostrou que a equação da catenária á dada 
pela função hiperbólica
xy a
a
.cosh . =  
 
De forma similar ao que foi desenvolvido com funções seno e cosseno 
reais, podemos definir o que são funções seno e cosseno hiperbólicas com 
variáveis complexas. 
 
Definição: no caso da função Seno Hiperbólico complexo, é uma função 
definida f : 

 → 

 dada por:
( ) ( )
z ze ef z senh z .
2
--
= =
Definição: a função Cosseno Hiperbólico complexas está definida f : 

 → 

dada por:
( ) ( )
z ze ef z zcosh .
2
-+
= =
As demais funções hiperbólicas podem ser definidas para uma variável 
complexa de forma similar ao que foi feito acima. 
46
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• Podemos definir funções com variáveis complexas: 
o Função polinomial complexa e suas propriedades.
o Função racional complexa.
o Função exponencial complexa.
o Função logaritmos complexas.
o Funções trigonométricas complexas. 
• Para definir a função exponencial complexa, usamos a Fórmula de Euler 
 eix = cos(x) + i sen(x).
• Podemos relacionar as funções seno, cosseno com a área do setor formado pelo 
ângulo dentro do círculo trigonométrico e, seguindo essa lógica, definir o que 
são funções hiperbólicas reais e complexas.
• A definição de funções hiperbólica complexa é
 
( )
( )
( ) ( )( )
z z
z z
z z
z z
e esenh z
e ecosh z
senh z e ez
z e e
2
2
tanh
cosh
-
-
-
-
-
=
+
=
-
= =
+
• Existem várias identidades envolvendo as funções hiperbólicas:
(I) - cosh (-x) = cosh(x).
(II) - senh(-x) = - senh(x).
(III) - cosh2(x) - senh2(x) = 1.
(IV) - cosh(x) + senh(x) = ex.
(V) - cosh (x) - senh(x) = e-x.
(VI) - 1-tanh2(x) = sech2(x).
(VII) - 1 - cotanh2(x) = - cossech2(x).
(VIII) - senh(x+y) = senh(x) . cosh(y) + cosh(x) . senh(y).
(IX) - cosh(x + y) = cosh(x) . cosh(y) + senh(x) . senh(y).
47
Acadêmico! O processo de entendimento total do conteúdo finaliza 
aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos explorados 
neste tópico. Bom estudo!
1 Calcule o valor da função f(z) = x2 + x2y2 - i(y2x + y3) nos pontos dados: 
a) z = (x, y) = (2,3) 
b) z = 2 + 4i 
c) z = 5i 
d) z = 3 
2 Determine a parte real e a parte imaginária das funções complexas: 
a) f(z) = 2iz + 6z
 
b) f(z) = z
2c) zf(z) = e i2+
 
d) zf(z) = 
z
 
3 Para quais valores de z a função racional complexa 
( )
( )
z i
f(z) = 
z i
2
2
2
2
+ -
- +
 não 
está definida.
4 Determine o conjunto dos números complexos que satisfazem a igualdade:
a) ( )Re z 1 4+ =
 
b) z z1 1 4+ - + = 
5 Prove que cosh(x + y) = cosh(x). cosh(y) + senh(x) . senh(y)
6 Determine o valor de cada um dos itens a seguir:
a) senh (1) = 
b) tanh(ln 2) = 
c) cosh(ln 3) = 
d) sech(0) = 
e) cossech(ln(-5)) = 
f) cotanh(ln2) - sech(ln -2) = 
AUTOATIVIDADE
48
49
TÓPICO 3
LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES COMPLEXAS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Como você já deve ter percebido, as definições de funções com 
variáveis complexas estudadas anteriormente são similares ao caso de funções 
complexas. Quando estudamos funções reais, o próximo passo é estudar alguns 
comportamentos dessas funções, como limite, continuidade, derivada e integral. 
Esse também será nosso próximo passo para as funções de várias variáveis 
complexas, inicialmente iremos começar os estudos do limite de funções complexas 
e, finalizando essa unidade, estudar a continuidade de funções complexas, você 
também irá perceber aqui que as definições de limite e continuidade são similares 
às definições que já conhecemos. 
2 LIMITE DE FUNÇÕES COMPLEXAS
A definição de limite para uma função de variável complexa é análoga à 
definição de uma função com variáveis reais. 
Definição: Dado f : D ⊂  →  uma função complexa com D um 
subconjunto de ℂ. Dizemos que o limite da função f quando z tende para z0 se 
existe um número complexo L (L ∈ 

), tal que para cada ε > 0 existe uma δ > 0, 
tal que z z00 δ< - < implica que ( )f z L ε- < para todo z ∈ D.
Da mesma maneira que para funções reais, vamos denotar o limite L de 
uma função f quando z tende para z0 como ( )z zL f z0
lim .→=
A primeira propriedade de limite é garantir que o limite é único.
Propriedade: o limite de uma função complexa é único. 
Demonstração: devemos mostrar que quando z →z0 , se tivermos que lim 
f(z) = L e lim f (z) = T então L = T.
50
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
Pela definição de limite, dado ε > 0, devemos obter δ > 0, tal que se
z z0 δ- < ,então ( ) ( )f z L e f z T2 2
ε ε
- < - < .
Assim 
( ) ( ) ( ) ( )L T L f z f z T L f z f z T / 2ε ε- = - + - < - + - < =
.
Isto significa que L T- é menor que qualquer número positivo ε 
suficientemente pequeno, logo deve ser zero. Segue que A = B.
Exemplo: mostre que z i z
lim 2 4 3→ + = quando z tende para i, usando a 
definição de limite.
Resolução: dado ε > 0, vamos escolher δ > 0tal que se 0 < | z - i | <δ implica 
que | z2 + 4 - 3 | < ε ou seja, | z2 + 1 | < ε.
Sabemos que i2 = -1 logo 1 = -i2 então, usando produtos notáveis, temos que 
| z2 + 1 | = | z2 - i2 | = |(z - i)(z + i) agora usando a propriedade de modulo podemos 
estimar | z2 + 1 | ≤ | z - i | . | z + i |.
Como z está próximo de i, temos que | z + i | ≤ | 2i | = 2 e supondo que | z - i 
| ≤ δ, temos que | z2 + 1 | ≤ 2δ.
Portanto, dado ε > 0 escolhendo ,2
εδ = concluímos que | f(z) - 3 | = |z2 + 1| 
≤ 2 δ = ε se 0 < | z - i | < δ.
Caro acadêmico, lembre-se de produtos notáveis 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)(a - b) = a2 - b2.
ATENCAO
TÓPICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES COMPLEXAS
51
Usando a definição acima e o fato de que o limite é único, vamos mostrar 
algumas propriedades de limites para as funções complexas. Essas propriedades 
são similares às que provamos para funções com variáveis reais. 
Propriedade: são validas as afirmações a seguir: 
a) z z0
lim α α→ = para α uma constante complexa, α ∈  ;
b) 
z z z z0
lim
0→ = ;
c) z z z z0
lim
0→ = ;
d) z z z z0
lim
0 .→ =
Propriedade: dadas as funções f e g complexas, tais que 
( ) ( )f z g z
z z z zL e L0 0
lim lim
1 2→ →= = para L1 e L2 constantes complexas. Então para 
quaisquer constantes α e β complexas, temos que ( ) ( ) f z g z L L
z z
1 2
0
lim .α β α β+ = +→
Exemplo: calcule o limite 
z i z iz
lim
1 2 4 .→- + -
Resolução: usando as propriedades acima temos que 
 
( ) ( ) z i z iz i i i
i i i
i i
lim
1 2
2
4 4 1 2 1 2
4 8 2
4 9 2 2 9 .
→- + - = - + - - +
= - + + -
= - + + = - +
Propriedade: Dadas as funções f e g complexas, tais que 
( ) ( ) z z z zL f z e L g z0 0
lim lim
1 2→ →= = para L1 e L2 constantes complexas. 
 Então temos que ( ) ( ) z z f z g z L L0
lim
1 2. . .→ =
Exemplo: considere a função complexa
( )
3z , se z ¹i
f z = .
0, se z = i



Determine o limite de f (z) quando tende para i. 
Resolução: usando a propriedade acima, temos que 
( )z i z if z z i ilim lim 3 3 .→ →= = = -
52
UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
Propriedade : dadas as funções f e g complexas, tais que ( ) ( )f z g zz z z zL e L0 0
lim lim
1 2→ →= = 
para L1 e L2 constantes complexas, com L2 ≠ 0. Então temos que 
( )
( )z z
f z L
Lg z0
lim 1
2
.→ =
Exemplo: calcule o seguinte limite z i
z
iz
2
lim
1
5 .→ +
-
Resolução: recorrendo à propriedade operacional que acabamos de ver
( )
( )
z i
z i
z i
zz
iz iz
i
 
i i
i 
i
 i
lim 22
lim 1
1 lim
1
2
55
1 5
. 1
5 2
1
7 3 .
2 2
→ +
→ +
→ +
--
=
+ -
=
+
- +
=
- +
= +
Lembre-se, acadêmico, de que para qualquer função complexa f: D ⊂  
→  , podemos escrever a função como f(z) = Re(f(z)) + i Im (f(z))
Lembre-se também de que podemos representar um número complexo z 
como um ponto do plano cartesiano z = (x, y) então podemos reescrever a função 
complexa da seguinte forma f (z) = u(x,y) + iv(x,y) onde as funções u e v são 
funções reais de duas variáveis dadas por u(x,y) = Re(f(x,y)) e v(x,y) = Im (f(x,y)).
Com essa caracterização de z, temos que se z → z0 então (x,y) → (x0,y0) se z0 = 
(x0, y0) e, portanto, calcular o limite de f quando z tende para z0 é equivalente a calcular 
o limite da sua decomposição quando (x, y) tende para (x0, y0), ou seja, vale a igualdade: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z x y x y x y x yf z u x y i u x y0 0 0 0 0
lim lim lim
, , , ,, , .→ → →= +
Exemplo: mostre que z z
lim 2
1 1→ = , usando da ideia anterior.
Resolução: sabemos que se z = x + iy, temos z2 = x2 - y2 + i2xy e, portanto, 
neste caso u (x,y) = x2 - y2 e v(x,y) = 2xy. Quando z → 1 = 1 + i0 temos que (x,y) → 
(1,0), consequentemente
( ) ( ) ( ) ( )
 
z x y x yz x y i xy
lim 2 lim 2 2 lim
1 , 1,0 , 1,0 2 1 0 1.→ → →= - + = + =
TÓPICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES COMPLEXAS
53
3 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES COMPLEXAS
Uma função real é dita contínua se satisfaz três condições, motivadas 
pela definição de função com variáveis reais contínua, vamos definir função 
complexa contínua.
Definição: dado f: D ⊂  →  uma função complexa e z0 ∈  uma 
constante complexa. Dizemos que a função complexa f é contínua se valem as 
condições a seguir: 
I- f está definida em z0, f z0 existe;
II- ( )z z f z0
lim
→ exista;
III- ( ) ( )z z f z f z0
lim
0 .→ =
Se uma função complexa é contínua em todos os pontos z ∈  , então 
dizemos que a função complexa é contínua. 
Se f e g são funções contínuas, as propriedades do subtópico anterior 
podem ser reescritas da seguinte maneira: 
( ) ( ) ( ) ( )z z f z g z af z g z0
lim
0 0α β β→ + = +
( ) ( ) ( ) ( )z z f z g z f z g z0
lim
0 0. .→ = e se g(z0) ≠ 0, temos que 
( )
( )
( )
( )z z
f z f z
g z g z0
0lim
0
.→ =
Ainda mais, como podemos escrever uma função complexa como soma 
da sua parte real com a sua parte imaginária f(z) = u (x,y) + iv(x,y) onde as funções 
u e v são funções